二次函数的图象与性质学生版
专题09 二次函数的图象与性质(6大考点)(学生版)
第三部分函数专题09二次函数的图象与性质（6大考点）核心考点核心考点一二次函数的图象与性质核心考点二与二次函数图象有关的判断核心考点三与系数a、b、c有关的判断核心考点四二次函数与一元二次方程的关系核心考点五二次函数图象与性质综合应用核心考点六二次函数图象的变换新题速递核心考点一二次函数的图象与性质（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（）A．m>2B．32m>C．1m<D．322m<<（2021·江苏常州·统考中考真题）已知二次函数2(1)y a x=-，当0x>时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（）A．a>B．1a>C．1a≠D．1a<（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数2=23y x x--的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．知识点：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2b a 时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2b a 时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小【变式1】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式2】（2022·浙江宁波·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，()0,1-，顶点在第四象限，记2P a b =-，则P 的取值范围是（）A ．01P <<B ．12P <<C ．02P <<D ．不能确定【变式3】（2022·江苏盐城·滨海县第一初级中学校考三模）如图1，对于平面内的点A 、P ，如果将线段P A 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PB ，就称点B 是点A 关于点P 的“放垂点”．如图2，已知点()4,0A ，点P 是y 轴上一点，点B 是点A 关于点P 的“放垂点”，连接AB 、OB ，则OB 的最小值是______．【变式4】（2022·吉林长春·校考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有公共点时m 的最大值是__________．【变式5】（2021·湖北随州·一模）如图，抛物线2(0,0)y ax k a k =+><与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的右侧)，其顶点为C ，点P 为线段OC 上一点，且14PC OC =．过点P 作DE AB ∥，分别交抛物线于D ，E 两点(点E 在点D 的右侧)，连接OD ，DC ．(1)直接写出A ，B ，C 三点的坐标；(用含a ，k 的式子表示)(2)猜想线段DE 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)若90ODC ∠=︒，4k =-，求a 的值．核心考点二与二次函数图象有关的判断（2021·广西河池·统考中考真题）点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >（2021·湖南娄底·统考中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x=的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线211y x x =-++，2221y x x =-++，2331y x x =-++，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点()0,1C ；②抛物线3y 的对称轴可由抛物线1y 的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．知识点、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.知识点、求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是，（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★知识点、直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.(4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组⎩⎨⎧++=+=cbx ax y nkx y 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【变式1】（2022·四川泸州·校考模拟预测）二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x…1-01234…2y ax bx c =++…8301-03…则这个函数图像的顶点坐标是（）A ．()2,1-B ．()12-，C ．()1,8-D ．()4,3【变式2】（2022·山东日照·校考一模）设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()212y x =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>【变式3】（2021·陕西西安·校考模拟预测）在同一坐标系中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图，则1a ，2a ，3a 的大小关系为______.（用“>”连接）【变式4】（2022·广西·统考二模）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是______．【变式5】（2022·河南南阳·统考三模）在平面直角坐标系中，已知抛物线242y ax ax =-+．(1)抛物线的对称轴为直线_______，抛物线与y 轴的交点坐标为_______；(2)若当x 满足15x ≤≤时，y 的最小值为6-，求此时y 的最大值．核心考点三与系数a、b、c 有关的判断（2022·湖北黄石·统考中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为直线=1x -，有以下结论：①<0abc ；②若t 为任意实数，则有2a bt at b -≤+；③当图象经过点(1,3)时，方程230ax bx c ++-=的两根为1x ，2x （12x x <），则1230x x +=，其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2022·山东日照·统考中考真题）已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，对称轴为32x =，且经过点（-1，0）．下列结论：①3a +b =0；②若点11,2y ⎛⎫⎪⎝⎭，（3，y 2）是抛物线上的两点，则y 1<y 2；③10b -3c =0；④若y ≤c ，则0≤x ≤3．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2021·贵州遵义·统考中考真题）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a +b ＝0；②5a +3b +2c ＞0；③若该抛物线y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣3有交点，则a 的取值范围是a 34≥；④对于a 的每一个确定值，如果一元二次方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0（t 为常数，t ≤0）的根为整数，则t 的值只有3个．知识点、二次函数图象的特征与a，b，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点常用公式及方法：（1）二次函数三种表达式：表达式顶点坐标对称轴一般式c bx ax y ++=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=顶点式()kh x a y +-=2()k h ,h x =交点式()()12y a x x x x =--()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+4,222121x x a x x 221x x x +=（2）韦达定理：若二次函数c bx ax y ++=2图象与x 轴有两个交点且交点坐标为（1x ，0）和（2x ，0），则a b x x -=+21，acx x =⋅21。
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龙文教育学科导学教师:学生:年级：日期: 星期: 时段:学情分析二次函数部分内容中考难度不大，所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。
课题二次函数的图像与性质学习目标与考点分析学习目标：1、理解二次函数的概念；会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数；2、熟练的画出各种抛物线的图像，根据解析式的变化判断图像的平移方法；3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。
学习重点图像的平移；待定系数法求解析式学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导学习内容与过程教学内容：知识回顾1.一般地，形如y=ax2 +bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项.2.二次函数的解析式及其对称轴（1）二次函数解析式的一般式（通式）：，它的顶点坐标为（，），对称轴为；（2）二次函数解析式的顶点式（通式）：，顶点坐标为（，）对称轴是；（3）二次函数解析式的交点式：。
此时抛物线的对称轴为。
其中，（x1,0）（x2,0）是抛物线与X轴的交点坐标。
显然，与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质4.二次函数的平移问题5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a，b，c的符号与图像性质的关系：6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系二次函数的常规解法：一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时，可选用y＝ax2+bx+c(a≠0)求解。
我们称y＝ax2+bx+c(a≠0)为一般式（三点式）。
例：二次函数图象经过A(1，3)、B(-1，5)、C(2，-1)三点，求此二次函数的解析式。
说明：因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上，反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。
所以将已知三点的坐标分别代入y＝ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组，解方程组得a、b、c的值，即可求二次函数解析式。
2024中考数学一轮复习专题精练专题13 二次函数(学生版)
知识点01：二次函数的图象特征及性质 【高频考点精讲】关系式 一般式y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）顶点式k h x a y +-=2)(（a ≠0）开口方向 当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。
顶点坐标（ab2-，a b ac 442-）（h ，k ）对称轴直线x ＝ab2-直线x ＝h增减性a＞0x＜ab2-时，y随x增大而减小；x＞ab2-时，y随x增大而增大。
x＜h时，y随x增大而减小；x＞h时，y随x增大而增大。
a＜0x＜ab2-时，y随x增大而增大；x＞ab2-时，y随x增大而增大。
x＜h时，y随x增大而增大；x＞h时，y随x增大而减小。
最值a＞0当x＝ab2-时，abacy442-=最小值。
当x＝h时，ky=最小值。
a＜0当x＝ab2-时，abacy442-=最大值。
当x＝h时，ky=最大值。
知识点02：二次函数图象与系数的关系【高频考点精讲】1．a决定抛物线的开口方向及大小（1）a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下。
（2）|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
2．a、b共同决定抛物线对称轴的位置（1）当b＝0时，对称轴x＝ab2-＝0，对称轴为y轴。
（2）当a、b同号时，对称轴x＝ab2-＜0，对称轴在y轴左侧。
（3）当a、b异号时，对称轴x＝ab2-＞0，对称轴在y轴右侧。
3．c 决定抛物线与y 轴的交点位置 （1）当c ＝0时，抛物线过原点。
（2）当c ＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴。
（3）当c ＜0时，抛物线与y 轴交于负半轴。
4．ac b 42-决定抛物线与x 轴的交点位置（1）当ac b 42-＝0时，抛物线与x 轴有唯一交点。
（2）当ac b 42-＞0时，抛物线与x 轴有两个交点。
（3）当ac b 42-＜0时，抛物线与x 轴没有交点。
5．特殊值（1）当x=1时，y=a+b+c ；当x=﹣1时，y=a-b+c ；当x=2时，y=4a+2b+c ；当x=﹣2时，y=4a-2b+c 。
专题 二次函数的概念、图像与基本性质(学生版)
1专题23二次函数的概念、图像与基本性质题型一二次函数的定义1．如果函数22(2)27my m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是()A ．2m =±B ．2m =C ．2m =-D ．m 为全体实数2．下列函数中是二次函数的是()A ．222(1)2y x x =--B ．235s t t =--+C ．2y ax bx c=++D ．22y x x -=-3．函数||1(1)55m y m x x +=++-是二次函数，则m =．4．已知函数22()(1)22y m m x m x m =-+-+-．（1）若这个函数是二次函数，求m 的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m 的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？5．在函数①2y ax bx c =++，②22(1)y x x =--，③2255y x x=-，④22y x =-+中，y 关于x 的二次函数是．（填写序号）2题型二二次函数的图像与性质6．二次函数241y x x =++的图象的对称轴是()A ．2x =B ．4x =C ．2x =-D ．4x =-7．抛物线22(1)6y x =-+的顶点坐标是()A ．(2,6)B ．(1,6)C ．(2,1)D ．(1,6)-8．如果0a <，0b >，0c >，那么二次函数2y ax bx c =++的图象大致是()A ．B ．C ．D ．9．对于二次函数22(3)y x =-+的图象，下列说法正确的是()A ．开口向上B ．对称轴是直线3x =-C ．当4x >-时，y 随x 的增大而减小D ．顶点坐标为(2,3)--10．已知1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是22(0)y ax x c a =-+≠上的两点，则下列命题正确的是()A ．若120x x >>时，12y y c >>，则开口一定向下B ．若120x x <<时，12y y c >>，则开口一定向上C ．若120x x >>时，12y c y >>，则开口一定向上D ．若120x x <<时，12y y c >>，则开口一定向下11．在平面直角坐标系中，抛物线22221y x mx m m =-+++的顶点一定不在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论正确的是()A ．0abc >B ．0a b c ++=C ．420a b c -+<D ．240b ac -<313．已知函数2|3|y x =-的大致图像如图所示，如果方程2|3|(x m m -=为实数）有4个不相等的实数根，则m 的取值范围是．14．若直线(y b b =为实数）与函数2|43|y x x =-+的图象至少有三个公共点，则实数b 的取值范围是()A ．01b < B ．10b -< C ．13b D ．12b < 15．我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”．抛物线223y x x =-+与直线2y x =-的“和谐值”为()A ．3B ．114C ．52D ．216．二次函数22(0)y ax ax c a =-+>的图象过1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y ，4(4,)D y 四个点，下列说法一定正确的是()A ．若120y y >，则340y y >B ．若140y y >，则230y y >C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <17．若点1(1,)A y -，2(2,)B y ，3(3,)C y 在抛物线228y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．321y y y <<B ．213y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<18．已知二次函数2()(0)y a x m a =->的图象经过点(1,)A p -，(3,)B q ，且p q <，则m 的取值范围是()A ．1m - B ．1m <C ．11m -< D ．1m >19．若二次函数2||y a x bx c =++的图象过不同的五点(,)A m n ，(3,)B m n -，1(0,)C y，D 2)y ，3(2,)E y ，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．321y y y <<D ．132y y y <<20．已知二次函数(2)()2y x m x m =+--+，点1(A x ，1)y ，2(B x ，212)()y x x <是其图象上两点，()A ．若122x x +>，则12y y >B ．若122x x +<，则12y y >C ．若122x x +>-，则12y y >D ．若122x x +<-，则12y y <421．在平面直角坐标系中，抛物线2y x =的图象如图所示．已知A 点坐标为(1,1)，过点A 作1//AA x 轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12//A A OA 交抛物线于点2A ，过点2A 作23//A A x 轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34//A A OA 交抛物线于点4A ⋯，依次进行下去，则点99A的坐标为．题型三函数图像的平移、对称22．将抛物线22(1)3y x =--向右移动2个单位，再向下移动3个单位，得到的抛物线的解析式为()A ．22(1)y x =+B ．22(1)6y x =+-C ．22(3)y x =-D ．22(3)6y x =--23．把二次函数23y x =的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的图象的解析式为()A ．23(3)5y x =-+B ．23(3)5y x =++C ．23(3)5y x =--D ．23(3)5y x =+-24．在平面直角坐标系中，抛物线(2)(4)y x x =+-经变换后得到抛物线(2)(4)y x x =-+，则下列变换正确的是()A ．向左平移6个单位B ．向右平移6个单位C ．向左平移2个单位D ．向右平移2个单位25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线213y x =经过平移得到抛物线2y ax bx =+，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为23，则a 、b 的值分别为()A ．13，43B ．13，23-C ．13，43-D ．13-，43526．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为28y x x m =++，则m 的值为()A ．13-或19-B ．13-或19C ．13或19D ．13或19-27．在同一平面直角坐标系中，若抛物线2(22)69y x m n x n =--+-+与22(5)y x m n x m =+-+关于x 轴对称，则22m n +的值为()A ．13B ．18C ．24D ．3628．已知一个二次函数的图象经过点(2,2)，顶点为(1,1)--，将该函数图象向右平移，当他再次经过点(2,2)时，所得抛物线表达式为()A ．21(5)13y x =--+B ．21(5)13y x =--C ．21(4)103y x =+-D ．23(7)1y x =--29．关于抛物线21(1)y x =+与22(1)y x =-，下列说法不正确的是()A ．图象1y 与2y 的开口方向相同B ．1y 与2y 的图象关于y 轴对称C ．图象2y 向左平移2个单位可得到1y 的图象D ．图象1y 绕原点旋转180︒可得到2y 的图象30．如图，已知点(3,0)A ，(1,0)B ，两点(3,9)C -，(2,4)D 在抛物线2y x =上，向左或向右平移抛物线后，C ，D 的对应点分别为C '，D '．当四边形ABC D ''的周长最小时，抛物线的解析式为．。
人教版九年级数学上册教学案： 二次函数的图像和性质(学生版)
22.1 二次函数的图像和性质教学目标：1．熟练掌握二次函数的有关概念．2．熟练掌握二次函数y＝ax2的性质和图象．3．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋k,y＝a(x－h)2,y＝a(x－h)2＋k的性质及图象．4．掌握并灵活应用二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质及其图象．5．能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式．教学重难点：图形和性质的应用,及两种形式的转化,解析式求解知识点一：二次函数的概念例题．下列函数中,二次函数是（）A．y=﹣4x+5B．y=x（2x﹣3）C．y=（x+4）2﹣x2D．y=变式1．圆的面积公式S=πR2中,S与R之间的关系是（）A．S是R的正比例函数B．S是R的一次函数C．S是R的二次函数D．以上答案都不对变式2．下列函数中,y关于x的二次函数的是（）A．y=x3+2x2+3B．y=﹣C．y=x2+x D．y=mx2+x+1知识点二：二次函数y＝ax2的性质和图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0,0）,然后以原点为中心对称地选取x值,求出函数值,列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时,取的点越密集,描出的图象就越精确,但取点多计算量就大,故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时,要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时,还可以根据它的对称性,先用描点法描出抛物线的一侧,再利用对称性画另一侧．例题．下列图象中,是二次函数y=x2的图象的是（）A．B．C．D．变式1．如图所示四个二次函数的图象中,分别对应的是①y=a1x2；①y=a2x2；①y=a3x2,则a1,a2,a3的大小关系是（）A．a1＞a2＞a3B．a1＞a3＞a2C．a3＞a2＞a1D．a2＞a1＞a3变式2．下列图象中,当ab＞0时,函数y=ax2与y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．知识点三：二次函数y＝ax2＋k的性质和图象例题．函数y=+1与y=的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状变式1．在直角坐标系中,函数y=3x与y=﹣x2+1的图象大致是（）A．B．C．D．变式2．在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（）A．B．C．D．知识点四：二次函数y＝a(x－h)2的性质及图象例题．与函数y=2（x﹣2）2形状相同的抛物线解析式是（）变式1．在平面直角坐标系中,函数y=﹣x+1与y=﹣（x﹣1）2的图象大致是（）A．B．C．D．变式2．同一坐标系中,抛物线y=（x﹣a）2与直线y=a+ax的图象可能是（）A．B．C．D．变式3．函数y=a（x﹣1）2,y=ax+a的图象在同一坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．知识点五：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质及图象例题．抛物线y=﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（）A．（3,﹣5）B．（﹣3,5）C．（3,5）D．（﹣3,﹣5）变式2．二次函数y=（x+1）2﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．知识点六：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质及其图象个单位,再向上或向下平移||个单位得到的 例题．用配方法将二次函数y=x 2﹣8x ﹣9化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为（ ）A ．y=（x ﹣4）2+7B ．y=（x ﹣4）2﹣25C ．y=（x+4）2+7D ．y=（x+4）2﹣25变式1．将二次函数y=x 2+x ﹣1化为y=a （x+h ）2+k 的形式是（ ）A ．y=B ．y=（x ﹣2）2﹣2C ．y=（x+2）2﹣2D ．y=（x ﹣2）2+2变式2．已知二次函数的图象（0≤x≤4）如图,关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是（）A ．有最大值 2,有最小值﹣2.5B ．有最大值 2,有最小值 1.5C ．有最大值1.5,有最小值﹣2.5D ．有最大值 2,无最小值变式3．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论中错误的是（ ）4ac −b 24ab 2aA．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时,y＞0D．当x＜时,y随x的增大而减小变式4．当a≤x≤a+1时,函数y=x2﹣2x+1的最小值为1,则a的值为（）A．﹣1B．2C．0或2D．﹣1或2变式5．二次函数y=2x2﹣8x+m满足以下条件：当﹣2＜x＜﹣1时,它的图象位于x轴的下方；当6＜x＜7时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为（）A．8B．﹣10C．﹣42D．﹣24知识点七：二次函数的系数与抛物线的特征之间的关系例题．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A（3,0）,二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是（）A．b2＜4ac B．ac＞0C．2a﹣b=0D．a﹣b+c=0变式1．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示,下列结论：①abc＞0；①2a+b＞0；①b2﹣4ac＞0；①a﹣b+c＞0,其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4变式2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,OA=OC,则由抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：①=﹣1；①ac+b+1=0；①abc＞0；①a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个变式3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示,下列结论：①abc＜0；①2a﹣b＜0；①b2＞（a+c）2；①点（﹣3,y1）,（1,y2）都在抛物线上,则有y1＞y2．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个变式4．如图,二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限,且过点（0,1）和（﹣1,0）,下列结论：①ab＜0,①b2＞4,①0＜a+b+c＜2,①0＜b＜1,①当x＞﹣1时,y＞0．其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个变式5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论：①b2﹣4ac＞0；①4a﹣2b+c＜0；①3b+2c＜0；①m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1）,其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个知识点八：用待定系数法确定二次函数的解析式例题．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（1,0）,B（﹣1,0）,C（0,﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标．变式1．已知二次函数的顶点坐标为（1,4）,且其图象经过点（﹣2,﹣5）,求此二次函数的解析式．变式2．已知：二次函数图象的顶点坐标是（3,5）,且抛物线经过点A（1,3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点,且抛物线与y轴的交点是C点,求①ABC的面积．变式3．二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2,1）,（0,1）．（1）求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）若点P（3+a2,y1）,Q（4+a2,y2）在抛物线上,试判断y1与y2的大小．（写出判断的理由）变式4．已知一个二次函数的图象经过A（0,﹣3）,B（1,0）,C（m,2m+3）,D（﹣1,﹣2）四点,求这个函数解析式以及点C的坐标．变式5．已知抛物线y1=﹣x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A（﹣1,5）,点A与y1的顶点B的距离是4．（1）求y1的解析式；（2）若y2随着x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式．拓展点一：二次函数的概念求字母系数的值例题．若函数y=（m+1）x是二次函数,求m的值．变式1．已知函数y=（m2+m）x．（1）当函数是二次函数时,求m的值；（2）当函数是一次函数时,求m的值．变式2．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数,求m的值；（2）若这个函数是二次函数,则m的值应怎样？拓展点二：二次函数的图像问题例题．画函数y=的图象．变式1．使用五点法画出二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象．变式2．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时,y的值大于0？变式3．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数,x与y的几组对应值列表如下：x…﹣3﹣﹣2﹣10123…y…3m﹣10﹣103…其中,m=．（2）根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象,写出两条函数的性质．（4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x轴有个交点,所以对应的方程x2﹣2|x|=0有个实数根；①方程x2﹣2|x|=2有个实数根；①关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时,a的取值范围是．拓展点三：二次函数的性质的应用例题．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论中错误的是（）A．函数有最小值B．c＜0C．当﹣1＜x＜2时,y＞0D．当x＜时,y随x的增大而减小变式1．在平面直角坐标系中,已知抛物线与直线的图象如图所示,则下列说法：①当0＜x＜2时,y1＞y2；①y1随x的增大而增大的取值范围是x＜2；①使得y2大于4的x值不存在；①若y1=2,则x=2﹣或x=1．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个变式2．已知函数图象如图所示,根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标；（2）对称轴为；（3）当x=时,y有最大值是；（4）当时,y随着x得增大而增大．（5）当时,y＞0．变式3．（1）已知二次函数y1=﹣（x+1）2+4的图象如图所示,请在同一坐标系中画出二次函数y1=﹣（x﹣2）2+1的图象．（2）平行于x轴的直线y=k在抛物线y2=﹣（x﹣2）2+1上截得线段AB=4,求抛物线y2=﹣（x﹣2）2+1的顶点到线段AB的距离．（3）当﹣1＜x＜2时,利用函数图象比较y1与y2的大小．拓展点四：二次函数图像的平移问题例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度变式1．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3变式2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是．拓展点五：确定二次函数的解析式例题．抛物线y=（x﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移而得到,下列平移正确的是（）A．先向左平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度B．先向左平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度C．先向右平移2个单位长度,然后向上平移1个单位长度D．先向右平移2个单位长度,然后向下平移1个单位长度变式1．将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为（）A．y=﹣5（x+1）2﹣1B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1C．y=﹣5（x+1）2+3D．y=﹣5（x﹣1）2+3变式2．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣8）2+5B．y=（x﹣4）2+5C．y=（x﹣8）2+3D．y=（x﹣4）2+3变式3．将抛物线y=（x+m）2向右平移2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是．易错点一：用配方法求抛物线的顶点坐标时易与用配方法解一元二次方程混淆例题．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x﹣4）2﹣25C．y=（x+4）2+7D．y=（x+4）2﹣25变式1．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2D．y=（x﹣2）2+2变式2．解方程：（1）x2﹣2x﹣4=0（2）用配方法解方程：2x2+1=3x。
二次函数的图像和性质、解析式求法(学生版)
例1.1.3若 是二次函数，则 的值是__________．
例1.1.4二次函数y=ax2+bx-1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1-a-b的值为（ ）
A．-3
B．-1
C．2
D．5
随练1.1已知函数① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，其中二次函数的个数为（）
随练1.2已知函数 ，当 _________时，它是二次函数．
4.已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可用对称点式求解函数解析式（交点式可视为对称点式的特例）．
一．考点：二次函数解析式的求法．
二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．
随练5.1已知一个二次函数过 ， ， 三点，求二次函数的解析式．
随练5.2将二次函数 化为 的形式，结果为（）
A．
B．
C．
D．
随练5.3已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，-2），求这个二次函数的关系式．
随练5.4已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是____．
2．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点．
一．考点： 的图象和性质．
二．重难点： 的图象和性质，参数对图像的影响．
三．易错点：利用函数图像推断参数的取值范围或者利用参数的取值范围推断函数图像．
题模一：y=a^2+bx+c的图象和性质
例4.1.1已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）
221二次函数的图象和性质第3课时课件
3．运用性质，巩固练习
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
（1）y 1 x2；（2）y 1 x2 2；（3） y 1 x2 2．
2
2
2
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方
向、对称轴和顶点．你能说出抛物线 y 1 x2 k 的开口 2
方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线 y 1 x2 有什么联 2
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
抛物线 y = 2x2 + 1，y = 2x2 - 1 与抛物线 y = 2x2 有什 么关系？抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 有什么关系？
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳: 当 k＞0 时，把抛物线 y = ax2 向上平移 k 个单位，就 得到抛物线 y = ax2 + k； 当 k＜0 时，把抛物线 y = ax2 向下平移｜k｜个单位， 就得到抛物线 y = ax2 + k．
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
你能说出二次函数 y = ax2 + k （a＜0）的图象特征 和性质吗？
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＜0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向下，顶点是抛物线的最 高点，a 越小，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而减小．
九年级数学下第5章二次函数5.2二次函数的图象和性质5.2.4二次函数y=a(x+h)2+k的图
8 【中考·泰安】对于抛物线 y＝－12(x＋1)2＋3，下列结 论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线 x＝1；③ 顶点坐标为(－1，3)；④当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减 小．其中正确结论的个数为( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
9 【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大 值或最小值，下列说法正确的是( D ) A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6
可知 m＝－2；若函数在 x＝n 时取得最小值，则 2m＝－ (n－1)2＋5，由 n＝2.5 可得 m＝181(不合题意，舍去)． 综上，m＋n＝－2＋2.5＝0.5. 易错提示：应注意不同情况的分类讨论，否 则容易漏解．
12 【2021·盐城】已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0， －3)和(3，0)．
解：∵h＝2.6，球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出， ∴抛物线 y＝a(x－6)2＋2.6 过点(0，2)， 即 2＝a(0－6)2＋2.6，解得 a＝－610. 故 y 与 x 的函数关系式为 y＝－610(x－6)2＋2.6.
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说 明理由．
些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月下午5时34分22.4.517:34April 5, 2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022年4月5日星期二5时34分49秒17:34:495 April 20
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以点 A 为圆心，以 3 2长为半径画圆， 交 y 轴于点(0，－3)(不包括点 B)； 综上所述，当△ABM 为等腰三角形时，点 M 的坐标分别为 (0，0)、(0，3－3 2)、(0，3＋3 2)、(0，－3)．
二次函数辅导讲义（学生版）
⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。
⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。
3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。
平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。
⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。
通河县三中九年级数学下册 第三十章 二次函数 30.2 二次函数的图像和性质 第3课时 二次函数y=
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质学习目标1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．教学过程一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－b2a＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、c＜0，可得abc＞0；由－b2a＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a－b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－b2a＞0，由此得A.b异号；顶点在第二、三象限，－b2a＜0，由此得A.b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a 的取值范围是( )A．a＞1B．－1＜a≤1C．a＞0D．－1＜a＜2解析：抛物线的对称轴为直线x＝－22×（－1）＝1，∵函数图像开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．【类型三】二次函数与一次函数的图像的综合识别已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图像如图所示，其中正确的是( )解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－b2a＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－b2a＜0，∴选项B，C错．故选择D.方法总结：多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像(如一次函数)，再根据函数图像得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．【类型四】抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图像的顶点坐标是( )A．(－3，－6) B．(1，－4)C．(1，－6) D．(－3，－4)解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图像的顶点为(1，－6)，故选择C. 方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．【类型五】二次函数的图像与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y＝－12x2＋bx＋c的图像经过A(2，0)、B(0，－6)两点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图像的对称轴与x轴交于点C，连接BA.BC，求△ABC的面积．解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y ＝－12x2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6.∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x2＋4x －6. (2)∵该抛物线的对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4，∴点C 的坐标为(4，0)．∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6. 板书设计教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图像与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.反比例函数的图象与性质一、选择题1．下列图象中是反比例函数2yx=-图象的是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：反比例函数2yx=-图象的是C．故选：C．分析：此题考查了反比例函数的图象，掌握反比例函数图象的形状是解题关键．利用反比例函数图象是双曲线进行判断即可．2．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx-k与反比例函数kyx=（k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：①当k＞0时，一次函数的图象y=kx-k经过一、三、四象限，反比例函数图象经过一、三象限，如图所示：②当k＜0时，一次函数图象y=kx-k经过一、二、四象限，反比例函数图象经过二、四象限．如图所示：故选：A．分析：因为此题k的符号不确定，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选项比较，从而确定答案．此题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键．3．在同一直角坐标系中，函数ayx=-与y=ax+1（a≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：∵a≠0，∴a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限．故选：B．分析：因为a≠0，那么a＞0或a＜0．当a＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第二、四象限，当a＜0时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第一、三象限，利用这些结论进行判断．直线y=kx+b、双曲线kyx=，当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限．4．若ab＜0，则正比例函数y=ax与反比例函数byx=在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．答案：D 解析：解答：∵ab ＜0，∴分两种情况：①当a ＞0，b ＜0时，正比例函数y =ax 的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；②当a ＜0，b ＞0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D 符合．故选：D ．分析：根据ab ＜0及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从a ＞0，b ＜0和a ＜0，b ＞0两方面分类讨论得出答案．掌握反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质是解答此类题的关键．5．若函数221()2my m x -=--是反比例函数，且图象在第一，三象限，那么m 的值是（ ）A ．±1B ．1C ．-1D ．2答案：C解析：解答：221()2m y m x -=--是反比例函数，∴221m-=-，12m-≠，解之得m=±1，又∵图象在第一，三象限，∴1()2m-->0，即m＜12，故m的值是-1．故选：C．分析：先根据反比例函数的定义得221m-=-，得出m的可能取值，再由反比例函数的性质得出最后结果．将反比例函数解析式的一般式kyx=（k≠0），转化为1y kx-=（k≠0）的形式，根据反比例函数的定义条件可以求出m的值，注意不要忽略k≠0这个条件．6．已知反比例函数2yx=，下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第一、三象限内D．若x＞1，则0＜y＜2 答案：B解析：解答：A．把点（1，2）代入反比例函数2yx=，成立．B．∵k=2＞0，∴在每一象限内y随x的增大而减小，不正确．C．∵k=2＞0，∴图象在第一、三象限内，正确．D．若x＞1，则y＜2，正确．故选：B．分析：根据反比例函数的性质用排除法解答．此题考查了反比例函数kyx=（k≠0）性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y 随x的增大而增大．7．在反比例函数1kyx-=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（）A．-1 B．0 C．1 D．2答案：D解析：解答：反比例函数1kyx-=的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，∴1-k＜0，∴k＞1．故选：D．分析：对于函数kyx=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．易错点：对解析式kyx=中k的意义不理解，直接认为k＜0，错选A．8．反比例函数kyx=的图象如图所示，则k的值可能是（）A．-1 B．1 C．2D．1 2答案：D解析：解答：∵反比例函数在第一象限，∴k＞0，∵当图象上的点的横坐标为1时，纵坐标小于1，∴k＜1，故选：D．分析：用到的知识点为：反比例函数图象在第一象限，比例系数大于0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于1判断选择．9．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点P是双曲线3 yx =（x＞0）上的一个动点，PB⊥y轴于点B，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形OAPB的面积将会（）A．逐渐增大B．不变C．逐渐减小D．先增大后减小答案：C解析：解答：设点P的坐标为（x，3x），∵PB⊥y轴于点B，点A是x轴正半轴上的一个定点，∴四边形OAPB是个直角梯形，∴四边形OAPB的面积=12（PB+AO）•BO=12（x+AO）•3x=32+312AOx，∵AO是定值，∴点P的横坐标逐渐增大时四边形OAPB的面积逐渐减小．故选：C．分析：由双曲线3yx=（x＞0）设出点P的坐标，运用坐标表示出四边形OAPB的面积函数关系式进行判定．此题考查了反比例函数系数k的几何意义，运用点的坐标求出四边形OAPB的面积的函数关系式是解题的关键．10．某反比例函数象经过点（-1，6），则下列各点中此函数图象也经过的是（）A．（-3，2）B．（3，2）C．（2，3）D．（6，1）答案：A解析：解答：∵所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数，∴此函数的比例系数是：（-1）×6=-6，∴下列四个选择的横纵坐标的积是-6的，就是符合题意的选项；A ．（-3）×2=-6，故本选项正确；B ．3×2=6，故本选项错误；C ．2×3=6，故本选项错误；D ．6×1=6，故本选项错误；故选：A ．分析：只要把所给点的横纵坐标相乘，结果是（-1）×6=-6的，就在此函数图象上．此题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征：所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．11．如果点A （-1，1y ）、B （1，2y ）、C （2，3y ）是反比例函数1y x =-图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ）A ．1y ＞3y ＞2yB ．3y ＞2y ＞1yC ．2y ＞1y ＞3yD ．3y ＞1y ＞2y答案：A解析：解答：：∵反比例函数的比例系数为-1，∴图象的两个分支在二、四象限；∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A 在第二象限，点B 、C 在第四象限，∴1y 最大，∵1＜2，y 随x 的增大而增大，∴2y ＜3y ，∴1y ＞3y ＞2y ．故选：A ．分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B 和点C 的纵坐标的大小．用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y 随x 的增大而增大．12．若反比例函数k y x=的图象经过点（m ，3m ），其中m ≠0，则此反比例函数图象经过（ ）A ．第一、三象限B ．第一、二象限C ．第二、四象限D ．第三、四象限答案：A解析：解答：：∵反比例函数k y x =的图象经过点（m ，3m ），m ≠0， ∴将x =m ，y =3m 代入反比例解析式得：3k m m =， ∴23k m =＞0，则反比例23m y x=图象过第一、三象限． 故选：A分析：由反比例函数k y x=的图象经过点（m ，3m ），其中m ≠0，将x =m ，y =3m 代入反比例解析式中表示出k ，根据m 不为0，得到k 总大于0，利用反比例函数图象的性质得到此反比例函数图象在第一、三象限．此题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式和反比例函数的性质，掌握待定系数法是解此题的关键．13．如图，有反比例函数1y x =，1y x=-的图象和一个圆，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．πB ．2πC ．4πD ．条件不足，无法求答案：B解析：解答：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出：图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，∵圆的半径是2，∴图中阴影部分的面积是21222ππ⨯⨯=．故选：B ．分析：根据反比例函数的图象的对称性和圆的对称性得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半，求出圆的面积，再除以2即可．能根据图象得出图中阴影部分的面积等于圆的面积的一半是解答此题的关键．14．反比例函数5n y x +=图象经过点（2，3），则n 的值是（ ） A ．-2B ．-1C ．0D ．1答案：D解析：解答：设k y x=，将点（2，3）代入解析式， 可得n +5=6，即n =1．故选：D ． 分析：先设k y x=，再把已知点的坐标代入可求出k 值，进一步求出n 的值．主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．15．当x ＞0时，反比例函数2y x=-（ ） A ．图象在第四象限，y 随x 的增大而增大B ．图象在第三象限，y 随x 的增大而增大C ．图象在第二象限，y 随x 的增大而减小D ．图象在第一象限，y 随x 的增大而减小答案：A解析：解答：∵反比例函数2y x=-中的-2＜0， ∴该反比例函数经过第二、四象限；又∵x ＞0，∴图象在第四象限；y 随x 的增大而增大．故选：A ． 分析：反比例函数k y x=（k ≠0），当k ＞0时，其图象经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，其图象经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小．此题考查了反比例函数的性质．二、填空题16．已知反比例函数1myx-=的图象如图，则m的取值范围是答案：m＜1解析：解答：由图象可得：k＞0，即1-m＞0，解得：m＜1．故答案为：m＜1．分析：根据反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随着自变量x的增大而减小解答．反比例函数kyx=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．17．已知点P（1，2）在反比例函数kyx=的图象上，根据图象判断，当x＞1时，y的取值范围是答案：0＜y＜2解析：解答：由P点坐标及图象可知，当x＞1时，y的取值范围是0＜y＜2．故答案为0＜y＜2．分析：由反比例函数的图象的性质，进行解答．此题考查了反比例函数的图象，利用数形结合思想是解题的关键．18．对于函数2yx=，当x＞2时，y的取值范围是答案：0＜y＜1解析：解答：根据反比例函数性质可知2xy=；且过一、三象限；因为x＞2；所以2y＞2；解得y＜1且y＞0；即0＜y＜1．所以y的取值范围是0＜y＜1．分析：此题可结合函数图象列不等式求解．主要考查了反比例函数的性质．19．如图，一次函数11y x =-与反比例函数22y x =的图象交于点A （2，1）、B （-1，-2），则使1y ＞2y 的x 的取值范围是答案：x ＞2或-1＜x ＜0解析：解答：由图象易得在交点的右边，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的函数值，∵两图象交于点A （2，1）、B （-1，-2），∴使1y ＞2y 的x 的取值范围是：x ＞2或-1＜x ＜0．分析：找到在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的值．用到的知识点为：求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．20．如图，是反比例函数1k y x =和2k y x=（1k ＜2k ）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条曲线于A 、B 两点，若2AOB S ∆=，则21k k -的值为答案：4解析：解答：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入得：1k =ab ，2k =cd ，∵2AOB S ∆=，∴12cd -12ab =2， ∴cd -ab =4，∴2k -1k =4，故答案为：4．分析：设A （a ，b ），B （c ，d ），代入双曲线得到1k =ab ，2k =cd ，根据三角形的面积公式求出cd -ab =4，即可得出答案．此题能求出cd -ab =4是解此题的关键．三、解答题21．已知反比例函数k y x=的图象经过点（-1，-2）． （1）求y 与x 的函数关系式；答案：2y x= （2）若点（2，n ）在这个图象上，求n 的值．答案：（2）n =1解析：解答：（1）∵点（-1，-2）在反比例函数k y x =上， ∴k =-1×（-2）=2，∴y 与x 的函数关系式为2y x=． （2）∵点（2，n ）在这个图象上∴2n =2∴n =1．分析：（1）根据点（-1，-2）的坐标用待定系数法求反比例函数k y x=的函数关系式；（2）把点（2，n ）代入函数关系式求出n 的值．反比例函数上的点的横纵坐标的积相等．22．如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数k y x=过点A ，求k 的值．答案：-4解析：解答：根据题意，知|k |=22=4，k =±4，又∵k＜0，∴k=-4．分析：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得正方形的面积S是个定值，即S=|k|，由此求解．主要考查了反比例函数kyx=中k的几何意义：过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．23．已知反比例函数kyx=的图象经过点M（2，1）（1）求该函数的表达式；答案：2 yx =（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．答案：12＜y＜1解析：解答：（1）∵反比例函数kyx=的图象经过点M（2，1），∴k=2×1=2，∴该函数的表达式为2yx =；（2）∵2yx =，∴2xy =，∵2＜x＜4，∴2＜2y＜4，即12＜y＜1．分析：（1）用待定系数法把（2，1）代入反比例函数kyx=中得k的值，从而得到解析式；（2）由2yx=得2xy=，再根据条件2＜x＜4得2＜2y＜4，最后解不等式即可．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，正确确定函数解析式是解题的关键．24．已知反比例函数kyx=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．（1）求这个函数的解析式；答案：6y x= （2）判断点B （-1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； 答案：点B 不在该函数图象上｜点C 在该函数图象上（3）当-3＜x ＜-1时，求y 的取值范围．答案：-6＜y ＜-2解析：解答：（1）∵反比例函数k y x =（k 为常数，k ≠0）的图象经过点A （2，3）， ∴把点A 的坐标代入解析式，得32k =， 解得，k =6， ∴这个函数的解析式为：6y x=； （2）∵反比例函数解析式6y x =， ∴6=xy ．分别把点B 、C 的坐标代入，得（-1）×6=-6≠6，则点B 不在该函数图象上．3×2=6，则点C 在该函数图象上；（3）∵当x =-3时，y =-2，当x =-1时，y =-6，又∵k ＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当-3＜x ＜-1时，-6＜y ＜-2．分析：（1）把点A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k 的值．（2）把点B 、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，该点在函数图象上；（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题．25．反比例函数k y x =在第一象限的图象如图所示，过点A （1，0）作x 轴的垂线，交反比例函数k y x=的图象于点M ，△AOM 的面积为3．（1）求反比例函数的解析式； 答案：6y x= （2）设点B 的坐标为（t ，0），其中t ＞1．若以AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函数k y x=的图象上，求t 的值． 答案：7或3解析：解答：（1）∵△AOM 的面积为3， ∴12|k |=3， 而k ＞0，∴k =6， ∴反比例函数解析式为6y x=； （2）当以AB 为一边的正方形ABCD 的顶点D 在反比例函数6y x =的图象上，则D 点与M 点重合，即AB =AM ，把x =1代6y x=得y =6， ∴M 点坐标为（1，6），∴AB =AM =6，∴t =1+6=7；当以AB 为一边的正方形ABCD 的顶点C 在反比例函数6y x=的图象上， 则AB =BC =t -1，∴C 点坐标为（t ，t -1），∴t （t -1）=6，整理为2t -t -6=0，解得1t =3，2t =-2（舍去），∴t=3，∴以AB为一边的正方形有一个顶点在反比例函数kyx=的图象上时，t的值为7或3．分析：（1）根据反比例函数k的几何意义得到12|k|=3，得到满足条件的k=6，从而得到反比例函数解析式为6yx=；（2）分类讨论：当以AB为一边的正方形ABCD的顶点D在反比例函数6yx=的图象上，则D点与M点重合，即AB=AM，再利用反比例函数图象上点的坐标特征确定M点坐标为（1，6），则AB=AM=6，所以t=1+6=7；当以AB为一边的正方形ABCD的顶点C在反比例函数6yx=的图象上，根据正方形的性质得AB=BC=t-1，则C点坐标为（t，t-1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征得到t（t-1）=6，再解方程得到满足条件的t的值．21位似一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列每组的两个图形不是位似图形的是( )A．B．C．D．2．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A．点O B．点P C．点M D．点N第2题图第3题图3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：错误！不能通过编辑域代码创建对象。
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初高中衔接教材
二次函数的图象与性质
内容解读
二次函数是历届中考的重要考点，学生应掌握：通过实际问题分析体会二次函数的意义，并能确定二次函数的关系式；会用描点法画二次函数的图象，并能根据图象认识二次函数的性质；能确定函数图象的顶点、开口方向、对称轴等信息，并会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
考点剖析
1、二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标
例1：（2008龙岩）已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0
C ．a ＜0，c ＞0
D ．a ＞0，c ＜0
例2：（2006云南）二次函数2
1(4)52
y x =
-+的开口方向、
对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A .向上、直线x=4、（4，5）
B .向上、直线x=-4、（-4，5）
C .向上、直线x=4、（4，-5）
D .向下、直线x=-4、（-4，5）
2、二次函数的增减性
例3：（2008威海）已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过点A （1，2），B （3，2），C （5，7）．若点M （-2，y 1），N （-1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数c bx ax y ++=2的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 2＜y 1＜y 3
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 1＜y 3＜y 2
3、二次函数的最值
例4：（2009荆门）函数y =(x －2)(3－x )取得最大值时，x =______．
4、二次函数图象与坐标轴的交点
例5：（2007广州）二次函数2
21y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5、二次函数的平移
例6：（2009乌鲁木齐）要得到二次函数2
22y x x =-+-的图象，需将2
y x =-的图象（ ） A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
6、二次函数与一元二次方程
例7：（2007江西）已知二次函数2
2y x x m =-++于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．
6、二次函数的关系式
例8：（2008南京）已知二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
（1（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
（3）若1()A m y ，，2(1)B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小．
真题训练
1、（2009桂林）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（ ） A ．2 B ．1 C ．－3 D ．
23
2、（2009丽水）已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，
给出以下结论：
①a ＞0. ②该函数的图象关于直线1x =对称.
③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3、（2009黄石）已知二次函数2
y ax bx c =++
①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<； ⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤
D ．①②③④⑤
4、（2008福州）已知抛物线2
1y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，， 则代数式2
2008m m -+的值为（ ） A ．2006
B ．2007
C ．2008
D ．2009
(第2题)
5、（2009兰州）在同一直角坐标系中，函数y m x m =+和函数222y m x x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．
是（ ）
6、（2008潍坊）若一次函数(1)y m x m =++的图象过第一、三、四象限，则函数
2
y m x m x =-（ ）
A ．有最大值
4
m B ．有最大值4
m -
C ．有最小值
4
m D ．有最小值4
m -
7、（2008咸宁）抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ． 8、（2008天津）已知抛物线322--=x x y ，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称
轴对称，则点Q 的坐标是 ．
9、（2007常州）二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：
二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为x = ，2x =对应的函数值y = ．
10、（2007吉林）如图，抛物线y 1＝－x 2＋2向右平移
1个单位得到抛物线y 2，回答下列问题： (1)抛物线y 2的顶点坐标_____________； (2)阴影部分的面积S ＝___________；
(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则 抛物线y 3的开口方向__________
，顶点坐标____________．
11、（2008兰州）下列表格是二次函数2
y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判
断方程2
0ax bx c ++=（0a a b c ≠，，，为常数）的一个解x 的范围是____________．
①6 6.17x <<
②6.17 6.18x << ③6.18 6.19x << ④6.19 6.20x <<
12、（2008湖州）如图甲，在等腰直角三角形O A B 中，90OAB ∠=
，B 点在第一象限，A
点坐标为(10)，．O C D △与O A B △关于y 轴对称．
（1）求经过D O B ，，三点的抛物线的解析式；
（2）若将O A B △向上平移(0)k k >个单位至O A B '''△（如图乙），则经过D O B '，，三点的抛物线的对称轴在y 轴的 ．（填“左侧”或“右侧”） （3）在（2）的条件下，设过D O B '，，三点的抛物线的对称轴为直线x m =．求当k 为何值时，1
3
m =
？
13、（2009新疆）（1）用配方法把二次函数243y x x =-+变成2()y x h k =-+的形成． （2）在直角坐标系中画出243y x x =-+的图象．
（3）若1122()()A x y B x y ，，，是函数243y x x =-+图象上的两点，且121x x <<，请比较12y y ，的大小关系．（直接写结果）
（4）把方程2
432x x -+=的根在函数2
43y x x =-+的图象上表示出来．
14、（2009常德）已知二次函数过点A （0，2-），B （1-，0），C （59
48
，）．
（1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，12
）是否在直线AC 上？
（3）过点M （1，
12）作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，
C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．
15、（2007河北）如图，已知二次函数2
4y ax x c
=-+的图像经过点A 和点B ．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．
16、（2009重庆）如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
A
B
C。