72动量矩定理解析
第17章 动量定理和动量矩定理总结
第17章 动量定理和 动量矩定理工程力学学习指导第17章 动量定理和动量矩定理17.1 教学要求与学习目标1. 正确理解动量的概念，能够熟练计算质点系、刚体以及刚体系的动量。
2. 认真理解有关动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理，掌握这些定理的相互关系。
3. 正确而熟练地应用动量定理、动量守恒定理以及质心运动定理解决质点系动力学两类问题，特别是已知运动求未知约束力的问题。
4. 学习动量矩定理时，首先需要认识到，在动力学普遍定理中，动量定理和动量矩定理属于同一类型的方程，即均为矢量方程。
而质点系的动量和动量矩，可以理解为动量组成的系统（即动量系）的基本特征量——动量系的主矢和主矩。
两者对时间的变化率等于外力系的基本特征量——力系的主矢和主矩。
5. 认真理解质点系动量矩概念，正确计算系统对任一点的动量矩。
6. 熟悉动量矩定理的建立过程，正确应用动量矩定理求解质点系的两类动力学问题。
7. 于作平面运动的刚体，能够正确建立系统运动微分方程和补充的运动学方程，并应用以上方程求解刚体平面运动的两类动力学问题。
17.2 理 论 要 点17.2.1 质点系的动量质点系中所有质点动量的矢量和（即质点系动量的主矢）称为质点系的动量。
即i ii m v p ∑=质点系的动量是自由矢，是度量质点系整体运动的基本特征量之一。
具体计算时可采用其在直角坐标系的投影形式，即⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑i iz i z i iy i y iix i x v m p v m p v m p质点系的动量还可用质心的速度直接表示：质点系的动量等于质点系的总质量与质心速度的乘积，即C m v p =这相当于将质点系的总质量集中于质心一点的动量，所以说质点系的动量描述了其质心的运动。
上述动量表达式对于刚体系也是正确的。
17.2.2 质点系动量定理质点系动量定理建立了质点系动量的变化率与外力主矢量之间的关系。
其微分形式为(e)(e)R d d i it ==∑pF F 质点系的动量对时间的变化率等于质点系所受外力系的矢量和。
动量矩定理
动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
3、动量矩定理及其守恒定律
3、动量矩定理及其守恒定律描写质点组运动规律的三个基本定理，我们已经讲了其中的一个基本定理，也就是质点组的动量定理，我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。
下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理，即动量矩定理与动能定理。
现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。
动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。
在讨论质点的动量矩定理时，我曾经强调过一提到取矩，不管是计算动量矩也好，还是计算力矩也好，首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心，或者对那一轴取矩。
对质点如此，那么对质点组也得如此，讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心，现在我们就先以任一固定点为取矩中心，推出： 一、质点组对固定点o 的动量矩定理：1、 质点组动量矩的定义：假设由n 个质点组成的质点组，其中第i 个质点对固定点0的矢径i r，定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和，即：)(1in i i r m r J ∑=⨯=。
这就是质点组动量矩的定义式。
与质点组动量定理的推导相类似，质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出：根据牛顿第二定律得质点组中第i 个质点的动力学方程为：()()e i i i i i f f r m '+= ,用i r 乘等式的两边：()e i i i i i i i i f r f r r m r ⨯+⨯=⨯）（并对n 个这样类似的方程求和，则有：()e i i ii i i ii i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯∑∑∑）（ (1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。
可以证明这项矢量和必定等于零。
为了推算简单起见。
先证明i,j 两个质点所受的一对内力对固定点O 的力矩的矢量和等于零。
证明：如图所示，质点组内i,j 两个质点的相互作用的内力为：j 对i 的作用力为ji f，它的反作用力作用在j 上，用ij f表示。
动量矩定理授间
动量矩定理简介动量矩定理是物理学上的一项重要理论，用来描述物体在外力作用下的运动规律。
它是力学中的一个基本定理，与牛顿第二定律密切相关。
本文将介绍动量矩定理的概念、数学表达式以及应用场景。
概念动量矩定理是基于牛顿第二定律的推论，它描述了外力对物体运动产生的影响。
按照牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的合力成正比，反比于物体的质量。
而动量矩定理则考虑了物体的转动，不仅关注线性运动的改变，还关注物体的角速度和矩阵矩的变化。
动量矩定理表达了力矩对物体转动产生的影响。
力矩（也称为转矩）是一个旋转力对物体产生的转动效果的测量值，描述了力对物体造成的转动。
动量矩定理表示，力矩的变化率等于力矩产生的外力矩和物体自身的角动量矩之和。
数学表达式动量矩定理的数学表达式如下：Σ(M) = dL/dt其中，Σ(M)表示所有力矩的矢量和，dL/dt表示角动量的时间导数。
动量矩定理也可以写成分量形式：Σ(Mx) = dLx/dtΣ(My) = dLy/dtΣ(Mz) = dLz/dt其中，Σ(Mx)、Σ(My)和Σ(Mz)表示力矩在x、y、z轴上的分量，dLx/dt、dLy/dt和dLz/dt表示角动量在x、y、z轴上的时间导数。
应用场景动量矩定理的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 刚体转动动量矩定理在刚体的转动运动中有着重要的应用。
对于刚体的转动，我们可以通过计算合力矩和角动量矩的变化率，来推导刚体的运动规律。
动量矩定理使我们能够分析刚体在外力作用下的旋转速度和方向。
2. 车辆安全动量矩定理在车辆安全领域也有着重要作用。
当车辆发生碰撞时，外力对车辆产生的力矩会改变车辆的角动量，进而影响车辆的运动轨迹和姿态。
通过应用动量矩定理，我们可以研究车辆碰撞事故的发生机理，为车辆设计和交通安全提供参考。
3. 飞行器稳定性对于飞行器而言，稳定性是十分重要的一个因素。
动量矩定理可以帮助我们分析飞行器的稳定性问题。
外力矩对飞行器姿态的影响可以通过动量矩定理得到，并根据这些分析结果进行改进和优化。
动量矩定理
动量矩定理当两个物体间的相互作用力是由一种性质不同，方向相反，大小相等而且不能抵消的其他外力来决定时，它们之间的相对位置关系就称为“相对运动”。
下面我们通过动量矩定理与牛顿第二定律、达朗贝尔原理三者结合起来分析研究问题，即在保证每个矢量都具有同样的大小和方向条件下，受到力的物体必然会产生一个随着力的变化而改变的速度，从而使得物体做加速或减速直线运动。
如果再将这些因素考虑进去，那么就更容易发现：只要给出了初始状态，并且知道后续各阶段的情况，则任何一个微小的力都足够引起整个系统的突变。
我们所学习到的机械能守恒定律就可以帮助解释这个现象。
例如：假设某人正站立于地球表面上，此刻他脚底所承受的重力为 G，身高为 h，手臂伸长为 L，手掌张开为 V，手指弯曲为 S，手心朝前为 N，手背朝后为 M，手腕转动角速度为ω，手肘抬升为φ，手臂摆动幅度为 a，那么他的总机械能守恒公式为： W= mgh- GmH- GnL- NvS- MwN-φA。
根据动量矩定理，这里的 m 是单位质量的物体所拥有的质量，H 是物体的静止质量， g 是万有引力常数， v 是物体的速率， a 是物体的转动惯量，ω是角速度，ω是角频率， A 是物体的加速度。
在动量矩定理中，动量矩是描述物体在受到力的作用时，其内部各点处的动量变化的物理量；动量矩定理是研究物体的平均动量及其变化规律的基本定理。
动量矩定理揭示了物体在力的作用下，内部各点处的动量变化规律，说明了物体在力的作用下，动量矩的变化规律。
该定理还告诉我们，物体的动量矩越大，其惯性也越大。
另外，动量矩定理还告诉我们，物体的动量矩与其质量成正比，与其形状无关。
但是我认为，虽然这个定理很简洁，却仍旧存在缺陷。
首先，动量矩定理仅适用于匀速圆周运动，而非匀速直线运动。
其次，动量矩定理只适用于刚体，而非弹簧。
最后，动量矩定理没有涉及到摩擦力。
尽管如此，动量矩定理依然是一个伟大的科学定理！它是我们学习物理的基础，也是探索宇宙奥秘的钥匙。
7-2动量矩定理解析
O
v A vB
vA
A B
vB
设绳子移动的速率为u
v A u1 u v B u2 u
u (u1 u2 ) / 2
解
动量矩守恒
dLA (e) MA dt (e) MA 0
LA C
当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该 点的动量矩保持不变。
7.2 动量矩定理
质系的动量矩
质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和 称为质系对点O的动量矩，也称角动量 （Angular Momentum）
LO ri mi vi
i
动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。
例1
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的 夹角为 ，轴AB转动角速度为 ，角加速度为 ，A、 B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。
m l ( cos 2 sin ) X A 2 m l ( sin 2 cos ) YB mg 2 1 ml 2 Y l sin X l cos B A 12 2 2
(a) (b) (c)
3 g 将式(a)和(b)代入(c)： sin 2l d d 3g 2 d dt (1 cos ) l X A 3 mg sin (3cos 2) 4
dLCz (e) M Cz dt
(e) M Cz 0
LCz const
当外力系对质心平动系某轴的合力矩等于零时， 质系对于该轴的动量矩保持不变。
实例分析
花样滑冰：起旋、加速
实例分析
卫星姿态控制：动量矩交换
动量矩定理
动量矩定理
动量矩定理是动力学普遍定理之一，它给出质点系的动量与质点系受机械作用的冲量之间的关系。
动量定理有微分形式和积分形式两种。
1）积分形式
设质点系中任一质点的质量为mi，受外力的合力和内力的合力作用，加速度为，沿曲线轨迹运动到Q点时的速度为（见图）。
根据牛顿第二定律，有：
将式（1）向轨迹的切线方向投影，得式
因
，
代入式（2）可得：。
上式可以改写为：
式中为质点i的动能；和分别为质点i上外力和内力的元功。
对于整个质点系则应为：
式中为质点系的总动能。
对式（4）进行积分，可得：
式中T1，为质点系在过程开始时的动能；T2为质点系在过程结束时的动能。
式（5）是以积分形式表示的质点系的动能定理，它表明:质点系的总
动能在某个力学过程中的改变量，等于质点系所受的诸外力和诸内力在此过程中所做功的总和。
2）微分形式
将式（4）两边除以dt，得：
式中为外力的功率；为内力的功率。
式（6）是以微分形式表示的质点系的动能定理，它表明；质点系的总动能随时间的变化率等于质点系所受诸外力和诸内力在单位时间内所作功的总和。
质点是质点系的一个特殊情况，故动能定理也适用于质点。
但是，对于质点和刚体，诸内力所做功的总和等于零，因为前者根本不受内力作用，而后者的内力则成对出现，其大小相等，方向相反，作用在同一直线上，且刚体上任两点的距离保持不变，故其内力作功总和等于零。
动量矩定理
m1,r O
J o F3r F2r
m2
m3
α
m3 a3 m3 g F3
F1
m2a2 F2 m2 g
运动量关系
a3 a2 r
O
求支座约束力
m1 0 3 F3
m3 g
F2 m1 g F2
z z
y
x x
y
称过质心的三根主轴为中心惯性主轴
动量矩计算
Loz l ozi
ω m ,r
1
J z m 2 v 2 r J z m2r r
O
m2 v 2
J z m2 r 2
动量矩计算
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
对固定轴
E dLz M z ( Fi ) dt
注意：与质心运动定理和动量定理不 同，动量矩定理是有限制的。
例：质量m的质点从半径为r的半圆形光滑轨道上无初速地 滑下，试给出其运动微分方程，并计算质点与轨道间的作 用力。
解：1.用牛顿定律解之
动力学方程
θ
ma t mg sin ma n FN mg cos
rC
C
ri ri
O
mi v ri mv rc 0
mi ri mrC 0
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
刚体平面运动时
LO rC m vC ri m i v ri rC m vC LC
M O1
m1,r1
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i 1
i 1
i 1 n
x
n
mi ρi mρC 0
LC ρi mivir
i 1
i 1
x ' vC
y
质系对质心的动量矩等于质系相对质心平动系的
动量矩，质心速度没有贡献。
平面运动圆盘对质心的动量矩
vir ω ri
LO ri mivir
i
ri mi (ω ri )
rO1O mvO mr2ω
y
O vo x
r rO1O
O1
LO1 (JO mr 2 )ω
对任意点的动量矩定理
n
LA ρi mivi i 1
mi ai
F (i) i
F (e) i
dLA
dt
n i 1
dρi dt
mivi
n i 1
ρi miai
dLA dt
i 1
i 1
LO LA + rA mvC
x
z
A ρi rA
ri O
mivi
y
例2
一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动，如图所示。
已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，试求
圆盘对水平面上O1点的动量矩。
解： LO1 LO rO1O mvO
LO JOω vO ri
芭蕾舞演员
花样滑冰运动员
起旋、加速、减速、停止的分析
对质心的动量矩定理
dLA dt
M (e) A
vA mvC
vA vC
dLC dt
M (e) C
质系对质心C的动量矩的变化率等于 作用在质系上的外力对同点的主矩。
M (e) C
M
(e) Cx
i
+
M (e) Cy
j+
M
(e) Cz
k
LC LCxi LCy j LCz k
M (e) A
M
(e) Ax
i
+
M (e) Ay
j+
M
(e) Az
k
LA LAxi LAy j LAz k
dLAx dt
M
, (e)
Ax
dLAy dt
M
, (e)
Ay
dLAz dt
M (e) Az
刚体定轴转动运动微分方程
刚体对定轴z的动量矩：
n
n
LOz miri ri (miri2 ) JOz
i
miri2ω JOω
i
y
rOO
vo ri
x
可见：平面运动圆盘对质心的动量矩等于圆盘 以同样角速度绕质心作定轴转动的动量矩。
问题：如何求圆盘对水平面上一点的动量矩？
对两点动量矩之间的关系
ri = ρi + rA
n
LO ( ρi + rA ) mivi
i 1
n
n
ρi mivi rA mivi
D
y
C
mg
vC ω rC l sini
vD ω rD l sini
由质系的动量矩的定义可得
mg B
YB ZB
LO rC mvC rD mvD 2ml2 sink
定轴转动圆盘对圆心的动量矩
vi ω ri
LO ri mivi
i
ri mi (ω ri )
7.2 动量矩定理
质系的动量矩
质系中各质点对点O（矩心）的动量矩的矢量和 称为质系对点O的动量矩，也称角动量 （Angular Momentum）
LO ri mivi
i
动量矩是一个向量，它与矩心O的选择有关。
例1
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间的
O
vA
vB
AB
解
取滑轮与A和B两人为研究对象， 系统对O点动量矩守恒：
r (mvA mvB 速率为u
vA u1 u
vB u2 u
u (u1 u2 ) / 2
O
vA
vB
AB
解
动量矩守恒
dLA dt
M (e) A
M (e) A
i
miri2ω JOω
i
r O ri
问题:如何求平面运动圆盘对质心的动量矩？
质系对质心的动量矩
n
LC ρi mivi i 1
vi — 质点的绝对速度
i vi z '
vi = vC + vir
z ri ρi
vir — 相对质心平动系速度
rC C y '
n
n
n
LC ρi mi (vC + vir ) ρi mivC ρi mivir O
M (e) A
vA mvC
dρi dt
=
vi
vA
z
质系动量矩的变化仅取决 于外力主矩，内力不能改 变质系的动量矩。
下面介绍两种常用的特殊情况：
A ρi rA
ri
O
mivi
y
x
对固定点的动量矩定理
dLA dt
M (e) A
vA mvC
vA 0
dLA dt
M (e) A
质系对固定点A的动量矩的变化率等于 作用在质系上的外力系对A点的主矩。
夹角为 ，轴AB转动角速度为 ，角加速度为 ，A、 B轴承间的距离为h，求系统对O点的动量矩。
ω
A
C
o
D
B
解
以两个小球为研究对象，建立固连坐标系Oxyz
ω
CD杆的角速度向量
ω (cos j sink)
YA
z
A
两小球对O点的向径
LO
o
rC lj rD lj
小球的速度
F1
i 1
i 1
质系对定轴z的动量矩定理：
JOz MOz
JOz MOz
给定MOz用此方程求解刚体转动规律。
给定刚体转动规律不能用此方程求
解约束反力。可用刚体一般运动的
动力学方程(6个)求解。
x
z
F2
vi O1 ri
mi
e
w
Fn
O
y
例3
质量均为m的A和B两人同时从静止开始爬绳。已知A 的体质比B的体质好，因此A相对于绳的速率u1大于 B相对于绳的速率u2。试问谁先到达顶端并求绳子的 移动速率u。
dLCx dt
M (e) Cx
,
dLCy dt
M
(e) Cy
,
dLCz dt
M (e) Cz
Cxyz为质心平动系。
质系对质心平动系各轴的动量矩的变化率等于 外力对相同坐标轴的合力矩。
例4
质量均为m的两小球C和D用长为2l的无质量刚性杆连 接，并以其中点固定在铅垂轴AB上，杆与AB轴之间
0
LA C
当外力系对某固定点的主矩等于零时，质系对于该 点的动量矩保持不变。
dLOz dt
M (e) Oz
LOz const
M (e) Oz
0
当外力系对某固定轴的合力矩等于零时，质系对于 该轴的动量矩保持不变。
实例分析
通过改变转动惯量来控制角速度。 卫星展开太阳能帆板有一定消旋作用。
实例分析