圆锥摆、漏斗摆

对向心加速度的进一步理解
1. 如何理解向心加速度的含义：
速度矢量的方向应当用它与空间某一确定方向（如坐标轴）之间的夹角来描述．做匀速圆周运动的物体其速度方向（圆周的切线方向）时刻在变化，在时间内速度方向变化的角度等于半径在相同时间内转过的角度，如做匀速圆周运动的物体在一个周期内半径转过弧度，速度方向变化的角度也是弧度．因此，确切描述速度方向变化快慢的，应该是角速度，
即．
上式表示了单位时间内速度方向变化的角度，即速度方向变化的快慢．角速度相等，速度方向变化的快慢相同．
由向心加速度公式可知，向心加速度的大小除与角速度有关外，还与半径或线速度的大小有关，从看，向心加速度等于线速度与角速度的乘积．
例如：在绕固定轴转动的圆盘上，半径不同的、、三点，它们有相同的角速度，但线速度不同，，，，如图所示．因此它们的速度方向变化快慢是相同的，但向心加速度的大小却不相等，．
又如：A、B两个物体分别沿半径为和做圆周运动，，它们的角速度不同，设，因此它们的线速度的关系为，显然，这两个物体有相同的向心加速度，即．但速度方向变化的快慢却不同．
综上所述：向心加速度是由于速度方向变化而引起的速度矢量的变化率．速度方向变化是向心加速度存在的前提条件，但向心加速度的大小并不简单地表示速度方向变化的快慢，确切地说：当半径一定时，向心加速度的大小反映了速度方向变化的快慢，当线速度一定时，向心加速度的大小正比于速度方向变化的快慢．
2.向心加速度的分析计算公式：
①已知v、r，则；
②已知ω、r，则；
③已知T、r，则；
④已知ω、v，则.
3.向心加速度的公式也适用于非匀速圆周运动.
向心加速度不一定是物体做圆周运动的实际加速度。

对于匀速圆周运动，其所受的合外力就是向心力，只产生向心加速度，因而匀速圆周运动的向心加速度是其实际加速度。

对于非匀速圆周运动，例如竖直平面内的圆周运动，如图所示，小球的合力不指向圆心，因而其实际加速度也不指向圆心，此时的向心加速度只是它的一个分加速度。

此时，向心加速度仍满足：.
4.与r的关系图象，如图所示．
由图象可以看出：与r成正比还是反比，要看恒定还是恒定，即：当一定时，与r成反比；当一定时，与r成正比．
圆锥摆：
(1)理想圆锥摆模型的力学特点.
①圆锥摆模型的结构特点－－一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动，且在摆线沿顶点位置不变的圆锥面上运动。

②圆锥摆模型的受力特点－－只受两个力：竖直向下的重力(mg)和沿摆线方向的拉力(F)，二
力的合力就是摆球做圆周运动的向心力()，如图所示。

(2)向心力和向心加速度的计算.
设摆球的质量为m，摆长为l，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度、角速度、周期和频率依次为v、ω、T和f.
如上图所示，根据不同的条件，向心力可以表示为：
.
向心加速度可表示为：
.
(3)摆线拉力的计算.
计算摆线的拉力，有两种基本思路：
①当θ角已知时，.
②当θ角未知时，
(4)周期T、频率f和角速度ω的计算.
根据向心加速度公式，有，，
.
式中为摆球的轨道平面到悬点的距离，即圆锥摆的高度。

由这些公式可知，高度相同的圆锥摆，即等高圆锥摆的T、f和ω相等，与m、l和θ无关，如图所示。

漏斗摆
漏斗摆就是物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面上做匀速圆周运动。

漏斗摆式匀速圆周运动的基本模型之一。

(1)漏斗摆的力学特点：物体只受两个力，竖直向下的重力mg，垂直于漏斗壁的弹力
，两个力的合力水平指向转轴，其向心力。

如图所示。

(2)向心加速度的计算.
，θ角一定，故恒定。

(3)周期T、角速度ω、线速度v的计算.
(设匀速圆周运动的平面离漏斗尖端距离为h)
由，得，
由，得，
由，得.
可见，h增大，线速度增大，角速度减小，周期增大。