平面向量的坐标运算1_张淑文
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
高中数学知识点：平面向量的坐标运算
1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
记aλa=(λx，2．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置无关．。
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于几何、物理等领域。
在进行平面向量的计算和表示时，我们常常使用坐标系来描述向量的位置和方向。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示与计算方法。
二、平面向量的表示在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序数对(x, y)来表示。
其中，x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
例如，假设有向量AB，起点为点A(x₁, y₁)，终点为点B(x₂, y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂ - x₁, y₂ - y₁)。
三、平面向量的计算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，得到一个新的向量。
如果有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的和为向量C(x₁ +x₂, y₁ + y₂)。
这表示了将两个向量的各个分量分别相加的过程。
2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新的向量。
如果有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A减去向量B的差为向量C(x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
这表示了将两个向量的各个分量分别相减的过程。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量的每个分量与一个实数相乘，得到一个新的向量。
如果有向量A(x, y)和实数k，则向量A与实数k的乘积为向量B(kx, ky)。
这表示了将向量的各个分量乘以同一个实数的过程。
4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个实数。
如果有向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，则向量A与向量B的数量积为实数C(x₁ * x₂ + y₁ * y₂)。
这表示了将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加的过程。
5. 向量的模向量的模是指向量的长度或大小，用数值表示。
在平面直角坐标系中，向量的模可以用勾股定理计算得到。
如果有向量A(x, y)，则向量A的模为√(x² + y²)。
平面向量的坐标表示与运算的应用
平面向量的坐标表示与运算的应用1. 引言平面向量是向量的一种，它有方向和大小，通常以箭头来表示。
本文将重点讨论平面向量的坐标表示与运算的应用。
首先介绍平面向量的坐标表示方式，然后探讨如何进行向量的加法、减法、数量乘法和点乘法运算，并分别给出实际应用的例子。
2. 平面向量的坐标表示在二维平面上，平面向量可以通过坐标表示。
一般来说，平面向量通常用一个有序数对表示，如(a, b)，其中a表示向量在x轴上的分量，b表示向量在y轴上的分量。
以向量A为例，A = (a, b)。
3. 平面向量的加法平面向量的加法可以通过将各个坐标分量相加得到。
例如，对于两个向量A = (a1, b1)和B = (a2, b2)，它们的和向量C = A + B = (a1+a2,b1+b2)。
这种加法运算可以用来表示力的合成，比如两个力作用于同一点，可以通过向量的叠加求出合力。
4. 平面向量的减法平面向量的减法与加法类似，只需将对应的坐标分量相减即可。
例如，对于两个向量A = (a1, b1)和B = (a2, b2)，它们的差向量D = A - B = (a1-a2, b1-b2)。
减法运算可以用来表示力的分解，比如一个力可以分解为两个分力的合成。
5. 平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法是指向量乘以一个标量。
例如，对于向量A = (a, b)和一个实数k，其数量乘积为kA = (ka, kb)。
这种运算可以用来表示力的放大或缩小，或者表示速度的改变。
6. 平面向量的点乘法平面向量的点乘法也称为内积或数量积，它的结果是一个标量。
点乘法的计算公式是A·B = a1*a2 + b1*b2，其中A = (a1, b1)和B = (a2, b2)。
点乘法可以判断两个向量的夹角的大小，以及计算向量的投影和模长。
7. 平面向量的运算应用平面向量的坐标表示与运算在几何、物理、力学等各个领域具有广泛的应用。
例如，在几何中，可以利用向量的加法和减法求解两点之间的距离或中点坐标。
考点11 平面向量的坐标运算(新高考地区专用)(原卷版)
考点11 平面向量的坐标运算一．平面向量的坐标运算1.向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 4．向量的夹角（1）已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]（2）夹角cos θ＝a b a b＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y225．平面向量的数量积叫做向量b 在a 方向上的投影数量积a ·的长度|a |与b 拓展：向量数量积不满足：①消去律，即a ·b ＝a ·c ⇏b ＝c知识理解②结合律，即(a ·b )·c ⇏a ·(b ·c )． 6．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )＝λa ·b . (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c 7．向量在平面几何中的应用b 为非零向量cos θ＝a ·b(θ为向量，其中a ，为非零向量a a 2考向一 向量坐标的加减法【例1】（2020·全国高三专题练习）已知点()()1,3,4,1,A B -则与AB 同方向的单位向量为( ) A ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， B ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【举一反三】1.（2020·全国高三专题练习）已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且12MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(8，－1)考向二 向量坐标的垂直平行运算考向分析【例2】（1）（2020·河津中学高三月考）向量(3,1),(2,3),(,2)a b c k ===，若()//a b c -，则k 的值是（ ） A ．1B ．1-C ．4D ．2-（2）（2020·海口市·海南中学高三月考）3.设向量(1,1)a =，(1,3)=-b ，(2,1)c =，且()a b c λ-⊥，则λ=（ ） A ．3 B ．2C ．2-D ．3-【举一反三】1．（2020·贵州安顺市·高三）已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ的值为（ ） A ．13-B ．-3C ．13D ．32．（2020·宁县第二中学）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．23．（2020·永安市第三中学高三期中）已知向量()1,2a =，()1,1b =，若c a kb =+，且b c ⊥，则实数k =（ ） A ．32 B ．53- C ．53D ．32-4．（2020·西藏拉萨市）设,x y R ∈，向量(,1)a x =，(1,)b y =，(2,4)c =-，且a c ⊥，//b c ，则x y +=_____________.考向三 模长【例3】（1）（2021·全国高三专题练习）已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．（2）（2020·舒兰市实验中学校高三学业考试）若1,2,0a b a b ==⋅=，则2a b -=（ ）A ．0B ．C ．4D ．8【举一反三】1．（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）已知向量()2,3a =，()3,2b =，则a b -=（ ）AB ．2C ．D ．502．（2020·黑龙江大庆市·大庆中学）已知向量(1,1)a =-，()1,b m =，若a b ⊥，则b =（ ） A ．1BC D ．23．（2020·静宁县第一中学高三）已知平面向量m →，n →均为单位向量，若向量m →，n →的夹角为2π3，则23m n →→+=（ ）A ．25B ．7C ．5D4．（2020·西藏拉萨市·拉萨那曲第二高级中学）设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则2a b -=___________.考向四 数量积及投影【例3】（1）（2020·南京航空航天大学附属高级中学高三期中）已知平面向量()10,a =，21,2b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b +的夹角为______.（2）（2020·莆田第十五中学高三）已知13,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1b =，22a b +=，则b 在a 方向上的投影等于_______. 【举一反三】1．（2020·济南旅游学校）已知向量(1,3)a =，(1,0)b =-．则向量a ，b 的夹角=______．2（2020·全国福建省漳州市）已知()1,3a =-，()1,b t =，若()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为________. 3．（2020·深州长江中学高三期中）若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则a ，b 的夹角的度数为_________．1．（2020·吉林市教育学院高三期中）下列向量中不是单位向量的是（ ）强化练习A ．(1,0)B ．(1,1)C ．(cos ,sin )ααD ．(0)||aa a ≠ 2．（2020·贵州贵阳一中高三月考）已知向量(2,3),(1,1)ab ==，向量m a n b →→+与23a b →→-共线，则mn（ ） A ．23B ．32C ．23-D ．32-3．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知向量()()1,2,2,1AB BD ==-，(),1,BC t t R =∈，若//,AD CD ，则实数t 的值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．434．（2020·湖南衡阳市一中高三期中）向量a ，b 满足2=a b ，()()2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．（2020·山西省榆社中学高三）已知向量(2,23a =，3,1b ，则b 在a 上的投影是（ ）A ．4B ．2C ．D 6．（2020·黑龙江高三月考）已知向量()1,2a =，()2,1b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则向量b 在c 上的投影为（ ）A ．B ．CD ． 7．（2020·四川省绵阳南山中学高三月考）已知向量()3,1a =，()3,1b =-，则a 与b 的夹角为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．（2020·深州长江中学高三期中）向量(5,1)AC =-，(3,)AB t =，0AB BC ⋅=，则t =（ ） A ．2B ．3-C ．2或3-D ．2-或39．（2021·福建省）已知向量(1,)a x =，(,3)b x =，若a //b ，则a =________．10．（2020·宁夏银川市·银川一中）已知向量(2,1)AB x =--，(,1)BC x =，若A ，B ，C 三点共线，则实数x =_____.11．（2020·宁夏固原市·固原一中高三月考）若向量(,1),(1,6)a x b x ==+且//a b ，实数x =_______. 11（2020·福建省泰宁第一中学高三）已知向量cos ,13a πα⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,4b =，如果//a b ，那么cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________.12．（2020·山西高三月考）已知向量()1,2a =，()2,2b =-，(),1c m =．若()//2c a b +，则m =__________．13．（2020·宁县第二中学高三期中）已知平面向量(3,1)a =-，(,3)b k =，若//a b ，则实数k =__________. 14．（2020·辽宁葫芦岛市·高三月考）已知()1,2a =，(),2b m m =-，若//a b ，则m =________. 15．（2020·山西吕梁市·高三期中）若()1,2a =-，(),1b x =，且//a b ，则x =__________.16．（2020·上海徐汇区·高三一模）已知()2,3a m =--，()1,b m =-，若a ∥b ，则m ＝_________________． 17．（2020·贵州安顺市·高三）已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ=__________．18．（2020·辽宁高三期中）设a ，b 是两个互相垂直的单位向量，则()()4a b a b +⋅-=________. 19．（2020·威远中学校高三月考）已知向量(4,3)a =-，(6,)b m =，且a b ⊥，则m =__________. 20．（2020·江西高三其他模拟）已知向量()1,a m =-，()2,3b =-，若()2a b b +⊥，则m =_____. 21．（2020·河南开封市·高三一模）已知向量(),1a m =，1,()b m =--，满足||a b a ⋅=，则m =_________. 22．（2020·四川宜宾市·高三）已知向量a (1,0)=，2b =，向量a 与向量b 的夹角为45︒，则()a ab ⋅-=___________.23．（2020·静宁县第一中学高三月考）已知向量()3,4a →=，(),1b x →=，若a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭，则实数x 等于________.24．（2020·梅河口市第五中学高三月考）已知向量()()213a b m =-=，，，，若()2+⊥a b b ，则b =__________或__________.。
初中数学知识归纳平面向量的坐标与运算
初中数学知识归纳平面向量的坐标与运算初中数学知识归纳：平面向量的坐标与运算平面向量是数学中的重要概念，广泛应用于几何、物理和计算机科学等领域。
在初中数学学习中，我们需要了解平面向量的坐标表示和运算规则。
本文将对初中数学中平面向量的坐标与运算进行归纳，以帮助同学们更好地理解和运用这一知识点。
一、平面向量的表示在平面直角坐标系中，每个点都可以用坐标表示。
类似地，平面上的向量也可以用坐标表示。
对于平面上的向量$\overrightarrow{AB}$，其中$A(x_1, y_1)$和$B(x_2, y_2)$分别是起点和终点的坐标，我们用$(x_2-x_1, y_2-y_1)$表示向量$\overrightarrow{AB}$的坐标。
这里，向量的坐标表示为一个有序数对，其中第一个数表示$x$轴方向上的分量，第二个数表示$y$轴方向上的分量。
二、平面向量的运算1. 向量的加法平面向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CD}$，其中$A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，$C(x_3, y_3)$，$D(x_4, y_4)$。
则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{CD}$的和可表示为$(x_2-x_1+x_4-x_3, y_2-y_1+y_4-y_3)$。
我们将这一运算规则表达为以下公式：\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} $$2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的每个分量与一个实数相乘。
设有向量$\overrightarrow{AB}$和实数$k$，则向量$\overrightarrow{AB}$的数乘结果可表示为$(k(x_2-x_1),k(y_2-y_1))$。
我们将这一运算规则表达为以下公式：$$k\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PQ}$$其中，$P$和$Q$分别为向量$\overrightarrow{AB}$的起点和终点，且$PQ$与$\overrightarrow{AB}$方向相同。
平面向量的坐标运算课件
向量长度
向量的长度等于其模。
向量方向
向量的方向表示为向量与参考轴之间的夹角。
向量的加法
向量的加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
1 向量加法原理
2 向量加法表示
将两个向量的对应分量相加 得到一个新的向量。
向量A + 向量B = 向量C
3 几何解释
向量的夹角表示为两个向量间的夹角大小。
判断向量的共线性
向量的共线性是指多个向量在同一条直线上的性质。
1 共线性判断
2 几何解释
当多个向量之间的任意两个向量共线时，它们被 认为是共线的。
共线向量可以表示为在同一条直线上。
向量的正交性
向量的正交性是指两个向量之间的夹角为90度。
1 正交性判断
1 数量积原理
将两个向量的对应分量相乘后相加，得到一个标量。
2 数量积表示
向量A ·向量B = 数量
3 几何解释
数量积可表示为向量A在向量B方向上的投影的长度与向量B的模的乘积。
向量的投影
向量的投影是指一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
1 投影原理
将一个向量在另一个向量方向上的投影长度作为新的向量。
3 几何解释
线性组合可以表示为将不同 向量相加得到一个新的向量。
向量的数乘
向量的数乘是将向量的每一个分量乘以一个标量得到一个新的向量。
1 数乘原理
2 数乘表示
将向量的每一个分量乘以一 个标量得到一个新的向量。
数乘k * 向量A = 向量B (k为 标量)
3 几何解释
向量的数乘可表示为将向量 的长度缩放k倍，但方向保 持不变。
5.4 平面向量的坐标运算
课 题：平面向量的坐标运算（1） 教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线 教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则2．向量加法的交换律：a +b =b +a3．向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c) 4．向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b的差即：a -b =a+ (-b )5．差向量的意义： OA = a , OB =b, 则BA =a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量6．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa=07．运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb8． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λ9．平面向量基本定理：如果1e ，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量1e 、2e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j作为基底a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．,(y x特别地，(1,0)i = ，(0,1)j =，0(0,0)=如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作OA a =，则点A 的位置由a唯一确定设OA xi yj =+，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示2．平面向量的坐标运算（1） 若11(,)a x y =，),(22y x b =，则a b + ),(2121y y x x ++=， a b -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差设基底为i 、j ，则a b +1122()()xi y j x i y j =+++ 1212()()x x i y y j =+++ 即a b + ),(2121y y x x ++=，同理可得a b -),(2121y y x x --= （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()2121,AB x x y y =--一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标AB =OB-OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)（3）若(,)a x y = 和实数λ，则(,)a x y λλλ=实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标设基底为i 、j，则a λ )(yj xi +=λyj xi λλ+=，即(,)a x y λλλ=三、讲解范例：例1已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点解：当平行四边形为ABCD 时，由AB DC =得D 1=(2, 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4, 6) 当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6, 0)例2已知三个力1F =(3, 4), 2F =(2, -5), =3F (x, y)的合力1F +2F +3F =0求3F的坐标解：由题设1F +2F+3F =0 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0) 即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F =(-5,1)四、课堂练习：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 12MP = MN, 求P 点的坐标；解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=21(-8, 1)=(-4, 21)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-21243y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23) 2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC=(-3,-3)3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形解：∵AB =(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴AB =2DC∴AB ∥DC 且 |AB |≠|DC| ∴四边形ABCD 是梯形五、小结 1．向量的坐标概念 2．向量坐标的运算 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：。
5.4.1平面向量的坐标运算
问 1 :设 a AB, a 的坐标与 A、 B 的坐标有何关系?
若 A ( x ,y ) ,B ( x ,y ) ,则 1 1 2 2
AB
=
( x x ,y y ) 2 1 2 1
y
B1 P(x,y) 1
O
问2:什么时候向量的坐标和点的坐标统一起来？ 问3:相等向量的坐标 有什么关系？
B(x2,y2)
y (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相同的两个单 位向量 i , j 作为基底. (2) 得到实数对: 任作一个向量 a ， 由平面向量基本定理，有且只有一对 实数x、y，使得 a xi y j.我们 把(x,y)叫做向量 a 的坐标， 记作
a
j
o
ax , y
i
x
上式叫做向量的坐标表示. 其中x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做a 在y轴上的坐 标. 注：每个向量都有唯一的坐标 .
2 1
课后作业
一、课时作业5.4.1 二、预习内容：课本P112.
由 AB DC ，得
x 2 1 3 x 2 4 y y 2 顶点 D 的坐标为（ 2 ， 2 ）
( 1 , 2 ) ( 3 x , 4 y )
例4.已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)， 求点D的坐标使这四点构成的四边形为平行四边形.
平面的基底有多少组?
无数组
引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A(a,b)
O
a
x
学习目标
1、理解平面向量的坐标的概念； 2、掌握平面向量的坐标运算； 3、会根据向量的坐标，判断向量是 否共线.
高中数学专题二平面向量的坐标运算学案1新人教A必修4
江苏省盐城市时杨中学高中数学专题二平面向量的坐标运算（1）学案新人教A版必修4备注【学习方针】1．掌握平面向量的坐标暗示；2．会用坐标暗示平面向量的加法、减法以及数乘运算；【问题情境】1．平面向量如何用坐标暗示？2．坐标形式下的相等向量如何去判断？3．两个向量的加法、减法以及实数与向量的积如何用坐标暗示？4．已知起点和终点的坐标如何求向量的坐标？【我的疑问】第1页共4页【自主探究】1．如图，已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，34=OA ，060=∠xOA ，求向量OA 的坐标．2．已知)3,1(-A ，)3,1(-B ，)1,4(C ，)4,3(D ，求OA ，OB ，AO ，CD 的坐标.3．已知)2,3(=a ，)1,0(-=b ，求b a 42+-，b a 34+的坐标．4．已知),(111y x P ，),(222y x P ，P 是直线21P P 上一点，且)1(21-≠=λλPP P P ，求点P 的坐标．备 注第2页共4页【课堂检测】1．已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，2=OA ，0150=∠xOA ，求向量OA 的坐标．2．已知四边形ABCD 的顶点分别为)1,2(A ，)3,1(-B ，)4,3(C ，)2,6(D ，求向量AB ，DC 的坐标，并证明四边形ABCD 是平行四边形．3．已知)2,1(A ，)2,3(B ，向量)43,3(--+=y x x a 与AB 相等，求实数x ，y 的值．4．已知O 是坐标原点，)1,2(-A ，)8,4(-B ，且03=+BC AB ，求OC 的坐标．【回标反馈】 备 注第3页共4页1． 已知)2,1(--A ，)3,2(B ，)0,2(-C ，),(y x D ，且BD AC 2=，第4页共4页。
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AD (3,7), AB (2,1)
则
(2.5,3) OB 的坐标为_______________
其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
y
y
B(x2,y2) A(x,y) a
a
A(x1,y1) a
i
o j x
o x
a AB ( x2 x1, y2 y1 )
例题1.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. 5 b 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 c -3 -4 d 1 2 3 4 a
课堂练习：
1.若向量a （x 3, x 2 3 x 4)与 AB相等，
-1 其中A（ 1， 2） , B(3,2), 则x _______
2. 已知向量a (5,2), b ( x 2 y 2 , xy), 且a b,
2 则xy _______
3.若点O（0， 0），A（ 1， 2），B（ 1， 3），且
平面向量 坐标运算
在直角坐标系内，我们分别
(1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底. (2)实数对: 任作一个向量a，
由平面向量基本定理，有且只
y
a a
有一对实数x、y，使得a=xi+yj. i 我们把(x,y)叫做向量a的坐标， o 记作
j
x
a ( x, y )
-5
2. 平面向量的坐标运算
a =(x1,y1) , b =(x2 ,y2 ),则 a b ( x1 x2 , y1 y2 )
已知
a b ( x1 x2 , y1 y2 ) 两个向量和与差的坐标分别等于
这两个向量相应坐标的和与差.
一个向量的坐标等于表示此向量的有 A(x1,y1) 向线段的终点的坐标减去始点的坐标. AB OB OA ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) ( x2 (x2,y2) O x
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来 a (x, y) 向量的相应坐标. 即
例题1.已知
a ( 2,1), b ( 3,4), 求a b, a b,3a 4b 的坐标.
例题2.已知平行四边形ABCD的三个顶点A , B , C 的坐标 分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。