《平方根》实数PPT课件3
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平方根ppt课件
在直角三角形中，直角边的平方和等 于斜边的平方。因此，斜边的平方根 是直角边的长度与另一条直角边的长 度之间的比例中项。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
平方根的历史背景
平方根的早期发展
在古代文明中，人们已经意识到某些数的平方的值。例如，古埃及人和古巴比 伦人已经知道π和√2的近似值。随着数学的发展，人们对平方根的认识逐渐深 入。
电容
在计算电容时，需要使用平方根来 计算电容器容纳电荷的能力。
在日常生活中的应用
建筑测量
在建筑测量中，需要使用平方根 来计算建筑物的面积和体积。
土地测量
在土地测量中，需要使用平方根 来计算土地的面积和周长。
商业交易
在商业交易中，需要使用平方根 来计算商品的价格和利润。
05
平方根的注意事项
Chapter
平方根函数的奇偶性
平方根函数的值域
函数$y = sqrt{x}$的值域为所有非负 实数。
函数$y = sqrt{x}$是非奇非偶函数， 因为对于所有的x值，都有$sqrt{-x} neq sqrt{x}$。
平方根的几何性质
平方根与数轴的关系
在数轴上，一个数的平方根表示该数距离原点的距离。例如，4位 于2的右边，因为2是4的平方根。
平方根的除法性质
如果a和b都是正数，那么 $frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$。
平方根的加法性质
如果a和b都是正数，那么 $sqrt{a} + sqrt{b}$不一 定等于$sqrt{a + b}$。
平方根的函数性质
平方根函数的单调性
对于函数$y = sqrt{x}$，当x的值从 负无穷增加到正无穷时，y的值也从负 无穷增加到正无穷，因此该函数是单 调递增的。
七年级数学下册 第六章 实数 6.1 平方根 第3课时 平方根课件下册数学课件
12/6/2021
第3课时 平方根
18．计算： (1) 24614；
(2)± 1600； (3)± －1232； (4) 1－59.
解：(1)因为 24614＝16649，而1832＝16649，所以 (2)因为(±40)2＝1600，所以± 1600＝±40.
24614＝183.
(3)因为±1232＝－1322，所以± －1322＝±132.
12/6/2021
第3课时 平方根
21．已知 2a－1 的平方根是±3，3a＋b－1 的平方根是±4，求 a 和 b 的值．
解：由题意，得 2a－1＝9，所以 a＝5；3a＋b－1＝16，所以 b＝2.
12/6/2021
第3课时 平方根
22．小红在玻璃店买了一块正方形玻璃，好奇的小林通过各种测 量得知其厚度为 1 厘米，质量为 6.75 千克，且知道这种玻璃每立 方厘米的质量为 1.2 克，你能算出这块正方形玻璃的边长吗？
第3课时 平方根
B规律方法综合练
15．如果± x2＝±16，那么 x 的值为( C ) A．16 B. 16 C．±16 D．± 16
12/6/2021
第3课时 平方根
16．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②－2 是 4 的平方根； ③5 的平方根是 5；④± 3都是 3 的平方根；⑤(－2)2 的平方根是 －2；⑥－32 的平方根是±3.其中正确的命题是( D ) A．①②③ B．③④⑤ C．③④⑥ D．②④
12/6/2021
第3课时 平方根
知识点 2 平方根的性质
5．下列说法正确的有( B ) ①－1 是－1 的平方根；②－1 是 1 的平方根；③－1 没有平方根； ④1 的平方根是 1. A．1 个 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．2 个 C．3 个 D．4 个
第3课时 平方根
18．计算： (1) 24614；
(2)± 1600； (3)± －1232； (4) 1－59.
解：(1)因为 24614＝16649，而1832＝16649，所以 (2)因为(±40)2＝1600，所以± 1600＝±40.
24614＝183.
(3)因为±1232＝－1322，所以± －1322＝±132.
12/6/2021
第3课时 平方根
21．已知 2a－1 的平方根是±3，3a＋b－1 的平方根是±4，求 a 和 b 的值．
解：由题意，得 2a－1＝9，所以 a＝5；3a＋b－1＝16，所以 b＝2.
12/6/2021
第3课时 平方根
22．小红在玻璃店买了一块正方形玻璃，好奇的小林通过各种测 量得知其厚度为 1 厘米，质量为 6.75 千克，且知道这种玻璃每立 方厘米的质量为 1.2 克，你能算出这块正方形玻璃的边长吗？
第3课时 平方根
B规律方法综合练
15．如果± x2＝±16，那么 x 的值为( C ) A．16 B. 16 C．±16 D．± 16
12/6/2021
第3课时 平方根
16．下列五个命题：①只有正数才有平方根；②－2 是 4 的平方根； ③5 的平方根是 5；④± 3都是 3 的平方根；⑤(－2)2 的平方根是 －2；⑥－32 的平方根是±3.其中正确的命题是( D ) A．①②③ B．③④⑤ C．③④⑥ D．②④
12/6/2021
第3课时 平方根
知识点 2 平方根的性质
5．下列说法正确的有( B ) ①－1 是－1 的平方根；②－1 是 1 的平方根；③－1 没有平方根； ④1 的平方根是 1. A．1 个 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．2 个 C．3 个 D．4 个
《平方根》实数精品课件
定义描述数学表达式存在的条件030201对于任意实数a，它的平方根√a是非负的，即√a≥0。
非负性平方与开平方互逆乘积的平方根商的平方根对于非负数a，有(√a)²=a；反之，若a≥0，则√a²=a。
对于正实数a和b，有√(ab)=√a·√b。
对于正实数a和b，有√(a/b)=√a/√b。
与其他运算的关系在数学中的应用平方根在实数系中的位置1 2 3非负数有平方根平方与开平方互为逆运算平方根的计算方法平方根的运算规则数学函数计算误差控制最优化算法数值计算中的平方根应用物理学工程学经济学金融学平方根在实际问题中的应用绝对值联系对于任意实数a，其平方根的平方等于a的绝对值，即sqrt(a)^2 = |a|。
这一点揭示了平方根与绝对值之间的紧密关系。
方程中的应用平方根在解一元二次方程时发挥着关键作用。
通过平方根的性质，我们可以求解形如ax^2+bx+c=0的方程，其中涉及到平方根的求解。
平方根与绝对值、方程的联系定义区别运算性质联系平方根与开方、立方的区别与联系平方根的复数定义：在复数系中，任意非零复数z都可以表示为r(cosθ +isinθ)，其平方根可以定义为sqrt(r)(cos(θ/2) + isin(θ/2))。
这一定义将平方根的概念扩展到了复数领域。
多值性问题：在复数系中，由于存在多值性问题，一个给定的复数可能有多个平方根。
这与实数范围内的平方根存在区别，需要特别注意。
通过以上内容，我们可以更深入地理解平方根与其他数学概念之间的联系与区别，以及在复数系中的扩展。
这些知识将有助于我们更好地掌握平方根的概念和应用。
平方根在复数系中的扩展平方根的课堂教学策略利用直观模型激活学生的前知注重实际应用逐步抽象化从具体的数值和实例出发，逐渐引导学生抽象出平方根的一般概念和解题基于实际问题引入讲述古代数学家如何发现和使用平方根的故事，增加学生对这一知识点的兴趣。
数学史话引入案例分析平方根的引入与案例分析学生易错点及注意事项易错点101易错点202注意事项03。
冀教版八年级数学上册第十四章《实数》PPT课件
也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数;
负数不存在算术平方根，即当 a 0时， a 无意义.
练一练
1．若一个数的算术平方根是 7 ，那么这个数
是7 ；
2． 9 的算术平方根是 3
；
3．( 2)2 的算术平方根是 3
2 3
；
4．若 m 2 2 ，则(m 2)2 16 ．
当堂练习
1.若 a 的算术平方根是3，则a =___8_1____.
（D）
B.一个数的立方根不是正数，就是负数 C.一个数的立方根等于它本身，这个数一定是0 D.一个非负数的立方根和这个数同好，0的立方根是0
2.已知a2=4，b3=27，则ab的值为__8_或__-_8_____.
3.求下列各式的值 ：
1 3 8;
2 3 0.064;
3 3 8 ;
3
4 3 9 .
36
4
面积/dm2
25
正方形的
边长/dm
1
3
2
4
6
5
你能指出它们的共同特点吗？ 都是已知一个正数的平方，求这个正数.
讲授新课
一 平方根的概念及性质
问题1 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
解析：
由于3 2 =9，
所以这个数是3或-3.
想一想 3和-3有什么特征？
问题2 根据上面的研究过程填表：
因为(
1 2
)3 =0.125,所以0.125的立方是（
1 2
）；
3
因为( 0 ) ＝０，所以０的立方根是（ 0）；
因为 ( -2)3＝－8，所以－8的立方根是（ -2）；
因为(
2 3
3
) ＝
人教数学七下《平方根》实数PPT精品教学课件
感悟新知
解：本题运用夹逼法来求整数a 与b 的值. 因为a，b 为连续整数，a< 7 <b， 而22<7<32，所以2< 7 <3. 所以a=2，b=3. 所以a+b=5.
感悟新知
3-1.[中考·天津] 估计 22 的值在( B ) A. 3 和4 之间 B. 4 和5 之间 C. 5 和6 之间 D. 6 和7 之间
感悟新知
例2 已知a 的算术平方根是3，b 的算术平方根是4，求 a+b 的算术平方根. 解题秘方：根据算术平方根与被开方数的关系求出a， b 的值，然后求a+b 的算术平方根.
感悟新知
解：因为a 的算术平方根是3，所以a=32=9. 因为b 的算术平方根是4，所以b=42=16. 所以a+b=9+16=25. 因为52=25，所以25 的算术平方根是5， 即a+b 的算术平方根是5.
感悟新知
(3) 412－402 表示412－402 的算术平方根.
∵ 412－402=81，92=81，
∴ 412－402 = 81 =9
被开方数412－402 是一个整
体，首先要将412－402 化简，
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.
感悟新知
2. 开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 特别提醒： a ，－ a ，± a (a ≥ 0)的区别
6.1 平方根
感悟新知
知识点 1 算术平方根
1. 定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个正数x 叫做a 的算术平方根 . 规定：0 的算术平 方根是0. 表示方法：a 的算术平方根记为 a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数.
实数 (平方根)ppt课件
16
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm ． 根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300， 2x2＝300， x2＝50，
x 50 .
因此长方形纸片的长为3 50 cm ． 因为50＞49，所以 50 ＞7．
由上可知3 50 ＞21，即长方形纸片的长应该大于
21 cm ．
因为 400 ＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm.
23
再见！
24
所以大正方形的边长是 2 dm.
小正方形的对角线 的长是多少呢？
7
8
9
探究
2 有多大呢？
因为12＝1，22＝4， 所以1＜ 2 ＜2； 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25， 所以1.4＜ 2 ＜1.5； 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4， 所以1.41＜ 2 ＜1.42； 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225， 所以1.414＜ 2 ＜1.415； ……
即
（2）因为
7
2
49 ，所以
49 7 ； 8 64
49 的算术平方根是
.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方
根是 0.01，即 0.0001 ＝0.01．
从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平 方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
5
探究
计算器
12
例 2 用计算器求下列各式的值：
（1） 3136 ；
（2） 2（精确到0.001）．
解：（1）依次按键 显示：56． ∴ 3136 ＝56．
3 136 ＝ ，
（2）依次按键 2 ＝ ， 显示：1.414 213 562． ∴ 2 ≈1.414．
解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm ． 根据边长与面积的关系得
3x·2x＝300， 2x2＝300， x2＝50，
x 50 .
因此长方形纸片的长为3 50 cm ． 因为50＞49，所以 50 ＞7．
由上可知3 50 ＞21，即长方形纸片的长应该大于
21 cm ．
因为 400 ＝20，所以正方形纸片的边长只有20cm.
23
再见！
24
所以大正方形的边长是 2 dm.
小正方形的对角线 的长是多少呢？
7
8
9
探究
2 有多大呢？
因为12＝1，22＝4， 所以1＜ 2 ＜2； 因为1.42＝1.96，1.52＝2.25， 所以1.4＜ 2 ＜1.5； 因为1.412＝1.988 1，1.422＝2.016 4， 所以1.41＜ 2 ＜1.42； 因为1.4142＝1.999 396，1.4152＝2.002 225， 所以1.414＜ 2 ＜1.415； ……
即
（2）因为
7
2
49 ，所以
49 7 ； 8 64
49 的算术平方根是
.012＝0.000 1，所以0.000 1的算术平方
根是 0.01，即 0.0001 ＝0.01．
从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平 方根也越大．这个结论对所有正数都成立．
5
探究
计算器
12
例 2 用计算器求下列各式的值：
（1） 3136 ；
（2） 2（精确到0.001）．
解：（1）依次按键 显示：56． ∴ 3136 ＝56．
3 136 ＝ ，
（2）依次按键 2 ＝ ， 显示：1.414 213 562． ∴ 2 ≈1.414．
《平方根》实数PPT教学课件
（5） x （6） x2 （7） x2 1 （8） 1
x1
x2
（9） x 2 4 2x
一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4， 则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0， 解得a＝1. 所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
想一想
例：x为何值时，下列各式有意义？
（1） 2x （2） x （3） x 1 （4） 1 x x
想一想
1. 121的平方根是什么？ 11
2. 0的平方根是什么？
0
3.
16 49
的平方根是什么？
4 7
4. -9有没有平方根？为什么？
问题：(1)正数有几个平方根？ (2)0有几个平方根？ (3)负数呢？
没有，因为一个数的平方不可能是负数.
归纳总结
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
平方根与算术平方根的联系与区别：
联系：
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方 根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0.
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一 个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为： a，而算术平 方根表示为 a .
6.1 平方根
新课讲授 若x2=a（x≥0），那么x叫做a的算术平方根。
记作：x= a 一般地，如果一个数的平方等于a， 那么这个数叫做a的平方根或二次方根。
即：若x2=a，那么x叫做a的平方根。 记作：x= a
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方
人教版《平方根》演示课件
习题6.1 题2、题3
数a的正的平方根就是数a的算术平方根；
必做题： 书P47 习题6.
一般地，如果一个数的平方等于a，
选做题： 一般地，如果一个数的平方等于a，
平方与开平方互为逆运算
1.若一个数x的平方根是2-2a和 根据平方与开平方的互逆关系，可以求一个数的平方根.
已知一个数的平方，求这个数.
4a，求a和x的值.
问题3 完成下图
求平方
+1
1
–1
+2 –2
4
+3
9
–3
平方
平方 与 开平方 互为 逆运算
求平方根
1
+1 -1
4
+2 -2
+3
9
-3
开平方
例1 求下列各数的平方根：
（1）100
（2） 9 16
解：（1）因为（10）2 100，
（3）
所以10 0的平方根是 10.
观察例题中 给的三个数
（2）因为（ 3）2 9 ，
（2）1的平方根是1；
这就是说 x2 = a，那么x叫做a的平方根.
（3）-1的平方根是-1；
平方根的概念及数的平方根的特征.
（）
必做题： 书P47 习题6.
一、你学习了哪些数学知识？
（2）1的平方根是1；
音乐能激发或抚慰情怀， 绘画使人赏心悦目， 诗歌能动人心弦， 哲学使人获得智慧， 科学可改善物质生活， 但数学能给予以上的一切。
人教版数学七年级下册
第六章 实数 平方根
6.1.3 平方根
学习目标
1.了解平方根的概念，会用根号表示数的平方根； 2.掌握利用平方与开平方互为逆运算求数的平方根的方法； .
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教学设计是根据课 程标准的要求和教学对象 的特点，将教学诸要素有 序安排，确定合适的教学 方案的设想和计划。一般 包括教学目标、教学重难 点、教学方法、教学步骤 与时间分配等环节。
XX市实验学校
任教学科： 任教年级： 任教老师：
本教案根据教学设 计标准的要求和教学对 象的特点，将教学诸要 素有序安排，确定合适 的教学方案的设想和计 划。便于学习和使用， 本文档下载后内容可随 意修改调整。
学习永远不晚。（5）11
2
(1)(
64)2 等于多少？
49 121
等于多少？
(2) 7.2 2 等于多少？
(3)对于正数a， a 2 等于多少？
比一比——看谁最聪明？
如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8
-8
？
3
4
-3
？
4
？ ？
121
？ ？
0.36
？ ？
0
？ ？
-4
练一练：
求下列各数的平方根：
（1） 81 （3） 2 1
4 （5）8
（2） 0.49
16 （4） 25
（6）－9
（7）（－4）2 （8） 10－2
你能求出下列各式中的未知数x吗？ （1） x2＝49 （2）（x－1）2＝25
并完成相应的动作。若手势不一致，以数字小的为准。
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用， 本文档下载后内容可 随意修改调整及打印。
4 25
P34如果一个数X的平方等于a，即X2=a，
那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二
次方根）。
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？
一个正数有两个平方根，0只有一个 平方根，它是0本身；负数没有平方根
P352、3段，读一读。什么叫开平方
例3 求下列各数的平方根： （1）64； (2) 49 ；（3）0.0004
XX市实验学校
任教学科： 任教年级： 任教老师：
本教案根据教学设 计标准的要求和教学对 象的特点，将教学诸要 素有序安排，确定合适 的教学方案的设想和计 划。便于学习和使用， 本文档下载后内容可随 意修改调整。
学习永远不晚。（5）11
2
(1)(
64)2 等于多少？
49 121
等于多少？
(2) 7.2 2 等于多少？
(3)对于正数a， a 2 等于多少？
比一比——看谁最聪明？
如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8
-8
？
3
4
-3
？
4
？ ？
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？ ？
0.36
？ ？
0
？ ？
-4
练一练：
求下列各数的平方根：
（1） 81 （3） 2 1
4 （5）8
（2） 0.49
16 （4） 25
（6）－9
（7）（－4）2 （8） 10－2
你能求出下列各式中的未知数x吗？ （1） x2＝49 （2）（x－1）2＝25
并完成相应的动作。若手势不一致，以数字小的为准。
感谢您的阅读！ 为 了 便于学习和使用， 本文档下载后内容可 随意修改调整及打印。
4 25
P34如果一个数X的平方等于a，即X2=a，
那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二
次方根）。
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？
一个正数有两个平方根，0只有一个 平方根，它是0本身；负数没有平方根
P352、3段，读一读。什么叫开平方
例3 求下列各数的平方根： （1）64； (2) 49 ；（3）0.0004