2017_2018学年高中数学课时跟踪检测(二十四)幂函数新人教B版必修1
数学：3.3《幂函数》同步测试(新人教B版必修1).docx
一、选择题 1、3a ·6a -等于A.－a -B.－aC.a -D. a2、已知函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f （2+log 23）的值为A.31B.61C.121D.241 3、在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f （x 1）+f （x 2）］＜f （221x x +）成立的函数是 A.f 1（x ）=x 21 B.f 2（x ）=x2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x4、若函数y 21log (2-log 2x)的值域是(-∞,0),那么它的定义域是( )A.(0,2)B.(2,4)C.(0,4)D.(0,1)5、下列函数中，值域为R +的是（ ） （A ）y=5x-21 （B ）y=(31)1－x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x21-6、下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）317、设f:x →y=2x是A →B 的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A 满足（ ） A.A={1，2，4，8，16} B.A={0，1，2，log 23} C.A ⊆{0,1,2,log 23} D.不存在满足条件的集合8、已知命题p ：函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ，命题q ：函数x a y )25(--=是减函数。
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 A ．a ≤1 B ．a <2 C ．1<a <2 D ．a ≤1或a ≥29、已知函数f(x)= x 2+ lg(x+12+x ), 若f(a)=M, 则f(-a)= ( )A 2a 2-MB M-2a 2C 2 M-a 2D a 2-2M10、若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是 （ ）A ．m ≤－1B ．－1≤m<0C ．m ≥1D ．0<m ≤111、方程xx 2)4(log 2=+的根的情况是（ ）A ．仅有一根B ．有两个正根C ．有一正根和一个负根D ．有两个负根12、若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x有解，则a 的取值范围是（ ）A ．a>0或a ≤－8B ．a>0C ．3180≤<aD ．2372318≤≤a 二、填空题：13、已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________.14、若函数f(x)=lg(x 2+a x －a －1)在区间［2,+∞］上单调递增,则实数a 的取值范围是_________. 15、已知=-+⋅-=≤≤++m M m M y x x x 则最小值是的最大值是函数,,7234,20221.16、设函数22)(,2)(|1||1|≥=--+x f x f x x 的x 取值范围.范围是 。
人教版高中数学必修一《幂函数》综合练习题含答案
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
3.3幂函数课时作业(人教B版必修1)
3.3 幂函数课时作业一、选择题1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．其中正确的是( )A ．①和④B ．④和⑤C ．②和③D ．②和⑤2．下列函数中，不是幂函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝x －1C ．y ＝xD ．y ＝x 23．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )A ．y ＝x 12B ．y ＝x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝x －1 5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1二、填空题6．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫9，13，则f (25)＝____________. 7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是__________．8. 如图所示是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α依次为________________．三、解答题9．已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．10．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．课时作业1．D 2.A 3.A 4.B5．B [由已知⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0得m ＝1或m ＝2.]6.15 解析 设f (x )＝x α，则9α＝13，α＝－12. ∴f (25)＝25－12＝15. 7．[2，＋∞)解析 f (x ＋t )≥2f (x )，即(x ＋t )2≥2x 2.即x 2－2tx －t 2≤0在x ∈[t ，t ＋2]上恒成立，令g (x )＝x 2－2tx －t 2，又对称轴为x ＝t ，只须g (t ＋2)≤0，∴t ≥ 2.8．2，12，－12，－2 9．解 设f (x )＝x α，由题意得：2＝(2)2⇒α＝2，∴f (x )＝x 2.同理可求：g (x )＝x －2，在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )．(2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )．(3)当－1<x <0或0<x <1时，f (x )<g (x )．10．解 由幂函数的性质，知m 2－2m －3<0，∴(m ＋1)(m －3)<0.∴－1<m <3.又∵m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.当m ＝0或2时，y ＝x －3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵(－x )－3＝－x －3，∴y ＝x －3是奇函数．又∵－3<0，∴y ＝x －3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数．当m ＝1时，y ＝x －4，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵(－x )－4＝1－x 4＝1x 4＝x －4， ∴函数y ＝x －4是偶函数．∵－4<0，∴y ＝x －4在(0，＋∞)上是减函数．又∵y ＝x －4是偶函数，∴y ＝x －4在(－∞，0)上是增函数．综上，当m ＝0或2时，y ＝x －3，此函数是奇函数，且在 (－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数；当m＝1时，y ＝x －4，此函数为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0)上是增函数．高╔考试.题╔库。
2017-2018学年高中数学人教B版必修1课时跟踪检测十四
课时跟踪检测（十四） 函数的零点层级一 学业水平达标1．函数f (x )＝x 2－x －1的零点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：选C ∵Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0， ∴方程x 2－x －1＝0有两个不相等的实根， 故函数f (x )＝x 2－x －1有2个零点． 2．函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A ．－12，－1B.12，1 C.12，－1 D ．－12，1解析：选B 方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x＋1的零点是12，1.3．函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．±2D ．3解析：选C 因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2. 4．已知函数f (x )＝{ x x ＋，x ＜0，x x －，x ≥0则函数f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＜0时，x (x ＋4)＝0的解为x ＝－4；当x ≥0时，x (x －4)＝0的解为x ＝0或x ＝4.故f (x )有3个零点．5．下列说法中正确的个数是( )①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为(－1,0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1；③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B 根据函数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2,0]的零点为－1，也就是函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．因此，只有说法②④正确，故选B.6．函数f (x )＝(x －1) (x 2＋3x －10)的零点有______个． 解析：∵f (x )＝ (x －1)(x 2＋3x －10) ＝(x －1)(x ＋5)(x －2)，∴由f (x )＝0得x ＝－5或x ＝1或x ＝2. 答案：37．若函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，则f (1)＝________.解析：因为函数f (x )＝2x 2－ax ＋3有一个零点为32，所以32是方程2x 2－ax ＋3＝0的一个根，则2×94－32a ＋3＝0，解得a ＝5，所以f (x )＝2x 2－5x ＋3，则f (1)＝2－5＋3＝0.答案：08．若f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，则b 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝x ＋b 是增函数，又f (x )＝x ＋b 的零点在区间(0,1)内，∴{ f＜0，f＞0.∴{ b ＜0，＋b ＞0.∴－1＜b ＜0.答案：(－1,0)9．判断下列函数是否存在零点，若存在，则求出零点． (1)f (x )＝x 2＋3x －15； (2)f (x )＝x 3－x .解：(1)由x 2＋3x －15＝(x －3)(x ＋5)＝0，得x 1＝－5，x 2＝3， 所以函数f (x )的零点是－5,3.(2)因为x 3－x ＝x (x 2－1)＝x (x －1)(x ＋1)． 令f (x )＝0，即x (x －1)(x ＋1)＝0. 所以f (x )的零点有0,1，－1.10．已知函数f (x )＝ax 2＋2(a ＋1)x ＋a －1. (1)求a 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点； (2)如果函数的一个零点在原点，求a 的值．解：(1)若函数的图象与x 轴有两个交点，则已知函数为二次函数，且方程f (x )＝0有两个不相等的实数根，于是有a ≠0，Δ>0.又Δ＝4(a ＋1)2－4a (a －1)>0，即a >－13，所以满足题意的实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0∪(0，＋∞)．(2)如果函数的一个零点在原点，即x ＝0是方程f (x )＝0的一个根，易得a －1＝0，解得a ＝1.层级二 应试能力达标1．函数f (x )＝x 3－4x 的零点为( ) A ．(0,0)，(2,0) B ．(－2,0)，(0,0)，(2,0) C ．－2,0,2D ．0,2解析：选C 令f (x )＝0，得x (x －2)( x ＋2)＝0，解得x ＝0或x ＝±2，故选C. 2．函数y ＝x 2＋a 存在零点，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞0 B ．a ≤0 C ．a ≥0D ．a ＜0解析：选B 函数y ＝x 2＋a 存在零点，则x 2＝－a 有解，所以a ≤0.3．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )＜0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( ) A ．至少有一个实根 B ．至多有一个实根 C ．没有实根D ．有唯一实根解析：选 D f (x )＝－x －x 3的图象在[a ，b ]上是连续的，并且是单调递减的，又因为f (a )·f (b )＜0，可得f (x )＝0在[a ，b ]内有唯一一个实根．4．若函数f (x )＝x ＋a x(a ∈R)在区间(1,2)上有零点，则a 的值可能是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．3解析：选A f (x )＝x ＋a x 在(1,2)上有零点，即方程x ＋a x＝0，亦即x 2＝－a 在(1,2)上有根．∴－1＜a ＜－4，故选A.5．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．解析：因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f (0)＝0.又因为f (－2)＝0，所以f (2)＝－f (－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：3 06．对于方程x 3＋x 2－2x －1＝0，有下列判断： ①在(－2，－1)内有实数根； ②在(－1,0)内有实数根； ③在(1,2)内有实数根；④在(－∞，＋∞)内没有实数根． 其中正确的有________．(填序号)解析：∵x ＝0不是方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根，∴原方程可化为x 2＋x －2－1x＝0，即x 2＋x －2＝1x.令f (x )＝x 2＋x －2，g (x )＝1x，∴原方程的根即为f (x )与g (x )图象交点的横坐标，其图象如图．由图象知①②③正确． 答案：①②③7．已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点．(2)若函数f (x )一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值范围．解：(1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1.所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f (1)＜0，即1－b ＋3＜0，所以b ＞4. 故b 的取值范围为(4，＋∞)．8．已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点． (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值．解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m )＞0，可解得m ＜43；由Δ＝0，可解得m ＝43；由Δ＜0，可解得m ＞43.故当m ＜43时，函数有两个零点；当m ＝43时，函数有一个零点；当m ＞43时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.。
2017-2018学年高中数学人教B版必修一课时作业：幂函数
第三章 3.3一、选择题1．下列命题中正确的是导学号 65165001( D ) A ．幂函数的图象不经过点(－1,1) B ．幂函数的图象都经过点(0,0)和点(1,1)C ．若幂函数f (x )＝x a 是奇函数，则f (x )是定义域上的增函数D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限[解析] 幂函数y ＝x 2经过点(－1,1)，排除A ；幂函数y ＝x －1不经过点(0,0)，排除B ；幂函数y ＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C ，故选D ．2．函数y ＝(k 2－k －5)x 2是幂函数，则实数k 的值是导学号 65165002( C ) A ．k ＝3 B ．k ＝－2 C ．k ＝3或k ＝－2D ．k ≠3且k ≠－2[解析] 由幂函数的定义知k 2－k －5＝1，即k 2－k －6＝0，解得k ＝3或k ＝－2. 3．如图曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象，已知n 取±2，±12四个值，相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为导学号 65165112( B )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[解析] 根据幂函数性质，C 1、C 2在第一象限内为增函数，C 3、C 4在第一象限内为减函数，因此排除A 、C ．又C 1曲线下凸，所以C 1、C 2中n 分别为2、12，然后取特殊值，令x＝2,2－12>2－2，∴C 3、C 4中n 分别取－12、－2，故选B ．4．已知幂函数y ＝(m 2－5m －5)x 2m ＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m ＝导学号 65165003( B )A ．1B ．－1C ．6D ．－1或6[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m －5＝12m ＋1<0，解得m ＝－1.5．函数y ＝x 3与函数y ＝x 13的图象导学号 65165004( D )A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称[解析] y ＝x 3与y ＝x 13互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，故选D ．6．设函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在幂函数y ＝x α的图象上，则该幂函数的单调递减区间是导学号 65165005( C )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)，(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)[解析] 函数y ＝a x －2－12(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A (2，12)，又点A (2，12)在幂函数y ＝x α的图象上，∴12＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y ＝x －1，其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． 二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12(x >0)－2 (x ＝0)(x ＋3)12 (x <0)，则f {f [f (0)]}的值为__1__.导学号 65165006[解析] 当x ＝0时， f (x )＝－2，∴f (0)＝－2； 当x <0时，f (x )＝(x ＋3)12，∴f (－2)＝(－2＋3)12＝1； 当x >0时，f (x )＝x －12，∴f (1)＝1.∴f {f [f (0)]}＝1.8．若a ＝⎝⎛⎭⎫1235 ，b ＝⎝⎛⎭⎫1535 ，c ＝(－2)3，则a 、b 、c 的大小关系为__a >b >c .导学号 65165007 [解析] ∵y ＝x 35在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝⎛⎭⎫1235 >⎝⎛⎭⎫1535 >0.又c ＝(－2)3＝－8<0，∴a >b >c .三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m2＋m －1，m 为何值时，f (x )是(2)反比例函数； (3)二次函数；(4)幂函数.导学号 65165008 [解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，解得m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，解得m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， 解得m ＝－1±2. 10．已知函数f (x )＝x 13－x －135，g (x )＝x 13＋x －135.导学号 65165009(1)证明f (x )是奇函数，并求函数f (x )的单调区间；(2)分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出f (x )和g (x )对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．[解析] (1)∵函数f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∴定义域关于原点对称． 又∵f (－x )＝(－x )13－(－x )－135＝－x 13－x －135＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．在(0，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则x 113 <x 213，x 2－13<x 1－13，从而f (x 1)－f (x 2)＝x 113 －x 1－135－x 213 －x 2－135＝15(x 113 －x 213 )＋15(x 2－13 －x 1－13 )<0，∴f (x )＝x 13－x －135在(0，＋∞)上是增函数．∴函数f (x )在(－∞，0)上也是增函数．故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)． (2)f (4)－5f (2)g (2)＝413－4－135－5×213－2－135×213＋2－135＝0；f (9)－5f (3)g (3)＝913 －9－135－5×313－3－135×313＋3－135＝0.由此可推测出一个等式f (x 2)－5f (x )g (x )＝0(x ≠0)． 证明如下： f (x 2)－5f (x )g (x )＝(x 2)13－(x 2)－135－5×x 13－x －135×x 13＋x －135＝x 23－x －235－x 23－x －235＝0，故f (x 2)－5f (x )g (x )＝0成立．。
高中数学课时检测24椭圆的几何性质二含解析新人教B版选择性必修第一册
课时跟踪检测（二十四） 椭圆的几何性质（二）[A 级 基础巩固]1．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．y 24 ＋x 23 ＝1B ．x 24 ＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1 D ．x 24＋y 23＝1解析：选D 右焦点为F (1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1.又离心率为c a ＝12 ，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24 ＋y 23＝1. 2．已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13 D ．12解析：选D 如图，∵AP ―→＝2PB ―→，∴OA ＝2OF ，∴a ＝2c ，∴e ＝12.3．F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( )A ．22B ．24C ．12D ．32解析：选A 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)，P (－c ，m ).∵OP ∥AB ，∴△PFO ∽△BOA ， ∴ca ＝m b，①又∵P (－c ，m )在椭圆上，∴c 2a 2 ＋m 2b2 ＝1, ② 将①代入②得2c2a2 ＝1，即e 2＝12 ，∴e ＝22，故选A.4．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a ，b ，则椭圆的面积公式为S ＝πab .若椭圆C 的离心率为32 ，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为( ) A.x 216＋y 24＝1或y 216＋x 24＝1B ．x 216 ＋y 212 ＝1或y 216 ＋x 212＝1 C ．x 212 ＋y 24 ＝1或y 212 ＋x 24＝1D ．x 216＋y 29＝1或x 29＋y 216＝1解析：选A 由题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，πab ＝8π，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a＝4，b ＝2，c ＝2 3，∴椭圆方程为x 216＋y 24＝1或y 216＋x 24＝1，故选A.5．(多选)2020年11月28日，“嫦娥五号”顺利进入环月轨道，其轨道是以月球的球心F 为一个焦点的椭圆(如图所示).已知它的近月点A (离月球表面最近的点)距离月球表面m 千米，远月点B (离月球表面最远的点)距离月球表面n 千米，AB 为椭圆的长轴，月球的半径为R 千米．设该椭圆的长轴长，焦距分别为2a ，2c ，则下列结论正确的有( )A ．a ＝m ＋n2B ．a ＝m ＋n2 ＋RC ．c ＝n －m2D ．c ＝n －m2＋R 解析：选BC 由题意可知2a ＝2R ＋m ＋n ，所以a ＝m ＋n2＋R ，因为a －c ＝R ＋m ，a ＋c＝R ＋n ，所以c ＝n －m2，故选B 、C.6．已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为________．解析：不妨设a ＞0，因为椭圆C 的一个焦点为(2，0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22 ，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. 答案：227．若椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知e ＝ca ＝32，2b ＝4，得b ＝2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2＝4＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝4，c ＝23，所以椭圆的标准方程为x 216 ＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝18．若椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点)，则椭圆的离心率e 的取值范围为________．解析：设点M 的坐标是(x 0，y 0)，则|x 0|<a .∵F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，∴MF 1―→＝(－c －x 0，－y 0)，MF 2―→＝(c －x 0，－y 0). ∵∠F 1MF 2＝90°，∴MF 1―→·MF 2―→＝0，∴x 20 ＋y 20 ＝c 2.又y 2＝b 2－b 2a 2 x 20 ，∴x 20 ＋y 20 ＝b 2＋c 2a2 x 20 ∈[b 2，a 2)，即c 2∈[b 2，a 2)，∴c 2≥b 2＝a2－c 2，∴c 2a 2 ≥12 ，∴e ≥22，又0<e <1，故椭圆的离心率e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 . 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 9．过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A ，B 两点，若|F 1A |＝2|F 1B |，求椭圆的离心率e .解：如图，设椭圆的右焦点为F 2，长轴长为2a ，焦距为2c ，|BF 1|＝m ，则|AF 1|＝2m .由椭圆的定义知：|AF 2|＝2a －2m ，|BF 2|＝2a －m . 在△AF 1F 2及△BF 1F 2中，分别用余弦定理，整理，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝m （2a －c ）， ①2（a 2－c 2）＝m （2a ＋c ）， ② ①÷②，得12 ＝2a －c 2a ＋c ，即12 ＝2－e 2＋e ，解得e ＝23.10．已知地球运行的轨道是长半轴长a ＝1.50×108km ，离心率e ＝0.019 2的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．解：∵e ＝c a＝0.019 2，a ＝1.50×108(km)， ∴c ＝ea ＝2.88×106(km).∴地球到太阳的最大距离为a ＋c ＝1.528 8×108(km)， 地球到太阳的最小距离为a －c ＝1.471 2×108(km).[B 级 综合运用]11．已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率e ＝12，A ，B 是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，直线PA ，PB 的倾斜角分别为α，β，则cos （α＋β）cos （α－β）＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 由已知，A (－a ，0)，B (a ，0)，P (x ，y )， 则tan α＝yx ＋a ，tan β＝yx －a， ∴tan αtan β＝yx ＋a ·yx －a ＝y 2x 2－a 2 ，∵椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的离心率e ＝12 ，∴a 2－b 2a 2 ＝14 ，∴a 2＝43 b 2，∴x 243b2 ＋y 2b2 ＝1，∴y 2＝b 2－3x 24 ，∴y 2x 2－a 2 ＝b 2－3x 24x 2－43b 2＝－34， ∴tan αtan β＝－34，∴cos （α＋β）cos （α－β） ＝cos αcos β－sin αsin βcos αcos β＋sin αsin β ＝1－tan αtan β1＋tan αtan β ＝1＋341－34 ＝7.故选D.12．(多选)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 2作y 轴的垂线交椭圆C 于P ，Q 两点，则下列说法正确的是( ) A ．椭圆C 的方程为y 23 ＋x 2＝1B ．椭圆C 的方程为x 23 ＋y 2＝1C ．|PQ |＝233D ．△PF 1Q 的周长为43解析：选ACD 由已知得2b ＝2，b ＝1，c a ＝63， 又a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝3.∴椭圆C 方程为y 23＋x 2＝1，由此选项B 是错误的．∵c ＝ a 2－b 2＝2 ， 不妨设F 2为椭圆上焦点， ∴F 2(0，2 )，∴直线PQ 的方程为y ＝2 .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y 23＋x 2＝1， 可解得x ＝±33 .∴|PQ |＝233 ，故C 正确．∵|PQ |＋|PF 1|＋|QF 1| ＝|PF 2|＋|QF 2|＋|PF 1|＋|QF 1| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|QF 1|＋|QF 2|) ＝2a ＋2a ＝4a ＝43 ，∴D 正确．13.如图，底面直径为12 cm 的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为________，短轴长为________，离心率为________．解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm ，长轴长为12cos 30°＝83 (cm)，则c 2＝(43 )2－62＝12，∴c ＝23 ，∴离心率e ＝c a ＝12.答案：83 cm 12 cm1214．(1)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 为直线y ＝2b上一点，△F 1MF 2是等边三角形，求椭圆C 的离心率；(2)椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的右顶点是A (a ，0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)∵△F 1MF 2是等边三角形，则易知M (0，2b )，∴|MF 1|＝|F 1F 2|，即4b 2＋c 2＝2c ，即4b 2＋c 2＝4c 2，又b 2＝a 2－c 2，∴4(a 2－c 2)＋c 2＝4c 2，即4a 2＝7c 2，则e 2＝c 2a 2 ＝47，故e＝277(负值舍去).(2)设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 2. ∴y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2 ，又0<x <a ，∴0<ab 2a 2－b2 <a ，即2b 2<a 2.由b 2＝a 2－c 2，得a 2<2c 2，∴e >22. 又∵0<e <1，∴22<e <1. [C 级 拓展探究]15．有一椭圆形溜冰场，长轴长是100 m ，短轴长是60 m ．现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形，且使这个矩形的面积最大，试确定这个矩形的顶点的位置．这时矩形的周长是多少？解：分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为x 轴，y 轴，以长轴的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．易知矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴对称．已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ，则a ＝50 m ，b ＝30 m ，所以椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.设点A 的坐标为(x 0，y 0)，x 0＞0，y 0＞0，则x 20 502 ＋y 20 302 ＝1，即y 20 ＝302502 (502－x 20 ). 根据矩形ABCD 的对称性，可知它的面积S ＝4x 0y 0. 因为x 20y 20＝x 20·302502 (502－x 20 )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3050 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20 －50222＋5044 ， 所以当x 20＝5022时，x 20 y 20 取得最大值，此时S 也取得最大值．这时x 0＝252 ，y 0＝152 .矩形ABCD 的周长为4(x 0＋y 0)＝4×(252 ＋152 )＝1602 (m).因此，在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距252 m 的直线，这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点，这个矩形的周长为1602 m.。
人教B版数学高一版必修1同步测控3.3幂函数
同步测控我夯基,我达标1.下列命题中,正确的是( )A.当α=0时，函数y=x α的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点C.若幂函数y=x α的图象关于原点对称，则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大D.幂函数的图象不可能在第四象限解析：当α=0时，函数y=x α定义域为{x|x≠0,x ∈R }，其图象为两条射线，故A 不正确； 当α<0时，函数y=x α的图象不过（0，0）点，故B 不正确；幂函数y=x -1的图象关于原点对称，但在其定义域内不是增函数，故C 不正确； 幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确. 答案：D2.下列函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为( ) A.y=x32- B.y=x23-C.y=x 23 D.y=x 3解析：先把指数式化为根式，再求定义域. 答案：B3.下列函数中,在(-∞,0)上为减函数的是( )A.y=x 31 B.y=x2 C.y=x3 D.y=x -2 解析：由幂函数的性质,可知y=x 2在(-∞,0)上为减函数. 答案：B4.下列函数中不是幂函数的是( )A.y=xB.y=x 3C.y=2xD.y=x -1 解析：根据幂函数的定义：形如y=x α的函数称为幂函数，可知C 不是幂函数. 答案：C5.已知函数f(x)＝(a-1)·12-+a a x ,当a ＝__________时，f(x)为正比例函数；当a ＝__________时，f(x)为反比例函数； 当a ＝__________时，f(x)为二次函数； 当a ＝__________时，f(x)为幂函数.解析：当f(x)为正比例函数时，⎩⎨⎧≠-=-+,01,112a a a 即a ＝-2；当f(x)为反比例函数时，⎩⎨⎧≠--=-+,01,112a a a 即a ＝0或a ＝-1；当f(x)为二次函数时，⎩⎨⎧≠-=-+,01,212a a a 即a ＝2131±-；当f(x)为幂函数时，a-1＝1，即a ＝2.答案：-2 0或-12131±- 2 6.求下列函数的定义域： (1)y=(3x-2)21+(2-3x)31-;(2)y=(21+-x )21-.分析:注意开方次数的奇偶和分式是否出现.解：(1),323232032,023>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≥⇒⎩⎨⎧≠-≥-x x x x x 由此得,函数y=(3x-2)21+(2-3x) 31-的定义域为(32,+∞). (2)21+-x >0⇒x+1<0⇒x<-1,由此得,函数y=(21+-x )21-的定义域为(-∞,-1).7.幂函数y=f(x)的图象过点(4,21)，求f(8)的值. 分析:本题要想求得f(8)的值，必须要先求得幂函数的解析式. 解：设f(x)=x a ,则21=4a ，a=21-. ∴f(x)=x 21-. ∴f(8)=821-=42221=. 8.求满足a 21>a 31的字母a 的取值范围.分析:根据已知条件可知a 21，a 31分别对应幂函数y=x 21,y=x 31的函数值.要想求满足条件的a 的范围,只要判断出x 为何值时曲线y=x 21在曲线y=x 31上方即可.解：在同一坐标中，分别作出y 1=x 21，y 2=x 31的图象(如图所示),由图象可知要使y 1>y 2，只需x>1.∴当a>1时,a21>a31不等式恒成立.我综合,我发展9.函数y=x21的图象是( )图3-3-4解析：函数y=x21的定义域为(0,+∞)，且过（0，0）、（1，1）点.答案：C10.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-,0,,0,121xxxx若f(a)>a,则实数a的取值范围是___________.解析：根据题意,得⎪⎩⎪⎨⎧≥>-,0121aa或⎩⎨⎧>>-,0,aaa解得a<0.答案：(-∞,0)11.已知函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=x-x4,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=____________.解析：当x∈(0,+∞)时,-x<0,f(-x)=(-x)-(-x)4=-x-x4=f(x).答案：-x-x412.讨论函数y=x52的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.分析:按幂函数的性质求解.解：（1）要使y＝x52＝52x有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R.（2）∵x∈R，∴x2≥0.∴y≥0.故函数值域为［0,+∞).（3）f（-x）＝52)(x-＝52x＝f（x），∴函数y＝x52是偶函数.（4）∵n＝52＞0，∴幂函数y＝x52在［0，+∞）上单调递增.由于幂函数y=x52是偶函数，∴幂函数y＝x52在（-∞，0）上单调递减.（5）其图象如图所示:13.若(a＋1) 31-＜(3-2a) 31-，试求a的取值范围.分析:根据幂函数的性质求解,分成三种情况讨论.解：有三种可能情况：⎪⎩⎪⎨⎧>+>>+2a-31a0,2a-30,1a或⎩⎨⎧><+2a-30,1a或⎪⎩⎪⎨⎧>+<<+2a,-31a0,2a-30,1a解得a∈(-∞，-1)∪(32，23).14.已知y=20052006200512005--+-xx的值.分析:根据二次根式的定义，被开方数必须非负，我们可以求出x和y的值，然后把所求x 和y的值代入所要求解的代数式.解：要使12005-x有意义，必须2 005x-1≥0，即x≥20051.要使x20051-有意义，必须1-2 005x≥0，即x≤20051.综合上述，必须x=20051，这时y=20052006-.∴(x+y)2 006=(2005200620051-)2006=(-1)2006=1.我创新,我超越15.已知幂函数f(x)=(t3-t+1)x51(7+3t-2t2)(t∈Z)是偶函数且在(0,+∞)上为增函数，求实数t的值. 分析:关于幂函数y=x n(n∈Q,n≠0)的奇偶性问题，设qp(|p|,|q|互质),当q为偶数时，p必为奇数,y=qp是非奇非偶函数；当q是奇数时，y=qp的奇偶性与p 的奇偶性对应.解：∵f(x)是幂函数,∴t 3-t+1=1. ∴t=-1,1或0.当t=0时,f(x)=x 57是奇函数; 当t=-1时,f(x)=x 52是偶函数; 当t=1时,f(x)=x 85是偶函数. 又52，85都大于0，在(0,+∞)上为增函数, 故t=1或t=-1.16.已知函数f （x ）=nn nn xx x x --+-，x ∈(0,+∞)，n 为非零有理数，判断f （x ）在(0,+∞)上是增函数还是减函数,并证明你的结论.分析:本题通过函数单调性定义来判断时,应注意确定x 1n -x 2n 的正负，需要对非零有理数n 进行讨论,而不能误解为n>0或n 为正整数. 解：设x 1,x 2∈(0,+∞)，且x 1<x 2， 则f （x 1）-f （x 2）=))((2222112121nn nn n n n n x x x x x x x x ----++-=))(())((22211212121nnnnnnnnnnx x x x x x x x x x ----+++-.∵x 1,x 2∈(0,+∞)，∴x 1-n x 2-n >0,x 1n +x 1-n >0,x 2n +x 2-n >0,x 2n +x 1n >0.于是))(()(222112121nn n n nn n n x x x x x x x x ----+++>0. 又∵0<x 1<x 2，为确定x 1n -x 2n 的正负，需要对非零有理数n 进行讨论： ①当n>0时,x 1n -x 2n <0, ∴f （x 1）-f （x 2）＜0. ∴f （x 1）＜f （x 2）. ②当n<0时,x 1n -x 2n >0， ∴f （x 1）-f （x 2）＞0. ∴f （x 1）＞f （x 2）.综上讨论，可知当n>0时,f （x ）=nn nn xx x x --+-在(0,+∞)上是增函数;当n<0时,在(0,+∞)上是减函数.。
新人教版高中数学必修第一册：课时跟踪检测(十七) 幂函数
课时跟踪检测（十七） 幂函数A 级——学考合格性考试达标练1．在函数①y ＝1x，②y ＝x 2，③y ＝2x 2，④y ＝x -12中，是幂函数的是( )A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，④是α＝－12的情形，所以①②④都是幂函数；③中x 2的系数是2，所以不是幂函数，所以只有①②④是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 D ．1 C.32D ．2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝ ⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 D ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0 D ．m <n <0 C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m ＞2n ，所以n ＜m ＜0.6．若y ＝axa 2＋12是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y ＝ax a 2＋12是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x 32，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x 1 12 f (x )122则f (x )的单调递增区间是解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝x 12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.10．比较下列各组数的大小． (1)3－72和3.2－72； (2)⎝⎛⎭⎫－23 23和⎝⎛⎭⎫－π623； (3)4.125和3.8-43.解：(1)函数y ＝x －72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－72＞3.2－72. (2)⎝⎛⎭⎫－23 23＝⎝⎛⎭⎫2323，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝⎛⎭⎫－2323＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623. (3)4.125＞125＝1，0＜3.8-43＜1-43＝1，所以4.125＞3.8-43.B 级——面向全国卷高考高分练1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 D ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B 由幂函数的定义，可得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2.当m ＝1时，y ＝x －2，其图象不过原点；当m ＝2时，y ＝x 0，其图象不过原点．故m ＝1或2.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 23D ．y ＝x-13C ．y ＝x 32D ．y ＝x-23解析：选D A 中，函数y ＝x 23是偶函数，因为23＞0，故函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，B 、C 中的函数不是偶函数，故选D.3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值是( )A ．－1 D ．－2 C ．－3D ．－4解析：选C 由已知得2a＝12，解得a ＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3.故选C.4．对于幂函数f (x )＝x 45，若0＜x 1＜x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）2B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2D ．无法确定解析：选A 幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0＜x 1＜x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |＞12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）2，故选A.5．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0. 答案：(－∞，0)6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R )为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3.当m ＝2时，f (x )＝x －3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去； 当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x －4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |， 即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.C 级——拓展探索性题目应用练已知幂函数f (x )＝x2m 1(－)3(m ∈N )是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的解析式，并讨论g (x )＝a f （x ）－bxf （x ）的奇偶性．解：由f (x )＝x2m 1(－)3(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，得13(m －2)＜0，∴m ＜2.∵m ∈N ，∴m ＝0，1.∵f (x )是偶函数，∴只有当m ＝0时符合题意，故f (x )＝x -23.于是g (x )＝a|x 13|－bx13，g (－x )＝a|x 13|＋bx13，且g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ≠0且b ≠0时，g (x )既不是奇函数也不是偶函数； 当a ＝0且b ≠0时，g (x )为奇函数；当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．。
2017-2018学年高中数学北师大必修1：课时跟踪检测十九
课时跟踪检测（十九）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较层级一学业水平达标1．有一组试验数据如下表所示：A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)解析：选C通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D 中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ex答案：D3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.4．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如下表：①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1.A．①②B．③④C．②③D．②④答案：B5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析：选B画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g (x )＞f (x )＞h (x )．6．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x ，________，________.解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律．答案：y 3 y 2 y 17．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.758.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．解析：由t ∈[0,3]的图像，联想到幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t ∈[3,8]的图像可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产．答案：②③9．假设我国国民经济的年平均增长率为9%，试问经过几年可以使国民经济翻一番？(lg 2≈0.301 0，lg 1.09≈0.037 4)解：设经过x 年后可以翻一番，则有(1＋0.09)x ＝2， 即1.09x ＝2.x ＝lg 2lg 1.09≈0.301 00.037 4≈8.所以经过8年可以翻一番． 10．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当0<x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．层级二 应试能力达标1．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：选A 把t ＝1,2,3代入验证易得结果．2．四人赛跑，假设他们走过的路f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x ＞1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D.3．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )<g (x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g (x )C ．g (x )<h (x )<f (x )D ．f (x )<g (x )<h (x )解析：选D 取特殊值x ＝12代入可排除A 、B 、C.4．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈Z)的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是( )A ．p ≥0B ．0<p <1C ．p <1且p ≠0D ．p >1解析：选C 当p <0时，f (x )＝x p ＝⎝⎛⎭⎫1x －p，在(0,1)上单调递减，∴y >f (1)＝1在直线y ＝x 上面，故只有C 正确．5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2006年以150万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年增长率不变，那么到2016年，这所房子的价格y (万元)与价格年增长率x 之间的函数关系式是______．解析：1年后，y ＝150(1＋x )；2年后，y ＝150(1＋x )2；3年后，y ＝150(1＋x )3，…，10年后，y ＝150(1＋x )10.答案：y ＝150(1＋x )106．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)解析：设距现在为x 年，则有⎝⎛⎭⎫12x 5 730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400. 答案：7 4007．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1 h 后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2 h 后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 h 后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4 h 后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y 与时间x (h)之间的函数关系为 y ＝100×⎝⎛⎭⎫32x ，x ∈N ＋.由100×⎝⎛⎭⎫32x >1010，得⎝⎛⎭⎫32x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46 h ，细胞总数超过1010个．8．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋6，g (x )＝a 23x ＋b 2(a 1，a 2，b 1，b 2∈R)．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解：(1)依题意：由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝6，f (2)＝14，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝0，4a 1＋2b 1＝8.解得a 1＝4，b 1＝－4，∴f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，有⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8.解得a 2＝13，b 2＝5，∴g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g (5)＝86万元， 故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时， 有f (x )＝g (x )； 当1<x <5时， 有f (x )>g (x )； 当5<x ≤12时， 有f (x )<g (x )．。
人教B版高中数学高一必修1学业测评3.3幂函数
学业分层测评(二十三) 幂函数(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．幂函数f (x )的图象过点(2，m )且f (m )＝16，则实数m 的值为( )A ．4或12 B ．±2 C ．4或14D.14或2【解析】 设f (x )＝x α，由f (x )图象过点(2，m )，得2α＝m ，∴f (m )＝f (2α)＝(2α)α＝16，∴α2＝4，α＝±2，故m ＝2α＝4或14. 【答案】 C2．已知幂函数f (x )＝x a ，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则a 的取值范围是( )A ．0＜a ＜1B ．a ＜1C ．a ＞0D ．a ＜0【解析】 当x ＞1时，f (x )＜x 恒成立，即x a －1＜1＝x 0恒成立，因为x ＞1，所以a －1＜0，解得a ＜1，故选B.【答案】 B3．如图3-3-3所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图3-3-3A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1【解析】 因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．【答案】 B4．已知幂函数f (x )的图象经过点(4,2)，则f (x )的增区间为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)【解析】 设幂函数f (x )＝x n ，则4n ＝2，解得n ＝12，即有f (x )＝x ，则有x ≥0，则增区间为(0，＋∞)．故选C.【答案】 C5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( )【导学号：60210095】A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【解析】 由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝(x )25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.【答案】 B 二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2在x ∈(0，＋∞)上为减函数，则实数m 的值是________.【导学号：97512055】【解析】 因为函数y ＝(m 2－2m －2)x －4m －2既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎨⎧m 2－2m －2＝1，－4m －2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m >－12，解得m ＝3.【答案】 3 7．0.16-12、0.25-14、6.2514从小到大依次是________．【解析】 ∵0.25-14＝0.5-12<0.16-12，0.25-14＝414<6.2514，6.2514＝2.512＝0.4-12<0.16-12.【答案】 0.25-14<6.2514<0.16-128．已知n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，则n ＝________. 【解析】 ∵－12＜－13，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n，∴y ＝x n 在(－∞，0)上为减函数．又n ∈{－2，－1,0,1,2,3}，∴n ＝－1或n ＝2. 【答案】 －1或2 三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)2.334，2.434；(2)(2)-32，(3)-32；(3)(－0.31)65，0.3565.【解】(1)∵y ＝x 34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334<2.434.(2)∵y ＝x -32为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)-32>(3)-32.(3)∵y ＝x 65为R上的偶函数，∴(－0.31)65＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165<0.3565，即(－0.31) 65<0.3565.10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18. (1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．【解】 (1)由题意，得f (2)＝2a＝18，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x 3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，∴该幂函数为奇函数． 当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[能力提升]1．若(a ＋1)-12<(3－2a )-12，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】 令f (x )＝x-12＝1x，∴f (x )的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a ，解得23<a <32.【答案】 B 2．函数y ＝x 23的图象是()【解析】 幂函数y ＝x 23是偶函数，图象关于y 轴对称．【答案】 D 3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )【解析】 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故选C. 【答案】 C4．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数； (2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域.【导学号：97512056】【解】 因为m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，所以m ＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)、(2)都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．。
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课时跟踪检测（二十四） 幂函数层级一 学业水平达标1．在函数①y ＝1x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x －12中，是幂函数的是( )A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m＞2n，所以n ＜m ＜0.6．若y ＝axa -212是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y ＝ax a -212是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x 12，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：则f ．解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝x 12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m m 21＋－，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.10．比较下列各组数的大小． (1)3-72和3.2-72； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623； (3)4.125和3.8－43. 解：(1)函数y ＝x-72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3-72＞3.2-72.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623.(3)4.125＞125＝1,0＜3.8-43＜1-43＝1，所以4. 125＞3.8-43. 1．已知函数f (x )＝(a 2－a －1)xa 12－为幂函数，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．－2或1C ．－1D ．1 解析：选C 因为f (x )＝(a 2－a －1)x a 12－为幂函数，所以a 2－a －1＝1，即a ＝2或－1.又a －2≠0，所以a ＝－1.2．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数解析：选C 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α＞0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c解析：选D 构造幂函数y ＝x 34(x ∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a >b .4．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B 要确定一个幂函数y ＝x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y ＝x α随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，－12，－2.5．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则a 的取值范围是________． 解析：函数y ＝x 12在[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＜3－2a ，解得－1＜a ＜23. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－1，236．已知函数f (x )＝x α13－在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.解析：取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x-13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x-23满足题意．答案：37．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242m m －＋在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x －2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增，∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4⇒0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1]．8．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N ＋，而m 与m ＋1中必有一个为偶数，∴m (m ＋1)为偶数． ∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)∵函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1. ∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2.又∵m ∈N ＋，∴m ＝1. 由f (2－a )＞f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1.解得1≤a ＜32.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.课时跟踪检测（二十四） 幂函数层级一 学业水平达标1．在函数①y ＝1x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x －12中，是幂函数的是( )A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 134．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m和y ＝x n在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0 6．若y ＝axa -212是幂函数，则该函数的值域是________．7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：则f ．8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m m 21＋－，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．10．比较下列各组数的大小． (1)3-72和3.2-72； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623； (3)4.125和3.8－43. 1．已知函数f (x )＝(a 2－a －1)xa 12－为幂函数，则实数a 的值为( )A ．－1或2B ．－2或1C ．－1D ．1 2．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1234，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1534，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <a D ．b <a <c4．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－125．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则a 的取值范围是________． 6．已知函数f (x )＝x α13－在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.7．已知幂函数f (x )＝(m －1)2x242m m －＋在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x－k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．8．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N ＋)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．.。