动能定理在圆周运动中的应用
动能定理的几种典型应用
动能定理的⼏种典型应⽤动能定理的⼏种典型应⽤应⽤⼀：动能定理解决匀变速直线运动问题例1、⼀个质量m=2kg 的⼩物体由⾼h=1.6m 倾⾓?=30α的斜⾯顶端从静⽌开始滑下，物体到达斜⾯底端时速率是4m/s ，那么物体在下滑的过程中克服摩擦⼒做功是多少焦⽿？由公式20222v v aS -=可知222022/5.22.3242s m S v v a =?=-= 对物体受⼒分析并由⽜顿第⼆定律可知：ma f mg =-αsin 所以N N ma mg f 55.2221102sin =?-??=-=α J J fS W f 16)1(2.35180cos -=-??=?= 解法⼆：由动能定理221mv W mgh f =+ 可得：J J mgh mv W f 166.110242212122-=??-??=-= 应⽤⼆：动能定理解决曲线运动问题例2、在离地⾯⾼度h=10m 的地⽅，以s m v /50=⽔平速度抛出，求：物体在落地时的速度⼤⼩？解法⼀：由221gt h =得 s s g h t 2101022=?== 所以s m s m gt v y /210/210=?== 所以s m s m v v v y /15/)210(522220=+=+=解法⼆：由动能定理可得 20222121mv mv mgh -=所以：s m s m v gh v /15/51010222202=+??=+= 两种⽅法计算的结果完全⼀致，可见：动能定理同样适⽤于曲线运动。
并且可以求变⼒的功，如下题。
例3．质量m=2kg 的物体从⾼h=1.6m 的曲⾯顶部静⽌开始下滑，到曲⾯底部的速度⼤⼩为4m/s 。
求物体在下滑过程中克服摩擦⼒所做的功？应⽤3：利⽤动能定理求解多个⼒做功的问题例4、如图所⽰，物体置于倾⾓为37度的斜⾯的底端，在恒定的沿斜⾯向上的拉⼒的作⽤下，由静⽌开始沿斜⾯向上运动。
F ⼤⼩为2倍物重，斜⾯与物体的动摩擦因数为0.5，求物体运动5m 时速度的⼤⼩。
动能定理在圆周运动中的应用
【应用动能定理解题的一般步骤】 1.确定研究对象，明确它的运动过程； 2.分析物体在运动过程中的受力情况，明确各个
力是否做功，是正功还是负功，并求出合力所 做的功； 3.明确起始（初）状态和终了（末）状态的动能 （可分段、亦可对整个运动过程）
4.根据动能定理布列方程：W Ek Ek2 Ek1
V2 V1
半径为R的圆周运动中， 由牛顿第二定律可得：
F mv12 R
半径为R/2的圆周运动中， 由牛顿第二定律可得：
6F
mv
2
2
R
2
水引平入 圆周运动
解:小球的转动半径从R到R/2过程中，由动能定理可得：
W
1 2
mv
2
2
1 2
mv12
(1)
半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得：
F mg mv12 R
（2）
小球恰能通过最高点，由牛顿第二定律可得：
mg mv22
（3）
R
联立(1)(2)(3)式可得： W mgR 2
跟踪演练
所以，小球克服空气阻力所做的功为：
W f W mgR 2
课堂小结
m
图1
F 图2
O
m
图3
1)规范动能定理解题程序。
图4
2)能将动能定理与圆周运动特点相结合用于解决复杂物理问题。
回忆动能定理的应用
【例1】如图1所示，物体沿一曲面从A点无初速度滑下，滑 至曲面的最低点B时，下滑高度为5m，若物体的质量为lkg， 到B点时的速度为6m/s，则在下滑过程中，阻力所做的功为 多少?(g取10m/s2)
图1
回引入忆动能定理的应用
动能定理使用条件
动能定理使用条件一、动能定理的基本概念动能定理是物理学中的一条基本定理，描述了物体的动能与力的关系。
在经典力学中，动能定义为物体的质量与速度的平方的乘积的一半。
动能定理则指出，一个物体的动能变化等于作用在该物体上的净外力与物体的位移的乘积。
二、动能定理的公式表达动能定理的公式表达如下：ΔK=12mv f2−12mv i2=∫Fs fs i⋅ds其中，ΔK表示动能的变化量，m表示物体的质量，v f和v i分别表示物体的末速度和初速度，s i和s f分别表示物体的初位置和末位置，F表示作用在物体上的外力，ds表示位移的微元。
三、动能定理的使用条件在使用动能定理时，需要满足以下条件：1.质点模型：动能定理是基于质点模型推导得到的，因此只适用于质点的动力学问题。
对于具有空间尺度的物体，需要将其看作是由许多质点组成的系统，然后分别应用动能定理。
2.只考虑净外力：动能定理仅适用于净外力对物体做功的情况。
净外力可包括施加在物体上的各种力，如重力、弹力、摩擦力等。
但需要注意，对于系统内部的相互作用力，由于它们互相抵消，一般不对总动能产生影响。
3.不考虑其他形式的能量转化：动能定理只考虑了力对物体的功，而没有考虑其他形式的能量转化。
在实际情况中，物体的动能可能会转化为其他形式的能量，如势能、热能等。
若要考虑这些能量转化，需要引入其他定理和方程。
4.连续性假设：动能定理建立在连续性假设的基础上。
即物体在运动过程中，其质点之间的相对位置和相互作用保持不变。
这个假设对于速度相对较低的物体是成立的，但对于速度接近光速的物体，需要采用相对论动力学的理论进行描述。
四、动能定理的应用范围与局限性动能定理在物理学中有广泛的应用，特别是在研究运动学和动力学问题时常常使用。
它可以用于描述物体在力的作用下的速度变化以及相应的动能变化。
然而，动能定理也有一定的局限性：1.简化模型：动能定理是基于简化的质点模型推导得到的，因此不能完全描述复杂的物体和系统。
动能定理的几种典型应用
动能定理的几种典型应用应用一：动能定理解决匀变速直线运动问题例1、一个质量m=2kg 的小物体由高h=1.6m 倾角︒=30α的斜面顶端从静止开始滑下，物体到达斜面底端时速率是4m/s ，那么物体在下滑的过程中克服摩擦力做功是多少焦耳？由公式20222v v aS -=可知222022/5.22.3242s m S v v a =⨯=-= 对物体受力分析并由牛顿第二定律可知：ma f mg =-αsin 所以N N ma mg f 55.2221102sin =⨯-⨯⨯=-=α J J fS W f 16)1(2.35180cos -=-⨯⨯=︒= 解法二：由动能定理221mv W mgh f =+ 可得：J J mgh mv W f 166.110242212122-=⨯⨯-⨯⨯=-= 应用二：动能定理解决曲线运动问题例2、在离地面高度h=10m 的地方，以s m v /50=水平速度抛出，求：物体在落地时的速度大小？ 解法一：由221gt h =得 s s g h t 2101022=⨯== 所以s m s m gt v y /210/210=⨯== 所以s m s m v v v y /15/)210(522220=+=+=解法二：由动能定理可得 20222121mv mv mgh -=所以：s m s m v gh v /15/51010222202=+⨯⨯=+= 两种方法计算的结果完全一致，可见：动能定理同样适用于曲线运动。
并且可以求变力的功，如下题。
例3．质量m=2kg 的物体从高h=1.6m 的曲面顶部静止开始下滑，到曲面底部的速度大小为4m/s 。
求物体在下滑过程中克服摩擦力所做的功？应用3：利用动能定理求解多个力做功的问题例4、如图所示，物体置于倾角为37度的斜面的底端，在恒定的沿斜面向上的拉力的作用下，由静止开始沿斜面向上运动。
F 大小为2倍物重，斜面与物体的动摩擦因数为0.5，求物体运动5m 时速度的大小。
高中物理必修二 第四章 专题强化13 动能定理的应用(二)
道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角.MN是一段粗糙的 水平轨道，滑冰运动员与MN间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部 分光滑.最右侧是一个半径为r＝2 m的半圆弧光滑轨道，C点是半圆弧光 滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD在D点平滑连接.取重 力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运 动员简化为一个质点.
答案 0.15 m
设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零. 从木块开始运动到沿弧形槽上升到最大高度处，由动能定理得： FL－fL－mgh＝0 其中f＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N
FL－fL 1.5－1.0×1.5 所以 h＝ mg ＝ 0.5×10 m＝0.15 m
√A.小球通过圆轨道最高点时的速度大小为 2gR
B.小球在轨道最低点的动能为2D.小球在轨道最低点对轨道压力的大小为6mg
123456789
小球经过圆轨道最高点时，由牛顿第三定律知轨 道对小球的支持力为 mg，根据牛顿第二定律有 mg＋mg＝mvR2，解得 v＝ 2gR，故 A 正确； 小球自弧形轨道下滑至圆轨道最高点的过程，根据动能定理有 mg(h －2R)＝12mv2，解得 h＝3R，故 C 正确.
答案 3 m/s
在A点，由平抛运动规律得： vA＝cosv053°＝53v0 小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得 mg(R＋Rcos θ)＝12mvA2－12mv02 联立解得：v0＝3 m/s；
(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道 上摩擦力对小球做的功. 答案 －4 J
若小球恰好能通过最高点 C，在最高点 C 处有 mg＝mRvC2， 小球从桌面运动到 C 点的过程中，由动能定理得 Wf＝12mvC2－12mv02 代入数据解得Wf＝－4 J.
2020高中物理必修二同步第七章 习题课2 动能定理的应用
习题课2 动能定理的应用[学习目标] 1.进一步理解动能定理，领会应用动能定理解题的优越性.2.会利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题.一、利用动能定理求变力的功1.动能定理不仅适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便.2.利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W 变＋W 其他＝ΔE k .例1 如图1所示，质量为m 的小球自由下落d 后，沿竖直面内的固定轨道ABC 运动，AB 是半径为d 的14光滑圆弧，BC 是直径为d 的粗糙半圆弧(B 是轨道的最低点).小球恰能通过圆弧轨道的最高点C .重力加速度为g ，求：图1(1)小球运动到B 处时对轨道的压力大小. (2)小球在BC 运动过程中，摩擦力对小球做的功. 答案 (1)5mg (2)－34mgd解析 (1)小球下落到B 点的过程由动能定理得2mgd ＝12m v 2，在B 点：F N －mg ＝m v 2d ，得：F N ＝5mg ，根据牛顿第三定律：F N ′＝ F N ＝5mg .(2)在C 点，mg ＝m v C2d 2.小球从B 运动到C 的过程：12m v C 2－12m v 2＝－mgd ＋W f ，得W f ＝－34mgd . 针对训练 如图2所示，某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10 kg 的物体.定滑轮的位置比A 点高3 m.若此人缓慢地将绳从A 点拉到B 点，且A 、B 两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°，则此人拉绳的力做了多少功？(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计滑轮的摩擦)图2答案 100 J解析 取物体为研究对象，设绳的拉力对物体做的功为W .根据题意有h ＝3 m. 物体升高的高度Δh ＝h sin 30°－h sin 37°.①对全过程应用动能定理W －mg Δh ＝0.② 由①②两式联立并代入数据解得W ＝100 J. 则人拉绳的力所做的功W 人＝W ＝100 J. 二、利用动能定理分析多过程问题一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理.(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解.(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解.当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便.注意：当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移.计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和. 例2 如图3所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB 长L ＝1.5 m ，一个质量为m ＝0.5 kg 的木块在F ＝1.5 N 的水平拉力作用下，从桌面上的A 端由静止开始向右运动，木块到达B 端时撤去拉力F ，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g ＝10 m/s 2.求：图3(1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)； (2)木块沿弧形槽滑回B 端后，在水平桌面上滑动的最大距离.答案 (1)0.15 m (2)0.75 m解析 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h ，木块在最高点时的速度为零.从木块开始运动到沿弧形槽上升的最大高度处，由动能定理得： FL －F f L －mgh ＝0其中F f ＝μF N ＝μmg ＝0.2×0.5×10 N ＝1.0 N 所以h ＝FL －F f Lmg＝(1.5－1.0)×1.50.5×10m ＝0.15 m(2)设木块离开B 点后沿桌面滑动的最大距离为x .由动能定理得： mgh －F f x ＝0所以：x ＝mgh F f ＝0.5×10×0.151.0 m ＝0.75 m三、动能定理在平抛、圆周运动中的应用动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝0. ②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝gR . 例3 如图4所示，一可以看成质点的质量m ＝2 kg 的小球以初速度v 0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B 为轨道的最低点，C 为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB 对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R ＝0.5 m.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.图4(1)求小球的初速度v 0的大小；(2)若小球恰好能通过最高点C ，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功. 答案 (1)3 m/s (2)－4 J解析 (1)在A 点由平抛运动规律得： v A ＝v 0cos 53°＝53v 0.①小球由桌面到A 点的过程中，由动能定理得 mg (R ＋R cos θ)＝12m v A 2－12m v 0 2②由①②得：v 0＝3 m/s.(2)在最高点C 处有mg ＝m v C2R ，小球从桌面到C 点，由动能定理得W f ＝12m v C 2－12m v 02，代入数据解得W f ＝－4 J.1.(用动能定理求变力的功) 如图5所示，质量为m 的物体与水平转台间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R ，物体随转台由静止开始转动.当转速增至某一值时，物体即将在转台上滑动，此时转台开始匀速转动.设物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，则在整个过程中摩擦力对物体做的功是( )图5A.0B.2μmgRC.2πμmgRD.μmgR2答案 D解析 物体即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物体的最大静摩擦力恰好提供向心力，设此时物体做圆周运动的线速度为v ，则有μmg ＝m v 2R.①在物体由静止到获得速度v 的过程中，物体受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物体做功，由动能定理得：W ＝12m v 2－0.②联立①②解得W ＝12μmgR .2.(利用动能定理分析多过程问题)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来.如图6是滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC 与水平轨道CD 垂直，水平轨道CD 段粗糙且长8 m.某运动员从轨道上的A 点以3 m /s 的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC ，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回.已知运动员和滑板的总质量为60 kg ，B 、E 两点到水平轨道CD 的竖直高度分别为h 和H ，且h ＝2 m ，H ＝2.8 m ，g 取10 m/s 2.求：图6(1)运动员从A 点运动到达B 点时的速度大小v B ； (2)轨道CD 段的动摩擦因数μ；(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B 点？如能，请求出回到B 点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？答案 (1)6 m/s (2)0.125 (3)不能回到B 处，最后停在D 点左侧6.4 m 处(或C 点右侧1.6 m 处) 解析 (1)由题意可知：v B ＝v 0cos 60°解得：v B ＝6 m/s.(2)从B 点到E 点，由动能定理可得： mgh －μmgx CD －mgH ＝0－12m v B 2代入数据可得：μ＝0.125.(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h ′，从B 到第一次返回左侧最高处，根据动能定理得： mgh －mgh ′－μmg ·2x CD ＝0－12m v B 2解得h ′＝1.8 m<h ＝2 m所以第一次返回时，运动员不能回到B 点设运动员从B 点运动到停止，在CD 段的总路程为s ，由动能定理可得： mgh －μmgs ＝0－12m v B 2④解得：s ＝30.4 m因为s ＝3x CD ＋6.4 m ，所以运动员最后停在D 点左侧6.4 m 处或C 点右侧1.6 m 处. 3.(动能定理在平抛、圆周运动中的应用) 如图7所示，一个质量为m ＝0.6 kg 的小球以初速度v 0＝2 m /s 从P 点水平抛出，从粗糙圆弧ABC 的A 点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无动能损失)且恰好沿圆弧通过最高点C ，已知圆弧的圆心为O ，半径R ＝0.3 m ，θ＝60°，g ＝10 m/s 2.求：图7(1)小球到达A 点的速度v A 的大小； (2)P 点到A 点的竖直高度H ；(3)小球从圆弧A 点运动到最高点C 的过程中克服摩擦力所做的功W . 答案 (1)4 m/s (2)0.6 m (3)1.2 J解析 (1)在A 点由速度的合成得v A ＝v 0cos θ，代入数据解得v A ＝4 m/s(2)从P 点到A 点小球做平抛运动，竖直分速度v y ＝v 0tan θ① 由运动学规律有v y 2＝2gH ② 联立①②解得H ＝0.6 m (3)恰好过C 点满足mg ＝m v C 2R由A 点到C 点由动能定理得 －mgR (1＋cos θ)－W ＝12m v C 2－12m v A 2代入数据解得W ＝1.2 J.课时作业一、选择题(1～7为单项选择题，8～9为多项选择题)1.在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( ) A.mgh －12m v 2－12m v 0 2B.12m v 2－12m v 0 2－mghC.mgh ＋12m v 0 2－12m v 2D.mgh ＋12m v 2－12m v 0 2答案 C解析 选取物块从刚抛出到正好落地时的过程，由动能定理可得： mgh －W f 克＝12m v 2－12m v 0 2解得：W f 克＝mgh ＋12m v 0 2－12m v 2.2.如图1所示，AB 为14圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R ，一质量为m 的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A 从静止开始下落，恰好运动到C 处停止，那么物体在AB 段克服摩擦力所做的功为( )图1A.12μmgR B.12mgR C.－mgR D.(1－μ)mgR答案 D解析 设物体在AB 段克服摩擦力所做的功为W AB ，物体从A 运动到C 的全过程，根据动能定理，有mgR －W AB －μmgR ＝0.所以有W AB ＝mgR －μmgR ＝(1－μ)mgR .3.一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2所示，则拉力F 所做的功为( )图2A.mgl cos θB.mgl (1－cos θ)D.Fl sin θ 答案 B解析 小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F ＝mg tan θ，随着θ的增大，F 也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以这道题要考虑用动能定理求解.由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl (1－cos θ)＋W ＝0，所以W ＝mgl (1－cos θ).4.质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧最右端O 相距s ，如图3所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(不计空气阻力)( )图3A.12m v 0 2－μmg (s ＋x )B.12m v 0 2－μmgxC.μmgsD.μmgx答案 A解析 设物体克服弹簧弹力所做的功为W ，则物体向左压缩弹簧过程中，弹簧弹力对物体做功为－W ，摩擦力对物体做功为－μmg (s ＋x )，根据动能定理有－W －μmg (s ＋x )＝0－12m v 0 2，所以W ＝12m v 0 2－μmg (s ＋x ).5.质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图4所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是( )图4A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.mgR解析 小球通过最低点时，设绳的张力为F T ，则 F T －mg ＝m v 1 2R ，6mg ＝m v 1 2R①小球恰好过最高点，绳子拉力为零，这时mg ＝m v 2 2R ②小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得 －mg ·2R －W f ＝12m v 2 2－12m v 1 2③由①②③式联立解得W f ＝12mgR ，选C.6.如图5所示，假设在某次比赛中运动员从10 m 高处的跳台跳下，设水的平均阻力约为其体重的3倍，在粗略估算中，把运动员当作质点处理，为了保证运动员的人身安全，池水深度至少为(不计空气阻力)( )图5A.5 mB.3 mC.7 mD.1 m答案 A解析 设水深为h ，对运动全程运用动能定理可得： mg (H ＋h )－F f h ＝0，mg (H ＋h )＝3mgh .所以h ＝5 m.7.如图6所示，小球以初速度v 0从A 点沿粗糙的轨道运动到高为h 的B 点后自动返回，其返回途中仍经过A 点，则经过A 点的速度大小为( )图6A.v 0 2－4ghB.4gh －v 0 2C.v 0 2－2ghD.2gh －v 0 2答案 B解析 从A 到B 运动过程中，重力和摩擦力都做负功，根据动能定理可得mgh ＋W f ＝12m v 0 2，从B 到A 过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为是沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)，根据动能定理可得mgh －W f ＝12m v 2，两式联立得再次经过A 点的速度为4gh －v 0 2，故B 正确.8.在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v max 后，立即关闭发动机直至静止，v －t 图象如图7所示，设汽车的牵引力为F ，受到的摩擦力为F f ，全程中牵引力做功为W 1，克服摩擦力做功为W 2，则( )图7A.F ∶F f ＝1∶3B.W 1∶W 2＝1∶1C.F ∶F f ＝4∶1D.W 1∶W 2＝1∶3答案 BC解析 对汽车运动的全过程，由动能定理得：W 1－W 2＝ΔE k ＝0，所以W 1＝W 2，选项B 正确，选项D 错误；由动能定理得Fx 1－F f x 2＝0，由图象知x 1∶x 2＝1∶4.所以 F ∶F f ＝4∶1，选项A 错误，选项C 正确.9.如图8所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动.小环从最高点A 滑到最低点B 的过程中，线速度大小的平方v 2随下落高度h 的变化图象可能是图中的( )图8答案 AB解析 对小环由动能定理得mgh ＝12m v 2－12m v 02，则v 2＝2gh ＋v 0 2.当v 0＝0时，B 正确.当v 0≠0时，A 正确.二、非选择题10.如图9所示，光滑水平面AB 与一半圆形轨道在B 点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R ，一个质量为m 的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下获得一速度，当它经B 点进入半圆形轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C 点，重力加速度为g .求：图9(1)弹簧弹力对物块做的功；(2)物块从B 到C 克服阻力所做的功；(3)物块离开C 点后，再落回到水平面上时的动能.答案 (1)3mgR (2)12mgR (3)52mgR 解析 (1)由动能定理得W ＝12m v B 2 在B 点由牛顿第二定律得7mg －mg ＝m v B 2R解得W ＝3mgR(2)物块从B 到C 由动能定理得12m v C 2－12m v B2＝－2mgR ＋W ′ 物块在C 点时mg ＝m v C 2R解得W ′＝－12mgR ，即物块从B 到C 克服阻力做功为12mgR . (3)物块从C 点平抛到水平面的过程中，由动能定理得2mgR ＝E k －12m v C 2，解得E k ＝52mgR . 11.如图10所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2 m/s 的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝10 kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2 m 的高处.已知工件与传送带间的动摩擦因数μ＝32，g 取10 m/s 2.图10(1)通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？(2)工件从传送带底端运动至h ＝2 m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功？答案 (1)工件先以2.5 m /s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m 与传送带达到共同速度2 m/s 后做匀速直线运动 (2)220 J解析 (1)工件刚放上传送带时受滑动摩擦力：F f ＝μmg cos θ，工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律：F f －mg sin θ＝ma 可得：a ＝F f m－g sin θ ＝g (μcos θ－sin θ)＝10×⎝⎛⎭⎫32cos 30°－sin 30° m/s 2 ＝2.5 m/s 2.设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得：x ＝v 0 22a ＝222×2.5 m ＝0.8 m ＜h sin θ＝4 m 故工件先以2.5 m /s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m 与传送带达到共同速度2 m/s 后做匀速直线运动.(2)在工件从传送带底端运动至h ＝2 m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功为W f ，由动能定理得W f －mgh ＝12m v 0 2， 可得：W f ＝mgh ＋12m v 0 2＝10×10×2 J ＋12×10×22 J ＝220 J. 12.如图11所示，光滑斜面AB 的倾角θ＝53°，BC 为水平面，BC 长度l BC ＝1.1 m ，CD 为光滑的14圆弧，半径R ＝0.6 m.一个质量m ＝2 kg 的物体，从斜面上A 点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点光滑连接.当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m.sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.g取10 m/s2.求：图11(1)物体运动到C点时的速度大小v C；(2)A点距离水平面的高度H；(3)物体最终停止的位置到C点的距离s.答案(1)4 m/s(2)1.02 m(3)0.4 m解析(1)物体由C点运动到最高点，根据动能定理得：－mg(h＋R)＝0－122m v C代入数据解得：v C＝4 m/s(2)物体由A点运动到C点，根据动能定理得：12－0＝mgH－μmgl BC2m v C代入数据解得：H＝1.02 m(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得：mgH－μmgs1＝0代入数据，解得s1＝5.1 m由于s1＝4l BC＋0.7 m所以，物体最终停止的位置到C点的距离为：s＝0.4 m.。
动能定理应用圆周运动
动能定理应用—竖直面圆周运动问题1.如图所示，长为L的细绳一端与一质量为m的小球（可看成质点）相连，可绕过O点的水平转轴在竖直面内做圆周运动。
在最低点a处给一个初速度，使小球能通过最高点做完整的圆周运动，不记空气阻力，小球通过最低点时与通过最低点时绳拉力的差为：A.2mgB.3mgC.5mgD.6mg2．如图3所示，倾斜轨道AC与圆轨道CD相切于C，圆轨道半径为R，两轨道在同一竖直平面内，D是圆轨道的最高点，B点是圆周上的一点，DB所对的圆心角为90°.将一小球从斜轨道上的某处由静止释放，它下滑到C点后便进入圆轨道，要想使它上升到D点后再落到轨道上，不计摩擦，下列说法正确的是()A．释放点须与D点等高B．释放点须比D点高R/4C．释放点至少比D点高R/2D．小球从D点经过B点落到轨道AC上是不可能的3.如图所示,质量为m的小球被系在轻绳的一端,以O为圆心在竖直平面内做半径为R的圆周运动.运动过程中,小球受到空气阻力的作用.设某时刻小球通过圆周的最低点A,此时绳子的张力为7mg,此后小球继续做圆周运动,经过半个圆周恰能通过最高点B,则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是 :A．8mgR B．6mgR C．2mgR D．mgR4.如图所示，小铁球A、B分别固定在长度均为L的轻线、轻杆的下端，线、杆的上端分别固定于O点，且均能绕O点无摩擦、无空气阻力地转动．要求小球能绕过最高点，求小球在最低点的最小速度、各为多大？5.质量为 的物体由1/4圆弧轨道顶端从静止开始释放，如图所示， B 为轨道最低点，B 与圆心O 在同一竖直线上，已知圆弧轨道半径为R ，运动到A 点时，物体对轨道的压力大小为2.5mg ，求此过程中物体克服摩擦力做的功。
6.如图所示，长为L 的细绳一端与一质量为m 的小球（可看成质点）相连，可绕过O 点的水平转轴在竖直面内无摩擦、无空气阻力地转动。
在最低点a 处给一个初速度，使小球恰好能通过最高点完成完整的圆周运动，求：（1）小球过b 点时的速度大小；（2）初速度v 0的大小；（3）最低点处绳中的拉力大小。
动能定理圆轨道拼接
动能定理圆轨道拼接引言动能定理是物理学中一个重要的定理，描述了物体的动能与力的关系。
在圆轨道拼接中，我们将探讨在圆形轨道上的运动，并使用动能定理来分析运动过程。
圆轨道运动圆轨道运动是指物体沿着一个固定半径的圆形路径做匀速运动。
在这种情况下，物体受到向心力的作用，保持在圆周上运动。
向心力向心力是使物体保持在圆周上运动的力。
它的大小与物体质量和速度的平方成正比，与半径成反比。
向心力可以通过以下公式计算：F c=mv2 r其中，F c表示向心力，m表示物体的质量，v表示物体沿圆周运动的速度，r表示圆周半径。
动能定理动能定理描述了物体在外力作用下发生速度变化时，其动能的变化量等于外力对物体所做功的大小。
对于一个沿着圆轨道做匀速运动的物体而言，其初速度和末速度相等，因此只需考虑外力对物体所做的功。
动能定理的数学表达式如下：ΔKE=W其中，ΔKE表示动能的变化量，W表示外力对物体所做的功。
圆轨道拼接圆轨道拼接是指将两个或多个圆形轨道连接在一起，使物体可以在这些轨道上连续运动。
在拼接处，物体会受到一个额外的力，这个力被称为拼接力。
拼接力的方向与物体在拼接处的运动方向相反，其大小与物体质量、速度以及圆周半径有关。
当物体从一个圆形轨道进入另一个圆形轨道时，它会受到一个向心力和一个拼接力的共同作用。
圆轨道拼接过程分析为了更好地理解圆轨道拼接过程中动能定理的应用，我们将分析一个具体的例子：一个小球从半径为r1的圆形轨道进入半径为r2的另一个圆形轨道。
情景设定假设小球质量为m，初始速度为v1，进入第二个轨道后速度变为v2。
我们希望计算小球在拼接过程中动能的变化量。
动能定理的应用根据动能定理，我们可以计算出小球在拼接过程中动能的变化量。
我们需要计算小球在第一个轨道上受到的向心力F c1：F c1=mv12 r1我们计算小球在第二个轨道上受到的向心力F c2：F c2=mv22 r2我们还需要考虑拼接力F p对小球所做的功。
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引入 回忆动能定理的应用
解:设物体阻力所做的功为W，对物体由A运动到B用动能定理 得：
1 2 mgh W mvB 0 2
W 32 J
即阻力所做的功为-32J。
水平圆周运动
【例2】如图2所示：质量为m的小球用细绳经过光滑小孔牵 引在光滑水平面上做圆周运动，当拉力为F时，小球的转动半径 为R，当拉力增大到6F时，物体以转动半径R/2做圆周运动。则 小球的转动半径从R到R/2过程中，拉力对小球做的功为（ ）: A、0 B、FR C、2.5FR D、5FR
2 mv A mg R 2 mvB mg N r
（2）
小球在半径为r的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： （3）
联立(1)(2)(3)式可得： mg 9 W ( r 5R) 2 2
竖直圆周运动
所以，小球克服轨道阻力所做的功为：
mg 9 W克 = - W (5 R r ) 2 2
2 mv 2 6F R 2
mv F R
2 1
引入 水平圆周运动
解:小球的转动半径从R到R/2过程中，由动能定理可得：
1 1 2 2 W mv 2 mv1 (1) 2 2 半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： 2 mv1 (2) F R 半径为R/2的圆周运动中，由牛顿第二定律可得： 2 mv 2 6F (3) R 2
跟踪演练
【跟踪演练】质量为m的小球被系在轻绳的一端，在 竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图4所示，运动过 程中小球受到空气阻力的作用，设某一时刻小球通过轨 道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做 圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程 中小球克服空气阻力所做的功为( ) A.mgR/4 B.mgR/3 C.mgR/2 D．mgR
小球恰能通过最高点，由牛顿第二定律可得：
2 mv2 （3） mg R 联立(1)(2)(3)式可得： W mgR 2
跟踪演练
所以，小球克服空气阻力所做的功为：
W f W mgR
2
课堂小结
m
图1
F 图2
O
m
图3 1)规范动能定理解题程序。
图4
2)能将动能定理与圆周运动特点相结合用于解决复杂物理问题。
O
m
图4
跟踪演练
重力做功:-mg(2R)
F V f mg
拉力F不做功
空气阻力为变力，设其做功为W
跟踪演练
小球从最低点到最高点中，由动能定理可得：
1 1 2 2 mg (2 R ) W mv 2 mv1 2 2
跟踪演练
解：小球从最低点到最高点中，由动能定理可得：
1 1 2 2 mg (2 R ) W mv 2 mv1 2 2 （1） 小球在最低点，由牛顿第二定律可得： 2 mv1 F mg （2） R
回忆动能定理的应用
【例1】如图1所示，物体沿一曲面从A点无初速度滑下，滑 至曲面的最低点B时，下滑高度为5m，若物体的质量为lkg， 到B点时的速度为6m/s，则在下滑过程中，阻力所做的功为 多少?(g取10m/s2)
图1
引入 回忆动能定理的应用
重力做功：mgh
f1
N1
mg
V1
弹力N不做功 阻力为变力，设其做功为W
竖直圆周运动
A B
N V
f mg
重力做功 弹力N不做功 阻力为变力，设其做功为W
竖直圆周运动
A h 2R 2r B
重力做功:
mg (2 R 2r )
小球从A到B过程中，由动能定理可得：
1 1 2 2 W mg (2 R 2r ) mvB mv A 2 2
竖直圆周运动
VA A f mg
动能定理解题步骤
【应用动能定理解题的一般步骤】
1.确定研究对象，明确它的运动过程；
2.分析物体在运动过程中的受力情况，明确各个
力是否做功，是正功还是负功，并求出合力所
做的功；
3.明确起始（初）状态和终了（末）状态的动能 （可分段、亦可对整个运动过程） 4.根据动能定理布列方程：W E E E k k2 k1
m
F
水平圆周运动
(俯视图） V
重力不做功
`
弹力N不做功 拉力为变力，设其做功为W
F
水平圆周运动
V2 V1
小球的转动半径从R到R/2过程中，由动能 定理可得：
1 1 2 2 W mv 2 mv1 2 2
水平圆周运动
V2 V1
半径为R的圆周运动中， 由牛顿第二定律可得：
半径为R/2的圆周运动中， 由牛顿第二定律可得：
联立(1)(2)(3)式可得：W=FR。
引入 竖直圆周运动
【例3】如图3所示：由细管弯成的竖直放置的轨道，其圆 形部分的半径为R和r，质量为m的小球从水平轨道出发，先 后经过两圆形轨道最后又进入水平轨道，已知小球在A处刚 好对管壁无压力，在B处对管的内壁的压力为0.5mg，则小 球由A至B的运动过程中克服轨道阻力所做的功是多少？ （细管的内径及球的大小不计）
半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得：
2 mv A mg R
竖直圆周运动
VB B
N
mg
半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得：
2 mvB mg ห้องสมุดไป่ตู้ N r
竖直圆周运动
解:小球从A到B过程中，由动能定理可得： 1 1 2 2 W mg (2 R 2r ) mvB mv A 2 2 （1） 小球在半径为R的圆周运动中，由牛顿第二定律可得：