绘制离散系统零极点图.
数字信号处理第三版西科大课后答案第2章
第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点与重要公式2.2FT和ZT的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性 2.4例题2.5习题与上机题解答2.1学习要点与重要公式数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。
利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系，但又不同。
表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。
Z 变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。
离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。
离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。
但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。
本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。
2.1.1学习要点（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。
（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。
（5）Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。
（6）系统的传输函数和系统函数的求解。
（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。
（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。
（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
2.1.2重要公式（1）这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。
实验二-基于Matlab的离散控制系统仿真
实验二基于Matlab的离散控制系统仿真一、实验目的1)学习使用Matlab命令对离散控制系统进行仿真的方法。
2)学习使用Simulink工具箱对离散控制系统进行仿真的方法。
二、实验原理1. 控制系统命令行仿真一阶系统闭环传递函数为3()G ss+3请转换为离散系统脉冲传递函数并仿真。
根据要求实验有实验数据和所得图形如下：连续零极点图函数：离散函数零极点图：连续函数根轨迹图:离散函数根轨迹图：连续函数单位脉冲响应曲线：离散函数单位脉冲响应曲线：连续函数单位阶跃响应：离散函数单位阶跃响应：连续函数波特图：离散函数波特图：连续函数艾奎斯特曲线：离散函数艾奎斯特曲线：连续函数尼科尔斯曲线：离散函数尼科尔斯曲线：2. 控制系统simulink 仿真按图建立系统的Simulink 模型，对不同的输入信号进行仿真，改变参数，观察不同的仿真结果。
图1 控制系统Simulink 仿真图解答于实验内容第二问三、实验内容1) 二阶系统传递函数为225()4+25G s s s =+，请转换为零极点模型，离散系统模型（采样时间为1），以及离散零极点模型，并进行基于matlab 命令的仿真研究（求连续和离散系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应、零极点分布图、根轨迹、波特图、奈奎斯特曲线、尼科尓斯曲线等）。
根据题意实验所得有：连续单位脉冲响应连续单位阶跃响应连续零极点分布图离散零极点分布图连续根轨迹连续波特图连续奈奎斯特曲线连续尼科尓斯曲线2)按图1建立系统的Simulink模型，对不同的输入信号进行仿真。
改变模型参数，观察不同的仿真结果。
Step输入：Ramp输入:当函数分子分别为1，10，100，500时有：经过实验可以看出分子越大超调越大，调整时间越大。
3)将上述系统离散化并基于Simulink仿真，观察仿真结果。
根据题意实验有：Step输入：Ramp输入：分子为1时：Step输入：Ramp输入：分子为250时：Step输入：Ramp输入：四、实验报告1)按照实验报告所要求的统一格式，填写实验报告；2)记录实验过程、实验结果和图表。
离散系统的零极点分析
3.分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
根据Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
六个图都没有零点，图1，2，4的极点都在单位圆内，所以系统1，2，4是稳定的，图3，5，6的极点
都在单位圆外，所以系统3,5,6是不稳定的。
My1.m
a=[1 -1];
b=[1];
impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（2）
My2.m
a=[1 -0.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-1,15,0,1.2]);
（3）
My3.m
a=[1 -1.5]; b=[1]; impz(b,a);
axis([-5,50,0,800000]);
时域条件：离散系统稳定的充要条件为 ，即系统单位响应绝对求和。
Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数H（Z）的所有极点位于Z平面的单位圆内。
2、零极点分布与系统单位响应时域特性的关系
离散系统单位响应h(n)的时域特性完全由系统函数H(z)的极点位置决定。H（z）的每一个极点将决定h(k)的一项时间序列。显然，H（z）的极点位置不同，则h(n)的时域特性也完全不同。
a=[1 –1];
b=[1];impz(b,来自)axis([-5,10,0,1.2])
3分析各系统的稳定性与系统零极点位置的关系。
五，实验过程原始记录（数据，图表，计算等）
1.写出上面6图对应系统的系统函数。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
2.编辑各系统函数的相应的.m文件，输出冲激响应波形；
z变换实验报告
南昌大学实验报告(信号与系统)学生姓名：肖江学号：6100210030 专业班级：电子103班实验类型：□验证□综合□设计□创新实验日期：2012/6/1 实验成绩：Z变换、离散时间系统的Z域分析一、实验目的1、学会用matlab求解z变换与逆z变换。
2、学会离散系统零极点分布图的绘制，理解离散系统零极点分布图的含义。
3、求解离散系统的频率响应特性。
二、实验说明1、一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n),若激励为x(n)=a n u(n)，起始值y(-1)=0,求响应y(n)。
2、当H(s)极点位于z平面中各方框附近的位置，画出对应的h(n)波形填入方框中。
3、求系统差分方程为y(n)-1.1y(n-1)+0.7y(n-2)=x(n-1),的系统的频率响应特性。
三、实验内容1、syms n a b z%定义符号n a b zx=a^n; %定义激励信号X=ztrans(x); %计算激励信号的变换H=1/(1-b*z^(-1)); %写出系统z变换式Y=H*X; %计算输出的变换式y1=iztrans(Y); %计算输出时域表达式y=simplify(y1) %化简表达式2、pos=[26,19,18,17,24,27,13,11,9,23,28,7,4,1,22];figure,id=1; %生成新图框，子图id初始化为1for r=0.8:0.2:1.2 %极点的幅度依次为0.8,1.0,1.2for theta=0:pi/4:pi %极点的弧度依次为0，Π/4，Π/2，3Π/4,Πp=r*exp(j*theta);if theta~=0&theta~=pip=[p;p']; %如果极点不在实轴上添加一个共轭极点end[b a]=zp2tf([],p,1); %由零极点得到传递函数subplot(4,7,pos(id));[h,t]=impz(b,a,20); %计算20个点的单位样值响应stem(t,h,'k-','MarkerSize',5);%绘制单位样值响应id=id+1; %子图序号加1end%退出弧角循环end%退出幅度循环3、a=[1,-1.1,0.7];b=[0,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a) %绘制频率特性4、a=[1,-1.1,0.6];b=[0.6,-1.1,1];subplot(2,1,1),zplane(b,a); %绘制零极点分布图subplot(2,1,2),impz(b,a); %绘制单位样值响应figure,freqz(b,a); %绘制频率响应n=[0:40]'; %生成时间点x1=sin(0.1*pi*n); %生成单频信号x2=0*n; %准备方波信号x2(mod(n,10)<5)=1; %生成周期为10的方波信号y1=filter(b,a,x1); %分别对两个信号滤波y2=filter(b,a,x2);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x1); %绘制单频信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y1);figuresubplot(2,1,1),stem(n,x2); %绘制方波信号及其输出波形subplot(2,1,2),stem(n,y2);四、实验结果1、y =(a^(1+n)-b^(1+n))/(a-b)2、输出波形如下3、输出波形如下：4、输出波形如下：五、实验总结通过本次实验的学习，对离散系统有了更多的了解，通过用matlab画出离散系统的零极点分布图，使我对离散系统的零极点分布与其对用的频响特性有了深刻的了解；同时对全通网络的相频失真有了进一步了解，幅度没有失真，但对不同的频率信号的相移不同，因此单频信号输入时，其输出信号的波形没有失真，只是整个波形发生了移位，但对于方波信号，由于其中包含了各种频率的信号，因此不同频率的信号相频失真不同，因此输出波形不再是方波。
绘制离散系统零极点图
绘制离散系统零极点图：zplane()滤波器绘制离散系统零极点图：zplane()zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。
如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜色来表示。
zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root函数以求出它们的零极点。
[H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。
其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。
如果有重零极点，它还包括显示在其右上方的文本句柄。
例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减为60dB程序设计如下：wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=10000Hz;rp=0.5; rs=60;wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2];[n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs);[num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop');[H, W]=freqz(num, den);figure;plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid;xlabel('频率/Hz');ylabel('幅值');figure;impz(num, den);figure;grpdelay(num, den);figure;zplane(num, den);FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数[H,W] = FREQZ(B,A,N) returns the N-point complex frequency responsevector H and the N-point frequency vector W inradians/sample ofthe filter:函数的输出：a.滤波器的频率响应H（N点） b.频率向量W(N点，且单位为弧度)其中，滤波器形式如下：given numerator and denominator coefficients in vectors B andA. Thefrequency response is evaluated at N points equally spacedaround theupper half of the unit circle. If N isn't specified, it defaultsto 512.滤波器的系数：分子为B，分母为A频率向量W，是均匀分布在滤波器的上半区，即：0：pi，这些点上的频率响应都将通过此函数计算出来。
北京理工大学信号与系统实验报告6离散时间系统的z域分析
北京理工大学信号与系统实验报告6-离散时间系统的z域分析————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、 实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义,并掌握ＭAT ＬＡＢ实现方法。
2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。
3） 掌握系统零极点的定义,加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。
二、 实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ (1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰(2）MA ＴＬA Ｂ中可采用符号数学工具箱z ｔrans 函数和ｉz ｔｒans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztran ｓ（Ｆ）求符号表达式Ｆ的z 变换。
Ｆ=iztra ｎｓ（Z)求符号表达式Z 的ｚ 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应ｈ(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ (３）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = (4)由(4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ (5） 3. 离散时间系统的零极点分析ＭＡTLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。
此外还可采用MATL ＡB 中zpl ａne 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图,zp ｌane 函数的调用格式为：zplane(b,a) ｂ、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量(行向量) zplane （z,p) z 、ｐ为零极点序列(列向量) 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化,还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性; 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。
离散系统的频率响应分析和零极点分布
离散系统的频率响应分析和零极点分布离散系统的幅频响应描述了系统对不同频率信号的放大或压缩能力。
幅频响应一般用幅度响应曲线表示，即以输入信号频率为横轴，以输出信号幅度为纵轴绘制的曲线。
幅频响应曲线可以展示离散系统的增益特性，即在不同频率下系统对信号的放大或压缩程度。
幅频响应曲线上的波动和变化可以反映系统对不同频率信号的响应情况。
离散系统的相频响应描述了系统对不同频率信号的相位差。
相频响应也是以输入信号频率为横轴，以输出信号相位为纵轴绘制的曲线。
相频响应可以展示离散系统对不同频率信号的相位延迟或提前情况，即输入信号和输出信号之间的相位差。
相频响应的变化可以反映系统对不同频率信号相位的变化情况。
在频率响应分析中，零极点分布也是非常重要的。
零点是指离散系统传递函数的分子多项式为零的根，极点是指传递函数的分母多项式为零的根。
零极点的分布对离散系统的频率响应和系统特性有着重要的影响。
具体来说，零点会在幅频响应曲线上产生波动或峰值，影响系统的放大或压缩程度。
零点的频率越高，波动或峰值的位置越靠近高频，反之亦然。
而极点会导致幅频响应曲线的趋势变化，影响系统的稳定性和阻尼特性。
极点越接近单位圆，系统越不稳定；极点越远离单位圆，系统越稳定。
相频响应同样受到零点和极点的影响。
零点的频率越高，在相频响应曲线上引起的相位变化越明显。
而极点的频率越接近单位圆，相频响应曲线呈现明显的相位延迟。
极点越远离单位圆，相频响应曲线呈现相位提前的情况。
因此，频率响应分析和零极点分布是研究离散系统特性的重要方法。
通过频率响应分析和零极点分布，我们可以了解离散系统对不同频率输入信号的响应情况、系统的稳定性特点以及系统的放大和压缩能力。
这对于离散系统的设计、控制和优化都有着重要的指导意义。
六、离散LTI系统的零极点分析
（3）、绘制系统的幅度响应曲线，并根据幅度响应曲线判断系统的滤波特性；
（4）、若将差分方程改写为 ，谈论该系统的滤波特性。
解：系统函数：
（1）（2）（3）MATLAB代码：
b=[1,0.9];a=[1,-0.9];
figure(1);subplot(2,1,1);zplane(b,a);
B=[1,-0.9];a=[1,0.9];%结果6-6和6-7
实验数据结果及分析
6-1
6-2
6-3
6-4
6-6
6-7
结果分析：1、从6-4和6-5可以看出该系统具有低通特性，属于低通滤波器且具有非线性相位响应。
2、从6-6和6-7可以看出该系统具有高通特性，属于高通滤波器且具有非线性相位响应。
求：
1、系统函数 ，并画出零极点分布图；
2、单位冲激响应 ；
3、系统的频率响应 ，并在 上画出它的幅度和相位。
解（1）对差分方程进行Z变换可以求得系统函数
收敛域： ；
极点： ；
零点： 。
b=[1,0,-1];a=[1,0,-0.81];%分子分母系数
zplane(b,a);%结果6-1
（2）
b=[1,0,-1];a=[1,0,-0.81];
xlabel('n');ylabel('h(n)');%结果6-2
>> [H,W]=freqz(b,a);%求系统频率响应
>> figure(2);subplot(2,1,1);
>> plot(W/pi,abs(H));%绘制幅度响应曲线
>> title('幅度响应曲线');grid on;
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绘制离散系统零极点图：zplane() 滤波器
绘制离散系统零极点图：zplane()
zplane(Z,P) 以单位圆为基准绘制零极点图，在图中以'o'表示零点，以'x'表示极点，如果存在重零极点，则在它们的右上方显示其数目。
如果零极点是用矩阵来表示，在不同行内的零极点用不同的颜
色来表示。
zplane(B, A) 输入的是传递函数模型，则函数将首先调用root
函数以求出它们的零极点。
[H1, H2, H3]=zplane(Z,P) 函数返回图形对象的句柄。
其中，H1返回的是零点线的句柄；H2返回的是极点线的句柄；H3返回的是轴和单位圆线条句柄。
如果有重零极点，它还包括显示在其右上方
的文本句柄。
例：设计一个数字椭圆带阻滤波器，具体要求是：通带截止频率是
wp1=1500Hz，wp2=2500Hz，阻带截止频率是ws1=1000Hz，ws2=3000Hz，在通带内的最大衰减为0.5dB，在阻带内的最小衰减
为60dB
程序设计如下：
wp1=1500; wp2=2500; ws1=1000; ws2=3000; Fs=100
00Hz;
rp=0.5; rs=60;
wp=[wp1,wp2]; ws=[ws1,ws2];
[n,wn]=ellipord(wp/(Fs/2), ws/(Fs/2), rp, rs);
[num,den]=ellip(n, rp, rs, wn, 'stop');
[H, W]=freqz(num, den);
figure;
plot(W*Fs/(2*pi), abs(H)); grid;
xlabel('频率/Hz');
ylabel('幅值');
figure;
impz(num, den);
figure;
grpdelay(num, den);
figure;
zplane(num, den);
FREQZ 是计算数字滤波器的频率响应的函数
[H,W] = FREQZ(B,A,N) returns the N-point complex
frequency response
vector H and the N-point frequency vector W in
radians/sample of
the filter:
函数的输出：a.滤波器的频率响应H（N点） b.频率向量W(N 点，且单位为弧度)
其中，滤波器形式如下：
given numerator and denominator coefficients in vectors B and
A. The
frequency response is evaluated at N points equally spaced
around the
upper half of the unit circle. If N isn't specified, it defaults
to 512.
滤波器的系数：
分子为B，分母为A
频率向量W，是均匀分布在滤波器的上半区，即：0：pi，这些点上的频率响应都将通过此函数计算出来。
举例:
假设滤波器的系数A=1，B=【1 1/2 1/3 1/4】;通过FREQZ函数
便可以得到此滤波器的频率特性
其中，需要考察的是H和W的长度，看是否符合我们设置的N。
[H,W] = FREQZ(B,A,N,'whole') uses N points around the whole
unit circle.
函数给出了滤波器的双边频率特性，是N点的
H = FREQZ(B,A,W) returns the frequency response at
frequencies
designated in vector W, in radians/sample (normally
between 0 and pi).
函数的输出依然是滤波器的频率响应H，只不过这个H是限定了范围的，不再是全频率（0：pi）上的了，这个范围由W来指定，
单位是弧度。
举例：W=【0.5pi----pi】,下图中，红线部分便是此函数的输出，
可见，只描述了【0.5pi----pi】之间的频率响应。
[H,F] = FREQZ(B,A,N,Fs) and [H,F] =
FREQZ(B,A,N,'whole',Fs) return
frequency vector F (in Hz), where Fs is the sampling
frequency (in Hz).
注意下图的横坐标与程序中fs的关系
H = FREQZ(B,A,F,Fs) returns the complex frequency
response at the
frequencies designated in vector F (in Hz), where Fs is the
sampling
frequency (in Hz).
FREQZ(B,A,...) with no output arguments plots the
magnitude and
unwrapped phase of the filter in the current figure window.。