几何分布的期望与方差
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差中，伯努利试验n次几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在次成功的概率。
次皆失败，第k试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1 公式：它分两种情况：; ...』2，3，概率分布次伯努利实验，n的，取值范围为『1，11. 得到次成功而进行，n. ...』，3，的概率分布，取值范围为『次成功，m0，1，22. m = n-1次失败，第n 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：,;,。
的分布列：首次发生所进行的试验次数，则XA的事件A，以X记概率为p，)。
~Geo(pX具有这种分布列的随机变量X，称为服从参数p的几何分布，记为几何分布的期望，方差。
）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中II高中数学教科书新版第三册（选修p?11???D?E）2，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
1只给出了结论：（），（2pp1?k?q?)k?p(P）由，知1（供参考．2k?12k?1??p??kq3p??1?E2?p?2pq?3q?pkqq?q)???(?下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记2k?1kq3q??S?1?2q??k2k?1k kq?1?2qq??k?qS?q)?(k两式相减，得2k?1k kqq?q?q????(1q)S?1?kkk kqq1?S??k21?q(1?q)k0?limq110?q?p0??，知由，则，故??k111k?2?S???2p?3qkq???1lim??k22(1?q)p??k1??E从而pa1(|q|?1)S?也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：q1?2k?1???3q?kq?S?12q??记2k?1?k?1qqS?q?2q???)(?相减，11k2????????(1q)S1?qqq??1?q11??S则22pq1(?)供参考．nn?1nx?(x)'，推导如下：还可用导数公式2k?1???3xkx?1?2x??23k)'?(xx)'??x'?(x?)'?(??k23)'??x???(x?xx??)?(?xx(1?x)()'??2x?1)x(1?1?2)(1?xq?x上式中令，则得111?2k???3q??kq?1?2q??22p)1?q(22???)EE?D(?来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计应用概率分布计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学的重要内容之一，其应用广泛且重要。
在概率统计中，我们经常遇到需要计算随机变量的期望和方差的问题。
概率分布是解决这些问题的关键工具之一。
在本文中，我们将介绍一些高中数学中常见的概率分布，以及计算期望和方差的技巧。
1. 离散概率分布离散概率分布指的是随机变量只能取有限个或可列个值的概率分布。
其中，最常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布和几何分布。
1.1 二项分布二项分布在实际问题中经常出现，特别是在重复试验的情况下。
假设有n个独立的重复试验，每次试验有成功和失败两种可能结果。
如果成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则随机变量X表示n次试验中成功的次数。
二项分布的概率密度函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n,k)表示组合数。
二项分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = npVar(X) = npq1.2 泊松分布泊松分布适用于描述单位时间或空间内随机事件发生的次数。
例如，某地区每小时的交通事故数、每天接到的电话数等。
泊松分布的概率密度函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!其中，λ代表单位时间或单位空间内平均发生的次数。
泊松分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = Var(X) = λ1.3 几何分布几何分布用于描述一系列独立重复试验中，首次成功所需的试验次数。
例如，投掷一枚硬币直到首次出现正面的次数等。
几何分布的概率密度函数为：P(X=k) = q^(k-1) * p其中，p表示成功的概率，q=1-p表示失败的概率。
几何分布的期望和方差的计算公式如下：E(X) = 1/pVar(X) = q/(p^2)2. 连续概率分布连续概率分布指的是随机变量可以取某个区间内的任意值的概率分布。
最常见的连续概率分布有均匀分布、正态分布和指数分布。
2.1 均匀分布在均匀分布中，随机变量在某一区间内的取值是等可能的。
超几何分布的数学期望和方差的算法
超几何分布的数学期望和方差的算法
超几何分布期望值的简单公式法，E(X)=(n*M)/N，［其中x是指定样品数，n为样品容量，M为指定样品总数，N为总体中的个体总数］，可以直接求出均值。
方差有两种算法：V(X)=(X1-a)^2*P1+(x2-a)^2*P2+...+(Xn-a)*Pn。
另一种是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2。
超几何分布简介：
超几何分布是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N)。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
几何分布的定义以及期望与方差的证明几何分布的定义以及期望与方差分布。
其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
公式：它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利实验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.由两种不同情况而得出的期望和方差如下：高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1），（2），而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括E p ξ=1D p p ξ=-12P k q p k ()ξ==-1E p pq q p kq p q q kq pk k ξ=++++=+++++--231232121 ()号内的值。
记两式相减，得由，知，则，故从而也可用无穷等比数列各项和公式（见教科书91页阅读材料），推导如下：记相减，S q q kq k k =++++-12321qS q q k q kq k k k=+++-+-2121 ()()1121-=++++--q S q q q kq k k k S q q kq q k k k=----1112()01<<p 01<<q lim k k q →∞=01231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p k k k lim ()E pξ=1S a q q =-<111(||)S q q kq k =+++++-12321qS q q k q k =+++-+-2121()()111121-=+++++=--q S q q q qk则还可用导数公式，推导如下：上式中令，则得（2）为简化运算，利用性质来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
几何分布的期望与方差的证明
几何分布的期望与方差康永清高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E pξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由P k q p k ()ξ==-1，知 E p pq q p kq p q q kq p k k ξ=++++=+++++--231232121 ()下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记S q q kq k k =++++-12321qS q q k q kq k k k =+++-+-2121 ()两式相减，得()1121-=++++--q S q q q kq k k kS q q kq q k k k=----1112()由01<<p ，知01<<q ，则lim k kq →∞=0，故 1231112122+++++==-=-→∞p q kq S q pk k k lim () 从而E pξ=1 也可用无穷等比数列各项和公式S a q q =-<111(||)（见教科书91页阅读材料），推导如下：记S q q kq k =+++++-12321qS q q k q k =+++-+-2121 ()相减，()111121-=+++++=--q S q q q qk 则S q p=-=11122() 还可用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下：12321+++++-x x kx k=+++++=+++++x x x x x x x x k k '()'()'()'()'2323=-=----=-()'()()()()x x x x x x 1111122 上式中令x q =，则得 1231112122+++++=-=-q q kq q p k () （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
几何分布的定义以及期望与方差的证明
精心整理几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometricdistribution ）是离散型概率分布。
其中一种定义为：在n 次伯努利试验中，试验k 次才得到第一次成功的机率。
详细的说，是：前k-1次皆失败，高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E pξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由P k q p k ()ξ==-1，知下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记两式相减，得k （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
可见关键是求E ξ2。
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p pξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1.一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。
求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。
1，2，3因此k ＝10ξ用倍差法，可求得所以E p pp p p p p p ξ=----+-=--[()()()()119110111929910说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。
但求解过程可参照相关公式的推导方法。
超几何分布的期望和方差公式
超几何分布的期望和方差公式
超几何分布（hypergeometric distribution）是概率论中介乎于几何分布
和泊松分布之间的一种分布，它反映了从包含有限数量元素中抽取样
本的可能性。
1. 超几何分布的期望：
超几何分布的期望可以表示为：E（X）=n・M/N。
其中，n表示抽样
数量，M表示可能出现的正事件的数量，N表示样本总数。
2. 超几何分布的方差：
超几何分布的方差公式为：VAR（X）=n・M・（N-M）/N・（N-1）。
超几何分布的参数和期望相同，n表示抽样数量，M表示可能出现的正事件的数量，N表示样本总数。
3. 超几何分布的性质：
（1）超几何分布分析属于抽样没有放回的情况，即被抽取的样本总数
有限；
（2）超几何分布可以帮助我们了解在大量的总体中抽取的正样本样本
的实际数量。
（3）超几何分布的唯一参数M表示可能出现的正样本样本的数量，因此可以拟合属于抽样没有放回的情况；
（4）超几何分布可以用来计算在抽样没有放回的情况下，选出的抽样样本中正样品出现次数的期望和方差；
（5）超几何分布可以用于以不完全精确和有限余量采样。
超几何分布的期望和方差的详细证明
超几何分布的期望和方差的详细证明1. 超几何分布介绍超几何分布是描述从有限总体中抽取无放回样本的概率分布。
它的概率质量函数表示为：P(X = k) = (C(a, k) * C(N - a, n - k)) / C(N, n)其中，X代表抽取样本中的成功次数，k表示成功的个数，N 表示总体中成功和失败的总数量，a表示总体中成功的个数，n表示抽取样本的大小，C(m, j)表示从m个元素中选择j个的组合数。
在本文中，我们将详细证明超几何分布的期望和方差。
2. 超几何分布的期望证明超几何分布的期望定义为：E(X) = sum[k=0 to n] (k * P(X = k))我们可以按照以下步骤来证明超几何分布的期望。
步骤 1: 计算概率质量函数中的k * P(X = k)。
首先，我们将超几何分布的概率质量函数中的k * P(X = k)展开：k * P(X = k) = k * (C(a, k) * C(N - a, n - k)) / C(N, n)步骤 2: 化简展开式。
根据组合数的计算公式，我们可以得到：C(a, k) = a! / (k! * (a - k)!)C(N - a, n - k) = (N - a)! / ((n - k)! * (N - a - n + k)!)将组合数的计算公式应用到展开式中，我们可以得到：k * P(X = k) = k * (a! / (k! * (a - k)!)) * ((N - a)! / ((n - k)! * (N - a - n + k)!)) / (N! / (n! * (N - n)!))步骤 3: 化简计算式。
通过化简，我们可以得到：k * P(X = k) = (a * (a - 1) * ... * (a - k + 1) * (N - a) * (N - a - 1) * ... * (N - a - n + k + 1)) / (N * (N - 1) * ... * (N - n + 1)) * (n! * (N - n)!) / ((k! * (a - k)! * (n - k)! * (N - a - n + k)!))步骤 4: 使用恒等式。
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几何分布的期望与方差
康永清
高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E p
ξ=1，（2）D p p ξ=-12，而未加以证明。
本文给出证明，并用于解题。
（1）由P k q p k ()ξ==-1
，知 E p pq q p kq p q q kq p k k ξ=++++=+++++--231232121 ()
下面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。
记
S q q kq k k =++++-12321
qS q q k q kq k k k =+++-+-2121 ()
两式相减，得
()1121-=++++--q S q q q kq k k k
S q q kq q k k k
=----1112()
由01<<p ，知01<<q ，则lim k k
q →∞=0，故 1231112122+++++==-=-→∞p q kq S q p
k k k lim () 从而E p
ξ=1 也可用无穷等比数列各项和公式S a q q =
-<111(||)（见教科书91页阅读材料），推导如下：
记S q q kq k =+++++-12321
qS q q k q k =+++-+-2121 ()
相减，
()111121-=+++++=--q S q q q q
k 则S q p
=-=11122() 还可用导数公式()'x nx n n =-1，推导如下：
12321+++++-x x kx k
=+++++=+++++x x x x x x x x k k '()'()'()'()'
2323
=-=----=-(
)'()()()()x x x x x x 111112
2 上式中令x q =，则得 1231112122
+++++=-=-q q kq q p k () （2）为简化运算，利用性质D E E ξξξ=-22()来推导（该性质的证明，可见本刊6页）。
可见关键是求E ξ2。
E p qp q p k q p k ξ22222123=+++++-
=+++++-p q q k q k ()12322221
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q 求导：k q
kq k k 21-=()'，并用倍差法求和，有
12322221+++++-q q k q k
=+++++()'q q q kq k 2323
=-=-+--=--=+-=-[()]'()()()()()q q q q q q q q q q p p 1121111112224
2433
则E p p p p p ξ23222=-=-()，因此D E E p p p p p
ξξξ=-=--=-22222211()() 利用上述两个结论，可以简化几何分布一类的计算问题。
例1. 一个口袋内装有5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个球，取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。
求取球次数ξ的数学期望E ξ与方差D ξ。
解：每次从袋内取出白球的概率p =57
，取出黑球的概率q =27。
ξ的取值为1，2，3，……，有无穷多个。
我们用ξ=k 表示前k －1次均取到黑球，而第k 次取到白球，因此
P k q p k k k ()()()(,,,)ξ====--112757
123 。
可见ξ服从几何分布。
所以 E p ξ==175 D p p ξ=-=-
=115
757142522
()
例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p （0<p<1）。
他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标，或子弹打光为止。
求他击中目标的期望。
解：射手射击次数的可能取值为1，2，…，9，10。
若ξ==k k (,,,)129 ，则表明他前k -1次均没击中目标，而第k 次击中目标；若k ＝10，
则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。
因此ξ的分布列为
P k ()ξ==-=-=⎧⎨⎪⎩⎪-()(,,,)()()
112911019p p k p k k E p p p p p p p ξ=⨯-+⨯-++⨯-+⨯-112191101089()()()()
=+-++-+⨯-[()()]()1219110189p p p p
用倍差法，可求得
121918+-++-()()p p
=--------=----111191111191929
929()[()]
()()()()p p p p p p p p 所以E p p
p p p p p p ξ=----+-=--[()()]()()119110111929910
说明：本例的试验是有限次的，并且P p ()()ξ==-1019
，不符合几何分布的概率特征，因而随机变量ξ不服从几何分布，也就不能套用几何分布的相关公式。
但求解过程可参照相关公式的推导方法。