6年级奥数不定方程
六年级奥数第28讲：不定方程
简单的不定方程所谓有定方程，是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
解不定方程的方法是：（1）根据整除知识，缩小未知数的取值范围，然后试算求解。
（2）分析末位数字，缩小未知数的取值范围，寻求方程的整数解。
（3）求出一个未知数用另一个未知数表示的式子，然后试算求解。
（4）直接根据方程确定未知数的取值范围，通过试算求解。
例1、马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职。
甲公每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元。
年终，马小富从两家公司共获薪金7 620元。
问他在甲公司打工多少个月，在乙公司兼职多少个月。
做一做：有A、B、C三种商品若干，价值共300元，其中A商品单价为16元，B商品单价为158元，C商品单价为19元。
那么，全部C商品至少价值多少元？最多价值多少元？例2、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都损耗1毫米铜管，那么，只有当锯得的38毫米铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少？做一做：一个同学把他生日的月份乘以31，日期乘以12，然后加起来的和是170，你知道他出生于何月何日吗？例3、某单位的职工到效外植树，其中的男职工，也有女职工，并有31的职工各带一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中女职工有多少人？做一做：一群猴子采摘水蜜桃。
猴王不在的时候，一只大猴子1小时可采摘15千克，一只小猴子1小时可采摘11千克；猴王在场监督的时候，大猴子的51和小猴子的51必须停止采摘，去伺候猴王，有一天采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共摘3 382千克水密桃。
问：在这个猴群中，共有大猴子多少只？例4、小明用5天时间看完一本200页的故事书。
已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第一天、第二天看的页数之和，第四天看的页数是第五天至少看了多少页？做一做：有一堆围棋子，白子颗数是黑子颗数的3倍。
六年级奥数不定方程
六年级奥数不定方程Prepared on 21 November 2021第六讲不定方程【知识要点】1、许多数学家需要用方程或方程组来求解。
要想获得未知数的唯一解，能独立列出的方程个数必须与未知数的个数相等。
如果方程个数少于未知数的个数，则称之为不定方程或不定方程组，以为此时未知数一般有无数多个解，解是不确定的。
但如果结合具体问题，增加一些对解的限制条件，如只求自然数解等，这样的不定方程的解就只有有限个或唯一一个了。
必须注意，限制条件中，有些是明显的，有些则是隐藏的。
2、求不定方程的自然数解或正整数解，关键是充分利用整除特征，尝试找出第一解；对于其他的所有解，可通过解的规律，逐一罗列出来，并不困难。
【例题精讲】例1：求下列方程的整数解（x＞0，y＞0）。
（1）5x+10y=14；（2）11x+3y=89.【思路点拨】5和10有公因数5，而14没有公因数5，所以原方程无整数解；y=29－3211x，11x－2能被3整除且x＜9。
模仿练习：（1）求满足方程5x+3y=40的自然数解。
（2）设A 和B 都是自然数，且满足11A +7B =7757，求A+B 的值。
例2：某单位职工到郊外植树，其中31的职工各带了一个孩子参加，男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵，每个孩子种6棵树，他们共种了216棵树，那么其中有女职工多少人【思路点拨】设有女职工x 人，男职工y 人，那么有孩子3y x +人，这个条件说明3|x+y 。
模仿练习：某小学共有大、中、小宿舍12间，能住80人。
每间大宿舍能住8人，每间中宿舍能住7人，每间小宿舍能住5人。
问中、小宿舍共有多少间例3：有四个自然数A 、B 、C 、D ，它们的和不超过除以B 商5余5；A 除以C 商6余6；A 除以D 商7余7，这四个自然数的和是多少【思路点拨】A=5B+5=6C+6=7D+7，A 一定是5,6,7的公倍数。
模仿练习：有三张扑克牌，牌的数字各不相同，并且都小于10，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数。
六年级奥数专题培优讲义不定方程及解析全国通用
六年级奥数专题培优讲义——不定方程及解析知识点梳理：在列方程组解答应用题时，有两个未知数，就需要有两个方程。
有三个未知数，就需要有三个方程。
当未知数的个数多于方程的个数时，这样的方程称为不定方程，为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也称为丢番图方程。
不定方程在小学奥数乃至以后初高中数学的进一步学习中，有着举足轻重的地位。
而在小学阶段打下扎实的基础，无疑很重要。
不定方程是由于联立方程的条件“不足”而出现的，从一般情况来说，有无数多个解。
不过，我们要注意到它的“预定义”条件，比如未知项是自然数，比如在数位上的数码不仅是自然数，而且是一位数等等，甚至题干中直接给出限制条件，这样，就使得不定方程的解“定”下来了。
这种情况也不排除它的取值不止一种。
不定方程解的情况比较复杂，有时无法得出方程的解，有时又会出现多个解。
如果考虑到题中以一定条件所限制的范围，会有可能求出唯一的解或几种可能的解（而这类题的限制范围往往与整数的分拆有很大关系）。
解答这类方程，必须要对题中明显或隐含的条件加以判断、推理，才能正确求解。
【例1】★求方程2725=+y x 的正整数解。
【解析】因为2y 为偶数，27为奇数，所以5x 为奇数，即x 为奇数⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==15,63,111y x y x y x【小试牛刀】求方程4x ＋10y ＝34的正整数解【解析】因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x ＋5y ＝17，5y 的个位是0或5两种情况，2x 是偶数，要想和为17，5y 的个位只能是5，y 为奇数即可；2x 典型例题的个位为2，所以x 的取值为1、6、11、16……x ＝1时，17－2x ＝15，y ＝3，x ＝6时，17－2x ＝ 5，y ＝1，x ＝11时，17－2x ＝17 －22，无解所以方程有两组整数解为：16,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 【例2】★ 设A ，B 都是正整数，并且满足3317311=+B A ，求B A +的值。
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．
例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有 人，乙小队有 人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于 与 的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
5.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？48，49，41
例题3.答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有 人和 人．则两队植树棵数分别为 棵和 棵．由分析得： ．将 0、1、2、……代入方程验证 是否是自然数，可以求出方程的 值最小的一组自然数解 ，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“ 值增加13且同时 值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是 ， ， ，……），每次“ 值增加13且同时 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是 ．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有 人．
六年级奥数第30讲解不定方程(教师版)
六年级奥数第30讲解不定方程〈教师版〉教学目标⒈熟练掌握不定方程的解题技巧；⒉能够根据题意找到等量关系设未知数解方程；3.学会解不定方程的经典例题。
知识梳理历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程,因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家,公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题,公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中,不定方程经常以应用题的形式出现,除此以外,不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中,不定方程也同样有着重要的地位,所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具,并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
运用不定方程解应用题步骤⒈根据题目叙述找到等量关系列出方程⒉根据解不定方程方法解方程3、找到符合条件的解考点一：不定方程与数论例⒈把2001拆成两个正整数的和,一个是11的倍数〈要尽量小〉,一个是13的倍数〈要尽量大〉,求这两个数．【解析】这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x 和13y ,则有：11132001x y +=,要让x 取最小值,y 取最大值．可把式子变形为：2001111315312132122153131313x x x x y x -⨯+-++===-+,可见12213x +是整数,满足这一条件的x 最小为7,且当7x =时,148y =．则拆成的两个数分别是71177⨯=和148131924⨯=．考点二：不定方程与应用题例⒈有两种不同规格的油桶若干个,大的能装8千克油,小的能装5千克油,44千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？【解析】设有大油桶x 个,小油桶y 个．由题意得：8544x y +=可知844x ≤,所以012345x =、、、、、．由于x 、y 必须为整数,所以相应的将x 的所有可能值代入方程,可得3x =时,4y =这一组整数解．所以大油桶有3个,小油桶有4个．例⒉某次聚餐,每一位男宾付130元,每一位女宾付100元,每带一个孩子付60元,现在有13的成人各带一个孩子,总共收了2160元,问：这个活动共有多少人参加〈成人和孩子〉？【解析】设参加的男宾有x 人,女宾有y 人,则由题意得方程：()11301006021603x y x y +++⨯=,即1501202160x y +=,化简得5472x y +=．这个方程有四组解：413x y =⎧⎨=⎩,88x y =⎧⎨=⎩,123x y =⎧⎨=⎩和018x y =⎧⎨=⎩,但是由于有13的成人带着孩子,所以x y +能被3整除,典例分析检验可知只有后两组满足．所以,这个活动共有()1123123203++⨯+=人或11818243+⨯=人参加．例3、甲、乙两人生产一种产品,这种产品由一个A 配件与一个B 配件组成．甲每天生产300个A 配件,或生产150个B 配件；乙每天生产120个A 配件,或生产48个B 配件．为了在10天内生产出更多的产品,二人决定合作生产,这样他们最多能生产出多少套产品？【解析】假设甲、乙分别有x 天和y 天在生产A 配件,则他们生产B 配件所用的时间分别为(10)x -天和(10)y -天,那么10天内共生产了A 配件(300120)x y +个,共生产了B 配件150(10)48(10)198015048x y x y ⨯-+⨯-=--个．要将它们配成套,A 配件与B 配件的数量应相等,即300120198015048x y x y +=--,得到7528330x y +=,则3302875y x -=．此时生产的产品的套数为330283001203001201320875y x y y y -+=⨯+=+,要使生产的产品最多,就要使得y 最大,而y 最大为10,所以最多能生产出132********+⨯=套产品．例⒋有一项工程,甲单独做需要36天完成,乙单独做需要30天完成,丙单独做需要48天完成,现在由甲、乙、丙三人同时做,在工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙一直工作至完成,最后完成这项工程也用了整数天,那么丙休息了 天．【解析】设完成这项工程用了a 天,其间丙休息了b 天．根据题意可知：1111136304848a b ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭,591172048a b -=,化简得5915720a b -=．由上式,因为15b 与720都是15的倍数,所以59a 必须是15的倍数,所以a 是15的倍数,在a b > 的条件下,只有15a =,11b =一组解,即丙休息了11天．例5、实验小学的五年级学生租车去野外开展“走向大自然,热爱大自然”活动,所有的学生和老师共306人恰好坐满了5辆大巴车和3辆中巴车,已知每辆中巴车的载客人数在20人到25人之间,求每辆大巴车的载客人数．【解析】设每辆大巴车和中巴车的载客人数分别为x 人和y 人,那么有：53306x y +=．由于知道中巴车的载客人数,也就是知道了y 的取值范围,所以应该从y 入手．显然3y 被5除所得的余数与306被5除所得的余数相等,从个位数上来考虑,3y 的个位数字只能为1或6,那么当y 的个位数是2或7时成立．由于y 的值在20与25之间,所以满足条件的22y =,继而求得48x =,所以大巴车的载客人数为48人．例6、公鸡1只值钱5,母鸡一只值钱3,小鸡三只值钱1,今有钱100,买鸡100只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只？【解析】设买公鸡、母鸡、小鸡各x 、y 、z 只,根据题意,得方程组 1001531003x y z x y z ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②由⒉3⨯-⒈,得148200x y +=,即：2001472584x y x -==-,因为x 、y 为正整数,所以不难得出x 应为4的倍数,故x 只能为4、8、12,从而相应y 的值分别为18、11、4,相应z 的值分别为78、81、84．所以,方程组的特殊解为41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以公鸡、母鸡、小鸡应分别买4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只．考点三：不定方程与生活中的应用题例⒈某地用电收费的标准是：若每月用电不超过50度,则每度收5角；若超过50度,则超出部分按每度8角收费．某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电？【解析】3元3角即33角,因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲、乙两用户用电的情况一定是一个超过了50度,另一个则没有超过．由于甲用户用电更多,所以甲用户用电超过50度,乙用户用电不足50度．设这个月甲用电()50x +度,乙用电()50y -度．因为甲比乙多交33角电费,所以有8533x y +=．容易看出1x =,5y =,可知甲用电51度,乙用电45度．例⒉马小富在甲公司打工,几个月后又在乙公司兼职,甲公司每月付给他薪金470元,乙公司每月付给他薪金350元．年终,马小富从两家公司共获薪金7620元．他在甲公司打工 个月,在乙公司兼职 个月．【解析】设马小富在甲公司打工a 月,在乙公司兼职b 月〈a b >,a 、b 都是不大于12的自然数〉,则有4703507620a b +=,化简得4735762a b +=．若b 为偶数,则35b 的末位数字为0,从而47a 的末位数字必为2,这时6a =．但6a =时,48035b =不是整数,不合题意,所以b 必为奇数．b 为奇数时,35b 的末位数字为5,从而47a 的末位数字为7,1a =或11a =．但1a =时容易看出a b <,与a b >矛盾．所以,11a =,代入得()7624711357b =-⨯÷=．于是马小富在甲公司打工11个月,在乙公司兼职7个月．例3、小明、小红和小军三人参加一次数学竞赛,一共有100道题,每个人各解出其中的60道题,有些题三人都解出来了,我们称之为“容易题”；有些题只有两人解出来,我们称之为“中等题”；有些题只有一人解出来,我们称之为“难题”．已知每个题都至少被他们中的一人解出,则难题比容易题多 道． 【解析】设容易题、中等题和难题分别有x 道、y 道、z 道,则100(1)32180(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,由(1)2(2)⨯-得222(32)200180x y z x y z ++-++=-,即20z x -=,所以难题比容易题多20道．例⒋某男孩在2003年2月16日说：“我活过的月数以及我活过的年数之差,到今天为止正好就是111．”请问：他是在哪一天出生的？【解析】设男孩的年龄为x 个年和y 个月,即12x y +个月,由此有方程式：12111x y x +-=,也就是1111101x y +=⨯+,得到11011y x -=+,由于012y <≤而且111y -是整数,所以,1y =,10x =,从2003年2月16日那天退回10年又1个月就是他的生日,为1993年1月16日．➢ 课堂狙击⒈甲、乙二人搬砖,甲搬的砖数是18的倍数,乙搬的砖数是23的倍数,两人共搬了300块砖．问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？【解析】设甲搬的是18x 块,乙搬的是23y 块．那么1823300x y +=．观察发现18x 和300都是6的倍数,所以y 也是6的倍数．由于3002313y <÷≈,所以y 只能为6或12． 6y =时18162x =,得到9x =；12y =时1824x =,此时x 不是整数,矛盾．所以甲搬了162块,乙搬了138块,甲比乙搬得多,多24块．实战演练2、单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子都种6棵树,他们一共种了216棵树,那么其中有多少名男职工？【解析】因为有13的职工各带一个孩子参加,则职工总人数是3的倍数．设男职工有x 人,女职工有y 人．则职工总人数是()x y +人,孩子是3x y +人．得到方程：()131036216x y x y +++÷⨯=,化简得：5472x y +=．因为男职工与女职工的人数都是整数,所以当3y =时,12x =；当8y =时,8x =；当13y =,4x =．其中只有31215+=是3的倍数,符合题意,所以其中有12名男职工．3、14个大、中、小号钢珠共重100克,大号钢珠每个重12克,中号钢珠每个重8克,小号钢珠每个重5克．问：大、中、小号钢珠各有多少个？【解析】设大、中、小号钢珠分别有x 个,y 个和z 个,则：14(1)1285100(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⋅⎩(2)(1)5-⨯,得7330x y +=．可见7x 是3的倍数,又是7的倍数,且小于30,所以只能为21,故3x =,代入得3y =,8z =．所以大、中、小号钢珠分别有3个、3个和8个．⒋某服装厂有甲、乙两个生产车间,甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套,两车间合作21天,最多能生产多少套衣服？【解析】假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x 天和y 天,则他们用于生产裤子的天数分别为(21)x -天和(21)y -天,那么总共生产了上衣(1618)x y +件,生产了裤子20(21)24(21)9242024x y x y ⨯-+⨯-=--件．根据题意,裤子和上衣的件数相等,所以16189242024x y x y +=--,即67154x y +=,即15476y x -=．那么共生产了15472216181618410633y x y y y -+=⨯+=-套衣服．要使生产的衣服最多,就要使得y 最小,则x 应最大,而x 最大为21,此时4y =．故最多可以生产出22410440833-⨯=套衣服．5、每辆大汽车能容纳54人,每辆小汽车能容纳36人．现有378人,要使每个人都上车且每辆车都装满,需要大、小汽车各几辆？【解析】设需要大、小汽车分别为x辆、y辆,则有：5436378x y+=,可化为3221x y+=．可以看出y是3的倍数,又不超过10,所以y可以为0、3、6或9,将0y=、3、6、9分别代入可知有四组解：19xy=⎧⎨=⎩；或36xy=⎧⎨=⎩；或53xy=⎧⎨=⎩；或7xy=⎧⎨=⎩即需大汽车1辆,小汽车9辆；或大汽车3辆,小汽车6辆；或大汽车5辆,小汽车3辆；或大汽车7辆．6、某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分,按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分,按每度0.80元收费；超过20度的部分按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元,乙用户比丙用户多交3.75元,那么甲、乙、丙三用户共交电费多少元？〈用电都按整度数收费〉【解析】由于丙交的电费最少,而且是求甲、乙电费的关键,先分析一下他的用电度数．因为乙用户比丙用户多交3.75元,所以二者中必有一个用电度数小于10度〈否则差中不会出现0.05元〉,丙用电少,所以丙用电度数小于10度,乙用电度数大于10度,但是不会超过20度〈否则甲、乙用电均超过20度,其电费差应为1.50的整数倍,而不会是7.10元〉．设丙用电〈10x-〉度,乙用电〈10y+〉度,由题意得：0.450.8 3.75x y+=91675x y+=97516x y=-75169yx-=所以y是3的倍数,又,x y均为整数,且都大于0小于10所以3y=,7516339x-⨯==所以丙用电1037-=度,交电费0.457 3.15⨯=元；乙交电费3.15 3.75 6.90+=元,甲交电费6.907.1014.00+=元,三户共交电费3.15 6.9014.0024.05++=元．7、甲、乙、丙、丁、戊五人接受了满分为10分〈成绩都是整数〉的测验．已知：甲得了4分,乙得了最高分,丙的成绩与甲、丁的平均分相等,丁的成绩刚好等于五人的平均分,戊比丙多2分．求乙、丙、丁、戊的成绩．【解析】法一：方程法． 设丁的分数为x 分,乙的分数为y 分,那么丙的分数为42x +分,戊的分数为48222x x +++=分,根据“丁的成绩刚好等于五人的平均分”,有485422x x x x y ++=++++,所以310x y =+．因为10x y <≤,所以310101020x y =++=≤,31010x y x =+>+,得到2053x <≤,故6x =,代入得8y =．所以丁得6分,丙得5分,戊得7分,乙得8分．法二：推理法．因为丁为五人的平均分,所以丁不是成绩最低的；丙的成绩与甲、丁的平均分相等,所以丙在甲与丁之间；又因为戊和乙都比丙的成绩高,所以乙、丙、丁、戊都不是最低分,那么甲的成绩是最低的．因为甲是4分,所以丁可能是6分或8分〈由丙的成绩与甲、丁的平均分相等知丁的得分是偶数〉,经检验丁得8分时与题意不符,所以丁得6分,则丙得5分,戊得7分,乙得8分．➢ 课后反击⒈某人打靶,8发共打了53环,全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几发？【解析】假设命中10环x 发,7环y 发,5环z 发,则8(1)107553(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⋅⎩由⑵可知7y 除以5的余数为3,所以4y =、9……如果y 为9,则76353y =>,所以y 只能为4,代入原方程组可解得1x =,3z =．所以他命中10环1发,7环4发,5环3发．⒉小花狗和波斯猫是一对好朋友,它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面,小花狗叫两声,波斯猫叫一声；若是晚上见面,小花狗叫两声,波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声统计了15天,发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫了多少声？【解析】早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声,晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x 次,晚上见面y 次．根据题意有：3561x y +=〈15x ≤,15y ≤〉．可以凑出,当2x =时,11y =；当7x =时,8y =；当12x =时,5y =．因为小花狗共叫了()2x y + 声,那么()x y +越大,小花狗就叫得越多,从而波斯猫叫得越少,所以当12x =,5y =时波斯猫叫得最少,共叫了1123527⨯+⨯=〈声〉．3、小伟听说小峰养了一些兔和鸡,就问小峰：“你养了几只兔和鸡？”小峰说：“我养的兔比鸡多,鸡兔共24条腿．”那么小峰养了多少兔和鸡？【解析】这是一道鸡兔同笼问题,但由于已知鸡兔腿的总数,而不是鸡兔腿数的差,所以用不定方程求解．设小峰养了x 只兔子和y 只鸡,由题意得：4224x y +=即：212x y +=,122y x =- 这是一个不定方程,其可能整数解如下表所示：x 0 12 3 4 5 6 y 12 10 8 6 4 20 由题意x y >,且x ,y 均不为0,所以5x =,2y =,也就是兔有5只,鸡有2只．⒋有两小堆砖头,如果从第一堆中取出100块放到第二堆中去,那么第二堆将比第一堆多一倍．如果相反,从第二堆中取出若干块放到第一堆中去,那么第一堆将是第二堆的6倍．问：第一堆中的砖头最少有多少块？【解析】设第一堆砖有x 块,则根据第一个条件可得第二堆砖有()2300x -块．再设从第二堆中取出y 块放在第一堆后,第一堆将是第二堆的6倍,可列方程：()62300x y x y +=⨯--,化简得7180011y x +=,那么()77718001116311y x y +=+÷=+． 因为x 是整数,7与11互质,所以()1y +应是11的倍数,y 最小是10,推知x 最小是()7101163163717011⨯++=+=,所以,第一堆中的砖头最少有170块．5、某次数学竞赛准备了35支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划一等奖每人发给6支,二等奖每人发给3支,三等奖每人发给2支,后来改为一等奖每人发13支,二等奖每人发4支,三等奖每人发1支．那么获二等奖的有 人．【解析】法一：根据“后来改为一等奖每人发13支”,可以确定获一等奖的人数小于3．否则仅一等奖就要发不少于39支铅笔,已超过35支,这是不可能的．分别考虑一等奖有2人或者1人的情况：⒈获一等奖有2人时,改变后这2人共多得()136214-⨯=支,那么得二等奖和三等奖的共少得了14支铅笔．由于改变后二等奖多得1支,三等奖少得1支,所以三等奖应比二等奖多14114÷=人,这样他们少得的铅笔数正好是一等奖多得的．但此时三等奖至少14人,他们的铅笔总数至少为1321414035⨯+⨯=>,所以这种情况不可能发生．⒉获一等奖有1人时,类似前面情况的讨论,可以确定获三等奖的人数比二等奖多()()136217-÷-=人,所以获二等奖的有()()351371413--⨯÷+=〈人〉．经检验,获一等奖1人,获二等奖3人,获三等奖10人符合题目要求,所以有3人获二等奖．法二：设获一、二、三等奖的人数分别有x 人、y 人、z 人,则有方程组：63235(1)13435(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩由(2)2(1)⨯-将z 消元,则有20535x y +=,即47x y +=,显然该方程的正整数解只有13x y =⎧⎨=⎩,继而可得到10z =．所以获二等奖的有3人． 6、蓝天小学举行“迎春”环保知识大赛,一共有100名男、女选手参加初赛,经过初赛、复赛,最后确定了参加决赛的人选．已知参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数,占初赛的女选手人数的12.5%,而且比参加初赛的男选手的人数多．参加决赛的男、女选手各有多少人？【解析】由于参加决赛的男选手的人数,占初赛的男选手人数的20%；参加决赛的女选手的人数,占初赛时女选手人数的12.5%,所以参加初赛的男选手人数应是5的倍数,参加初赛的女选手的人数应是8的倍数．设参加初赛的男生为5x 人,参加初赛的女生为8y 人．根据题意可列方程：58100x y +=．解得125x y =⎧⎨=⎩,或410x y =⎧⎨=⎩． 又因为参加决赛的女选手的人数,比参加决赛的男选手的人数多,也就是y 要比x 大,所以第一组解不合适,只有4x =,10y =满足．故参加决赛的男选手为4人,女选手为10人．7、甲、乙两人各有一袋糖,每袋糖都不到20粒．如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖就是乙的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖就是乙的3倍．甲、乙两人共有多少粒糖？【解析】设甲、乙原有糖分别为x 粒、y 粒,甲给乙的数量为z 粒,则依题意有：2()3()x z y z x z y z -=+⎧⎨+=-⎩,且2020x y ≤⎧⎨≤⎩．整理得230(1)340(2)x y z x y z --=⎧⎨-+=⎩由⑴得23x y z =+,代入⑵得70z y -=,即7y z =．因20y ≤,故1z =或2z =．若2z =,则14y =,214323420x =⨯+⨯=>,不合题意．因而1z =,对应方程组有唯一解17x =,7y =,1z =．则甲、乙共有糖17724+=粒．⒈〈资优博雅杯〉用十进制表示的某些自然数,恰等于它的各位数字之和的16倍,则满足条件的所有自然数之和为___________________.【解析】若是四位数abcd ,则()161636<1000a b c d ⨯+++⨯≤,矛盾,四位以上的自然数也不可能。
六年级上册奥数第八讲不定方程
第八讲不定方程一个方程中有两个未知数，未知数的个数多于方程的个数，这样的方程叫做不定方程。
古希腊的数学家丢番图曾写过关于不定方程的书《算术》，所以不定方程又叫丢番图方程，不定方程往往有无数解，但如果有限制条件，例如求自然数解，往往会使解的个数变成有限。
例题精讲例1、一个工人将99颗弹子装入两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完，已知盒子数大于10, 问这两种盒子各有多少?例2、甲级铅笔7块钱一支，乙级铅笔3块钱一支。
问张明用60元恰好买两种铅笔共多少支?例3、要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1亳米铜管，那么，只有当锯得的38毫米的铜管和90毫米的铜管各为多少段时，所损耗的铜管才能最少?例4、小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分，小明其套了10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次。
小明套10次共得了61分。
问:小鸡至多被套中多少次?例5、学校里共有12间宿舍，可以住80人，大宿舍住8人，中宿舍住7人，小宿舍住5人，问中宿舍和小宿舍共有多少间?例6、某地水费，不超过10度时，每度0. 45元;超过10度时，每度0.80元。
张家比李家多交水费3.30元，如果两家的用水量都是整数度，问张家、李家各交水费多少元?例7、将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计),问剩余部分铝管最少是多少厘米?例8、某种考试已举行24次，共出了426道题。
每次出的题目，有25题，或者16题，或者20题，那么，其中考25题的有多少次?同步训练1、一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21,问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?2、篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数。
小学六年级奥数 第八章 不定方程
第八章不定方程知识要点如果方程(组)中未知数的个数多于方程的个数，此方程(组)称为不定方程(组)。
如x＋y＝10，1512x ay a-=⎧⎨+=⎩，。
不定方程(组)的解是不确定的。
一般地，如果没有给不定方程的制约条件，那么它就有无限多个解。
小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。
关于参数方程，就是有时题中给的条件过少，就设一个未知数参与运算，这个参数不影响结果。
例1 (第五届“希望杯”邀请赛试题)一个两位数的中间加上一个0，得到的三位数比原两位数的8倍小1，原来的两位数是。
点拨根据题意，可由原来的两位数和变化后的三位数之间的数量关系列出方程。
解设原来的两位数是ab＝10a＋b，则新数是0a b＝100a＋b。
依题意得 100a＋b＋1＝8(10a＋b)即 20a＋1＝7b所以 a＝71 20 b-因为a，b是整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，所以 a＝1，b＝3即原来的两位数是13。
说明如果方程存在的解不止一个，则要逐一解出，并检验，千万不要漏掉或出现与题意相矛盾的解。
例2 (“迎春杯”邀请赛试题)某工厂为优秀职工发奖金，一等奖每人1800元，二等奖每人1200元，三等奖每人800元。
每种奖都有人领，共有15名优秀职工领取奖金的总数为16000元，获一、二、三等奖的职工各有多少人？点拨根据题意，一、二、三等奖人数之和等于15这一等量关系显而易见，而15名职工领取奖金的总和为16000元这一等量关系也给出，可列出方程。
解设一、二、三等奖依次有x人、y人、z人，则有1800x＋1200y＋800z＝16000即 9x＋6y＋4z＝80又x＋y＋z＝15，将z＝15－x－y代入上式，得9x＋6y＋60－4x－4y＝80整理得 5x＋2y＝20又x，y，z是正整数，解得 x＝2，y＝5，z＝15－x－y＝8。
答：获一等奖的有2人，二等奖的有5人，三等奖的有8人。
例3 100头驴驮100袋物品，一头大驴驮3袋，一头中驴驮2袋，两头小驴驮1袋。
小学六年级奥数第40讲 不定方程(含答案分析)
第40讲不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y ＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：x＝2.4 x＝2.7 x＝3.06 x＝3.6y＝1 y＝1.5 y＝2.1 y＝3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝23－3x4。
可列表试验求解：所以方程3x+4y＝23的自然数解为X=1 x=5 Y=5 y=2 练习11、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝253x－y－6z＝2这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25 ①3x－y－6z＝2 ②由①×2+②，得13x+13y＝52X+y＝4 ③把③式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x＝1时，y＝3当x＝2时，y＝2当x＝3时，y＝1把上面的结果再分别代入①或②，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.所以，原方程组的正整数解为 x＝1y＝1z＝1求下面方程组的自然数解。
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【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].
【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.
〈方法一〉〈方法二〉
特解：
答：此人的生日为5月16日.
【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.
【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的 ，求一切这样三位数的和.
【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n满足 ，则m的最大值为.
【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.
【解答】∵ ，∴ ，
由题意可得，n≠8，∴ ，
∵m,n为正整数，∴当n=9时，m有最大值为75.
【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.
【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.
【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？
由题意可知 解得 相应地
答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.
【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.
【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？
根据定理2， 是原方程的所有整数解.
（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，
∴根据定理1，原方程的无整数解.
【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.
【实践】求下列不定方程的整数解（1） ；（2） .
【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）
【本讲重点】
求一次不定方程（组）的整数解
【知识梳理】
不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.
重要定理：
设a、b、c、d为整数，则不定方程 有：
定理1若 且d不能整除c，则不定方程 没有整数解；
定理2若 是不定方程 且的一组整数解（称为特解），则 （t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中 ,且d能整除c）.
【分析】分析：用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：
如何解这个不定方程组翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.
(2)×3－(1)得：14x+8y=200，即7x+4y=100.
〈方法一〉
〈方法二〉
〈方法三〉
【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.
【例2】求方程 的所有正整数解.
【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.
【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.
1.理解不定方程（组）的含义
2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法
重点、难点
重点：不定方程定理的理解
难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用
考点及考试要求
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.
教学内容
【写在前面】
不定方程（组）是数论中的一个重要课题，不仅是数学竞赛，甚至在中考试卷中也常常出现.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.
定理3若 是不定方程 ， 的特解，则 是方程 的一个特解.（其中 ,且d能整除c）.
求整系数不定方程 的正整数解，通常有以下步骤：
（1）判断有无整数解；
（2）求出一个特解；
（3）写出通解；
（4）有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.
解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：
龍腾学科教师辅导讲义
讲义编号LTJYsxsrl005
学员编号：LTJY001年级：六年级课时数：3
学员姓名:王窈瑾辅导科目：数学学科教师：孙仁龙
学科组长签名及日期
2015.01.14
教务长签名及日期
课题
一次不定方程（组）的整数解问题
授课时间：2015.01.15
备课时间：2015.01.02
教学目标
由原方程可得 ，
由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.
∴方程的通解为 .
其中 ∴ ∴ ∴
代入通解可得原方程的正整数解为
【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易找出一组整数解来.
【实践】求方程 的正整数解.
【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.
【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.
【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程 ，即 .
又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知 是一个特解，通解为
（1）分离整系数法；（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；
（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.
【学法指导】
【例1】求下列不定方程的整数解（1） ；（2） .
【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.
【解答】（1）原方程变形为： ，观察得到 是 的一组整数解（特解），