二次曲面的几个性质
高等代数与解析几何7.6
（3）截口形状
(i)双曲抛物面与 xoy面的交线：
⎧⎪ ⎨
x a
±
y b
=
0
（两条相交直线）⎪⎩ z = 0
(xioi)z双面曲的抛交物线面：与⎧⎨ （抛物线） ⎩
x y
2 = 2a =0
2
z
z y
x o
(y（ioiiz抛)面双物的曲线交抛）线物：面与⎧⎨⎩
(II )
所定义的曲面叫做单叶双曲面，
方程(II)叫做单叶双曲面的标准方程。
2.性质和图形
(1)对称性:关于三个坐标平面，三个坐标轴及原点都对称。
(2)顶点与半轴: 两对顶点： (±a, 0, 0), (0, ±b, 0)
(3)范
围:
∵ x2 a2
+
y2 b2
=
1
+
z2 c2
≥1
故曲面在柱面
x2 a2
⎧⎪ ⎨
z c
2 2
−
x2 a2
=1
（双曲线） ⎪⎩ y = 0
oy
(iii)双叶双曲面与 yoz面的交线：
⎧⎪ z 2 ⎨ c2
−
y2 b2
=
1
x
（双曲线）
⎪⎩ x = 0
当 h ≥ c时,平面z = h与双叶双曲面的交线为
⎧ ⎪ ⎨
x2 a2
+
y2 b2
=
h2 c2
−1
(当 h = c时是一个点,当 h > c时是一个椭圆.)
⎧⎪ ⎨
x y
= =
a tanφ b tanφ
cosθ , sinθ ,
二次型与二次曲面
第七章 二次型与二次曲面二次型的定义定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式()ji ij n i nj j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==1121称为n 元二次型或二次形式。
当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。
例：()3221213213x x x x x ,x ,x x Q +-=例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-=()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n nnn n n n n nn n n ji ij n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 212122221112112122211222222122111211221111121令()()TijTn A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q Tn = 21，称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=02302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且r (A )=n .()∑∑===n i nj j i ij n x x |A|A ,x ,,x x Q 1121矩阵的相合设n n ,β,,ββ,,α,,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即()()P ,α,,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为()()Tn Tn ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121==则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）：x P y Py x 1-==或。
二次曲线的性质与像
根据双曲线的方程，可以确定曲线分支的形状和方向。参数$a$和$b$决定了双曲线的形状，根据$f = \sqrt{a^2 + b^2}$，可以计算出焦点到曲线的距离。通过这些信息，可以确定双曲线的像在坐标系中的位置。
4.抛物线的性质与像
2.椭圆的性质与像
椭圆是二次曲线中最为常见的一种类型，具有许多独特的性质。椭圆的方程可表示为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴的长度。
椭圆的性质如下：
-椭圆是闭合的曲线，终点回归起点。
-对称性：椭圆关于$x$轴和$y$轴均对称。
通过给定抛物线的方程，可以确定其像的形状和方向。参数$a$决定了抛物线的开口方向和弯曲程度，通过求解焦点的坐标，可以确定抛物线的顶点位置。进而，可以确定抛物线的像在平面坐标系中的位置。
总结：
二次曲线是数学和几何学中的重要概念，通过分析二次曲线的性质和方程，我们可以了解其像的形状和位置。椭圆、双曲线和抛物线分别具有各自独特的性质，通过确定其参数值和焦点位置，我们可以准确地描述和绘制二次曲线的像。对于数学和几何学的研究和应用来说，深入理解二次曲线的性质与像是非常关键的。
抛物线是三种二次曲线中最简单的一种，其方程可表示为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a, b, c$为常数，且$a\neq 0$。
抛物线的性质如下：
-抛物线关于$y$轴对称。
-拱形：抛物线可以朝上或朝下，具有一个最低或最高点。
-焦点：抛物线具有一个焦点，位于抛物线的对称轴上，与顶点的距离为$p = \frac{1}{4a}$。
I二次曲面介绍
对称性：对称于 xz , yz 对称性： 平面和 z轴. 用z = h截曲面得 截曲面得 x2 y2 到 − = h,
a2 b2 z = h.
z
用y = 0截曲面得到 截曲面得到
x 2 = a 2 z, y = 0.
x 0 y
用x = k截曲面得到 截曲面得到
2 k2 2 y = −b ( z − 2 ) a x = k
双曲抛物面可以看成是顶点在 一条抛物线上的抛物线运动产生。
椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心， 椭圆抛物面，双曲抛物面没有对称中心，所以叫做 无心二次曲面
z z
x y 0 x
.
0 y
椭圆抛物面
双曲抛物面
§3 二次方程的化简 二次曲面：三元二次方程所表示的曲面. 二次曲面：三元二次方程所表示的曲面 二次方程所表示的曲面 三元二次方程的一般形状； 三元二次方程的一般形状；
这17种方程叫做二次曲面的标准方程。
我们可以根据方程的特点建立新的坐标系把方程化为17 种标准方程中的一种，从而可以得到方程所表示的曲面。
如(1) z = xy,(2) z 2 = xy,(3) x 2 + 2 xy + y 2 + z 2 = 1, (4) z = xy − x − y − 2.
(4) z = xy − x − y − 2
对称性：关于原点，坐标轴， （1） 对称性：关于原点，坐标轴，坐标 平面对称. 平面对称. 有界性： （2） 有界性：椭球面上点的坐标适合
| x |≤ a,| y |≤ b,| z |≤ c.
也就是说椭球面可以被包含在六个平面
x = ± a, y = ±b, z = ± c.
所围成的长方体里. 所围成的长方体里
二次曲面 极点极平面
二次曲面 极点极平面
极平面是通过极点并与曲面切线平行的平面。它与曲面的交线是一条曲线，称为极线。极 平面在二次曲面的性质和形状研究中起到重要的作用，可以帮助我们理解曲面的几何特征和 性质。
二次曲面 极点极平面
在三维空间中，二次曲面是由二次方程定义的曲面。它可以是椭圆锥面、双曲锥面、椭球 面、双曲抛物面或椭圆抛物面等。二次曲面的方程通常具有形如 Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0 的形式，其中 A、B、C、D、E、F、G、H、I 和 J 是常数。
二次曲面的极中，需要根据曲面的方程和几何特征来确定极点和极平面的具体位置和性质。
6.4-二次曲面
旋转抛物面
（由xoz 面上的抛物线x2 2 pz 绕它的轴
旋转而成的）
与平面 z z1 (z1 0) 的交线为圆.
x2
y2
2 pz1
z z1
当 z1变动时，这种圆 的中心都在z 轴上.
2. 双曲抛物面 z x2 y2 , ( p 0, q 0) 2 p 2q
(1) 范围: x, y, z R, 曲面可向各方向无限延伸. (2) 对称性: 图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面对
(2) 对称性: 图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面对 称.
(3) 截 痕 z x2 y2 2 p 2q
设 p 0, q 0
10 用坐标面 xOy (z 0) 与曲面相截
截得一点，即坐标原点 O(0,0,0)
原点也叫椭圆抛物面的顶点.
与平面z z1 (z1 0) 的交线为椭圆.
x2
2
pz1
y2 2qz1
1
z z1
当 z1变动时，这种椭 圆的中心都在 z 轴上.
与平面 z z1 (z1 0) 不相交.
（2）用坐标面xoz ( y 0)与曲面相截
截得抛物线 x2 2 pz y 0
与平面 y y1 的交线为抛物线.
x
2
2
p
z
y12 2q
y y1
它的轴平行于 z 轴
(3) 截 痕
用平面z = z0 截曲面所得截痕为椭圆：
x2 a2
y2 b2
1
z0 2 c2
z z0
用平面x = x0 , y =y 0截曲面所得截痕为：
y2 b2
z2 c2
1
x0 2 a2
x x0
x2 a2
第六章 二次曲面的一般理论
第六章 二次曲面的一般理论教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类.研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充.教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念二次曲面: 在空间,由三元二次方程022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1）所表示的曲面.虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点二次曲面的一些记号≡),,(z y x F 44342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φz a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φz a y a x a z y x 3323133),,(++≡Φ z a y a x a z y x 3424144),,(++≡Φ即有恒等式成立: ≡),,(z y x F ),,(),,(),,(),,(4321z y x F z y x zF z y x yF z y x xF +++),,(),,(),,(),,(321z y x z z y x y z y x x z y x Φ+Φ+Φ≡Φ二次曲面),,(z y x F 的系数矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=44342414343323132423221214131211a a a a a a a a a a a a a a a a A 而由),,(z y x Φ的系数矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*332313232212131211a a a a a a a a a A 二次曲面（1）的矩阵A 的第一，第二，第三，与第四行的元素分别是),,(1z y x F ，),,(2z y x F ，),,(3z y x F ，),,(4z y x F 的系数。
二次曲面的形状
二次曲面的形状二次曲面是一个重要的数学概念，在几何学以及数学分析中都有广泛的应用。
本文将介绍二次曲面的形状，并探讨其一些重要特性。
二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是常数，且不全为零。
通过这个方程，我们可以推断二次曲面的形状种类。
根据方程的系数，我们可以将二次曲面分为多种情况：1. 椭圆面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值小于1时，二次曲面呈现为一个椭圆形状。
2. 双曲面：当A、B和C的符号都相同时，且AB和AC的比值大于1时，二次曲面呈现为一个双曲线形状。
3. 抛物面：当A、B和C的符号有一个不同，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个抛物线形状。
4. 锥面：当A、B和C有一个为零时，且D、E和F等于零时，二次曲面呈现为一个尖锥形状。
除了以上情况，二次曲面还可能呈现其他特殊形态，如点、线和平面。
除了形状种类外，二次曲面还有一些重要的特性需要了解：1. 对称性：二次曲面通常具有一些特殊的对称性，如旋转对称性、对称轴等。
2. 曲率：二次曲面在不同点上具有不同的曲率，对于椭圆面和双曲面来说，曲率可以有正和负两种情况。
3. 焦点和直纹：对于椭圆面和双曲面来说，焦点和直纹是其重要特性，可以通过二次曲面的方程来确定。
了解二次曲面的形状和特性，对于解决几何问题、优化问题以及建模等领域都非常重要。
掌握了这些基础知识，我们可以更好地理解和运用二次曲面的相关概念。
总结起来，二次曲面的形状多种多样，可以根据方程的系数判断具体形态。
在研究二次曲面时，我们还需了解其特性，如对称性、曲率、焦点和直纹等。
掌握这些知识，对于深入理解数学和几何学都具有重要意义。
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经计算可知 R = 算得
c c R S= 因此 -= x 1 S
2
∫ ∫ ∑
2 c 0
xd ∑ = d h0
1
m 2 - n2 si n2 2 θ xd e ( D 是∑ 在 xOy 面上的投影 ) c R D
∫ ∫
=
1 c
∫ ∫ ι+
x0
R co sθ r coshm + n si n2 θ
x0 R si n θ r sin h r dr = ι m - n si n2 θ
2 4 2 2
+ 记 R=
( a b c y 0 cosθ- a b c x 0 sinθ ) m - n sin2 θ
( a2b4c 2x 0 cosθ + a4b2 c2 y 0 si n θ )2 ( a 4b2c2 y 0 co sθ- a 2b4c2 x 0 si n θ )2 4 4 2 4 4 2 + + a b z0 - a b c m + n si n2 θ m - n sin2 θ a 4b4z 2 0 (ι - 1) x2 0 y2 0 z2 0 . 其中 ι = 2+ 2 + 2 (由此可知当 ι > 1时才能引切线 ) , 经计 ι a b c x2 0 y2 0 z2 0 4+ 4 + 4 a b c , z 0 ≠ 0 m 2 - n2 sin2 2 θz0
2
2
定理 5 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引双叶双曲面 x 2 - y 2+ z 2 = - 1的切线 , 此点与坐标原点 a b c 的 连 线 必 过 由 切 点 围 成 的 平 面 图 形 的 重 心 (形 心 ) x0 y0 z0 x 0 y0 z 0 , - , 其中 ι = 2 - 2+ 2 . ι ι ι a b c 证明方法与前面一样 , 但应注意到 - 1 <ι < 0. 对于锥面 ,切点不能围成封闭域 , 所以形心不存在 .
4期
陈运胜 ,等 : 二次曲面的几个性质
2
155
x 2+ a x0 连线必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) , ι 证明方法与前面一样 , 但应注意到 ι < 0. 定理 4 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引单叶双曲面
2
y 2b y0 , ι
2
2
z 2 = 1的切线 , 此点与坐标原点的 c z0 x2 0 y2 0 z2 0 其中 ι = 2+ 2 - 2 . ι a b c
4 2 2 4 2 2 4 2 2 2a 2b2c2 x 0 y 0 cos2 θ= ( a 2b4z 2 0 + b c x 0 - a b z 0 - a c y 0 ) sin2 θ 4 2 2 2 4 2 4 4 2 4 4 2
a b z 0 + b c x 0 + a b z 0 + a c y0 2
参考文献 :
[ 1 ] 邓光辉 ,陈运胜 . 圆锥曲线的平分弦性质 [ J ]. 益阳师专学报 , 2000, 5 : 16 — 18.
2 2 2
Several Properties of Quadric Surf ace
CHEN Yun-sheng , DENG Guang hui
( Hunan M etallur gica l Pro fessio nal T ech no lo gy Colleg e, Zhuzhou Hunan 412000, China) Abstract : The pape r intr oduces sev e ral proper ties of ta ng ent lines of quadric sur fa ce, ex tends analo g y pro pe rties o f co nic to quadric surface. Keywords : quadric sur face; geo metr y bar ycenter; tange nt point
2 4 2 4 2 2 2
+ ( m - n sin2 θ ) y′ = a b z0 - a b c +
4 2 2 4 4 2 4 4 2
a 4b2c2 y 0 co sθ- a 2b4c2 x 0 sin θ m - n sin2 θ
( a2b4 c2 x 0 co sθ + a 4b2c2 y 0 sin θ )2 m + n si n2 θ
∫ ∫
∫ ∫
= 同理可得 1 y= S
1 pqc R2
∫∫
0
2 c
d θ0 x 0 +
1
p Rr cosθ
pqR2 r dr = x 0
∫ ∫ ∑
1 yd ∑ = y0 z- = S
∫ ∫ ∑
zd ∑ =
2x 2 0 p +
2y 2 0 0 q - z
另一方面 , 过点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )平行于 z 轴的直线与平面 x 0 , y0 ,
第 34卷第 4期 2004 年 4 月
数学的实践与认识 M A T HEM A T ICS IN PRAC T ICE AND T HEO RY
V ol. 34 N o. 4 April, 2004
教学园地
二次曲面的几个性质
陈运胜 , 邓光辉
(湖南冶金职业技术学院基础课部 , 湖南 株洲 412000)
2x 0 x 2y 0 y + - z - z 0 = 0 的交点为 p q
2x 2 0 2y 2 0 + - z0 . p q 因此过点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )平行于 z 轴的直线必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) . x 2 y2 z 2 定理 3 从点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )引椭球面 2+ 2 + 2 = 1 的切线 , 此点与坐标原点的连线 a b c 必过由切点围成的平面图形的重心 (形心 ) . 证明 由定理 1知 , 切点在平面 x0 x y0 y z 0z 2 + 2 + 2 - 1= 0 a b c 上 , 因此切点所围成的平面图形 ∑ 就是曲线 x2 y2 z2 = 1 2+ 2 + a b c2 x 0x y0 y z 0z + + = 1 a2 b2 c2 所围成的在此平面上的闭区域 , 此曲线在 xO y 面上的投影为 4 2 2 2 2 ( a 2b4 z 2 0 + b c x 0) x + ( a4b2 z 2 0+ a4 c2 y 2 0 )y + 2a2b2 c2x 0 y 0 x y
2x 0x 2y 0 y + - z0 p q
所围成的在此平面上的闭区域 , 此区域在 xO y 面上的投影为 (x - x 0)2 ( y - y0 ) 2 x2 0 y2 0 D: + ≤ + p q p q - z0 x2 0 y2 0 x 2 y2 记 R2 = + - z 0 (由此知点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )应在椭圆抛物面 z = + 之外 ) , 于是 ∑ 的 p q p q 面积为 S = pqc R2 4x 2 0 4y 2 0 + 1, 因此 2 + p q2 1 1 x= xd ∑ = pqcR2 D x de S ∑
4 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 (a 2b4z 2 0 + b c x 0 - a b z 0 - a c y0 ) + 4a 4b4c4 x 2 0 y0 2 2 2 4a b c x 0 y 0
2 4
2
4 2
2
4 2
2
4 2
2
经计算可知 , m + n sin2 θ , m - n sin2 θ 都大于零 . 经配方得 ( m + n sin2 θ ) x′ a b c x 0 cosθ + a b c y 0 si n θ m + n si n2 θ
2 4 2
4 2 2
4 4
( m + n si n2 θ ) x′2 + ( m - n sin2 θ ) y′2 - 2( a 2b4c2 x 0 co sθ + a4b2c 2 y 0 si n θ ) x′ - 2( a b c y 0 cosθ- a b c x 0 sinθ ) y′ = a b z0 - a b c 其中 m= n= θ 应满足的条件为
y0 - z 0 x 0x y 0 y z 0z 同理 y= , z= . 另一方面 ,点 P ( x 0 , y 0 , z 0 )与坐标原点的连线和平面 2 + 2 + 2 ι ι a b c 0 0 0 x y z 1= 0 的交点经计算也是 , , . 当 x 0 y 0 = 0或 z 0 = 0 时也可得同样的结论 . ι ι ι
154
数 学 的 实 践 与 认 识
34 卷
2 4 4 2
- 2a b c x 0x - 2a b c y 0 y = a b z 0 - a b c 先假设 x 0 y 0≠ 0, 令 x = x′ cosθ- y′ si n θ y = x′ si n θ + y′ cosθ 消除交叉项 , 得
收稿日期 : 2001-05-29
4期
陈运胜 ,等 : 二次曲面的几个性质
153
其中 S 为 ∑ 的面积 . 定理 2的证明 由定理 1知 , 切点在平面 2x 0 x p + 2y 0 y 0 q - z- z = 0