2013年高考数学总复习 4-4 两角和与差的三角函数 新人教B版
第4章 §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝；(2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝；cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin βsin αcos β－cos αsin βsin αcos β＋cos αsin β(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝ .2.辅助角公式a sin α＋b cos α＝，其中sin φ＝，cos φ＝两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.( )(3)公式tan(α＋β)＝ 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( )√×××√∵α是第三象限角，2.计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)3.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ . tan β＝tan[(α＋β)－α]T A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一两角和与差的三角函数公式√教师备选√√两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.√题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形√√由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴sin γ＝sin β－sin α>0，即选项D 正确，C 错误.√∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tan C.延伸探究 若将本例(2)的条件改为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于√A.45°B.135°C.150°D.30°在△ABC中，因为tan A tan B＝tan A＋tan B＋1，所以tan C＝1，所以C＝45°.教师备选2 1.若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2.已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.跟踪训练2 (1)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝ (sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.b>a>c√C.c>a>bD.a>c>b由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，＝sin(56°－45°)＝sin 11°，所以a>c>b.4(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.题型三角的变换问题√(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .－1∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)教师备选因为sin2α＋cos2α＝1，(2)求tan(α－β)的值.因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).因此tan(α＋β)＝－2.因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]因为α，β均为锐角，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)cos β＝ .则0<β－α<π，。
【把握高考】2013年高三数学第一轮总复习4-4两角和与差的三角函数新人教A版(含解析)
4-4两角和与差的三角函数基础巩固强化1.(2011·银川三模)已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－ 2425B ．－1225C ．－45D.2425[答案] A[解析] 由题意可知cos θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，故选择A.2．(文)(2011·北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B的值为( )A.14B.13C.12D.53 [答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.(理)已知sin α＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是( )A ．－7B ．7C ．－34D.34 [答案] B[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－45，则tan α＝－34.∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝1＋341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.3．(文)已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为( )A ．－1B ．－1或－725C ．－2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45·35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·45＝－2425，故选C. (理)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 4．已知实数a ，b 均不为零，a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝tan β，且β－2＝π6，则ba＝( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－33[答案] B[解析] tan β＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝a tan2＋b a －b tan2，所以a ＝1，b ＝33，故b a ＝33. 5．函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2011·合肥质检)将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象上各点向右平移π6个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π8B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] y ＝sin(2x ＋π3) y ＝sin2x y ＝sin4x ，其对称轴方程为4x ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π4＋π8，令k ＝0得x ＝π8. (理)(2013·陕西师大附中上学期一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个长度单位B ．向右平移π12个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向左平移π12个长度单位[答案] A[解析] 由图可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将(7π12，－1)代入得sin(7π6＋φ)＝－1，∴7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，将f (x )的图象向右平移π6个单位可得，sin[2(x －π6)＋π3]＝sin2x ，故选A.7．函数f (x )＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴是直线x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角的大小为________．[答案]3π4(或135°) [解析] f (x )的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f (π4)＝±a 2＋b 2，∴a －b 2＝±a 2＋b 2，解得a ＋b ＝0.∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k＝a b＝－1，∴直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．下列命题：①存在α、β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β；②存在φ∈R ，使f (x )＝cos(3x ＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，π2)，若tan α·tan β<1，则α＋β<π2；④△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件是A >B .其中真命题的序号是________．[答案] ①②③④[解析] ①α＝0，β＝π3时，原式成立；②φ＝π2时，f (x )为奇函数；③∵tan α·tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2；④在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 9．(文)函数y ＝cos(π3－2x )＋sin(π2－2x )的最小正周期为________．[答案] π[解析] y ＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x ＋cos2x＝32cos2x ＋32sin2x ＝3(32cos2x ＋12sin2x ) ＝3sin(2x ＋π3)，∴T ＝π.(理)函数y ＝cos(x ＋20°)＋sin(x －10°)的最大值为________． [答案] 1[解析] y ＝cos x cos20°－sin x sin20°＋sin x cos10°－cos x sin10° ＝(cos10°－sin20°)·sin x ＋(cos20°－sin10°)cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．这里a ＝cos10°－sin20°，b ＝cos20°－sin10°， tan φ＝cos20°－sin10°cos10°－sin20°∵a 2＋b 2＝(cos10°－sin20°)2＋(cos20°－sin10°)2＝2－2sin20°cos10°－2cos20°sin10°＝2－2sin30°＝1. ∴最大值为a 2＋b 2＝1.10．(文)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的最小正周期是2π.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为3，求a 的值．[解析] (1)f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ，依题意得2π2ω＝2π⇒ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＋a .又当x ∈[－π3，5π6]时，x ＋π3∈[0，7π6]，故－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，从而f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为－12＋32＋a ＝3，故a ＝3＋12. (理)(2011·日照模拟)设函数f (x )＝cos(πx 4－π3)－cos πx4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)设g (x )＝f (－2－x )；当x ∈[0,2]时，求函数y ＝g (x )的最大值．[解析] (1)f (x )＝cos π4x cos π3＋sin π4x sin π3－cos πx 4＝32sin π4x －12cos π4x ＝sin(π4x －π6)．故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)由题设条件得g (x )＝f (－2－x )＝sin[π4(－2－x )－π6]＝sin[－π2－π4x －π6]＝－cos(π4x ＋π6)．当0≤x ≤2时，π6≤π4x ＋π6≤2π3，设t ＝π4x ＋π6，则y ＝－cos t ，在[π6，2π3]上是增函数，因此y ＝g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (x )max ＝－cos 2π3＝12.能力拓展提升11.(文)(2012·河南六市联考)已知函数y ＝f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )，则函数f (x )应满足( )A ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递增，且有一个对称中心(π6，0)B ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递增，且有一个对称中心(－π3，0)C ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递减，且有一个对称中心(－π3，0)D ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递减，且有一个对称中心(π6，0)[答案] B[解析] f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )＝2sin(π6＋x ＋π6)＝2sin(x ＋π3)，故选B.(理)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.17 B ．－17 C.27 D ．－27 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.12．(文)设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 [答案] D[解析] 易知|MN |＝|f (a )－g (a )|＝|2sin 2(π4＋a )－3cos2a |＝|1－cos(π2＋2a )－3cos2a |＝|1＋2sin(2a －π3)|≤3，即最大值是3.(理)(2012·东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )A.2525B.255C.2525或255D.55或525[答案] A[解析] 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A. 13．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.[答案]3130130[解析] ∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213)＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.14．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案]3[解析] 原式＝2cos 30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.15．(文)(2011·珠海模拟)已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． [解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.(理)(2011·成都二诊)已知函数f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[－π4，π4]时，函数f (x )的最小值为－3，求实数m 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m＝2sin x (32cos x －12sin x )－cos2x ＋m ＝3sin x cos x －sin 2x －cos2x ＋m ＝32sin2x －1－cos2x 2－cos2x ＋m ＝32sin2x －12cos2x －12＋m ＝sin(2x －π6)－12＋m .∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π2≤2x ≤π2，∴－2π3≤2x －π6≤π3，∴－1≤sin(2x －π6)≤32，∴ f (x )的最小值为－1－12＋m .由已知，有－1－12＋m ＝－3.∴m ＝－32.16．(文)(2011·晋中一模)已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[解析] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255×(－2425)－55×725＝－11525.(理)已知0<α<π2，π2<β<π，且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513. (1)求cos α和cos β的值；(2)求tan α－β2的值． [解析] (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝43， ∴sin α＝43cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1中消去sin α得，cos 2α＝925， ∵0<α<π2，∴cos α＝35，∴sin α＝45，∵π2<α＋β<3π2，sin(α＋β)＝513>0，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1213， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213×35＋513×45＝－1665. ∴cos α和cos β的值依次为35和－1665. (2)由(1)知cos β＝－1665，又已知π2<β<π， ∴sin β＝6365，∴tan β＝－6316.∴2tan β21－tan 2β2＝－6316， ∵π2<β<π，∴tan β2>0，∴tan β2＝97， ∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2·tan β2＝12－971＋12×97＝－1123.1．方程x 2cos2012°－y 2sin2012°＝1所表示的曲线为( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线[答案] D[解析] cos2012°＝cos(5×360°＋212°)＝cos212°＝－cos 32°＝－sin58°<0，而sin2012°＝sin(5×360°＋212°)＝sin212°＝－sin32°<0，所以该曲线为焦点在y 轴上的双曲线．2．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－1 B ．1 C. 3 D ．不存在[答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是单调增函数， ∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1. 3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2， ∴cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， ∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C. 4．(2012·重庆文)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2. (1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f x ＋π6的值域． [分析] (1)由周期为π求出ω，代入点(π6，2)，由φ范围求出φ，A . (2)分子化同名，即sin 2x 用1－cos 2x 代换，分母用诱导公式和二倍角公式．[解析] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π，即2πω＝π，解得ω＝2， 因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2， 从而sin(2×π6＋φ)＝1，所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又由－π<φ≤π，得φ＝π6， 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x ＝2x －2x＋2x －＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)． 因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2≠12. 故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]． [点评] 本题考查了三角函数的周期、最值、同角基本关系式、二倍角公式等．在解三角恒等变换(化简)题时的方法有：异名化同名，异角化同角，降幂化同次等．。
高考数学复习：两角和与差的三角函数、二倍角公式 课件
分类解析
目标 1 和、差、倍角公式的直接应用
(1) (2020·全国Ⅲ卷)已知 2tan θ－tan θ＋π4＝7，那么 tan θ 等于( D )
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【解析】 2tan θ－tan θ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，化简得 tan2 θ－4tan θ＋4＝0， 解得 tan θ＝2.
tan2α＝1－2tatannα2α.
3. 常用变形结论 (1) tanα±tanβ＝_______t_a_n_(α_±_β_)_(_1_∓_ta_n_α_t_a_n_β)________；
(2) 降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝
(2) 若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为( A )
A. －492
B.
－2
2 9
22 C. 9
42 D. 9
【解析】 因为 sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－232，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×13×－2
2. 1－2tatann1251°5°等于( A ) A. 3 C. 1
3 B. 3 D. －1
【解析】 因为1－2tatann1251°5°＝tan30°＝ 33，所以原式＝ 3.
3. sin1π2－cos1π2·sin1π2＋cos1π2等于( B )
A. －12
B.
－
3 2
高考数学总复习第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1. 计算：sin43°cos13°＋sin47°cos103°＝________．答案：12解析：原式＝sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝12. 2. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos θ＝________． 答案：－210解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以θ－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝45，cos θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4·cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin π4＝35×22－45×22＝－210. 3. 计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________． 答案： 2解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos （10°－60°）2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 4. 当函数y ＝sinx －3cosx(0≤x<2π)取得最大值时，x ＝________．答案：56π 解析：y ＝sinx －3cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，由0≤x<2π， 得－π3≤x －π3<53π，∴ 当x －π3＝π2，即x ＝56π时函数取得最大值． 5. 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝________． 答案：－45解析：∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，∴ 32cos α＋32sin α＝453，3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12cos α＋32sin α＝453， 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45， ∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45. 6. 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________． 答案：322 解析：因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan[(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4] ＝tan （α＋β）－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan （α＋β）tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝322.7. 若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx ，0≤x<π2，则f(x)的最大值为________． 答案：2 解析：f(x)＝(1＋3tanx)cosx ＝cosx ＋3sinx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， ∴ 当x ＝π3时，f(x)取得最大值为2. 8. (2013·无锡期末)设函数f(x)＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)．若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________．答案：π6解析：f ′(x)＝－3sin(3x ＋φ)，f(x)＋f ′(x)＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋φ－π6是奇函数，所以φ－π6＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z .又0＜φ＜π， 所以k ＝0，φ＝π6. 9. 已知函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R . (1) 求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2) 设α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值． 解：(1) 由题设，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2. (2) 由题设，知1013＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝2sin α， 65＝f(3β＋2π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝2cos β， 即sin α＝513，cos β＝35. 又α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴ cos α＝1213，sin β＝45， ∴ cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－45×513＝1665. 10. 已知向量a ＝(m ，sin2x)，b ＝(cos2x ，n)，x ∈R ，f(x)＝a ·b ，若函数f(x)的图象经过点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1. (1) 求m 、n 的值；(2) 求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值； (3) 若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值． 解：(1) f(x)＝mcos2x ＋nsin2x ，因为f(0)＝1，所以m ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，所以n ＝1. 故m ＝1，n ＝1.(2) f(x)＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以f(x)的最小正周期为π.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，所以当x ＝0或x ＝π4时，f(x)取最小值1. (3) 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝15，所以cos α＋sin α＝15， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 故α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝272＝17. 11. 已知函数f(x)＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1) 求ω的值；(2) 设α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值． 解：(1) T ＝2πω＝10π，所以ω＝15. (2) f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋53π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋53π＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－65，所以sin α＝35. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－56π＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－56π＋π6＝2cos β＝1617，所以cos β＝817.因为α、β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
高考数学一轮复习45两角和与差的正弦余弦与正切公式理新人教B版
A. π
B.
25
5
且 cos 21 4 -
7
C.D.π 5
25
=cos 2 -2 =sin 2α,故选 D.
(方法二)由 cos
2
π
3
2
3 2
5
2
关闭
7
-1=-25,
3
- = 5,得 2 cos α+ 2 sin α=5,
4
3
即 2 (cos α+sin α)=5,
1
两边平方,得2
(cos2α+sin2α+2cos
2
2
1
1
2
D.
3
2
π
- =(
)
4
8 2
1 8
,
,∴sin 2α=-D.
α=C.
9 9
9 9
sinα=
α+cos
, α=3,则 sin2
sin α+cos
(2)∵(2)已知
3
1
17
αcos
α)2=1+2sin
∴(sinA.α+cos
B.
18
18
π
-2
1-cos
(3)在△ABC
中,若
Atan B=tan
5
(2)(方法一)tan α
=tan =
1
+1
6
1
1- ×1
6
4
+
π
4
π
π
- ·tan
4
4
tan -
1-tan
=
π
4
π
+tan
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-4两角和与差的三角函数 新人教A版
4-4两角和与差的三角函数基础巩固强化1.(2011²银川三模)已知sin θ＝45，且sin θ－cos θ>1，则sin2θ＝( )A ．－ 2425B ．－1225C ．－45D.2425[答案] A[解析] 由题意可知cos θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425，故选择A.2．(文)(2011²北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B的值为( )A.14B.13C.12D.53 [答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.(理)已知sin α＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tan β的值是( )A ．－7B ．7C ．－34D.34 [答案] B[解析] 由sin α＝35，α为第二象限角，得cos α＝－45，则tan α＝－34.∴tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝1＋341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.3．(文)已知0<α<π2<β<π，cos α＝35，sin(α＋β)＝－35，则cos β的值为( )A ．－1B ．－1或－725C ．－2425D ．±2425[答案] C[解析] ∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，∴sin α＝45，cos(α＋β)＝－45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45²35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35²45＝－2425，故选C. (理)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 4．已知实数a ，b 均不为零，a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝tan β，且β－2＝π6，则ba＝( )A. 3B.33 C ．－ 3 D ．－33[答案] B[解析] tan β＝tan(2＋π6)＝tan2＋331－33tan2＝a sin2＋b cos2a cos2－b sin2＝a tan2＋b a －b tan2，所以a ＝1，b ＝33，故b a ＝33. 5．函数f (x )＝(3sin x －4cos x )²cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(2011²合肥质检)将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象上各点向右平移π6个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π8B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] y ＝sin(2x ＋π3) y ＝sin2xy ＝sin4x ，其对称轴方程为4x ＝k π＋π2，k∈Z ，∴x ＝k π4＋π8，令k ＝0得x ＝π8. (理)(2013²陕西师大附中上学期一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图象，则只需将f (x )的图象( )A ．向右平移π6个长度单位B ．向右平移π12个长度单位C ．向左平移π6个长度单位D ．向左平移π12个长度单位[答案] A[解析] 由图可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将(7π12，－1)代入得sin(7π6＋φ)＝－1，∴7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，将f (x )的图象向右平移π6个单位可得，sin[2(x －π6)＋π3]＝sin2x ，故选A.7．函数f (x )＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴是直线x ＝π4，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角的大小为________．[答案]3π4(或135°) [解析] f (x )的图象的对称轴过其最高点或最低点，∴f (π4)＝±a 2＋b 2，∴a －b 2＝±a 2＋b 2，解得a ＋b ＝0.∴直线ax －by ＋c ＝0的斜率k ＝ab＝－1， ∴直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为135°(或3π4)．8．下列命题：①存在α、β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β；②存在φ∈R ，使f (x )＝cos(3x ＋φ)为奇函数；③对任意α，β∈(0，π2)，若tan α²tan β<1，则α＋β<π2；④△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件是A >B .其中真命题的序号是________．[答案] ①②③④[解析] ①α＝0，β＝π3时，原式成立；②φ＝π2时，f (x )为奇函数；③∵tan α²tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α²sin βcos α²cos β<1，∴sin α²sin β<cos α²cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2；④在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 9．(文)函数y ＝cos(π3－2x )＋sin(π2－2x )的最小正周期为________．[答案] π[解析] y ＝cos π3cos2x ＋sin π3sin2x ＋cos2x＝32cos2x ＋32sin2x ＝3(32cos2x ＋12sin2x ) ＝3sin(2x ＋π3)，∴T ＝π.(理)函数y ＝cos(x ＋20°)＋sin(x －10°)的最大值为________． [答案] 1[解析] y ＝cos x cos20°－sin x sin20°＋sin x cos10°－cos x sin10° ＝(cos10°－sin20°)²sin x ＋(cos20°－sin10°)cos x＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．这里a ＝cos10°－sin20°，b ＝cos20°－sin10°， tan φ＝co s20°－sin10°cos10°－sin20°∵a 2＋b 2＝(cos10°－sin20°)2＋(cos20°－sin10°)2＝2－2sin20°cos10°－2cos20°sin10°＝2－2sin30°＝1. ∴最大值为a 2＋b 2＝1.10．(文)设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的最小正周期是2π.(1)求ω的值；(2)如果f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为3，求a 的值．[解析] (1)f (x )＝32cos2ωx ＋12sin2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ， 依题意得2π2ω＝2π⇒ω＝12.(2)由(1)知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋32＋a .又当x ∈[－π3，5π6]时，x ＋π3∈[0，7π6]，故－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≤1，从而f (x )在区间[－π3，5π6]上的最小值为－12＋32＋a ＝3，故a ＝3＋12.(理)(2011²日照模拟)设函数f (x )＝cos(πx 4－π3)－cos πx 4.(1)求f (x )的最小正周期；(2)设g (x )＝f (－2－x )；当x ∈[0,2]时，求函数y ＝g (x )的最大值． [解析] (1)f (x )＝cos π4x cos π3＋sin π4x sin π3－cos πx 4＝32sin π4x －12cos π4x ＝sin(π4x －π6)．故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)由题设条件得g (x )＝f (－2－x )＝sin[π4(－2－x )－π6]＝sin[－π2－π4x －π6]＝－cos(π4x ＋π6)．当0≤x ≤2时，π6≤π4x ＋π6≤2π3，设t ＝π4x ＋π6，则y ＝－cos t ，在[π6，2π3]上是增函数，因此y ＝g (x )在区间[0,2]上的最大值为g (x )max ＝－cos 2π3＝12.能力拓展提升11.(文)(2012²河南六市联考)已知函数y ＝f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )，则函数f (x )应满足( )A ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递增，且有一个对称中心(π6，0)B ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递增，且有一个对称中心(－π3，0)C ．函数y ＝f (x )在[－5π6，π6]上递减，且有一个对称中心(－π3，0)D ．函数y ＝f (x )在[－3π4，π6]上递减，且有一个对称中心(π6，0)[答案] B[解析] f (x )＝3sin(π6＋x )＋cos(π6＋x )＝2sin(π6＋x ＋π6)＝2sin(x ＋π3)，故选B.(理)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－17 C.27 D ．－27 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.12．(文)设动直线x ＝a 与函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )和g (x )＝3cos2x 的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3 [答案] D[解析] 易知|MN |＝|f (a )－g (a )|＝|2sin 2(π4＋a )－3cos2a |＝|1－cos(π2＋2a )－3cos2a |＝|1＋2sin(2a －π3)|≤3，即最大值是3.(理)(2012²东北三校联考)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( )A.2525B.255 C.2525或255D.55或525[答案] A[解析] 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2α＋β＝±45.又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)²sin α＝－45³55＋35³255＝2525，选A.13．已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.[答案]3130130[解析] ∵π2<α<π，∴π<2α<2π.又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2，而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45.又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45³513－35³(－1213)＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130.又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130.14．求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案]3[解析] 原式＝2cos 30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.15．(文)(2011²珠海模拟)已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值．[解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255³(－31010)－55³1010＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π，∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.(理)(2011²成都二诊)已知函数f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[－π4，π4]时，函数f (x )的最小值为－3，求实数m 的值．[解析] (1)∵f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m＝2sin x (32cos x －12sin x )－cos2x ＋m ＝3sin x cos x －sin 2x －cos2x ＋m ＝32sin2x －1－cos2x 2－cos2x ＋m ＝32sin2x －12cos2x －12＋m ＝sin(2x －π6)－12＋m .∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π2≤2x ≤π2，∴－2π3≤2x －π6≤π3，∴－1≤sin(2x －π6)≤32，∴ f (x )的最小值为－1－12＋m .由已知，有－1－12＋m ＝－3.∴m ＝－32.16．(文)(2011²晋中一模)已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[解析] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35，∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)，∴cos(β－π4)＝45，于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425.又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255³(－2425)－55³725＝－11525. (理)已知0<α<π2，π2<β<π，且tan α2＝12，sin(α＋β)＝513.(1)求cos α和cos β的值； (2)求tan α－β2的值．[解析] (1)∵tan α2＝12，∴tan α＝2tanα21－tan2α2＝43，∴sin α＝43cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1中消去sin α得，cos 2α＝925，∵0<α<π2，∴cos α＝35，∴sin α＝45，∵π2<α＋β<3π2，sin(α＋β)＝513>0，∴π2<α＋β<π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1213，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－1213³35＋513³45＝－1665.∴cos α和cos β的值依次为35和－1665.(2)由(1)知cos β＝－1665，又已知π2<β<π，∴sin β＝6365，∴tan β＝－6316.∴2tanβ21－tan2β2＝－6316，∵π2<β<π，∴tan β2>0，∴tan β2＝97， ∴tan α－β2＝tan α2－tan β21＋tan α2²tan β2＝12－971＋12³97＝－1123.1．方程x 2cos2012°－y 2sin2012°＝1所表示的曲线为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D[解析] cos2012°＝cos(5³360°＋212°)＝cos212°＝－cos32°＝－sin58°<0，而sin2012°＝sin(5³360°＋212°)＝sin212°＝－sin32°<0，所以该曲线为焦点在y 轴上的双曲线．2．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．不存在 [答案] B[解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.3．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin 2α－β＝31010， ∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C.4．(2012²重庆文)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f x ＋π6的值域．[分析] (1)由周期为π求出ω，代入点(π6，2)，由φ范围求出φ，A .(2)分子化同名，即sin 2x 用1－cos 2x 代换，分母用诱导公式和二倍角公式． [解析] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π， 即2πω＝π，解得ω＝2， 因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2，从而sin(2³π6＋φ)＝1，所以2³π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又由－π<φ≤π，得φ＝π6， 故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin 2x ＋π2＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝2cos 2x －13cos 2x ＋222cos 2x －1＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12)． 因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2≠12.故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．[点评] 本题考查了三角函数的周期、最值、同角基本关系式、二倍角公式等．在解三角恒等变换(化简)题时的方法有：异名化同名，异角化同角，降幂化同次等．。
2013年高考数学总复习 4-3三角函数的图象与性质 新人教B版
4-3三角函数的图象与性质基础巩固强化1.(文)(2012·安徽文，7)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位[答案] C[解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题．∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)，所以只需将y ＝cos2x 图象向左平移12个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．(理)(2012·浙江理，4)把函数y ＝cos2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )[答案] A[解析] 本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变化，y ＝cos2x ＋1――→①y ＝cos x ＋1――→②y ＝cos(x ＋1)＋1――→③y ＝cos(x ＋1)，故选A.(其中①为各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；②为左移1个单位长度；③为下移1个单位长度．)2．(文)函数f (x )＝sin 2x 的最小正周期和最小值分别为( ) A ．2π，－1 B ．2π，0 C ．π，0D ．π，1[答案] C[解析] ∵f (x )＝sin 2x ＝1－cos2x 2，∴周期T ＝2π2＝π，又f (x )＝sin 2x ≥0，∴最小值为0，故选C.(理)(2011·济南模拟)函数f (x )＝2cos 2x －3sin2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别为 ( )A ．2π，3B ．2π，1C ．π，3D ．π，1[答案] C[解析] 由题可知，f (x )＝2cos 2x －3sin2x ＝cos2x －3sin2x ＋1＝2sin(π6－2x )＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π，最大值为3，故选C.3．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 12cos25°，则它们的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c[答案] A[解析] ∵tan70°>tan45°＝1>cos25°>sin25°>0，y ＝log 12x 为单调递减函数，∴a <c <b .4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)．由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8，令k ＝1得x ＝7π8，故选B.5．为了使函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π[答案] B[解析] 由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，∴4914·T ＝1974·2πω≤1，∴ω≥1972π，故选B.6．(文)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋5π6(k ∈Z )B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π6，k π＋11π6(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z ) [答案] C[解析] 由条件知，T ＝2πω＝π，∴ω＝2，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，故选C. (理)(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( ) A ．[－π，－5π6]B ．[－5π6，－π6]C ．[－π3，0]D ．[－π6，0][答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.7.(2012·北京东城练习)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________[答案]62[解析] 由题图知A ＝2，∵T ＝4(7π12－π3)＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.又∵图象过点(7π12，－2)，∴－2＝2sin(2×7π12＋φ)，∴φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，不妨取φ＝π3，∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)，∴f (0)＝2sin π3＝62.8．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.[答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0，∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.9．(2012·衡阳六校联考)给出下列命题：①存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32；②若α、β为第一象限角，且α>β，则tan α>tan β；③函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期为5π；④函数y ＝cos(2x 3＋7π2)是奇函数；⑤函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的序号都填上) [答案] ③④[解析] 对于①，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，而32>2，因此不存在实数x ，使得sin x ＋cos x ＝32，故①不正确；对于②，取α＝30°＋360°，β＝30°，则tan α＝tan β，因此②不正确；对于③，函数y ＝sin(π3－2x 5)的最小正周期是T ＝2π25＝5π，因此③正确；对于④，令f (x )＝cos(2x 3＋7π2)，则f (x )＝sin 2x3，f (－x )＝－f (x )，因此④正确；对于⑤，函数y ＝sin2x 的图象向左平移π4个单位，得到y ＝sin2(x ＋π4)＝sin(2x ＋π2)的图象，因此⑤不正确．综上所述，其中正确命题的序号是③④.10．(2012·北京文)已知函数f (x )＝x －cos xxsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．[分析] (1)定义域由sin x ≠0易求．将sin2x ＝2sin x cos x 代入，再利用二倍角公式化简，最后利用辅助角公式化为一个角的一个三角函数形式后求得周期．(2)利用y ＝sin x 的单调减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )求f (x )单调减区间．[解析] (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )， 故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝x －cos x xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )．由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z ).能力拓展提升11.(文)(2011·湖北文，6)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A ．{x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }B ．{x |k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z }C ．{x |2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z }D ．{x |k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z }[答案] A[解析] f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin(x －π6)≥1，即sin(x －π6)≥12，∴2k π＋π6≤x－π6≤2k π＋5π6k ∈Z ， ∴2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )．(理)(2011·湖南张家界月考)若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2[答案] B[解析] f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3，∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为2.12．(文)(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.[点评] 题中最大值点应为(R 2，3)，由R 24＋3＝R 2得R 2＝4，∴|R |＝2，∴T ＝2π|πR|＝4.(理)(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A 、B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解． [解析]如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.13．(文)(2011·湖南长沙一中月考)下列函数中，图象的一部分如图所示的是()A ．y ＝sin(2x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝cos(2x ＋π3)D ．y ＝cos(2x －π6)[答案] D[解析] 将(－π6，0)代入选项逐一验证，对A 项，y ＝sin(－π3＋π6)≠0，A 错；对B项，y ＝sin(－π2)＝－1≠0，B 错；对C 项y ＝cos0＝1≠0，C 错；对D 项，y ＝cos(－π3－π6)＝cos π2＝0符合，故选D. (理)(2012·湖南衡阳联考二)已知函数y ＝f (x )sin x 的一部分图象如图所示，则函数f (x )的表达式可以是( )A ．2sin xB ．2cos xC ．－2sin xD ．－2cos x[答案] D[解析] 由图象知，y ＝－sin2x ＝－2sin x cos x ＝f (x )sin x ，∴f (x )＝－2cos x . 14．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)，∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根，∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.15．(文)(2012·山东理，17)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象．求g (x )在[0，5π24]上的值域．[分析] (1)根据向量的数量积的坐标运算，利用辅助角公式得到函数解析式，进而确定A 的值；(2)利用图象变换得到函数g (x )的解析式，再根据角的范围求出函数的值域．[解析] (1)∵f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A2cos2x＝32A sin2x ＋A 2cos2x ＝A sin(2x ＋π6)， 又f (x )的最大值为6， ∴A ＝6(2)函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位得到函数y ＝6sin[2(x ＋π12)＋π6]，即y ＝6sin(2x ＋π3)的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )＝6sin(4x ＋π3)的图象．当x ∈[0，5π24]时，4x ＋π3∈[π3，7π6]，sin(4x ＋π3)∈[－12，1]，g (x )∈[－3,6]．故函数g (x )在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．[点评] 本题综合考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质以及图象变换，求函数值域时要注意角的范围的讨论．(理)(2012·天津理，15)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)＋sin(2x －π3)＋2cos 2x －1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．[分析] (1)先用两角和与差的正弦公式展开，然后用辅助角公式化为一个角的一个三角函数，可求得最小正周期；(2)根据函数f (x )的在区间[－π4，π4]上的单调性求最值．[解析] (1)f (x )＝sin2x ·cos π3＋cos2x ·sin π3＋sin2x ·cos π3－cos2x ·sin π3＋cos2x＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)．所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间[－π4，π8]上是增函数，在区间[π8，π4]上是减函数，f (－π4)＝－1，f (π8)＝2，f (π4)＝1，故函数f (x )在区间[－π4，π4]上的最大值为2，最小值为－1.[点评] 本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识．考查基本运算能力．16．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．[解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3.当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32.(理)已知a ＝(3，cos x )，b ＝(cos 2x ，sin x )，函数f (x )＝a ·b －32. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求函数f (x )的取值范围；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移可使其对应的函数成为奇函数？ [解析] (1)函数f (x )＝3cos 2x ＋sin x cos x －32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos2x 2＋12sin2x －32＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∴当2x ＋π3＝π2即x ＝π12时，f (x )max ＝1，当2x ＋π3＝5π6即x ＝π4时，f (x )min ＝12，∴12≤f (x )≤1.(3)将f (x )的图象上所有的点向右平移π6个单位长度得到y ＝sin2x 的图象，则其对应的函数即为奇函数．(答案不唯一)1．(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3)＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B.2．(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是，x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． 3．对任意x 1、x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1、y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.4．(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2时，ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1时，(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6B ．f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6C ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 [答案] A[解析] 由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得，T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2在函数图象上得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－11π6.又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.6．M 、N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( )A ．π B.2π C.3π D ．2π[答案] C[解析] 其中与原点最近的两交点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2π2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，－2π2，∴|MN |＝3π.7．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示，若点A 是函数f (x )的图象与x 轴的交点，点B 、D 分别是函数f (x )的图象的最高点和最低点，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是点B 在x 轴上的射影，则AB →·BD →的值是( )A ．8B ．－8 C.π28－8 D ．－π28＋8[答案] C[解析] 由图可知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，由2·π3＋φ＝π知，φ＝π3，从而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π28－8. 8．(2012·昆明一中模拟)设函数f (x )＝2cos 2(π4－x )＋sin(2x ＋π3)－1，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域．[解析] (1)因为f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋cos(π2－2x )＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin(2x ＋π6)， 所以函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，于是3sin(2x ＋π6)∈[－32，3]，所以当x ∈[0，π2]时，函数f (x )的值域是[－32，3]．。
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2013年高考数学总复习 4-4 两角和与差的三角函数 新人教B版
1.(文)(2011·银川三模)已知sinθ＝45，且sinθ－cosθ>1，则sin2θ＝( ) A．－2425 B．－1225 C．－45 D.2425 [答案] A [解析] 由题意可知cosθ＝－35，
所以sin2θ＝2sinθcosθ＝－2425，故选择A. (理)(2011·潍坊月考)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A.13 B．－13 C.79 D．－79 [答案] D [解析] cos(2π3＋2α)＝2cos2(π3＋α)－1
＝2cos2[π2－(π6－α)]－1 ＝2sin2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79. 2．(文)(2011·北京东城区期末)在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53 [答案] B [解析] ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，
∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，
∵tanA＋tanB＝233，∴tanAtanB＝13. (理)已知sinα＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是( ) A．－7 B．7 C．－34 D.34 [答案] B [解析] 由sinα＝35，α为第二象限角，得cosα＝－45，
则tanα＝－34. ∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα
＝1＋341＋－34＝7. 3．(文)已知0A．－1 B．－1或－725 C．－2425 D．±2425 [答案] C [解析] ∵0
∴sinα＝45，cos(α＋β)＝－45， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝－45 · 35＋－35 · 45＝－2425，故选C. (理)(2010·河南许昌调研)已知sinβ＝35(π2A．1 B．2 C．－2 D.825 [答案] C [解析] ∵sinβ＝35，π2∴sin(α＋β)＝cosα＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ
＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，
∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. 4．(2011·温州月考)已知向量a＝(sin(α＋π6)，1)，b＝(4,4cosα－3)，若a⊥b，则sin(α＋4π3)等于( ) A．－ 34 B．－14 C.34 D.14 [答案] B [解析] a·b＝4sinα＋π6＋4cosα－3 ＝23sinα＋6cosα－3＝43sinα＋π3－3＝0， ∴sin(α＋π3)＝14. ∴sin(α＋4π3)＝－sinα＋π3＝－14，故选B. 5．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为( ) A．5 B.92 C.12 D.52 [答案] C [解析] f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx
＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2
＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43， 所以f(x)的最大值是52－2＝12.故选C. 6．(文)(2011·合肥质检)将函数y＝sin(2x＋π3)的图象上各点向右平移π6个单位，再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是( ) A．x＝π8 B．x＝π6
C．x＝π3 D．x＝π2 [答案] A
[解析] ∴x＝kπ4＋π8，令k＝0得x＝π8. (理)(2011·皖南八校联考)已知f(x)＝sin(ωx＋π3)(ω>0)的图象与y＝－1的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝cos2x的图象( ) A．向左平移π12个单位 B．向右平移π12个单位
C．向左平移5π12个单位 D．向右平移5π12个单位 [答案] B [解析] f(x)的图象与直线y＝－1相邻两交点之间的距离就是f(x)的周期，∴2πω＝π，∴ω＝2， ∴f(x)＝sin(2x＋π3)＝cos[π2－(2x＋π3)]
＝cos(π6－2x)＝cos(2x－π6) ＝cos2(x－π12) 故只须把y＝cos2x的图象的右平移π12个单位，即可得到f(x)的图象． 7．已知tanα、tanβ是关于x的一元二次方程x2－3x＋2＝0的两实根，则sinα＋βcosα－β＝________. [答案] 1
[解析] 因为sinα＋βcosα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ
＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ； ∵tanα，tanβ为方程的两根， ∴ tanα＋tanβ＝3tanα·tanβ＝2，∴sinα＋βcosα－β＝31＋2＝1. 8．(2010·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tanα·tanβ<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________． [答案] α＋β
[解析] ∵tanα·tanβ<1，α，β∈0，π2， ∴sinα·sinβcosα·cosβ<1，∴sinα·sinβ∴cos(α＋β)>0， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β
9．(文)函数y＝cos(π3－2x)＋sin(π2－2x)的最小正周期为________． [答案] π [解析] y＝cosπ3cos2x＋sinπ3sin2x＋cos2x
＝32cos2x＋32sin2x ＝3(32cos2x＋12sin2x) ＝3sin(2x＋π3)，∴T＝π. (理)函数y＝cos(x＋20°)＋sin(x－10°)的最大值为________． [答案] 1 [解析] y＝cosxcos20°－sinxsin20°＋sinxcos10°－cosxsin10° ＝(cos10°－sin20°)·sinx＋(cos20°－sin10°)cosx ＝a2＋b2sin(x＋φ)． 这里a＝cos10°－sin20°，b＝cos20°－sin10°，
tanφ＝cos20°－sin10°cos10°－sin20° ∵a2＋b2＝(cos10°－sin20°)2＋(cos20°－sin10°)2 ＝2－2sin20°cos10°－2cos20°sin10° ＝2－2sin30°＝1. ∴最大值为a2＋b2＝1. 10．(文)(2010·北京顺义一中月考)设函数f(x)＝3cos2ωx＋sinωxcosωx＋a(其中ω>0，
a∈R)．且f(x)的最小正周期是2π. (1)求ω的值；
(2)如果f(x)在区间[－π3，5π6]上的最小值为3，求a的值． [解析] (1)f(x)＝32cos2ωx＋12sin2ωx＋32＋a ＝sin2ωx＋π3＋32＋a 依题意得2π2ω＝2π⇒ω＝12 (2)由(1)知，f(x)＝sinx＋π3＋32＋a. 又当x∈[－π3，5π6]时，x＋π3∈[0，7π6]，故－12≤sinx＋π3≤1，从而f(x)在区间[－π3，5π6]上的最小值为－12＋32＋a＝3，故a＝3＋12. (理)(2011·日照模拟)设函数f(x)＝cos(πx4－π3)－cosπx4. (1)求f(x)的最小正周期； (2)设g(x)＝f(－2－x)；当x∈[0,2]时，求函数y＝g(x)的最大值．
[解析] (1)f(x)＝cosπ4xcosπ3＋sinπ4xsinπ3－cosπx4＝32sinπ4x－12cosπ4x＝sin(π4x－π6)． 故f(x)的最小正周期为T＝2ππ4＝8.
(2)由题设条件得g(x)＝f(－2－x)＝sin[π4(－2－x)－π6]＝sin[－π2－π4x－π6]＝－cos(π4x＋π6)． 当0≤x≤2时，π6≤π4x＋π6≤2π3，设t＝π4x＋π6，则y＝－cost，在[π6，2π3]上是增函数，因此y＝g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(x)max＝－cos2π3＝12.
11.(文)(2010·温州中学)已知向量a＝(sin75°，－cos75°)，b＝(－cos15°，sin15°)，则|a－b|的值为( ) A．0 B．1 C.2 D．2 [答案] D [解析] ∵|a－b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a－b|＝2.
(理)(2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈0，π2，若a∥b，则tanα－π4＝( )