圆锥曲线参数方程

物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：
y 500
（1）沿ox作初速为100m/x的匀速直线运动； 对于一般的抛物线，怎样 （2）沿oy反方向作自由落体பைடு நூலகம்动。 建立相应的参数方程呢？ 解：物资出舱后，设在时刻 t，水平位移为x， 垂直高度为y，所以
M B A
A，B，M三点固定，设 MBx 。 |AM|=a，|BM|=b，
y M 0
B A

x
设M(x,y)则x=acos ,y=bsin , 所以M点的轨迹为椭圆。
巩固练习
【练习1】把下列普通方程化为参数方程. 2 2 2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 (1) x 2 cos (2) x cos y 3sin y 4sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
2 2
y
B O
φ
A
M N
x
是半径OA的旋转角；是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
y
圆的标准方程: x2+y2=r2 x r cos 圆的参数方程: y r sin (为参数) θ的几何意义是: ∠XOP=θ
P θ
O
x
探究：P29
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示。在一个十字型的 金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B它们可以分 别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一 周就画出一个椭圆。 你能说明它的构造原理吗？ 提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程。
一、椭圆的参数 方程
P26~3
y
B
O
A
x
C
3、解：不妨设ABC的外接圆的半径为 1，建立 如图的平面直角坐标系 ，时点B, C关于x轴对称 x cos 那么外接圆的参数方程 是{ (为参数) y sin 1 3 1 3 A, B, C的坐标分别为 (1,0), ( , ), ( , ) 2 2 2 2 设点M (cos , sin )则 MA MB MC [(cos 1) 2 sin 2 ] 1 2 3 2 1 2 [(cos ) (sin ) ] [(cos ) 2 2 2 3 2 (sin ) ]6 2
x2 y 2 ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 2 1与三角恒等式 2 a b 2 2
的实质是三角代换.
sec 1 tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程
x2 y 2 如图，设M 为双曲线 2 2 1( a 0, b 0)任意一点，O为原点， 例 2、 a b 过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。 探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： 设P( 8 8y 2 , y),
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
| 2 2 cos sin 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d
P
l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 分析 3：平移直线 小结： 借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
y 2sin 。
x y 由例4我们得到了椭圆 2 2 1(a b 0)的 a b x a cos 一个参数方程为 { (为参数) y b sin 这是中心在原点 O，焦点在x轴上的椭圆的 参数方程。
2
2
一、知识构建
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
y A
B M
即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
x a cos 由已知 : (为参数) y b sin
O
N
x
说 明：
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
设M (5 cos ,4 sin )是椭圆上的一点，则 z 5 cos 8 sin 89 cos( 0 ) cos( 0 ) [1,1] z [ 89, 89]
( x 1) 2 ( y 2) 2 思考：实数x、y满足 1 ，试求x-y 16 9
A. 圆
B. 椭圆
设中点M (x, y)
C. 直线 D. 线段 x=2sinθ-2cosθ
y=3cosθ+3sinθ M
x y 2 4 9
2
2
思考： 与简单的线性规划问题 进行类比，你能在实数 x2 y2 x, y满足 1的前提下，求出 z x 2 y的 25 16 最大值和最小值吗？
a y 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec ,btan）,
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
b A 则直线MA的方程为：y b tan ( x a sec ). ① a b 将y= x代入①，解得点A的横坐标为 O a a B xA = （sec tan）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （sec tan）. 2 b 设AOx= ,则tan . a xA xB sin2 = 所以MAOB的面积为 S MAOB =|OA||OB|sin2 cos cos
B O N
y A
M
设∠XOA=φ
x
如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0）为半径 作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作 AN⊥OX，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径 OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程.
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A: (acosφ, a sinφ), B: (bcosφ, bsinφ),
的最大值与最小值，并指出何时取最大值与最小值
M
解：由已知可设
x 1 4 cos ( y 2 3 sin
为参数），则
cos , sin , 5 5 其中
x y (1 4 cos ) (2 3 sin ) 3 (4 cos 3 sin ) 4 3 3 5( cos sin ) 3 5 cos( ) 5 4 3 3


(为参数）
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin (为参数） y 5sin
(3)
x 9
2

y 25
2
1 (4)
x 64
2

y 100
2
1
x 2cos 3.已知椭圆的参数方程为 ( y sin 4 短轴 是参数), 则此椭圆的长轴长为____,
时，x-y的最大值为8
同理，当x=-11/5,y=-1/5时，x-y的最小值为-2
三、课堂总结
1.椭圆的参数方程 2.椭圆的参数方程应用
四、布置作业：1.P34
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M ( x, y)
a
y
A o B

B'
•M
A' x
在OAA '中，x
| OA | b | OA ' | cos cos
b sec ,
b
在OBB '中，y | BB ' || OB | tan b tan .
x a sec 所以M的轨迹方程是 (为参数) y b tan
x2 y2 消去参数后，得 2 - 2 =1, a b 这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
x a cos y b sin 是椭圆的参

另外, 称为离心角,规定参数
的取值范围是
[0, 2 )
x a cos , 焦点在X 轴 y b sin .
x b cos , 焦点在Y 轴 y a sin .
知识归纳
x y 椭圆的标准方程: 2 2 1 a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
当
4 21 3 19 当x 1 4 , y 2 3 ( ) 5 5 5 5
4 sin sin( 2k ) sin 5
4 cos( ) 1, 2k , k Z时, cos cos( 2k ) cos 5
2 2 2
复习：圆的参数方程与普通方程的互化
x2+y2=r2
( x a) ( y b) r
2 2 2
x r cos y r sin
x a r cos y b r sin
注：1、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的 横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵 坐标与参数之间的关系。 2、参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难 或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例2、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
B2
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2