2011年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)word版
2011年高考四川卷理科数学(WORD版)及答案
2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数 学(理工类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5) 2 [15．5,19．5) 4 [19．5，23．5) 9 [23．5,27．5) 18 [27．5，31．5) 1l [31．5，35．5) 12 [35．5．39．5) 7 [39．5,43．5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5)的概率约是 (A)16(B )13(C)12（D ）23答案：B解：从31.5到43.5共有22，所以221663P ==．2．复数1i i-+=(A )2i - （B ）12i （C ）0 （D ）2i答案：A 解：12i i i i i-+=--=-3．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(A)12l l ⊥，23l l ⊥1l ⇒∥3l （B ）12l l ⊥，2l ∥3l ⇒13l l ⊥ (C) 1l ∥2l ∥3l ⇒ 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面 答案：B解：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4．如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD(D )CF答案D解：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 5．5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的 (A)充分而不必要的条件 (B )必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B解：连续必定有定义，有定义不一定连续．6．在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 (A)(0，6π] (B)[6π，π) (C )(0，3π] (D) [3π，π)答案：C解：由题意正弦定理22222222211cos 023b c aa b c bc b c a bc A A bcπ+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图像大致是答案：A解：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域． 当10,0()1,122xx y ><<⇒<<，故选A8．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ ．若则32b =-，1012b =，则8a =（A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 答案：B解：由已知知128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=⇒==9．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次．拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C解：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219x y x y x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪+≥⎪+≤⎪⎩画出可行域在12219x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的点75x y =⎧⎨=⎩代入目标函数4900z =．10．在抛物线25(0)y x ax a =+-≠上取横坐标为14x =-，22x=的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A解：由已知的割线的坐标(4,114),(2,21),2a a k a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则223651(2)ba =+-又2564(2,9)(2)y x ax b a y a x b ⎧=+-⇒=-⇒=⇒--⎨=-+⎩11．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）32 答案：D解：由题意1(2)()3f x f x +=,在[22,2]n n -上，2111()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213nn n n n n f x n f x n f x a S S --=======⇒=⇒=-12．在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=．从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形．记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则mn = （A ）415（B ）13（C ）25（D ）23答案：D基本事件：26(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由其中面积为1的平行四边形的个数(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1) 其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3) 其中面积为3的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5) 其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5) 其中面积为9的平行四边形的个数(2,5),(4,1)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．计算121(lg lg 25)100=4--÷ ．答案：20- 解：12111(lglg 25)100lg20410010--÷=÷=-14．双曲线22xy=1P 46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 ．答案：16解：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为20，所以205164c d da==⇒=15．如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 ．答案：22R π解：22222max 224()S r R r r R r S ππ=⋅-=-⇒侧侧时，22222222Rr R r r r R =-⇒=⇒=，则222422R R R πππ-=16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称函数()f x 为单函数．例如，函数()21f x x =+（x R ∈）是单函数．下列命题： ①函数2()f x x =（x R ∈）是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若f ：A B →为单函数，则对于任意b B ∈，它至多有一个原象； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） 答案：②③解 ：①错，12x x =± ;④错()f x 在某区间上具有单调性，不一定在整个定义域上单调．故②③正确．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题共12分）已知函数73()sin()cos(),44f x x x x R ππ=++-∈(Ⅰ)求()f x 的最小正周期和最小值； （Ⅱ）已知44cos(),cos(),(0)552a πββααβ-=+=-<<≤，求证：2[()]20f β-=本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识及基本运算能力 ，函数与方程、化归与转化等数学思想． 解：(Ⅰ) 7733()sin coscos sincos cossin sin4444f x x x x x ππππ=+++2sin 2cos 2sin()4x x x π=-=-m ax 2,()2T f x π∴==（Ⅱ）因为4cos()cos cos sin sin (1)5βααβαβ-=+=4cos()cos cos sin sin (2)5βααβαβ+=-=-又0cos 022ππαβββ<<≤⇒=⇒=cos cos 0αβ= 2()2(())20f f ββ∴=⇒-=18．（本小题共12分）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有人独立来该租车点则车骑游．各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时．（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望E ξ；本小题主要考查相互独立事件、随机变量的分布列、数学期望等到概念及相关计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．解：（Ⅰ）所付费用相同即为0,2,4元．设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅=则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(Ⅱ)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅= 故ξ的分布列为 ξ0 2 4 6 8P18516 5163161165591784822E ξ=+++=19．(本小题共l2分)如图，在直三棱柱AB-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． (I)求证：CD=C 1D ；(II)求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； (Ⅲ)求点C 到平面B 1DP 的距离．本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力．解：：（I ）连接1B A 交1BA 于O ,1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D O D ⊂= 1面面面BA1//B P O D ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P ,1AC D PC D ∴∆≅∆1C D C D ∴=,D 为1C C 的中点．（II ）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥⇒⊥1面AA ,过B 作AH AD ⊥,连接B H ，则BH AD ⊥,AH B ∴∠为二面角1A A D B --的平面角．在1AA D ∆中，11551,,22AA AD A D ===,则25253525,,cos 553355AH AH BH AH B BH==∠===(Ⅲ)因为11C B PD B PC D V V -=，所以1111133B P D PCD h S A B S ∆∆⋅=⋅,111A B =11111244P C D P C C P C D S S S ∆∆∆=-=-=,在1B D P ∆中，11119553525544,5,.cos ,sin 32255252B D B P PD DB P DB P +-===∠==∠=⋅⋅，1135315,22543B PD S h ∆∴=⋅⋅⋅==解法二：如图，以1A 为原点，11A B ，11A C ，1A A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系111A B C A -，则1(0,0,0)A ，1(1,0,0)B ，1(0,1,0)C ，(1,0,1)B ．（Ⅰ）设1C D x =，A C ∥1PC ，111C P C D x A CC Dx∴==-．由此可得(0,1,)D x ，(0,1,0)1x P x+-，1(1,0,1)A B ∴= ，1(0,1,)A D x ∴= ，1(1,1,0)1x B P x=-+-．设平面1BA D 的一个法向量为1(,,)n a b c =，则111100n A B a c n A D b cx ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ 令1c =-，则1(1,,1)n x =-．1PB ∥平面1BA D ， 111(1)(1)(1)001x n B P x x∴=⨯-+⋅++-⨯=-由此可得12x =，故1C D C D =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面1BA D 的一个法向量为11(1,,1)2n =- ，又2(1,0,0)n =为平面1A A D 的一个法向量．12121212cos ,33||||12n n n n n n ∴<>===⨯．故二面角1A A D B --的平面角的余弦值为23．（Ⅲ）1(1,2,0)PB =- ，1(0,1,)2P D =-设平面1B D P 的一个法向量为3111(,,)n a b c =， 则31111312002n PB a b c n PD b ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩令11c =，可得31(1,,1)2n = ．又1(0,0,)2D C = ，C ∴到平面1BD P 的距离33||13||D C n d n ==．20．(本小题共12分) 设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C dn C dnC d n N n--=+++-+∈(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设*()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．本小题考查等比数列和组合数的基础知识以及基本的运算能力,分析问题、解决问题的能力和化归与转化等数学思想．解：（Ⅰ）由已知可得2123,(1),(1)a d a d d a d d ==+=+．当n ≥2，k ≥1时，因为11kk nn k CCn--=，所以111111(1)nn nk kk kk kn n nn n k k k k a C dCdd C dd d n----=======+∑∑∑由此可见，当1d ≠-时，{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列； 当1d =-，11a =-，0n a =（n ≥2），此时{}n a 不是等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1(1)n n a d d -=+，从而21(1)n n b nd d -=+20212221(1)2(1)3(1)(1)n n S d d d d d d nd d -=++++++++20121[(1)2(1)3(1)(1)]n d d d d n d -=++++++++ ①当1d =-时，21n S d ==．当1d ≠-时，①式两边同乘以1d +得2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)]nn d S d d d d n d +=++++++++ ②由②-①得：2221(1(1))[(1)()(1)1(1)nn n n d dS d d n d d d n d d d ⋅-+=-++=+-+-+化得即得：1(1)(1)n n S dn d =+-+ 综上，1(1)(1)n n S dn d =+-+．21．(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ． (I)当|CD | =322时，求直线l 的方程；(II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P O Q ⋅为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基础知识，考查平面解几何的思想方法及推理运算能力． 解：由已知可得椭圆方程为2212yx +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率．则1212222222212122242122(2)2101221222k y kx y y x x kk k x kx y k x x x y y k k ⎧⎧=++=⎧+=-⎪⎪⎪⎪⎪++⇒++-=⇒⎨⎨⎨--++=⎪⎪⎪==⎩⎪⎪+⎩+⎩2422221212222288889()()22(2)(2)2k k k x x y y k k k k ++-+-=+=⇒=⇒=±++l ∴的方程为21y x =+或21y x =-+为所求．（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符．设直线l 的方程为1y kx =+，(01)k k ≠≠±且，所以P 点坐标为1(,0)k-． 设11(,)C x y ，22(,)D x y ，由（Ⅰ）知12222k x x k+=-+，12212x x k=-+，直线A C 的方程为11(1)1y y x x =++，直线BD 的方程为12(1)1y y x x =--将两直线方程联立，消去y 得2112(1)11(1)y x x x y x ++=--．因为121,1x x -<<，所以11x x +-与21y y 异号．222222121122222121212(1)22(1)(1)(1)1()1(1)22(1)(1)(1)y x x x x x x x y x x x x x +-++++==⋅=------22222211122()211122k k k k kk k k --++-++==--+-+++． 又22121212222(1)(1)2(1)1()1221k k k k y y k x x k x x k k k -++-=+++==-⋅+++．11k k -∴+与12y y 异号，11x x +-与11k k -+同号，1111x k x k +-∴=-+，解得x k =-因此Q 点坐标为0(,)k y -，01(,0)(,)1O P O Q k y k=--=故O P O Q为定值．22．(本小题共l4分)已知函数21(),()32f x x h x x =+=(I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233log [(1)]log ()log (4)24f x h a x x --=---(Ⅲ)试比较1001(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小．本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、分类与整合、特殊与一般等数学思想方法以及推理运算、分析问题、解决问题的能力． 解：（Ⅰ）由21()()()32F x f x g x x x =-=+-，（x ≥0）知，21()32F x x'=-，令()0F x '=，得916x =当9016x ≤<时，()0F x '<；当916x >时，()0F x '>；故当9[0,)16x ∈时，()F x 单调递减；当9(,)16x ∈+∞时，()F x 单调递增；所以916x =是其极小值点，且极小值为9()16F 18=．第11页（共11页） （Ⅱ）因为33(1)124f x x --=-,故原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-； 即2221log (1)log 4log 2x x a x -+-=- 等价于:10400(1)(4)x x a x x x a x->⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=-⎩214(3)5x x aa x ⎧<<⎪⇔<⎨⎪=--+⎩ 故画出函数图象后,由方程与函数的思想,讨论得:(1)当14a <≤时,原方程有一解35x a =--;(2)当45a <<时,原方程有两解1,235x a =±-;(3)当5a =时,原方程有一解3x =;(4)当15a a ≤>或时,原方程无解．(Ⅲ) 由已知得10010011()k k h k k ===∑∑．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1()()6n S f n g n =-，*()n N ∈． 从而有111a S ==，当2100k ≤≤时，14341166k k k k k a S S k k -+-=-=--， 又1[(43)(41)1]6k a k k k k k -=----221(43)(41)(1)6(43)(41)11106(43)(41)1k k k k k k k k k k k k ----=-+--=>-+--则对任意的2100k ≤≤，有k a k >． 又因为111a ==，所以10010011k k k a k ==>∑∑，故10011(100)(100)()6k f h h k =->∑．。
2011年高考真题（河北省）——理科数学（河北省） Word版含解析
2011年高考全国卷I 理科数学试题详细解析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
2011年高考理科数学安徽卷(word版含答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试题分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1、 答题前，务必在试题卷，答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2、 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号。
3．、． 答Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔记清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后在用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写．．．．．．．．的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4、 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么 锥体积V=13Sh, 其中S 为锥体的底面面积， P(A+B)=P(A)+P(B) h 为锥体的高如果事件A 与B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，复数2i ai i+-为纯虚数，则实数a 为 （A ）2 （B ）-2 （C ）12- （D ）12 （2）双曲线2228x y -=的实轴长是（Ａ）２ （Ｂ） （Ｃ）４ （Ｄ）（３）设()f x 是定义在Ｒ上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =-，则()1f = （Ａ）－３ （Ｂ）－１ （Ｃ）１ （Ｄ）３（４）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ (5) 3π 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）（（6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ）48（B ）32+8,17（C ）48+8,17（D ）50(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 （A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数（D ）存在一个不能被2整除的数都不是偶数 （8）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且SB Z ≠的集合S 为（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8 （9）已知函数()sin(2)f x x φ=+为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 （A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭（10）函数()()1n m f x nx x =-在区间[]0,1上的图像如图所示，则,m n 得知可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n ==(C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡．．．．上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。
郑州市2011年高中毕业年级第一次质量预测数学(理科)试题(含答案)(word典藏版)
郑州市2011年高中毕业年级第一次质量预测数学试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若复数i R a iia ,(213∈-+为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A ．2-B ．4C ．6-D ．62．若向量、满足1||||==b a ，且20)5()3(=+⋅+b a b a ，则向量、的夹角为A ．030B ．045C ．060D ．0903．已知集合}3,2{=A ，}06|{=-=mx x B ，若A B ⊆，则实数=mA ．3B ．2C ．2或3D ．0或2或34．若nxx )2(+的展开式中的第5项为常数，则=n A ．8B ．10C ．12D ．155．已知R a ∈，则“2>a ”是“a a 22>”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3相切于点)3,1(A ，则=-b aA ．4-B ．1-C ．3D ．2-7．设α、β是两个不同的平面，a 、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是A ．若α//a ，α//b ，则b a //B ．若α//a ，β//b ，b a //，则βα//C ．若α⊥a ，β⊥b ，b a ⊥，则βα⊥D ．若a 、b 在平面α内的射影互相垂直，则b a ⊥ 8．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且3184=S S ，则=168S S A ．81 B ．31 C ．91D ．103正视图 侧视图俯视图9．右图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角 边长均为1，那么这个几何体的外接球的表面积为A ．πB ．π3C ．π4D ．π1210．将函数)46sin(π+=x y 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中 心是A ．)0,2(πB ．)0,4(πC ．)0,9(πD ．)0,16(π11．已知双曲线的方程为)0(12222>>=-b a by a x ，它的一个顶点到一条渐近线的距离为c 32（c 为半焦距），则双曲线的离心率为 A ．3或26 B ．26 C ．773D ．312．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是A ．多于4个B ．4个C ．3个第Ⅱ卷（非选择题 共二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共2013为81，则输入的实数x 值为 ． 14．已知2tan =α，计算αα2tan 2cos 1+15．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤---≥≤032y x x y x y 示的平面区域为N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为 ．16．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，△ABC 三个顶点均在抛物线上，若。
高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案
广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。
2012年深圳市高三年级第一次调研考试(理科数学)
绝密★启用前 试卷类型：A2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2012.2参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()； 若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．若(1i)i z =+（i 为虚数单位），则z 的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a α⊥”是“直线a b ⊥，直线a c ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan()αβ+=A ．73- B ．73C ．57D ．14．执行图1的程序框图，如果依次输入函数：xx f 3)(=、x f sin )(=3)(x x f =、xx x f 1)(+=，那么输出的函数()f x 为A ．3xB ．sin xC ．3x D ．1x x+5．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数2()sgn(ln )ln f x x x =-的零点个数为A ．4B ．3C ．2D ．1图1NABCDM6．已知变量 x y ,满足约束条件23033010x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y ax =-仅．在点(3,0)-处取到最大值，则实数a 的取值范围为 A ．(3,5)B ．1(,)2 +∞C ．(1,2) -D ．1(,1)37．“2012”含有数字0, 1, 2，且有两个数字2．则含有数字0, 1, 2，且有两个相同数字的四位数的个数为 A ．18B ．24C ．27D ．368．设S 是实数集R 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有,a b S a b S +∈-∈，则称S 是一个“和谐集”．下面命题为假命题．．．的是 A ．存在有限集S ，S 是一个“和谐集”B ．对任意无理数a ，集合{},x x ka k =∈Z 都是“和谐集”C ．若21S S ≠，且12,S S 均是“和谐集”，则12S S ≠∅D ．对任意两个“和谐集”12,S S ，若12,S S ≠≠R R ，则12S S =R二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．π40cos xdx =⎰ ．10．某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在)90,60[内的学生人数为 ．11．已知抛物线28y x =的准线l 与双曲线222:1x C y a-=相切，则双曲线C 的离心率e = ． 12．已知等比数列{}n a 的第5项是二项式613x ⎛⎫⎪⎝⎭展开式的常数项，则37a a = ．13．如图3所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，平面⊥ABCD 平面ABE ，已知2=AB ，3==BE AE ，且当规定主（正）视方向垂直平面ABCD 时，该几何体的左（侧）视图的面积为22．若M 、N 分别是线段DE 、CE 上的动点，则NB MN AM ++的最小值图2为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点π(1,)2P到曲线π:c o s(24lρθ+=上的点的最短距离为．15．（几何证明选讲选做题）如图4，,A B是圆O上的两点，且O A O B⊥，2O A=，C为O A的中点，连接B C并延长交圆O于点D，则C D=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A xωϕ=+，x∈R（其中ππ0,0,22Aωϕ>>-<<），其部分图像如图5所示．（1）求函数()f x的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点M、N、P都在函数()f x的图像上，求sin M N P∠的值．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和期望；图4DCO AB图5（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：18．（本小题满分13分）如图6，平行四边形A B C D 中，A B B D ⊥，2A B =，BD =BD 将B C D ∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？ （2）当A D B C ⊥时，求α的大小．ABDCOABCD图6如图7，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M N ，的任意一点，且直线,M P NP 分别与x 轴交于点R S ，，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．20．（本小题满分14分）已知函数d cx bxx x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ； （2）设()g x =0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n nn a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）． （1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2e n n T ->．2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．9．2；10． 90； 11．2； 12．259；13．3； 14． 15．三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，x ∈R （其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．(1) 求函数()f x 的解析式；(2) 已知横坐标分别为1-、1、5的三点M 、N 、P 都在函数()f x 的图像上，求 sin M N P ∠的值．解：（1）由图可知，1A = ， ………………………………………………………1分最小正周期428,T =⨯= 所以2ππ8,.4T ωω===…………………………………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<所以ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==…………………5分所以π()sin (1)4f x x =+． ……………………6分 (2) 解法一: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin(11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分MN MP PN ===，从而3cos 5M N P ∠==-， ………………………………………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4sin 5M N P ∠==. …………………12分解法二: 因为ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+=π(5)sin(51)14f =+=-，所以(1,0),(1,1),(5,1)M N P --， ………………………………………………8分 (2,1),(4,2)N M N P =--=-,6NM NP ⋅=-,N M N P ===则63cos 5N M N PM N P N M N P⋅-∠===-⋅ . ………………………10分由[]0,πM NP ∠∈，得4sin 5M N P ∠==. ……………12分【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力．17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这一社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关3看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ，其中n a b c d =+++．解：（为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴25216125372252725121610=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分kk k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分 【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．18．（本小题满分13分）如图，平行四边形A B C D 中，A B B D ⊥，2A B =，BD =BD 将B C D ∆折起，使二面角A B D C --是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O ．（1）当α为何值时，三棱锥OAD C -的体积最大？最大值为多少？（2）当A D B C ⊥时，求α的大小．解：（1）由题知O D 为C D 在平面ABD 上的射影，∵BD C D ⊥，C O ⊥平面ABD ，∴B D O D ⊥，∴O D C α∠=， ………………………2分111332C A OD A O D V S O C O D B D O C -∆=⋅=⋅⋅⋅⋅ A BDC O BCDsin cos 66O D O C C D C D αα=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅ ………………4分sin 23α=⋅3≤， ……………………5分当且仅当sin 21α=，即45α=︒时取等号，∴当45α=︒时，三棱锥O A C D -的体积最大，最大值为3． …………6分(2)(法一)连接O B ， ……………………7分 ∵C O ⊥平面ABD ，A D B C ⊥，∴AD ⊥平面B O C ，∴AD O B ⊥， ………………………9分 ∴90O B D A D B ∠+∠=︒， 故O B D D A B ∠=∠，∴R t A B D R t B D O ∆∆∽， ………………11分 ∴O D B D B DA B=，∴212BDO D AB ===， …………………………………………………12分在R t C O D ∆中，1cos 2O D C Dα==，得60α=︒(法二) 过O 作O E A B ⊥于E ，则O E B D 为矩形，以O 为原点，O E ，O D ，O C 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则)0,2cos 2,2(),0,cos 2,0(),0,0,0(-ααA D O )sin 2,0,0(),0,cos 2,2(ααC B ， ………9分 于是)0,2,2(-=AD ，)sin 2,cos 2,2(αα--=BC ， ……………10分 由A D B C ⊥，得0=⋅BC AD ，∴0sin 20)cos 2(2)2()2(=⨯+-⨯+-⨯-αα， ……………………12分 得21cos =α，又α为锐角，∴60α=︒ ． ………………………………13分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率为2，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ．（1）求椭圆C 的方程；ABDCO（2）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程；（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,M P NP 分别与x 轴交于点,R S ，O 为坐标原点，求证：OR OS ⋅为定值．解：（1）依题意，得2a =，2c e a==， 1,322=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2214xy += ． ………………………………………3分（2）方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．由于点M 在椭圆C 上，所以412121x y -=． （*） ……………………4分由已知(2,0)T -，则),2(11y x TM +=，),2(11y x TN -+=，21211111)2(),2(),2(y x y x y x TN TM -+=-+⋅+=⋅∴ 3445)41()2(1212121++=--+=x x x x51)58(4521-+=x ． ……………………………………6分由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-．由（*）式，531=y ，故83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设(2cos ,sin ),(2cos ,sin )M N θθθθ-， 不妨设sin 0θ>，由已知(2,0)T -，则)sin ,2cos 2()sin ,2cos 2(θθθθ-+⋅+=⋅TN TM 3c o s 8c o s 5s i n )2c o s 2(222++=-+=θθθθ51)54(cos 52-+=θ． ……………………………………………………6分故当4cos 5θ=-时，TM TN ⋅ 取得最小值为15-，此时83(,)55M -，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到21325r =．故圆T 的方程为：2213(2)25x y ++=． ……………………8分(3) 方法一：设),(00y x P ，则直线M P 的方程为：)(010100x x x x y y y y ---=-，令0y =，得101001y y y x y x x R --=， 同理：101001y y y x y x x S ++=， ……………………10分故212021202021y y y x y x x x S R --=⋅ （**） ……………………11分又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42020y x -=，)1(42121y x -=，……………………12分 代入（**）式，得： 4)(4)1(4)1(421202120212021202021=--=----=⋅y y y y y y y y y y x x S R ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分 方法二：设(2c o s,s i n ),(2c o s ,M N θθθθ-，不妨设s i n0θ>，)sin ,cos 2(ααP ，其中θαs i n s i n ±≠．则直线M P 的方程为：)cos 2(cos 2cos 2sin sin sin αθαθαα---=-x y ，令0y =，得θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2--=R x ，同理：θαθαθαsin sin )sin cos cos (sin 2++=S x ， …………………………12分故4sin sin )sin (sin4sin sin )sin cos cos (sin42222222222=--=--=⋅θαθαθαθαθαS R x x ．所以4=⋅=⋅=⋅S R S R x x x x OS OR 为定值． ……………………14分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直 线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数 形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分）已知函数d cx bxx x f +++=2331)(，设曲线)(x f y =在与x 轴交点处的切线为124-=x y ，()f x '为()f x 的导函数，满足)()2(x f x f '=-'．（1）求()f x ； （2）设()g x =，0m >，求函数()g x 在[0,]m 上的最大值；（3）设()ln ()h x f x '=，若对一切[0,1]x ∈，不等式(1)(22)h x t h x +-<+恒成立，求实数t 的取值范围．解：（1）2()2f x x bx c '=++， ………………………………1分)()2(x f x f '=-'，∴函数()y f x '=的图像关于直线1x =对称，则1b =-．……2分 直线124-=x y 与x 轴的交点为(3,0)， ∴(3)0f =，且(3)4f '=，即9930b c d +++=，且964b c ++=，解得1c =，3d =-． …………………………………………4分 则321()33f x x x x =-+-． …………………………………………5分（2）22()21(1)f x x x x '=-+=-，22,1,()1, 1.x x x g x x x x x x ⎧-≥⎪==-=⎨-<⎪⎩ ………………………………………7分 其图像如图所示． 当214x x -=时，12x ±=，根据图像得：（ⅰ）当102m <≤时，()g x 最大值为2m m -；（ⅱ）当122m <≤()g x 最大值为14；（ⅲ）当12m +>时，()g x 最大值为2m m -．10分（3）方法一：2()ln(1)2ln 1h x x x =-=-， (1)2ln hx t x t +-=-，(22)2ln 21h x x +=+，当[0,1]x ∈时，2121x x +=+，∴不等式2ln 2ln 21x t x -<+恒成立等价于21x t x -<+且x t ≠恒成立，由21x t x -<+恒成立，得131x t x --<<+恒成立，当[0,1]x ∈时，31[1,4]x +∈，1[2,1]x --∈--，∴11t -<<， ……………………………………………12分又 当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分 方法二：（数形结合法）作出函数]1,0[,12∈+=x x y 的图像，其图像为线段AB （如图），t x y -=的图像过点A 时，1-=t 或1=t ，∴要使不等式21x t x -<+对[0,1]x ∈恒成立，必须11t -<<， …………………………………12分 又 当函数)1(t x h -+有意义时，x t ≠，∴当[0,1]x ∈时，由x t ≠恒成立，得[0,1]t ∉，因此，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分 方法三：2()ln(1)h x x =- ， ()h x 的定义域是{1}x x ≠，∴要使(1)h x t +-恒有意义，必须t x ≠恒成立，[0,1]x ∈，[0,1]t ∴∉，即0t <或1t >． ………………① …………………12分由(1)(22)h x t h x +-<+得22()(21)x t x -<+， 即223(42)10x t x t +++->对[0,1]x ∈恒成立， 令22()3(42)1x x t x t ϕ=+++-，()x ϕ的对称轴为23t x +=-，则有20,3(0)0t ϕ+⎧-<⎪⎨⎪>⎩或22201,3(42)43(1)0t t t +⎧≤-≤⎪⎨⎪∆=+-⨯⨯-<⎩或21,3(1)0tϕ+⎧->⎪⎨⎪>⎩ 解得11t -<<． ………………②综合①、②，实数t 的取值范围是10t -<<． …………………………………14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分）已知数列}{n a 满足：211=a ，*1,e en n n n a a n a +=∈+N （其中e 为自然对数的底数）．（1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）设n n a a a S +++= 21，n n a a a a T ⋅⋅⋅⋅= 321，求证：1+≤n n S n ， 2enn T ->．解：（1）1e en n nn a a a +=+ ，11e e nn n a a +∴=+，即11111e enn n na a -+=+． …………………………………3分 令11en n nb a -=，则11+=+n n b b ，2111==a b ，因此，数列}{n b 是首项为2，公差为1的等差数列．11)1(2+=⋅-+=n n b n ， …………………………………5分1111e(1)en n n n a b n --∴==+． …………………………………6分（2）（方法一）先证明当*n ∈N 时，1e n n -≥．设1()e ,[1,)x f x x x -=-∈+∞，则1()e 1x f x -'=-，当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),1(+∞上是增函数，则当1≥x 时，01)(=≥）（f x f ，即1ex x -≥．………8分 因此，当*n ∈N 时，1e n n -≥，11111(1)e(1)1n n a n n nnn -=≤=-+++， …………9分当*n ∈N 时，1e n n +<，(21)1111e(1)ee en n n nn a n ----=>=+⋅． …………………10分1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-≤+++=∴n n n n na a a S n n ．…………………………12分2135(21)[13521)]123eeeeeen n nn n T a a a a ----+-++++--∴=⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅== （．………………………14分（方法二）数学归纳法证明（1）2111==a S ，211=+n n ，∴当1=n 时，1+≤n nS n 成立；2111==a T ，21e e n -=，又e 2> ，112e∴>， ∴当1=n 时，2e nn T ->成立． ……………………………………………8分（2）设k n =时命题成立，即1+≤k k S k ，2e kk T ->，当1+=k n 时，1111(2)e k k k kk S S a k k ++=+≤+++，要证211++≤+k k S k ， 即证111(2)e2kk k k k k ++≤+++，化简，即证e 1kk ≥+． …………………………9分设()e 1,0,)x f x x x =--∈+∞（，则()e 1xf x '=-， 当0>x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数，则当0≥x 时，00)(=≥）（f x f ，即e 1xx ≥+． 因此，不等式e 1kk ≥+成立，即当1+=k n 时1+≤n n S n 成立． …………………11分当1+=k n 时，22111ee (2)e2k kkk k k kT T a k k ---++=⋅>⋅=++，要证2(1)1ek k T -++>， 即证22(1)ee2k kk k ---+>+，化简，即证1e 2k k +>+． 根据前面的证明，不等式1e2k k +>+成立，则1+=k n 时2e nn T ->成立．由数学归纳法可知，当*n ∈N 时，不等式1+≤n nS n ，2e nn T ->成立．……………14分 【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识．。
2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1
![2011年高考理科数学试卷(及答案)_全国卷(word版)[1]1](https://img.taocdn.com/s3/m/526dfd11866fb84ae45c8d1b.png)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学（理工农医类）本试卷共4页，三大题21小题。
满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x =≥(C)()24y xx R =∈ (D)()240y xx =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13(B)12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠= (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60 二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABC D A B C D - 的棱11BB C C 、上，且12B E E B =,12C F FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2011 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)试题参考答案及评分标准(word版)
2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分.题号答案1A 2C 3B 4C 5B 6A 7B 8D二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题5 分，满分 30 分．其中 14～15 题是选做题，考生只能选做一题． 说明：第 10 小题写对一个答案给 3 分. 9. 32514.10. x 115. 2 32y 2 2 9211. 33 12.313. 10三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分 12 分）(本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识, 的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解:f x 2sin x cos x cos2xsin2x cos2x22 2 sin 2x2 2 cos 2x考查化归与转化⋯⋯ 1分 ⋯⋯ 2 分2 sin 2x4 .⋯⋯ 3 分∴当 2x 2k ,即 xk (k Z ) 时,函数 f x 4 28 取得最大值,其值为 2 .⋯⋯ 5分(2)解法 1:∵ f82 3, ∴ 2sin 22 32. ⋯⋯ 6 分1∴ cos 2 .3∵ 为锐角，即 0 ,2∴sin 2 1 cos22∴ tan 2∴ sin 2cos 22 ∴ 02 . 2 2⋯⋯ 7分.⋯⋯ 8分 32 .⋯⋯ 9 分⋯⋯ 10 分2 tan 21 tan2 2 2 . ∴ ∴2 tantan 2 0. 2 tan1 tan 20 .∴tan∴tan222 2或 tan 2 (不合题意,舍去)⋯⋯ 11分.⋯⋯ 12分解法 2: ∵ f∴ cos2 .3 2 8 1 2 3 , ∴ 2sin 2 2 32. ∴2cos 1 . 3∵ 为锐角，即0 ,2∴ cos6 3.1⋯⋯ 7 分⋯⋯ 8 分⋯⋯ 9 分2∴ sin 1cos33. ⋯⋯ 10 分∴tan sincos22 .⋯⋯ 12分解法 3:∵ f∴ cos 2. 38 12 3 , ∴ 2 sin 2 2 32 . ⋯⋯ 7 分∵ 为锐角，即 0 ,2∴sin 2 1 cos22∴tansincos2sin cos 22cossin 21 cos 22 2 .∴ 02 . 2 2.⋯⋯ 8分 3⋯⋯ 9 分⋯⋯ 10 分⋯⋯ 12分17．（本小题满分 12 分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识, 运算求解能力和应用意识)考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、（ 1）解：设 1 件产品的利润为随机变量 ，依题意得 的分布列为：P60.6 5a 40.1 1b∴ E 6 0.6 5a 4 0.1 b 4.9 ,即5a b 0.9.∵ 0.6 a 0.2 0.1b 1, 即 a b 0.3,解得 a 0.2,b 0.1.∴ a 0.2,b 0.1 .⋯⋯ 2 分⋯⋯ 3分⋯⋯ 4分 ⋯⋯ 6 分(2)解：为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元，则这 3 件产品可以有两种取法：3 件都是一等品或 2 件一等品，1 件二等品.3 2 2故所求的概率 P 0.6 C 3 0.6 0.2 0.432.18. （本小题满分 14 分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识, ⋯⋯ 8分⋯⋯ 12 分考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（ 1）证明: 连接 B 1C ,设 B 1C 与 BC 1 相交于点O ,连接 OD ,∵ 四边形 BCC 1B 1 是平行四边形,∴点 O 为 B 1C 的中点.∵ D 为 AC 的中点，∴ OD 为△ AB 1C 的中位线,∴ OD // AB 1 .A 1AE⋯⋯ 2 分D∵ OD 平面 BC 1D , AB 1 平面 BC 1D ,∴ AB 1 // 平面 BC 1D .(2)解: 依题意知， AB BB 2 ，1⋯⋯ 4 分B 1BGOF∵ AA 1 平面 ABC , AA 1 平面 AA 1C 1C ,∴ 平面 ABC 平面 AA 1C 1C ，且平面 ABC 平面 AA 1C 1C AC .作 BE AC ，垂足为 E ，则 BE 平面 AA 1C 1C ，设 BC a ，在 Rt △ ABC 中， AC AB BC4 a ， BE 22 2AB BC AC C 1C⋯⋯6 分2a4 a 2，∴四棱锥 B AAC D 的体积V AC AD AA BE 1 11 11263 1 32 4 a 2 22a 4 a 21 1a .⋯⋯ 8分 依题意得， a 3，即 BC 3.(以下求二面角C BC 1 D 的正切值提供两种解法)⋯⋯ 9 分解法 1:∵ AB BC , AB BB 1, BC BB 1 B , BC 平面 BB 1C 1C ，BB 1 平面 BB1C 1C ，∴ AB 平面 BB 1C 1C .1 取 BC 的中点 F ，连接 DF ，则 DF // AB ,且 DF AB 1.2∴ DF 平面 BBC C .1 1 作 FG BC 1，垂足为G ，连接 DG ，由于 DF BC 1 ，且 DF FG F ，∴ BC 1 平面 DFG .∵ DG 平面 DFG ,∴ BC 1 DG .∴ DGF 为二面角C BC 1 D 的平面角.由 Rt △ BGF ～Rt △ BCC ,得1GFCC 1 BF BC 1, ⋯⋯ 12分得GFBF CC 1 BC 1 32 213 3 1313,在 Rt △ DFG 中, tan DGFDFGF 13 3 . ∴二面角C BC D 的正切值为113 3.⋯⋯ 14 分解法 2: ∵ AB BC , AB BB 1, BC BB 1 B , BC 平面 BB 1C 1C ， BB 1 平面 BB1C 1C ，∴ AB 平面 BB 1C 1C .以点 B 1为坐标原点,分别以 B 1C 1 , B 1B , B 1 A 1 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系 B 1 xyz .则 B 0,2,0 , C 1 3,0,0 A 0,2,2 D , , ∴ BC 13,2,0 BD ,0,1 3,232z A 1A,2,1 .DB 1设平面 BC D 的法向量为 n x , y , z , 1由 n BC 1 0 及 n BD 0 ,得3x 2y 0,3 2x z 0.B yOC 1 Cx令 x 2 ,得 y 3, z 3.故平面 BC D 的一个法向量为 n 2,3,3 ,1⋯⋯ 11 分又平面 BC C 的一个法向量为 AB 0,0,2 ,1∴ cos n , ABn ABn AB20 0 3 2 3 2 22 2. 322. ⋯⋯ 12 分∴ sin n , AB 1∴ tan n ,AB133 22. 3 1322 ⋯⋯ 13分∴二面角C BC D 的正切值为 1 133.⋯⋯ 14 分19．（本小题满分 14 分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 解:设点 P 的坐标为x , y∵OP OQ , ∴ k OP k OQ ,则点Q 的坐标为x ,2 .当 x 0 时,得 1,化简得 x 2 2y .x x当 x 0 时, P 、 O 、 Q 三点共线，不符合题意，故 x 0 .∴曲线 C 的方程为 x 2y x 0 .(2) 解法 1:∵ 直线 2l 与曲线 C 相切,∴直线 2l 的斜率存在.设直线 2l 的方程为 y kx b ,2y kx b , 2 x 2y ,由 2 得 x 2kx 2b 0 .1.y 2⋯⋯ 2分⋯⋯ 4分⋯⋯ 5分∵ 直线 2l 与曲线 C 相切,∴ 4k 8b 0 ,即b .2 2点 0,2 到直线 2l 的距离d2 bk 2 1 k 2⋯⋯ 6分2 21 k 42k 1⋯⋯ 7 分k 21 2 1 223 .32 k 11 3⋯⋯ 8分k 2 1 k 2 1 3 k 2 1 ⋯⋯ 9 分 ⋯⋯ 10 分2当且仅当k 1，即 k 2 时，等号成立.此时b 1. ⋯⋯12 分∴直线 2l 的方程为 2x y 1 0 或 2x y 1 0 .解法 2：由 x 2y ，得 y x ，∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为x , y 2 ' 2 则直线l 的方程为： y y x x x2 x 122 1 1112 点 0,2 到直线l 的距离 d 2 1 1⋯⋯ 14分⋯⋯ 5 分，其中 y 1 x 1 ， 2 2 1，化简得 x 1x y x 10 . 221⋯⋯ 6分⋯⋯ 7分1 2 12 23 .32 x 1 1x 121 x 21 11 2 x 2 41 2 x 1 13 ⋯⋯ 8 分x 21 1 x12 13 x 12 1 ⋯⋯ 9 分 ⋯⋯ 10 分2当且仅当 x11，即 x 1 2 时，等号成立. ⋯⋯12 分∴直线 2l 的方程为 2x y 1 0 或 2x y 1 0 .解法 3：由 x 2y ，得 y x ，∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为x , y 2 ' 2 则直线l 的方程为： y y x x x 2 1 111 1⋯⋯ 14分⋯⋯ 5分 ，其中 y 1 x 10 ，2 21⋯⋯ 6 分，化简得 x 1x y y 1 0 .点 0,2 到直线l 的距离 d2 2 y 12x 1 11y 1 22y 1 1 ⋯⋯ 7分2y 1 2 12 23 3 .1 3 ⋯⋯ 8 分2y 1 1 2y 1 132y 1 1 ⋯⋯ 9 分 当且仅当 2y 11⋯⋯ 10 分2y 1 1 ∴直线 2l 的方程为 2x y 1 0 或 2x y 1 0 . 20．（本小题满分 14 分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识,，即 y 11 时，等号成立,此时 x 12 . ⋯⋯12 分⋯⋯ 14分考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解：∵ f 0 0 ，∴ c 0 .∵对于任意 x R 都有 f x f x , 1 2 1 2 ∴函数 f x 又 f x x 1的对称轴为 x ，即 2b 2a ，得 a b . 2 1 ⋯⋯ 1分⋯⋯ 2分，即 ax b 1 x 0 2对于任意 x R 都成立， ∴ a 0 ,且 b 1 0 ． 2∵ b 1 0 ，2 2∴b 1, a 1．∴ f x x x ．⋯⋯ 4分(2) 解： g x f x x 1x 1 x 1, x ,2 x 1 x 1, x . 21 1⋯⋯ 5分① 当 x 时，函数 g x x 1 x 1 2 若 1 2 1，即 0 2，函数 g x在 1 1的对称轴为x12， , 上单调递增；⋯⋯ 6 分1 2 1 ，即 2 ，函数 g x1 2 在 , 上单调递增，在1 12 , 若上单调递减． ⋯⋯ 7 分② 当 x 时，函数 g x x 1 x 12 则函数 g x 在1 1 , 21的对称轴为 x 1 1 2 ，上单调递增，在 , 12 上单调递减． ⋯⋯ 8 分 1 2 综上所述，当 0 2时，函数 g x , 12 单调递增区间为,，单调递减区间为 ；⋯⋯ 9 分当 2 时，函数 g x,单调递增区间为1 1 1 ,2 和2, ，单调递减区间为 1 1 1 , 2 和 2 ． ⋯⋯ 10分(3)解：① 当 0 2时，由(2)知函数g x在区间 0,1 上单调递增，又g 0 1 0, g 1 2 1 0，故函数g x 在区间 0,1 上只有一个零点．⋯⋯ 11分② 当 2 时，则 1，而g 0 1 0, g21 （ⅰ）若2 3，由于2且 g1 12 21 21， 1 11 12 0 ， 11 11 4 21 2 1 0 ， 此时，函数 g x 在区间 0,1 上只有一个零点；⋯⋯ 12分 ，此时，函数 g x 在区间0,1（ⅱ）若 3，由于 1 2 1且 g 1 2 1 0 上有两个不同的零点．综上所述，当 0 3时，函数g x当 3时，函数g x⋯⋯ 13 分在区间0,1 上只有一个零点；在区间 0,1 上有两个不同的零点．⋯⋯ 14 分21．（本小题满分 14 分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1) 证明：对任意 x 1, x 2 R ，有f x f x 1 x 1 x 21 1 2221 x 1 1 x 2x 1 x 2 x 1 x 2 221 x 1 1 x 22x 1 x 2 22 2 .⋯⋯ 2分由 f x f x L x x 1 212 当 x x 时,得 L1 2,即 x 1 x 2 x 1x 22 1 x 1 1 x 2 2 .L x 1 x2 . 1 x 1 x 1 , 1 x 2 x 2 ,且 x 1 x 2 x 1 x 2 ，대2 1 x 11 x 222x 1 x 22 ∴ 1 x 1 1 x 2 2x 1 x 2 2 1 x 1 x 2x 1x 2. ⋯⋯ 4 分∴要使 f x f x L x x 1 212对任意 x 1, x 2 R 都成立,只要L 1.当 x x 时, f x f x L x x∴ L 的取值范围是 1, .1 21 212 (2) 证明：①∵ a n 1f a n ， n 1,2, ,f a f a L a a n 1 nn 1 n恒成立.⋯⋯ 5分故当 n 2 时， a n a n 1 L f a f a L a aL a a 2n 1n 2 n 1 n 2 n 1 12k 1 a 1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n 11 L LL 2n 1n1 L 1 L a a .12a a12.⋯⋯ 6分n∴k 1a k a ⋯⋯ 7分 ⋯⋯ 8 分= k 2 +1 + 2 1 ≥ ×2 2 = 3. 3 k +1 1 3 k 2 +1 k 2 +1γ 3 k 2 +1…… 8 分2…… 9 分 …… 10 分 当且仅当 k +1 = ，即 k = ± 2 时，等号成立.此时b = −1. ……12 分 ∴直线 2l 的方程为 2x − y −1 = 0 或 2x + y +1 = 0 .2解法 2：由 x = 2y ，得 y = x ， ∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为(x , y2 ' 2)则直线l 的方程为： y − y = x (x − x)2 1 1 1− 2 − x121 2点 0,2 到直线l 的距离 d =2( )1 1…… 14 分 …… 5 分 ，其中 y 1 =2x 1，2 1，化简得 x 1x − y −2x1=0.2 1…… 6 分 …… 7 分1 2 ≥ 1 2 = 3. 32×2x1+1 x2 1+1= 1x 2 +1 +1 = γ 2 x2 + 41 2x 3 1+1…… 8 分x 2 +1γ1x2 1+1 3x2 1…… 9 分 …… 10 分 当且仅当 x 1 +1 = ，即 x 1 = ± 2 时，等号成立. ……12 分 ∴直线 2l 的方程为 2x − y −1 = 0 或 解法 3：由 x = 2y ，得 y = x ， ∵直线l 与曲线 C 相切, 设切点 M 的坐标为(x , y2 ' 2 2+12x + y +1 = 0 .)则直线l 的方程为： y − y = x (x − x2 1 1 1 1 1)…… 14 分 …… 5 分 ，其中 y 1 =2x1>0，2 1…… 6 分 ，化简得 x 1x − y − y71=0.点 0,2 到直线l 的距离 d =2( )2− 2 − y1 x1+11 = y 1 +2 2y…… 7 分1+1= 2y +1 + 2 ≥ = 3 3.11 2×23…… 8 分 2y 1 +1 2y +1γ13 2y…… 9 分 当且仅当 2y +1 =1 1+1…… 10 分2y∴直线 的方程为1+1 2x + y +1 = 0 .2l2x − y −1 = 0 或20．（本小题满分 14 分） (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, ，即 y 1 = 1 时，等号成立,此时 x 1 = ± 2 . ……12 分 …… 14 分 考查函数与方程、分 类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解：∵ f (0) = 0 ，∴ c = 0 .∵对于任意 x ∈R 都有 f− +x = f − −x , 1 2 1 2∴函数 f (x) 又 f (x ) ≥ x的对称轴为 x = −1，即 −2 b 2a = − ，得 a = b . 2 1…… 1 分 …… 2 分2，即 ax +(b −1) x ≥ 0∴ a > 0 ,且 ∆ = (b −1) ≤ 0 ．2对于任意 x ∈ R 都成立，∵ (b −1) ≥ 0 ，2 2∴b =1, a =1． …… 4 分∴ f (x ) = x + x ．(2) 解： g(x) = f (x) − λx −1 = x +(1− λ) x +1,2x≥ x<, . λx +(1+ λ) x −1,2λ 1 1…… 5 分① 当x≥2λ时，函数 g(x) = x +(1−λ) x +1若λ −12 1 ≤在λ，即 0 <λ ≤ 2，函数 g(x)1 λ81的对称轴为 x =λ −12，, +∞ 上单调递增； …… 6 分λ −12 1 >λ λ −1 2在，即λ > 2 ，函数g( x ), +∞ 上单调递增，在 1 λ −1 λ , 2 若 上单调递减． …… 7 分 ② 当x<2λ时，函数g(x) = x +(1+ λ) x −1g( x ) 在 − 1+ λ 1 , 2 λ 1 的对称轴为 x = − 1+ λ 1 2 < ， λ 上单调递增，在 −∞, − 1+ λ 2 上单调递减． …… 8 分 1+ λ则函数2综上所述，当 0 < −∞, − 1+ λ λ ≤ 2时，函数 g(x)2单调递增区间为 − , +∞ ，单调递减区间为 ； …… 9 分 当λ > 2 时，函数 −∞, − g( x )单调递增区间为 − 1+ λ 1 λ −1 , 2 和 λ 2 , +∞ ，单调递减区间为 1+ λ 1 λ −1 , 2 和 λ ．…… 10 分 (3)解：① 当 0 < λ ≤ 2时，由(2)知函数 在区间 0,1 上单调递增，2g( x )又g(0) = −1< 0, g(1) = 2− λ −1 > 0， g( x ) 0,1 上只有一个零点．( )故函数 在区间…… 11 分( )② 当λ > 2 时，则<1，而 g(0) = −1< 0, g 2 1 （ⅰ）若 2 < λ ≤ 3，由于 < λ < λ2且g λ −1 2 = λ −1 2 λ −1 2 ≤ 1， 1 1 1 1 = λ λ λ 2 + >0， 1 +(1− λ)γ +1=−(λ −1)42λ −12 +1≥0，此时，函数 g(x) 在区间 0,1 上只有一个零点； …… 12 分( )，此时，函数 在区间 0,1g( x )（ⅱ）若λ > 3，由于( )λ −121 > 且 g(1) = 2− λ −1 < 0上有两个不同的零点． 综上所述，当 0 <当λ > 3时，函数 g(x) …… 13 分 在区间 0,1 上只有一个零点；λ ≤ 3时，函数 g(x)( ) ( )在区间0,1 上有两个不同的零点．9…… 14 分21．（本小题满分 14 分） (本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法，以 及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1) 证明：对任意 x 1, x2f2 1 1 2 2 2(x )− f(x )∈R，有= 1+ x − 1+ x= = 1+ x1+ 1+ x2x 1 − x 2 γ x 1 + x2 1+ x2 2 1+ 1+ x22x2 21− x22. …… 2 分 由 f1 2 1 2(x )−f (x )≤Lx −x当 x ≠ x 时,得 L ≥1 2,即x 1 − x 2 γ x 1 + x221+ x21+ 1+ x2.≤Lx 1−x 2 . 1+ x 1 > x 1 , 1+ x22> x2,且 x1+ x2≥ x 1+x2，대1+ x2 21+ 1+ x2x 1 + x22∴1+ x21+ 1+ x2x 1 + x22< ≤1 x 1 + x2 x.1+ x2…… 4 分 ∴要使 f1 2 1 2(x )−f (x )2≤Lx −x对任意 x 1, x∈R 都成立,只要 L ≥1.当 x = x 时,f(x )−f (x )≤Lx −x∴ L 的取值范围是[1,+∞ .)1 1 2 1 2 2(2) 证明：①∵ an+1= f (an) ) − f (a )， n =1,2,Λ,= f (an−1 n n−1 n≤La−a恒成立. …… 5 分 故当 n ≥ 2 时， an+1n−a ≤L a −a ≤Λ ≤ L a −a= L f (a2 n−1 n−2 n−1 n−2 n−1 1 2 k +1) − f (a )= a 1−a2+ a 2−a3+ a 3 − a 4 +Λ + a n − a n+1≤ 1(2 n−1+nL + L +Λ+ L= 1− L 1− L a −a .1 2)a1 2 n−a. …… 6 分 ∴∑kk =1a−a…… 7 分 …… 8 分10∵ 0 < L < 1,n∴∑k =1 k +1ak − a ≤ 1 1− L a 1 − a 2 ( 当 n =1时,不等式也成立 ) .…… 9 分 ②∵ A =ka 1 + a 2 +Λak k, ∴ A −Ak k +1= − = a 1 + a 2 +Λ+ ak k 1 k (k +1) 1 k (k +1) 1 k (k +1) a 1 + a 2 +Λ+ a k +1k +1= ≤(a(a1 k k +1 1 2 3 3 4 k k +1+ a +Λ+ a − ka)) + 3( a−a−a2 2) + 2( a−a) +Λ+ k (a−a)(1a − a + 2 a − a + 3 a − a +Λ+ k a − a2 2 3 3 4k).k +1 n…… 11 分 ∴∑+ A 2−A +Λ+ A n − Ak =1 k +1A k−A = A 1−An+1 2 3 ≤ a 1 − a2 1 + 1× 2 1 2×3 +Λ+ 1 + 3 a 3 − a4 1 + = a −a1 1− 3× 4 1 1 4×5 +Λ+ n(n +1 ) 1 + 2 a 2 − a3 1 + 2×3 1 3× 4 +Λ+ 1 n(n +1 ) n +1 + a 2 − a3 1− n(n +1 ) 2 +Λ+ n a n − a n+1 × 1n(n +1) 1− 2 n +1 +Λ+ a n − a n+1 n +1 n ≤ a 1 −a 2 + a 2 −a 3 +Λ+ a n −an+1≤ 1 1− L a −a .1 2……14 分11。
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绝密★启用前 试卷类型：A
2011年深圳市高三年级第一次调研考试
数学（理科） 2011.3
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：
如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()； 若柱体的底面积为S ，高为h ，则柱体的体积为V Sh =；
若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为1
3
V Sh =．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的．
1．已知a b ∈R ，，若3i 1i i a b +=+⋅()（其中i 为虚数单位），则
A ．11a b =-=，
B ．11a b =-=-，
C ．11a b ==-，
D ．11a b ==，
2．已知p ：
“a =，q ：“直线0x y +=与圆221x y a +-=()相切”．则p 是q 的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分也非必要条件
3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11S =，424S
S =，则64
S S 的值为
A ．
9
4
B ．
32
C ．
54
D ．4
4．如图，圆222:O x y +=π内的正弦曲线sin y x =与x 轴围
成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 A ．24
π B ．34π C ．
2
2π
D ．
3
2π 5．在一条公路上每隔10公里有一个仓库，共有5个仓库．一号仓库存有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，若每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，则最少需要的运费是
A ．450元
B ．500元
C ．550元
D ．600元
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）为
A ．2
B ．1
C ．23
D ．13
10040
020一号 二号 三号 四号
五号
俯视图
正(主)视图 侧(左)视图
7．设平面区域D 是由双曲线2
2
14
y x -=的两条渐近线和直线680x y --=所围成三角形的
边界及内部．当,x y D ∈()时，222x y x ++的最大值为
A ．24
B ．25
C ．4
D ．7
8．已知函数f x ()的定义域为 1 5-[，]，部分对应值如下表．f x ()的导函数y f x '
=()的图象如图所示．
下列关于函数f x ()的命题： ①函数y f x =()是周期函数； ②函数f x ()在0 2[，]是减函数；
③如果当 1 x t ∈-[，]时，f x ()的最大值是2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数y f x a =-()有4个零点． 其中真命题的个数有 A ．4个 B ．3个 C ．2个
D ．1个
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题
两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．已知全集U =R ，集合A 为函数ln 1f x x =-()()的定义域，则U A ð= ． 10．设随机变量2~N 1 3X (，)，且06P X P X a ≤=>-()()，则实数a 的值为 ． 11．在ABC ∆中，已知a b c ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若
向量222
4 1p a b c q S =+-= ()
()，，，满足//p q ，则C ∠= ． 12．已知命题“x ∃∈R ，12x a x -++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是 ．
13．已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，
则二项式6
(的展开式中含2x 项的
系数是 ．
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或 “：=” ）
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题
的得分．
14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设P 是直线 :cos sin 4l ρθθ+=()上任一点，Q
是圆24cos 3C ρρθ=-:上任一点，则PQ 的最小值是 ．
15．（几何证明选讲）如图，割线PBC 经过圆心O ，
1OB PB ==，OB 绕点O 逆时针旋转120︒到OD ，连PD 交圆O 于点E ，则PE = ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数cos sin 2424
x x f x x ππ
=++-+π()()()()．
（1）求f x ()的最小正周期； （2）若将f x ()的图象向右平移6
π
个单位，得到函数g x ()的图象，求函数g x ()在区间0π[，]上的最大值和最小值．
B
C
D
E
P
O
第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm），这30名志愿者的身高如下：
男女
9 15 7 7 8 9 9
9 8 16 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 3 4 5 6
7 4 2 1 18 0 1
1 19
若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，30
BAC
∠=︒，BM AC
⊥交AC于点M，EA⊥平面ABC，//
FC EA，431
AC EA FC
===
，，．
（1）证明：EM BF
⊥；
（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
A
B C
E
F
M
O
∙
已知点F 是椭圆2
22
101x y a a +=>+()的右焦点，点 0M m (，)、0 N n (，)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0MN NF ⋅= ．若点P 满足2OM ON PO =+
．
（1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA ，OB 与直线
x a =-分别交于点S ，T （O 为坐标原点），试判断FS FT ⋅
是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足
2
21n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．
（1）求1a ，d 和n T ；
（2）若对任意的n *N ∈，不等式81n n T n λ<+⋅-()恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数m n ，1m n <<()，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有
m n ，的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数ln 1
a
f x x a x =+∈+R ()()． （1）当9
2
a =
时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围； （2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；
（3）求证：1111
ln 135721
n n +>+++++ ()n ∈*N ()．。