22.3实际问题与二次函数课件2021-2022学年人教版 九年级 上册 数学
人教版九年级数学上册导学案：22.3.2实际问题与二次函数
课题 22.3.2实际问题与二次函数 主备人 签字
课型 新授 授课人 学案编号 授课日期
核心素养 1、能熟练地列二元一次方程解决简单的实际问题；
2、利用二次函数的图像性质求出最值，从而解决问题.
重点 利用二次函数解决实际问题 难点 根据图像和性质求出最值
学 习 过 程 及 内 容 备注
一、新知预习
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.
（1）设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随之变化.我们先来确定y与x变化的函数解析式.涨价x元时，每星期少卖10x件，实际卖出__________件，销售额为____________元，买进商品需付____________元.因此，所得利润为____________________,即__________________,其中x的取值范围是__________.
根据上面的函数，填空：
当x=_______时，y最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_______ 万全区第三初级中学数学导学案 元，即定价________元时，利润最大，最大的利润是___________.
（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案.
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？
二、自学自测
某商场将进价为30元的书包以40元售出,平均每月能售出600个,调查表明:这种书包的售价每上涨1元,其销售量就减少10个.
(1)请写出每月售出书包的利润y元与每个书包涨价x元之间的函数关系式;
(2)设某个月的利润为10000元,10000元的利润是否为该月最大利润?如果是,请说明理由;如果不是,请求出最大利润,并指出此时书包的售价应定为多少元.
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数公开课优质教案
22.3 实际问题与二次函数
教学时间 课题 22.3 实际问题与二次函数（1） 课型 新授课
教
学
目
标 知 识
和
能 力 1．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax2的关系式。
2. 使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。
过 程
和
方 法 让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。
情 感
态 度
价值观
教学重点 已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式
教学难点 已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式
教学准备 教师 多媒体课件 学生 “五个一”
课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图
一、创设问题情境
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：
y＝ax2 (a＜0) (1)
因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝AB2 ＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。
因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22 所以a＝－0.2
因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。
请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
二、引申拓展
问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系?
人教版九年级数学上册《22章 二次函数 22. 3实际问题与二次函数----拱桥问题》优质课教案_18
课 题：22. 3实际问题与二次函数----拱桥问题教学设计
【学习目标】
1.学生能够利用二次函数知识解决拱桥问题。
2.让学生根据实际问题构建二次函数模型。
【学习重点】
通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是解决实际问题的一重要模型。
【学习难点】
灵活建立直角坐标系将拱桥问题转化为二次函数问题。
【学习过程】
一、知识回顾：
1.抛物线的顶点为原点,对称轴为y轴时,可设这条抛物线的关系式为___________。
2.抛物线的顶点在y上,对称轴为y轴时,可设这条抛物线的关系式为___________。
3.抛物线的顶点在X轴上,对称轴平行于y轴时,可设这条抛物线的关系式为___________。
4.抛物线的顶点在象限内,对称轴平行于y轴时,可设这条抛物线的关系式为___________。
二．坐标系中的拱桥问题
如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面宽度AB=20米，顶点M距离水面6米（即MO=6米），小孔顶点N距水面45米（即NC=45米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
三.建立适当坐标系解决拱桥问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加多少？
小结：建立二次函数模型求解实际问题的一般步骤：
1恰当的建立直角坐标系
2将已知条件转化为点的坐标
3合理的设出所求函数关系式
4代入点的坐标，求出关系式
5利用关系式求解问题
四达标检测
1 某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能,请简要说明理由.
2如图,一单杠高2.2米,两立柱之间的距离为1.6米,将一绳子的两端拴于立柱与铁杠结合处,绳子自然下垂呈抛物线状.
人教版初中数学九年级数学上册：22.3 实际问题与二次函数 二次函数求利润的最值问题
二次函数求商品利润的最值问题
例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
分析：设每件降价x元（以60元为基准降价），总利润为y元
列表分析法
售价／件 成本／件 利润／件 总销量 总利润
60-x 40 (60-x-40) (300+20x)
(60-x-40) (300+20x)
根据利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
解： 设每件降价x元，总利润为y元。
则y=（60-40-x）（300+20x） )
=-20x2+100x+6000
=-20（x-2.5）2+6125
因此当x=2.5时，y有最大值6125．
60-x=60-2.5=57.5
答：每件定价为:57.7元时利润最大．
一、 说题意
1：题目涉及到的知识点
①二次函数最值问题
顶点
②利润问题
2、已知条件和未知条件之间的关系
每件的利润=每件的售价-每件的进价
总利润=每件的利润×所售的件数
3、题目的基础背景
二次函数的性质作为初中课本中的重要知识点，在实际生活中有着广泛的应用，而应用二次函数的性质求商品利润最值的相关题目在练习和中考题中经常出现，对于这类题，我们应先仔细分析题目中给出的信息，列出二次函数，然后利用二次函数的性质，便可使这类题迎刃而解。
二、说思路
分析：设每件降价x元，则每件的利润是（60-x -40）元，所售件数是（300+20x）件，总利润为y元；根据总利润=每件的利润×所售的件数，即可列出函数解析式，根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
售价／件 成本／件 利润／件 总销量 总利润
60-x 40 (60-x-40) (300+20x) (60-x-40) (300+20x)
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第2课时 二次函数与最大利润问题 教案
22.3 实际问题与二次函数
第2课时 二次函数与最大利润问题
课题 第2课时 二次函数与最大利润问题 授课人
教
学
目
标 知识技能 通过对问题情境的分析确定二次函数的解析式，并体会二次函数的意义，能根据变量的变化趋势进行预测.
数学思考 对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题.
问题解决 通过探索、分析建立两个变量之间的函数关系的过程，体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系.
情感态度 通过对实际问题的解决，逐步领会二次函数的应用价值和实际意义，建立合作意识和提高探索能力，激发学习的兴趣和欲望.
教学重点 用二次函数的知识分析解决有关利润的实际问题.
教学难点 通过问题中的数量变化关系列出函数解析式.
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.请求出下列二次函数的最大值或最小值：
（1）y＝2x2－4x－5；（2）y＝－x2＋3x.
2.用一根长为20 m的绳子围成一个矩形，求围成的矩形的最大面积是多少.
师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.
提示：对于第1题可指导学生运用两种不同的方法进1.通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课提供铺垫.
2.复习运用二次函数解答面积问题，采用类比的方法让教学效行解答；
对于第2题应先确定矩形的长和宽，再利用矩形面积公式列函数解析式，最后求最值. 果较为明显.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，应如何定价才能使利润最大？
师生活动：教师引导学生分析调整价格包括涨价和降价两种情况.
教师展示问题：那么该如何定价呢？
学生分组讨论，如何利用函数模型解决问题，教师帮助学生解决问题. 通过日常生活中的实际问题，激发学生思考，培养学生的探究意识和解决实际问题的能力.
实际问题与二次函数(拱桥问题)课后培优 2021-2022学年人教版九年级数学上册
实际问题与二次函数——拱桥问题
一、单选题
1．如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为2125yx，当水面宽度AB为20m时，此时水面与桥拱顶的高度DO是（）
A．2m B．4m C．10m D．16m
2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再下降1.5m，水面宽度为（）m．
A．4.5 B．25 C．26 D．27
3．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（ ）
A．13米 B．12米 C．25米 D．35米
4．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）
A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m
5．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）
A．215252yxx B．18255xyxx
C．251825yxx D．21816255yxx
6．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽为4m．如果水面宽度为6m，则水面下降 ( )
A．3.5 m B．3m C．2.5m D．2 m
7．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（ ）
A．1B．1.5C．2 D．3
人教版数学九年级上册：22.3 实际问题与二次函数 第3课时 建立适当的坐标系解决实际问题 教案
22.3 实际问题与二次函数
第3课时 二次函数与拱桥类问题
课题 第3课时 二次函数与拱桥类问题 授课人
教
学
目
标 知识技能 1.能根据具体的问题情境建立数学模型，应用二次函数的知识求解，并根据具体问题的实际意义检验结果的合理性；
2.学会从多个角度思考问题，逐步提高解决问题的能力.
数学思考 1.通过对实际问题的研究，体会建模的数学思想；
2.经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会转化和数形结合的思想.
问题解决 通过问题的设计、解答，使学生学会从不同角度寻求解决问题的方法，获得解决问题的经验.
情感态度 1.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神；
2.通过用二次函数的知识解决实际问题，体会数学与现实生活的紧密联系，提高学习数学的兴趣，增强应用数学的意识.
教学重点 探究应用二次函数的知识解决实际问题的方法.
教学难点 如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型.
授课类型 新授课 课时
教具 多媒体
教学活动
教学步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.二次函数解析式常见的形式有哪几种？并说明其特征.
2.对二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象进行平移时：
向上平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函在已有知识的基础上提出新的问题，能为学生营造一个主动思考、探索的氛围，激数解析式是什么？
向下平移k（k>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？
向左平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？
向右平移h（h>0）个单位长度得到的图象对应的函数解析式是什么？
师生活动：教师引导学生回忆知识，学生进行解答，教师做好点评. 发学生的学习兴趣.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：图22－3－23是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米.若水面下降1米，则水面宽度将增加多少米？
图22－3－23
师生活动：
教师进行引导，提出问题：
人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数 练习题
22.3 实际问题与二次函数 练习题
一、选择题
1.抛物线22(3)yx的顶点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上
2．二次函数2yax与一次函数yaxa在同一坐标系中的大致图象为（ ）
二、填空题
3．把抛物线212yx向左平移2个单位得到抛物线 ；若将它向下平移2个单位,得到抛物线 .
4. 已知抛物线2(2)yx,当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小.
5. 若点P(1,)a和Q（1，b）都在抛物线21yx上，则线段PQ的长为 。
三、简答题
6.已知抛物线与x轴的交点的横坐标分别是2、2，且与y轴的交点的纵坐标是3，求该抛物线的解析式。
7.中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥（图1）．桥上有五个拱形桥架紧密相联，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1 和其上方的抛物线D1OD8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知跨度AB＝44m，∠A＝45°，AC1=4m，D2的坐标为（13，1.69），求：
（1）抛物线D1OD8的解析式；（2）桥架的拱高OH ．
图1
图2
九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第1课时二次函数与图形面积教案(新版)新人教版
1 22．3 第1课时 二次函数与图形面积
01 教学目标
1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小(大)值．
2．能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数及性质解决与面积有关的最小(大)值问题．
02 预习反馈
阅读教材P49～50(探究1)，完成下列问题．
1．一般地，当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低点，也就是说，当x＝－b2a时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值4ac－b24a；当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最高点，也就是说，当x＝－b2a时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大值4ac－b24a．
2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)，其图象如图所示．
(1)小球运动的时间是3s时，小球最高；
(2)小球运动中的最大高度是45m.
3．一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一直角边长为x cm，面积为y cm2，则y与x的函数的关系式是y＝12x(20－x)，当x＝10时，面积y最大，为50cm2.
03 新课讲授
例1 (教材P49探究)用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
【思路点拨】 先写出S关于l的函数解析式，再求出使S最大的l值．
【解答】 ∵矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，则另一边长为(602－l)m，∴场地的面积S＝l(602－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)． 2 ∴当l＝－b2a＝－302×（－1）＝15时，S有最大值4ac－b24a＝－3024×（－1）＝225．
答：当l是15 m时，场地的面积S最大．
【点拨】 在实际问题中，求函数的解析式时，一定要标注自变量的取值范围，同时在求函数的最值时，一定要注意顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内．
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时教案
一. 教材分析
人教版九年级数学上册第二十二章二次函数《22.3实际问题与二次函数》第1课时主要介绍了二次函数在实际问题中的应用。这部分内容是对前面学习的二次函数知识的巩固和拓展，通过实际问题引导学生将理论知识和实际应用相结合，提高解决问题的能力。教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生掌握二次函数在实际问题中的运用方法。
二. 学情分析
九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步的了解。但是，将二次函数应用于实际问题中，解决实际问题对学生来说还是一个挑战。因此，在教学过程中，需要关注学生对知识的掌握程度，以及他们在解决实际问题时的思维方式和方法。
三. 教学目标
1. 了解二次函数在实际问题中的应用。
2. 能够将实际问题转化为二次函数问题，利用二次函数解决实际问题。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点
1. 掌握二次函数在实际问题中的应用。
2. 将实际问题转化为二次函数问题。
五. 教学方法
采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。同时，运用讨论法、案例分析法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
六. 教学准备
1. 准备相关的实际问题案例。
2. 准备PPT，展示二次函数在实际问题中的应用。
七. 教学过程
1. 导入（5分钟） 通过一个简单的实际问题引出本节课的主题，激发学生的兴趣。例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积一定的条件下，如何安排两种作物的种植面积，使得总收益最大？
2. 呈现（10分钟）
呈现实际问题，引导学生认识到实际问题可以通过二次函数来解决。通过PPT展示实际问题的图像，让学生观察和分析图像，理解二次函数在实际问题中的应用。
3. 操练（10分钟）
让学生分组讨论，尝试将实际问题转化为二次函数问题。每组选择一个实际问题，分析问题中的变量关系，列出二次函数的表达式。