模n高斯整数环的商环的立方映射图

ａ
到 口有 一 条 有 向边 。本 文 对 映 射 图 留 （ ｙ ） 的 结 构 进 行 了研 究 ， 包括 留 （ ｙ ） 中不 动 点 的个 数 ， 顶点 ０ 、 １的 入 度 ，
（ ｙ ） 的半 正 则 性 ， 以及 任 一个 零 因 子 顶 点 在 映 射 图 中 的高 度 等 。
一
个 图称 为正 则 的 当且 仅 当存 在 正整 数 ｄ， 使 得 图 中所有 顶 点 的Байду номын сангаас人度 等 于 ｄ。一 个 图 称 为半 正则 的
当且仅 当存 在正整 数 ｄ， 使 得 图 中所 有顶 点 的人度 等于 ｄ或 者 ０ 。在 映射 图 中 ， 如果 ｈ是最小 的非负 整数
使 得 位 于 圈上 ， 则称顶 点 的高度 ｈ 口为 ｈ。如果 是 圈上 的点 ， 则ｈ 口 一０ 。
高斯整 数环 ｚ ｒ － ｉ － １ 是 很典 型且 构造 特殊 的一类 环 ， 在 环论 中 占很 重 要 的地 位 ， 由于 Ｚ［ ｉ ］ 既 融入 环 论 的 思想 ， 同时 又有数 论 的思想 贯穿 其 中 ， 国内外学 者 们从 多个 方 面对 Ｚｉ － ｉ － １ 进 行 了研究 。例 如 ： 文献 ［ １ ］ 确 定 了商 环 Ｚ［ ｉ － ］ ／ （ ｙ ＞ 中的等价 类 ， 并 对该 商环 进行 了同构分 类 ； 文献 ［ ２ — ３ ］ 研究 了 ＺＥ ｉ ］ 的一些 商环 的立 方映 射 图 的结 构 ； 对于 ｚＢ］ 的商 环 的单位 群 的研 究 ， 则在 文献 ［ ４ — ５ ］ 中获得 了完 全 的结 果 ； 文献 ［ ６ — ７ ］ 则从 零 因子
关键词 ： 高斯 整 数 环 ； 立方映射图 ； 人度 ； 圈； 半 正 则性
中图 分 类 号 ： Ｏ１ ５ ３ ． ３ ， Ｏ１ ５ ７ ． ５ 文献标志码 ： Ａ 文章编 号 ： １ ０ ０ １ — ６ ６ ０ ０ （ ２ ０ １ ６ ） ０ ３ — ０ ０ ５ ３ — ０ ９
０ 引 言
和零 因子 图的角 度对 高斯 整数 环 的商 环进 行 了研究 。
对 于 高斯整 数环 的商 环 ｚＥ ｉ ］ ／ （ ｙ ） ， 我们 定义立 方 映射 图 （ ｙ ） ， 该 映射 图 的顶点 为 ＺＥ ｉ ］ ／ （ ｙ ＞ 中的所 有
元素 ， 并且 ， 对 于图 中的两个 顶 点 ａ和 ， 如果 ： ＝ ： ａ 。 ， 则 从 ａ到 有 一条 有 向边 。其 中 （ ｙ ） 的每 一个 极 大
的正则性 以及 任一 个零 因子 顶点 在 够 （ ｙ ） 中的 高度 。推广 文献 ［ ２ — ３ ］ 中的相 关结论 。
收稿 Ｅ Ｉ 期： ２ ０ １ ６ — ０ ３ — ０ ３
基 金 项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ １ １ ４ ６ １ ０ １ ０ ， １ １ ６ ６ １ Ｏ １ ４ ） ； 广 西 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （ ２ ０ １ ４ ＧＸ ＮＳ Ｆ ＡＡ１ １ ８ ０ ０ ５ ） ；
第 ３ ４卷
第 ３期
广西 师 范大学 学报 （ 自然 科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇ ｕ ａ ｎ ｇ ｘ ｉ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
对于 ｒ ／ 一ｎ ＋ｂ ｉ ∈Ｚ ［ ｉ － ］ ， 记Ｉ ７ ７ Ｉ ＝ ＝ ： ￣ ／ ｎ 。 ＋ｂ 为ｒ ｌ 的模 。记 ｚ 为模 剩余类环 ， 同时 ｚ 也表示 阶加法
循 环群 。令 尺 为任 意 的交换 环 ， 定 义 Ｕ（ Ｒ） 为 Ｒ 的单位 群 ， Ｄ（ Ｒ） 为 Ｒ 中所 有零 因子 构成 的集 合 。若 ａ ∈ Ｕ（ ． Ｒ） ， 定义 ０ （ ａ ） 为 ａ在 己 ， （ Ｒ） 中 的阶 。如果 Ｒ—Ｚ ， 则以ｏ ｒ ｄ （ ａ ） 代替 ０ （ ａ ） 。 本 文研究 ＺＥ ｉ ］ ／ ＜ ｙ ） 的立方 映射 图 （ ｙ ） 的结构 ， 包 括 （ ｙ ） 中不 动点 的个数 、 顶 点 ０和 １的入 度 、 （ ｙ ）
摘
要： ｚＥ ｉ ］ 为高斯整数环 ， ｙ为 Ｚ ［ ｉ － ］ 中任意非零元 ， ＜ ｙ ） 表 示 由 ７生 成 的理 想 。定 义 商 环 ｚＥ ｉ ３ ／ （ ｙ ＞ 上 的立 方
映射 图 （ ｙ ） ， 该 映 射 图的 顶 点 为 ｚＥ ＱＩ ＜ ７ ＞ 中的所有元素 ， 并且 ， 对 于 图 中的 两 个 顶 点 ａ和 卢 ， 如果 卢 一ａ 。 ， 则 从
连 通子 图 叫做 （ ｙ ） 的一个 连通 分支 。显 然 Ｚ［ ｉ ］ ／ （ ｙ＞ 中 的单 位 和零 因子 不 可 能位 于 同一连 通 分 支 ， 所 以 可 以定 义 （ ｙ ） 的两个 子 图 （ ） ， ） 和 。 （ ｙ ） ， 其 中 （ ） ， ） 是 由 Ｚ［ ｉ ］ ／ ＜ ｙ ＞ 中所 有单 位组成 的子 图 ， 而 ｚ （ ｙ ） 是 由 ＺＥ ｉ ］ ／ （ ｙ ） 中所有 零 因子组成 的子 图。
Ｖｏ１ ． ３ ４ Ｎｏ ． ３ Ｓｅ ｐ ｔ ． ２０ １６
２ ０ １ ６年 ９月
模 高斯 整 数 环 的商 环 的立 方 映射 图
韦扬江 ， 梁 艺耀 ， 唐 高华 ， 苏磊 磊 ， 陈蔚 凝
（ 广 西 师 范 学 院 数 学 与统 计 科 学 学 院 ， 广西 南宁 ５ ３ ０ ０ ２ ３ ）
在 映射 图 （ ｙ ） 中， 若从 顶点 ａ到 有一 条有 向边 ， 则 称 ａ为 卢的一 个母 点 ， 而 则 称 为 ａ的衍生 点 。 我 们用 符号 ｉ ｎ ｄ ｅ ｇ （ １ ｆ ） 表示 的人度 ， 即 的所 有 母 点 的个 数 。如 果 ａ 。 一ａ ， 则 ａ称 为不 动 点 。如果 ｉ ｎ ｄ ｅ ｇ （ ａ ） 一１ ， 则 ａ称为 孤立 不动点 。一 个连 通分 支上 的点 如果 都在 圈上 ， 则称 这样 的连 通分 支为 孤立 圈 。