浅谈数学和谐美
浅谈数学之美
浅谈数学之美【摘要】数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
“那里有数学，哪里就有美”,数学美不是什么虚无缥缈、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容.数学美的内容是丰富的，如数学概念的简单性、统一性,结构系统的协调性、对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等，都是数学美的具体内容。
本文主要围绕数学美的三个特征:简洁性、和谐性和奇异性进行阐述。
【关键词】数学，数学美，美学特征数学美的表现形式是多种多样的，从外在形象上看：她有体系之美、概念之美、公式之美；从思维方式上看：她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美；从美学原理上看：她有对称之美、和谐之美、奇异之美等.此外，数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。
但这些都离不开数学美的三大特征，即：简洁性、和谐性和奇异性。
1简洁性是数学美的首要特点爱因斯坦说:“美，本质上终究是简单性"，“只有既朴实清秀,又底蕴深厚，才称得上至美”。
简洁本身就是一种美,而数学的首要特点在于它的简洁性.数学中的基本概念、理论和公式所呈现的简单性就是一种实实在在的简洁美。
数学家莫德尔说过:“在数学里美的各个属性中，首先要推崇的大概是简单性了”.数学的简洁性在人们生活中屡见不鲜：钱币只须有一分、二分、五分、一角、二角、五角、一元、二元、五元、十元……就可简单的构成任何数目的款项；圆的周长公式：C=2πR，就是“简洁美”的典范，它概括了所有圆形的共同特性；把一亿写成l08，把千万分之一写成10—7；二进制在计算机领域的应用……化繁为简，化难为易，力求简洁、直观。
数学不仅仅是在运算上要求这样，论证说明也更是如此。
显然，数学的公式与公理就是简洁美的最佳证据之一.1.1简洁性之一:符号美实现数学的简洁性的重要手段是使用了数学符号.符号对于数学的发展来讲是极为重要的，它可使人们摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节，没有符号去表示数及其运算，数学的发展是不可想象的。
谈数学课堂的和谐美
师： 那为 什 么都 可 以用 四分 之 一
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表 示呢 ？ ｊ 生 ：他 们都是把桃 子平均分成４；
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个 桃 子 组成 一 个 整 体 ， 均 分 成４ ， 平 份
子 的 四 分之 二 。
目的 ， 近 了数 学 知 识 与学 生 之 间 的 距 离 ， 于 学 生 自 拉 便 主 地 调 动 已有 的知 识 、 验 和 兴 趣 ， 而 积 极 主 动 地 参 经 从 与 到 知 识 的获 取 过 程 中 ， 与 到 问题 的解 决 过 程 中 。和 参 谐 的 教 学 情 境 使 学 者愉 悦 、 者轻 松 ， 个 课 堂 生 机 勃 教 整 勃 、 味盎然。 趣
份 ， 以每 只 小猴 分 得 这 盘 桃 子 的 二 所
分之一。
化 知 识 、 化 认 识 、 发 兴 趣 ， 学 生 初 步 感受 分 数 知 识 深 激 让 的应 用 价 值 。毛 老 师 创 设 的 １境 有 层 次 ， 不 同的 教 学 青 有
生 ： 觉得 每 只 小猴 分得 这 盘 桃 我
师 ： 只 小猴 能分 得 这 个 桃 的 几 分之 几 呢 ？ 每
谈 数 学 课
分之一 ， 现在得到二 分之一呢？ 生： 因为 刚 才是 平均 分成４ ， 只 小猴 得 到 这 样 的 份 每 份 ， 以 是 四 分 之 一 ， 在 是 平 均 分 成 ２ ， 只 小猴 所 现 份 每
每份都是 它的四分之一。
师 ： 出示情 景 图二 ） 果 把 这 盘 （ 如
桃 子 平 均分 给 两只猴 子？ 么 分？ 怎 （ 生 动 手 分一 分 ） 学 师 ： 在 每 只 小 猴 分 得 这 盘桃 子 现
试论数学的和谐美
发 现数 学和 谐 美、 认 识数 学和 谐 美的 目的 ． 关 键词 ：悖论 ； 和谐 性 ； 连续； 三 次 方程
中图分 类号 ： ０１ ３— ４
文 献标 识码 ：Ａ
文 章编 号 ：１ ０ ０ ８— ３ ４ ３ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ６ ５— ０ ３
宇宙 概念 常 常在哲 学 家脑子 里 表现 为 和谐—— 因为宇 宙 是 和谐 的 ． 宇 宙 的和谐 美是 思 维 实践 地 转化 为 感觉 、 理性 实 践地 转化 为感 性 的结果 ． 艺术 （ 如音乐和美术 ） 的和 谐 可 以被人 “ 感觉到” ； 数 学 以至 科 学 的和 谐， 人 们 同样 也可 以 “ 感觉” ， 它们 被 比拟 为艺 术 的表 现手 法 ， 从 而被 人 们 感 觉到 ． 玻尔 （ Ｎ． Ｂ ｏ ｈ ｒ ） 提 出的 院子 模 型 理论被 爱 因斯 坦称 为 “ 思想 领域 中最 高 的音乐 神韵 ” ； 罗塞伯 罗 姆 （ Ｐ ． Ｃ ． Ｒ ｏ ｓ ｅ ｌ ｂ ｌ ｏ ｏ ｍ） 说“ 一 个 数 学证 明 ，
＜０
）＝｛０ 【 ，
１．
＝０
０ ＜ ＜ 仃
可 表 示 为 ） ： （ ＋ 学＋ 学＋ …） ， ∈ ｃ 一 仃 ， 仃 ， ．
上 述 函数 依照 欧拉 的见解 ， 既是 不连 续 的 ， 同时 又是 连续 的． 在这 里显 然 出现 了一 个悖 论． １ ８ ２ １ 年， 柯西 对 “ 连续 ” 这 一概 念进 行 了重 新评 价 、 重 新审 度． 直至 １ ８ ５ ０年 外 尔斯 特拉 斯 给 出“ｓ一６形
第２ ７卷
第 ２期
开封大学学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｋ ＡＩ Ｆ Ｅ ＮＧ ＵＮＩ ＶＥ ＲＳ Ｉ Ｔ Ｙ
数学之美：通过数学问题的美学呈现,激发学生对数学的兴趣和美的追求
引导学生欣赏数学的美学价值
展示数学的美学元素，如对称、比例、黄金分割等 引导学生发现生活中的数学美，如建筑设计、音乐节奏等 让学生参与数学美的创作，如几何作图、数学游戏等 培养学生的数学审美能力，提高对数学美的敏感度和鉴赏力
培养学生的审美情趣和审美能力
引导学生发现数 学之美：通过展 示数学中的对称、 比例、黄金分割 等美学元素，引 导学生感受数学 的美。
组织数学竞赛活动提高学生的兴趣
竞赛形式：定期组织数学竞赛活动，吸引学生参与 奖励机制：设立奖励和荣誉，激励学生积极参与 团队合作：培养学生团队合作和竞争意识 互动交流：提供学生之间互动交流的平台，促进学习经验的分享
通过实际应用让学生感受到数学的实用性
引入生活实例：将数学问题与日常生活相结合，让学生意识到数学在解决实际问题中的 应用。
数学公式的美感： 简洁的公式中蕴 含着深刻的数学 原理，如圆的面 积公式。
分形几何：具有 自相似性的图形， 如雪花、海岸线 等。
数学中的和谐美
数学中的和谐美是指数学中的各个部分之间的协调与平衡，如几何图形的对称、数列的周期 性等。
数学中的和谐美也可以表现为数学概念之间的相互联系和统一，如代数与几何之间的联系等。
美学教育能够培 养学生的情感和 价值观，使学生 更加热爱数学和 数学学习。
美学教育能够提 高学生的综合素 质，促进学生的 全面发展。
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汇报人：XX
数学之美的美 学呈现方式
通过数学游戏展示数学之美
数学游戏的特点： 趣味性、互动性、 挑战性
数学游戏的作用： 激发学生对数学 的兴趣、培养数 学思维、提高解 决问题的能力
举例说明：数独、 24点游戏、数学 谜题等
如何在教学中运 用数学游戏：选 择合适的游戏、 设计有针对性的 教学目标、引导 学生积极参与并 思考
浅析数学之美
【 专题研讨 】
浅析数学 之美
曹
２ ． 海南师范大学
鹏 ， 符方健 ， 黄
婷 ， 罗 自强
海口 ５ ７ ｔ １ ０ ０ ；
（ １ ． ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 台师范高 等专科 学校
数理 系 ， 海南
信息科学技术学院， 海南
海口 ５ ７ １ １ ５ ８ ）
摘要 ： 数 学不仅 能 带给我 们 巨大的科技 成 就 ， 更带给 我们 纯精 神领 域 的 美的愉 悦 。 本 文从 美学的三 个 角度和谐 美、 简洁 美和 奇异 美来探 讨 数 学之 美 。 关键 词 ： 数 学； 美学 ； 方法 中图分 类号 ： Ｇ ６ ４ ２ ． ４
渊 冲先 生 的译 文 ： “ Ｔ ｈ ｅ Ｓ ａ ｄ Ｚ ｉ ｔ ｈ ｅ ｒ Ｗｈ ｙ ｓ ｈ ｏ ｕ ｌ ｄ ｔ ｈ ｅ ｚ ｉ ｔ ｈ ｅ ｒ
ｈ ａ ｖ ｅ ｉ ｆ ｆ ｔ ｙ ｓ ｔ ｉ ｒ ｎ ｇ ｓ ？Ｅａ ｃ ｈ ｓ ｔ ｉｎ ｒ ｇ ， ｅ ａ ｃ ｈ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｅ ｖ ｏ ｋ ｅ ｓ ｂ ｕ ｔ ｖ ａ ｎ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ｓ ｔ ｒ ｉ ｎ ｇ ｓ ． Ｄｉ ｍ ｍｏ ｒ ｎ ｉ ｎ ｇ ｄ ｒ ｅ ａ ｍｓ ｔ ｏ ｂ ｅ ａ ｂ ｅ ａ ｕ ｔ ｙ ｌ ｆ ｙ， Ａｍｏ ｒ ｏ ｕ ｓ ｈ ｅ ａ ｒ ｔ
们巨大的科技成就 ， 更带给我们纯精神领域的美的愉悦 。 本文将 从 以下几 个美 学 的角 度来探 讨数 学之 美 。 和 谐 美 和谐 即适 当和 匀称 。现 实世 界 具 有极 精 美 的数 学结
浅谈数学美的表现形式
浅谈数学美的表现形式数学美的表现形式是多种多样的，从数学内容看，有概念之美、公式之美、体系之美等；从数学的方法及思维看，有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等；从狭义美学意义上看，有对称之美、和谐之美、奇异之美等。
（一）语言美数学有着自身特有的语言———数学语言，其中包括：1 数的语言——符号语言关于“∏” ，《九章算术》 如斯说：“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”；面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数，我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形，其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯（公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员）。
还有sin∂、∞ 等等，一个又一个数的语言，无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。
2形的语言——视角语言从形的角度来看——对称性（“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事）；比例性（美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置？）；和谐性（如对数中：对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合！）；鲜明性（“最大值”、“最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”，并深切地感悟到：有山有水的地方，为何总是人杰地灵的内在神韵……）和新颖性（一个接一个数学“悖论”的出现，保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力）等等。
（二）、简洁美爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。
”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。
朴素，简单，是其外在形式。
只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。
欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？！在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
浅谈数学美的鉴赏
浅谈数学美的鉴赏人类对数学的认识最早是从自然数开始的。
这看似极普通的自然数里面，其实就埋藏着数不尽的奇珍异宝。
古希腊的毕达哥拉斯学派对自然数很有研究，当他们将这数不尽的奇珍异宝的一部分挖掘出来并呈现于人类面前时，人们就为这数的美震撼了。
其实，“哪里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的一个高度评价。
一、简洁美数学中的概念许许多多，但每个概念都就是以最为提炼、最归纳的语言得出的。
例如在《图的初步科学知识》教学中，可以先使学生回去探究过两点的直线存有多少条？然后再使学生用自己的语言去归纳这个结论，最后教师再得出“两点确认一条直线”，短短的一句话，简洁细致，内涵多样，充份使学生体会了数学定理的简约之美；又例如九年级上圆的定义“圆就是至定点的距离等同于定长的点的子集”，若并无“子集”则构成了点，二重未成圆，一字之差则情况差距万里，体现了数学概念的简约美。
欧拉给出的公式：v-e+f=2堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少？没有人能说清楚。
但它们的顶点数v、棱数e、面数f，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
二、人与自然美和谐是数学美的最高境界。
如果把数学比作一座殿堂，那么和谐性是其主要建筑特色，无论从局部或整体来看，都让人体会到平衡协调、相互呼应、浑然一体的美感。
欧拉公式：v-e+f=2 曾获得“最美的数学定理”称号欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系。
和谐美，在数学中多得不可胜数。
如著名的黄金分割比。
即0.…。
“黄金分割”问题，为什么它被誉为“黄金”呢？黄金分割比在许多艺术作品中、在建筑设计中都有广泛的应用。
达？芬奇称黄金分割比为“神圣比例”。
他认为“美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系上”。
维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。
浅谈小学数学中的美
参 考 文献
１ ． 黄伯荣，瘳序 东 《 现代汉语》 （ 增订三版 ） 高等教育出版社 ， ．
２ ０ ． ０ ２
２叶蜚声，徐通锵． 语言学纲要 》． ． 《 北京大学出版社 ，１９ ． ９７ ３王建 平． 语 言 交际 中的 艺术—— 语 境 的逻辑 功 能 》． 实 出版 社 ． 《 求
，
１ ８ ． ９ ９
１８５
算 ，启人 心扉 ，令 人赞 叹 。 魔 幻 谜题 ，运 用 科 学 思 维 ， “ 子会 告密 ” 、 “ 片 能 说 弹 卡 话 ”， 能知 你姓 氏，知 你 出生 年月 ，甚 至 能窥 见 你脑 中所 想 ，心 中所 思… …真 是奇趣 玄妙 ，鬼 斧 神工 。
２数 学的 简单 、和 谐美 ． 简单 性是 数 学美 的基 本 内容 ，数学 具 有形 式简 洁 、有 序 、规 整 和 高度 统 一 的特 点 ，许 多纷 繁复 杂 的现 象 ，可 以归 纳 为简 单 的 数 学 公式 。例 如 ，各 种 各样 三 角形 的面 积 可 以统一 用 一个 公 式表 示 ：Ｓａ ／ ．又 如 ，用 字 母表 示数 ，这 是 算术 到代 数 的飞 跃 ，不 ＝ｈ ２ 论 从 结构 或 是形 式上 ，都使 人感 到 式简 意 明 。数量 的和 谐 ： 空 间 的协 调是 构成 数 学美 的重 要 因素 。例如 ，加 、减 、乘 、除 的运 算 意 义 和各 部 分 ，构成 一 个整 体之 间 的相 依 、相 反关 系 。从 横 向分 析 ，加与 减 、乘 与除 之 间存 在着 可逆 的 关 系 ；从纵 向分析 ，加 与 乘 、减与 除之 间 又存 在着 互 相转 换 的关 系 。分 数除 法可 以转化 为 乘 法 ，乘 法也 可 以转 化 为除法 。学 生从 和谐 的 数学 关系 中，真 切 地 感受 到数 学知 识 的和谐 美与 结构 美 。 ３ 数学 的对 称美 ． 对称 是形 式美 的 要求 ，它 给 以人 以 圆满 、匀 称 、平 衡 、稳 重 和 沉静 的 感觉 。对 称 在小 学几 何 图形 中 随处 可 见 。长方 形 、正 方 形 、等 腰三 角 形 、圆 等都 是对 称 的例 子 。长 方 形具 有对 称 、稳 重 之 美 ；正 方形 具有 刚 健 、宏伟 之 美 ；等腰 三 角 形具 有安 祥 、庄 重 习数 学 的兴趣 。 之 美 ：圆 则是 小学 数 学教 材 中最 具有 代表 性 的对 称 图形 ， 它既 是 ２数 学美 可 以推动 学 生思维 的发 展 ． 轴对 称 图形 ，又是 中心对 称 图形 ，具 有柔 和 、完 满 、流 转之 美 ， 一 在数 学 教 学中 教学 可 以通 过对 数 学美 的追 求 ，弓 导学 生在 获 无 怪 有 人 称 “ 切 图形 中最 美 的是 圆形 ” 。通 过 对 这 些 图 形 的 Ｉ 得美 感 的 同时 ，不 断提 高 自己的思 维 能力 。在 数学 教 学活 动 中 ， 观 察 、分析 、研 究 、解 答 ，学 生在 学 习知 识 的 同时 ，受 到美 的 熏 教师 引导学 生领 略 数 学美 ，使 学生 对数 学 产生 强烈 的 情感 、浓 厚 陶 。 ４数 学 的 内在 美 ． 的兴 趣和 探 讨 的欲 望 ，将美 感 渗透 于数 学 教学 的全 过 程 。这种 审 美心 理 活动 能启 迪 和推 动 学生 数学 思 维活 动 ，触发 智 慧 的美感 ， 新 的 课 程 标 准 指 出 数 学 作 为 一种 普遍 适用 的 技 术 ， 有助 于 使学 生 的聪 明才智 得 以充分 发挥 。 人们 收 集 、整 理 、描述 信 息 ，建立 模 型 ，进 而解 决 问题 ，直 接 为 ３数 学美 是培 养学 生数 学创 新能 力的源 泉 ． 社会 创造 价 值 。数 学不 仅 帮助 人们 更 好地 探求 客 观世 界 的规 律 ， 首先 ，对 数 学美 感 的追 求是 人 们进 行数 学 创造 的 动力 来源 之 同 时为人 们 交 流信 息提 供 了一 种有 效 、简 捷 的手 段 。数 学是 人们 美 的信 息 隐藏 于数 学知 识 中 ，随着 信 息的 大量 积 累 、分解 和 在对 客观 世 界 定性 把握 和 刻画 的基 础 上 ，逐 步抽 象概 括 ，形 成 方 组合 ，达 到 一定 程度 时就会 产 生飞 跃 ，出现 顿 悟或 产 生灵 感 ，产 法和 理 论 ，并进 行应 用 的 过程 ，这 一 过程 充满 着 探索 与创 造 、观 生新 的 结论和 思 想 。所 以对 美 的不 断追 求促 使 人们 不 断地 创造 。 察 、实验 、模拟 、猜 测 和 调控 等 ，如 今 已经成 为人 们 发展 数 学 、 其次 ，数 学 美是 数 学创造 能力 的一 个有 机 组成 部分 。创 造 能力 更 应用 数 学 的重要 策 略 。正 是 由 丁有 上 述特 点 ，构 成 了数 学 巾的 内 多地 表现 为对 已有成 果 是否 满足 ，希望 由已知 推 向未 知 ， 由复 杂 在美 。数 学 中 的 内在美 ，不 是 以色 彩 、线 条 、旋律 等 形象 语 言表 化为 简单 ，将 分 散 予 以统一 。这 些 都需 要用 美 感去 组合 。再次 ， 现 出来 ，而 是把 自然规 律抽 象 成一 些 概念 、法 则 或公 式 ，并 通过 数学 美的方 法 也是数 学创 造 的一种 有 效方法 。 演绎 而构 成 一幅 现 实世 界 与理 想空 间 的完 美 图像 。如 在 分数 运算 三 、数 学 中的 美 中 ， 由于倒 数 的建立 ，除法 可 以转 化 为乘 法 ，乘法 可 以转 化 为 除 １数学 的趣 味美 ． 法 ，乘和 除这 一 对 矛盾达 到 了辩证 和 统一 ，充 分 体现 了数 学 的 内 数 学 是思 维 的体 操 。思 维 触 角 的 每 一 次 延 伸 ， 都 开 辟 了 一 在美 。 个 新 的天 地 。数 学 的趣味 美 ，体 现 为它奇 妙 无穷 的变 幻 ，而 这 种 数 学 之美 ，还 可 以 从更 多 的角 度 去 审 视 ，而 每 一 侧 面 的美 变 幻 是其他 学 科 望尘 莫及 的 。揭 开 了隐藏 于数 学 迷 宫 的奇异 数 、 都不 是孤 立 的 ，它们 是 相辅 相成 、密 不可 分 的 。如 果 在学 习过 程 对 称数 、 完全 数 、魔 术数 … …的 面纱 ，令 人惊 诧 ；观 看 了数 字波 中 ，我们 能与 数 学家 一起 探 索 、发 现 ，从 中获 得成 功 的喜 悦和 美 涛 ，数 字 旋涡 … …令 人感 叹 。一个 个 数字 ，非但 毫不 枯燥 ，而 且 的享受 ，那 么我 们就 会不 断深 入其 中 ，欣 赏和创 造 美 。 生机 勃 勃 ，鲜 活亮 丽 。根 据法 则 、规 律 ，运 用严 密 的逻辑 推 理演
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浅谈数学和谐美
数学历来被人们称作自然科学的“皇后”。
其实社会科学也无法离开数学，然而人们往往在注
重她的实用时，却忽略了她的“美”。
数学与艺术、一个以抽象的逻辑思维而见长，一个又以
形象思维为特征而相互区别，被认为是处在人类科学世界的“两极”。
但它们却有共同的根基
和思想脉络，那就是两者在相当大的程度上都是依赖于人的自由想象不断进行创造和发明的。
这对离现实越来越远，越来越抽象的现代数学来讲，尤其如此。
它们愈来愈象艺术一样，成
为人类的创造物，一种任意的结构。
以致许多人认为数学家和艺术家及诗人都是想象家，他
们工作时，几乎什么都不要，只要一只笔和一叠纸，就能弛骋于思维王国，而不管外部世界
给予他们什么。
正是依靠思维的创造性，数学家形成了奇特的概念、定理和命题，创造出优
美的数学形式和和谐完美的数学体系，使人叹为观止，给人以美的享受和陶冶。
人们把这种
比之自然美、艺术美更高层次的以数学的理论、体系结构的和谐与秩序而具有的理性美，称
之为数学美。
数学美有着丰富的内容和形式，数学概念的简单性、抽象性，结构系统的统一性、对称性与和谐性，数学命题与数学模型的概括性，典型性与普遍性，还有数学中的奇异
性等等都是数学美的具体内容。
归纳起来，数学美主要表现为简洁美、和谐美、奇异美。
本
文仅探讨其中一个方面：和谐美。
1.数学和谐美的表现
美是和谐的。
毕达哥拉斯通过对数学和科学的研究，深信“哪里有数，哪里就有美。
”整个宇
宙都是按照优美的数学方式设计的，都符合数的和谐。
数学和谐美基本表现为其内容和形式
的统一性和对称性两个方面。
统一性
数学和谐美的统一性主要表现为各种数学形式在不同层次上的高度统一和协调，以及数学理
论系统的完整性、推理的严谨性和无矛盾性与对立面的相互转化。
正如希腊数学家裴安所说：“和谐是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。
”
亚里士多德认为，美在于事物本身的秩序匀称，互相协调，和谐统一，数学内容尽管丰富多彩，却处于和谐的统一体中，数学方法尽管绚丽多姿，却能互相转化，结合达到高度统一。
可以毫不奈张的说，和谐统一在数学中无处不有，比比皆是。
一些本质上截然不同的概念，一些形态上完全各异的图形，却能在某些方面分别找到其一致点。
例如：指数函数、三角函数本是两类完全不同的函数，但欧拉公式e =cosx+isinx却使二
者紧密统一起来，特别当x=π 时，可得到e +1=0 .0、1、i、e、π 是数学中五个最富有情感的
数字。
它们分别代表实的、虚的、有理的、无理的数，然而却极为和谐的统一在一个公式之中。
又如解析几何中最基本的直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线五类曲线分别具有不同的方
程和不同的性质特征，然而它们却可以概括在一个统一的表达式中。
立体几何中棱柱、棱锥、棱台和旋转体中圆柱、圆锥、圆台的体积公式也可以统一为。
再如三角形、梯形、平行四边
形均可视为梯形，圆、椭圆、双曲线都可统一为有心二次曲线。
这些都体现了数学成员之间
的和谐统一。
各类常见的解题方法也说明了几何、代数、三角间的相互转化和统一。
如代数问题的三角法
求解、三角问题的几何法求解、几何问题的代数法、三角法求解等等。
使各种数学方法之间
形成了一种不分你我、互通有无、亲密无间的和谐关系。
这一切也表明各类数学思想与形式
是和谐的统一、美的结合。
四则运算、分解与化简、微分与积分等等各类互逆运算，以及互补概念，互否命题都是对立
统一的，也体现了数学和谐统一之美。
这样的例子举不胜举，美不胜收，让人目不暇接。
它们充分反映出数学王国犹如一个十分和
美的大家庭，它的各个成员“相处”得是那样的融洽，整个体系显得是那样的完整和协调，各
部分内容的配合是那样的默契，恰似一个个跳动的音符，经过艺术家的巧妙组合，谱出了一
曲曲优美的乐章。
对称性
从古希腊起对称性就被认为是数学美的一个基本内容。
对称通常指图形或物体对于某个点、
直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系。
在数学中，对称的概念略有拓广，常把某些具有关连或对立的概念视为对称。
“对称”最初起源于几何。
对称性是最能给人以美感的一种形式，德国数学家和物理学家魏尔
曾指出：“美和对称性紧密相关。
”如所知，对称性是数学美的基本特征之一。
现实中许多美好的事物都具有对称性，这是不言而喻的。
在数学理论中，也处处可见人们对
自然界对称美的追求和反映。
数学中数和形的对称，就像一个人的左右手那样对称着：实数——数轴，复数——平面，平面上的点——有序实数对，函数——图像等等。
在代数学中，实
系数一元n次方程虚根的成对出现，解线性方程组的克莱姆法则等，几何学中的中心对称，
轮换对称和轴对称等，也都呈现着对称美。
毕达哥拉斯曾说过：“一切立体图形中最美的是
球形，一切平面图形中最美的圆形。
”这是因为球和圆在各个方向上都是对称的。
亚里士多德认为，天体的运动必然采取圆周运动的形式，否则就会降低了其“至高无上”的完
美性。
著名的“黄金分割”揭示出匀称美的线段比例关系。
比如，正是埃及胡夫金字塔与米洛
的维纳斯中的一些长度的比值符合黄金分割数，才给人以美的感受。
并在以后的优选法中发
挥了关键的作用。
对此，达芬奇曾评价说：“黄金分割是美的原则。
”不仅如此，数学中的许
多对称美，往往能使门外汉也深有体会。
例如人们称“行列式”为“美丽的花园，而且每一边都
可以扩展”。
四阶行列式是由16个元素按四行、四列排成的一个正方形，既使不懂数学的人
也能深感其排列整齐和处处对称，以致给人一种美的享受。
射影几何的建立，在一定程度上也可以说是由于追求对称性而发展起来的一门学科。
射影几
何的创始人之一，法国数学家代沙格把直线视为一种封闭图形，每条直线都有一个无穷远点，从而在射影几何中点与直线的地位就完全对称了。
这样在所有涉及平面图形的定理中，若把“点”换成“直线”、“直线”换成“点”，并把从属关系作相应的对换，那么所得到的新命题仍然是射影几何中的定理。
这就是著名的对偶定理。
例如，我们从“如果两个三角形之对应顶点的连线共点，则其对应边的交点共线。
” 这一定理出发，利用代沙格的对偶定理，即可得到如下
定理：“若两个三角形对应边的交点共线，则其对应顶点的连线必共点。
”所以射影几何理论
的发展和点与直线之间的对称性考虑密切相关。
到了今天我们发现：“对称”的概念是极其重要的。
20世纪的物理学家们在研究中发现：对称的重要性在与日俱增。
可以毫不夸张地说，数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”
问题的探讨派生出来的。