圆锥摆模型
高中物理：圆锥摆模型
高中物理：圆锥摆模型一、圆锥摆模型1、结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。
2、受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力。
两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图1所示。
图1二、常规讨论1、向心力和向心加速度设摆球的质量为m，摆线长为，与竖直方向的夹角为，摆球的线速度为，角速度为，周期为T，频率为。
2、摆线的拉力有两种基本思路：当角已知时；当角未知时3、周期的计算设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有，由此可知高度相同的圆锥摆周期相同与无关。
4、动态分析根据有，当角速度增大时，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例例1、将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高度，若角速度增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？图2解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
，故，圆周平面距碗底的高度为。
若角速度增大，则有增大，高度h变大，回旋半径变大，向心力变大。
例2、一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度做匀速转动，在圆锥筒内壁的A处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化？图3分析：不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变。
解析：小球受两个力mg、作用，向心力，角速度增大时，由于角度不变，故向心力不变，回旋半径r减小，小球到锥底的高度降低。
例3、一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为，如图4所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当时，绳上的拉力多大？（2）当时，绳上的拉力多大？图4分析：先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。
圆锥摆模型
一、经典例题1．将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图所示，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？点评：实质是圆锥摆模型：球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长2．一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60º，如图所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当时，绳上的拉力多大？（2）当时，绳上的拉力多大？13．圆锥摆模型的特点：结构特点：一根质量和形变量可以不计的细绳，一端系一个可以视为质点的摆球，使小球在水平面内做匀速圆周运动。
受力特点：只受两个力即竖直向下的重力以及沿摆线方向的拉力。
两个力的合力就是摆球做匀速圆周运动的向心力4．关键求出临界时的速度，判断物体对圆锥体是否有压力。
5．（1）了解圆锥摆及其拓展模型受力特点，合力提供向心力（2）圆锥摆中弹力与竖直方向成的角可起“桥梁”作用二、相关练习题1．如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。
给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。
下列说法中正确的是2A．小球受重力、细绳的拉力和向心力作用B．细绳拉力在水平方向的分力提供了向心力C．θ越大，小球运动的周期越大D．θ越大，小球运动的线速度越大2．如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )A．运动周期相同B．运动的线速度相同C．运动的角速度相同D．向心加速度相同3．如图所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距也为L.现使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点的速率为v时，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点速率为2v，则此时每段线中张力为多大？(重力加速度为g)34．（物理卷·2015届湖北省百所重点中学高三十月联合考试（2014.10））17.（12分）如图所示，长为L的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与竖直线的夹角=60θ︒，此时小球静止于光滑的水平桌面上。
六种圆周运动模型PPT课件
4
三、火车转弯模型：
.
5
四、汽车过桥模型：
F向
ma
mv 2 R
mv 2 FN G R
.
mv 2 F向 ma R
6
五、轻绳模型
1、安全通过最高点的临界条件:
v临 = gR
2、对最高点分析：
v＞
gR ：绳子或外轨道对物体的弹力:
v2 F m G
R
方向竖直向下
v= gR :绳子或外轨道对物体的弹力:F=0
v＜ gR:物体不能过最高点！！！
v=
gR
是物体所受弹力方向变化的临界速度。 .
7
六、轻杆模型
1、安全通过最高点的临界条件:
v临 = gR
2、对最高点分析：
v＞
gR ：绳子或轨道对物体的弹力:
F
m v2 G R
方向竖直向下
v= gR :轻杆或管道对物体的弹力:F=0
v＜ gR:轻杆或管道对物体的弹力:
稳定状态下小球所处的位置越高半径rr越大角速度越小线速度越大而小球受到的支持力和向心力并不随位置的变化而变化
六种圆周运动模型分析
.
1
一、圆盘模型：
Байду номын сангаас
F合
f
F心
mv 2 r
mw 2r
当f最大值时： f mg
线速度有最大值：v gr
角速度有最大值：w g
r
.
2
二、圆锥摆模型： 由拉力F和重力G的合力提供向心力
.
3
倒置圆锥摆模型:
1.如果内壁光滑，由重力和支持力的合力提供向心力
F合
圆周运动的三种模型
圆周运动的三种模型一、圆锥摆模型：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X=最终得F合=。
用力的合成法得F合=。
半径r=，圆周运动F向==，由F合=F向可得V=，ω=圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。
共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。
（小球的半径远小于R）2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。
求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？二．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v 临界 =2. 小球能通过最高点的条件： v v 临界（此时，绳子对球产生 力）3. 不能通过最高点的条件： v v 临界 （实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）练习：质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg三．轻杆模型：(一)轻杆模型的特点：1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N 为 力）2. 当 =R v m 2临界（ 轻杆对小球的作用力N= 0 ），gR v 临界3 当 （即0<v< v 临界）时，有 =Rv m 2（ 轻杆对小球的作用力N 为 力） 4 当（即v>v 临界）时，有 =R v m 2（轻杆对小球的作用力N 为 力） 练习：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg 的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ）A. 外轨道受到24N 的压力B. 外轨道受到6N 的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到 6N 的压力一．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力：2. 小球能通过最高点的条件：（当时，绳子对球产生拉力）3. 不能通过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型当小球经过最高点的临界速度为v ，则当小球以2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则因为所以根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是，故选c.1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的临界条件：v=0 ，N=mg （N为支持力）2. 当时，有（N为支持力）3 当时，有（N=0 ）4 当时，有（N 为拉力）例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（）A. 外轨道受到24N的压力B. 外轨道受到6N的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到6N的压力分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有则， =>2m/s所以，内轨道对小球有向上的支持力，则有代入数值得：N=6N根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选D三．圆锥摆模型：圆锥摆模型在圆周运动中的应用：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆线与竖直方向成θ角，则分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得：圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
最新圆锥摆模型全透视
圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
nn ma F =，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l Tl l v g a n =====2． 摆线的拉力：有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时l f m l Tm l m F F n 222)2()2(sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
圆锥摆的特点
圆锥摆的特点圆锥摆的特点：1、圆锥摆模型的受力特点——只受两个力：竖直向下的重力（mg）和沿摆线方向的拉力（F），二力的合力就是摆球做圆周运动的向心力（F n），如图所示。
2、向心力和向心加速度的计算设摆球的质量为m，摆长为l，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度、角速度、周期和频率依次为v、ω、T和f。
如图所示，根据不同的条件向心力可以表示为：；向心加速度可表示为：。
3、摆线拉力的计算计算摆线的拉力，有两种基本思路：①当θ角已知时，；②当θ角未知时，。
4、周期T、频率f和角速度ω的计算根据向心加速度公式，有，，。
式中为摆球的轨道平面到悬点的距离，即圆锥摆的高度。
由这些公式可知，高度相同的圆锥摆，即等高圆锥摆的T、f和ω相等，与m、l和θ无关。
5、漏斗摆：物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面上做匀速圆周运动。
漏斗摆的力学特点：物体只受两个力，竖直向下的重力mg，垂直于漏斗壁的弹力，两个力的合力水平指向转轴，其向心力。
如图所示。
①向心加速度的计算，θ角一定，故a n恒定。
②周期T、角速度ω、线速度v的计算（设匀速圆周运动的平面离漏斗尖端距离为h）由，得；由，得；由，得。
可见，h增大，线速度增大，角速度减小，周期增大。
结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n除杂的原则：(1)不增：不增加新的杂质(2)不减：被提纯的物质不能减少(3)易分：操作简便，易于分离气体除杂的原则：(1)不引入新的杂质(2)不减少被净化气体的量注意的问题：①需净化的气体中含有多种杂质时，除杂顺序：一般先除去酸性气体，如：氯化氢气体，CO2、SO2等，水蒸气要在最后除去。
②除杂选用方法时要保证杂质完全除掉，如：除CO2最好用NaOH不用Ca(OH)2溶液，因为Ca(OH)2是微溶物，石灰水中Ca(OH)2浓度小，吸收CO2不易完全。
高中物理圆锥摆模型结论
高中物理圆锥摆模型结论
哇塞！高中物理的圆锥摆模型？这可真是个让人又爱又恨的家伙！
咱们先来说说这个圆锥摆模型到底是啥样儿的。
想象一下，有个小球被一根绳子拴着，然后在水平面上转圈圈，就像个快乐的小舞者，这小球运动的轨迹不就形成了一个圆锥的样子嘛！
那这个模型能得出啥结论呢？首先呀，小球受到的向心力可不简单！绳子的拉力在水平方向的分力就提供了这个向心力，难道这还不神奇吗？
比如说，绳子越长，小球转得就越慢，这就好像放风筝，线长了，风筝反而飞得没那么快，难道不是吗？还有啊，小球的质量越大，转起来就越费劲，这跟胖的人跑步更累不是一个道理吗？
再想想，如果绳子的拉力突然变大或者变小，那小球的运动状态不就得乱套啦？这就好比正在跳舞的人，突然被人用力拉了一下或者推了一下，舞步能不乱吗？
而且，这个圆锥摆模型在实际生活中也有好多应用呢！像游乐场里的旋转飞椅，不就是圆锥摆模型的放大版吗？还有那些杂技演员表演的空中飞人，他们在空中旋转的轨迹，不也能跟圆锥摆模型联系起来吗？
总之，高中物理的圆锥摆模型虽然有点复杂，但是仔细想想，还真是充满了趣味和奥秘。
它不仅能让我们更深入地理解物理知识，还能让我们发现生活中好多有趣的现象都能用它来解释。
所以呀，我们可不能小瞧了这个圆锥摆模型，它可真是个隐藏在物理世界里的小宝藏呢！。
圆锥摆模型二级结论
圆锥摆模型二级结论圆锥摆模型诞生于17题十八世纪中叶，它是一种以旋转物体为基础的物理实验模型，被用来描述重力、弹性力以及空气阻力对物体运动的影响。
一般讲，它由圆锥形和一根连接它们的杆组成，杆一般有由软木或塑料制成，圆锥形由铝或金属制成。
它们通过一根钢丝连接在一起，形成一个整体。
圆锥摆模型的研究之所以受到如此多的关注，是因为它能够准确地模拟重力对物体运动的影响。
它的基本分析可以用来解释地心引力、惯性现象和其他基本物理定律。
当圆锥摆模型旋转时，运动学力学计算结果表明，经过一段时间，它会收敛到特定的物理状态。
这种收敛的物理状态称为二级结论，即有限的能量状态。
主要有两大类的圆锥摆模型，即自由摆和限定摆。
自由摆的最初状态没有被任何外力所影响，而限定摆的最初状态被外力所限制。
当自由摆模型旋转时，它的运动趋于一种特定的状态，即二级结论，即它会收敛到最低能量状态。
当限定摆模型旋转时，它的运动趋于外力所作用的位置，因此仍处于高能量状态。
圆锥摆模型二级结论是由英国物理学家阿尔伯特温斯顿洛克提出的，在此之前，人们一直在思考能量是如何从运动转化为停止的问题。
而洛克的研究表明，当圆锥摆模型旋转时，它的能量会收敛到一个特定的位置，即最低能量状态，这就是二级结论。
关于这一二级结论的研究为物理学的发展奠定了基础，也奠定了现代力学的基础。
圆锥摆模型二级结论的研究也影响着其他学科，如机械工程、航空航天等，它可以应用于各种模拟物理实验，以及机械工程中的装配和机械控制。
例如，机械设备中常常使用圆锥摆的原理，来控制物体的平衡性和移动性。
因此，圆锥摆模型二级结论的研究成果已经在各个学科领域中发挥了重要作用。
圆锥摆模型二级结论的研究也对现代物理学、数学和计算机技术的发展起到了重要作用。
它有助于人们实现理解复杂物理过程，为物理和数学研究提供解决方案，并帮助分析物理系统的性能，因此被广泛应用于各个领域。
总之，圆锥摆模型二级结论是一个重要的研究课题，为物理和机械等研究领域做出了巨大的贡献，它的成果也一直被广泛应用于实践研究领域中。
圆锥摆的特点
· 圆锥摆的特点：1、圆锥摆、圆锥摆模型模型的受力特点——只受两个力：竖直向下的重力（的受力特点——只受两个力：竖直向下的重力（mg mg mg）和沿）和沿）和沿摆线摆线方向的拉力（F ），二力的合力就是摆球做），二力的合力就是摆球做圆周运动圆周运动的向心力（的向心力（F F n ），如图所示。
2、向心力和、向心力和向心加速度向心加速度的计算设摆球的质量为m ，摆长为l ，与竖直方向的，与竖直方向的夹角夹角为θ，摆球的线速度、角速度、周期和，摆球的线速度、角速度、周期和频频率依次为v 、ω、T 和f 。
如图所示，根据不同的条件向心力可以表示为：；向心加速度可表示为：。
3、摆线拉力的计算计算摆线的拉力，有两种基本思路：①当θ角已知时，；②当θ角未知时，。
4、周期T 、频率f 和角速度ω的计算根据根据向心加速度向心加速度公式，有，，。
式中为摆球的轨道为摆球的轨道平面平面到悬点的距离，到悬点的距离，即即圆锥摆的高度。
由这些公式可知，高度相同的圆锥摆，即等高圆锥摆的T 、f 和ω相等，与m 、l 和θ无关。
5、漏斗摆：物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面上做、漏斗摆：物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面上做匀速圆周运动匀速圆周运动。
漏斗摆的力学特点：物体只受两个力，竖直向下的重力mg mg，，垂直于漏斗壁的弹力，两个力的合力水平指向转轴，其力水平指向转轴，其向心力向心力。
如图所示。
①向心加速度的计算，θ角一定，故a n 恒定。
②周期T 、角速度ω、线速度v 的计算（设匀速圆周运动的平面离漏斗尖端距离为h ） 由，得；由，得；由，得。
可见，可见，h h 增大，线速度增大，角速度减小，周期增大。
受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg · 结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动匀速圆周运动。
圆锥摆模型和竖直面内圆周运动
李林中学高三年级物理导学案班级_____________姓名______________学生使用时间______________第______周 课 题 主 备 审 核 使用教师 编 号编写时间圆周运动及其应用（2）朱凯荣课前导学学习目标： 1、圆锥摆模型2、竖直面内的圆周运动分析。
学习重点： 1、圆锥摆模型2、竖直面内的圆周运动分析。
学习难点：竖直面内的圆周运动分析。
学习方法：对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平；竖直面内的圆周运动一般是变速的，能在特殊点处分析受力，分析向心力的方向，对应列式求解。
课堂识真圆周运动规律在实际中的应用1．圆锥摆类问题分析图1圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2R其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图2所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图3所示)；飞机在水平面内的盘旋(如图4所示)图2图3 图4【例1】(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．图4-3-1【例2】．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(取g＝10 m/s2)(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，则这个圆弧拱桥的半径至少是多少？[针对训练1]铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.弯道半径r/m660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm50 100 150 200 250 300(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数．当θ很小时，tanθ≈sinθ)．(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．2．竖直面内的圆周运动问题分析图5(1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图5所示)．这种情况下有F＋mg＝mv2R≥mg，所以小球通过最高点的条件是v≥gR，通过最高点的最小速度v min＝gR.①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．②当v<gR 时，球不能通过最高点(实际上球没有到最高点就脱离了轨道．)图6(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图6所示)．有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：mg－F＝mv2R≤mg，所以v≤gR，物体经过最高点的最大速度v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图7所示．图7①过最高点的临界条件：v＝0.②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg＝mv2R，v＝gR，杆或轨道内壁对小球没有力的作用．当0<v<gR时，小球受到重力和杆(或内轨道)对球的支持力．当v>gR时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)．【例3】如图4-3-2所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．图4-3-2[针对训练2]在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设他的质量为60 kg，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g＝10 m/s2)()A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N[针对训练3]如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝2gR，则物块()A．立即做平抛运动B．落地时水平位移为2RC．落地速度大小为2gRD．落地时速度方向与地面成60°角【基础演练】1．(2011·陕西省西安市统测)如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是()A．小球对圆环的压力大小等于mgB．小球受到的向心力等于重力mgC．小球的线速度大小等于gRD．小球的向心加速度大小等于g图1 图2 图32．如图2所示，质量为m 的物块，沿着半径为R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v ，若物体与球壳之间 的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )A ．受到向心力为mg ＋m v 2RB ．受到的摩擦力为μm v2RC ．受到的摩擦力为μ(mg ＋m v 2R)D ．受到的合力方向斜向右上方3．如图3所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( ) A ．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B ．小球只受重力和绳的拉力作用 C ．θ越大，小球运动的速度越小 D ．θ越大，小球运动的周期越大4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( )A ．arcsin v 2RgB ．arctan v 2RgC .12arcsin 2v 2RgD ．arccot v 2Rg5．一根轻绳长0.5 m ，它最多能承受140 N 的拉力．在此绳一端系一质量为1 kg 的 小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，为维持此运动，小球在最高点 处的速度大小取值范围是( ) A ．0≤v ≤5 m /sB . 5 m /s ≤v ≤3 5 m /sC ．0≤v ≤3 5 m /sD ．3 5 m /s ≤v ≤5 5 m /s6．水平光滑直轨道ab 与半径为R 的竖直半圆形光滑轨道bc 相切，一小球以初速度 v 0沿直轨道向右运动，如图4所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c 点，然后小球做平抛运动落在直轨道上的d点，则下列说法错误的是() A．小球到达c点的速度为gRB．小球到达b点时对轨道的压力为5mgC．小球在直轨道上的落点d与b点距离为2RD．小球从c点落到d点所需时间为2 R g图4图57．如图5所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc 长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是()A．转速小时，ac受拉力，bc松弛B．bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mgC．bc拉直后转速增大，ac拉力不变D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大8．(2010·重庆理综·24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图6所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？图6课后见功 拾遗补缺拓展空间圆周运动规律在实际中的应用1．圆锥摆类问题分析图1圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图4所示，拉力(或弹力)和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2R其运动情况也相似，都在水平面内做圆周运动，圆心在水平面内，常见的圆锥摆类模型还有：火车转弯(如图2所示)；杂技节目“飞车走壁”(如图3所示)；飞机在水平面内的盘旋(如图4所示)图2 图3 图4【例1】 (广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．图4-3-1【例2】．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(取g＝10 m/s2)(1)如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，则这个圆弧拱桥的半径至少是多少？[针对训练1]铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h.弯道半径r/m660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm50 100 150 200 250 300(1)根据表中数据，试导出h和r关系的表达式，并求出当r＝440 m时，h的设计值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L＝1 435 mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数．当θ很小时，tanθ≈sinθ)．(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．2．竖直面内的圆周运动问题分析图5(1)绳(单轨，无支撑，水流星模型)：绳只能给物体施加拉力，而不能有支持力(如图5所示)．这种情况下有F＋mg＝mv2R≥mg，所以小球通过最高点的条件是v≥gR，通过最高点的最小速度v min＝gR.①当v>gR 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力．②当v<gR 时，球不能通过最高点(实际上球没有到最高点就脱离了轨道．)图6(2)外轨(单轨，有支撑，汽车过拱桥模型)，只能给物体支持力，而不能有拉力(如图6所示)．有支撑的汽车，弹力只可能向上，在这种情况下有：mg－F＝mv2R≤mg，所以v≤gR，物体经过最高点的最大速度v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(3)杆(双轨，有支撑)：对物体既可以有拉力，也可以有支持力，如图7所示．图7①过最高点的临界条件：v＝0.②在最高点，如果小球的重力恰好提供其做圆周运动的向心力，即mg＝mv2R，v＝gR，杆或轨道内壁对小球没有力的作用．当0<v<gR时，小球受到重力和杆(或内轨道)对球的支持力．当v>gR时，小球受到重力和杆向下的拉力(或外轨道对球向下的压力)．【例3】如图4-3-2所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R.一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道的最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg(g为重力加速度)．求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范围．图4-3-2[针对训练2]在2008年北京奥运会上，我国体操小将邹凯夺得单杠、自由体操、男子团体三枚金牌，以一届奥运会收获三金的佳绩与84年的体操王子李宁比肩．如图所示为邹凯做单杠动作单臂大回旋的瞬间．他用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设他的质量为60 kg，要完成动作，则他运动到最低点时手臂受的拉力至少约为(忽略空气阻力，取g＝10 m/s2)()A．600 N B．2 400 N C．3 000 N D．3 600 N[针对训练3]如图所示，小物块位于半径为R的半圆柱形物体顶端，若给小物块一水平速度v0＝2gR，则物块()A．立即做平抛运动B．落地时水平位移为2RC．落地速度大小为2gRD．落地时速度方向与地面成60°角【基础演练】1．(2011·陕西省西安市统测)如图1所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环轨道上做圆周运动．圆环半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时，下列说法错误的是()A．小球对圆环的压力大小等于mgB．小球受到的向心力等于重力mgC．小球的线速度大小等于gRD．小球的向心加速度大小等于g图1 图2 图3 2．如图2所示，质量为m的物块，沿着半径为R的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v，若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是()A ．受到向心力为mg ＋m v 2RB ．受到的摩擦力为μm v 2RC ．受到的摩擦力为μ(mg ＋m v 2R) D ．受到的合力方向斜向右上方3．如图3所示，长为L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m 的小球．给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ.下列说法正确的是( )A ．小球受重力、绳的拉力和向心力作用B ．小球只受重力和绳的拉力作用C ．θ越大，小球运动的速度越小D ．θ越大，小球运动的周期越大4．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( )A ．arcsin v 2RgB ．arctan v 2RgC .12arcsin 2v 2RgD ．arccot v 2Rg5．一根轻绳长0.5 m ，它最多能承受140 N 的拉力．在此绳一端系一质量为1 kg 的 小球，另一端固定，使小球在竖直面内做圆周运动，为维持此运动，小球在最高点 处的速度大小取值范围是( )A ．0≤v ≤5 m /sB . 5 m /s ≤v ≤3 5 m /sC ．0≤v ≤3 5 m /sD ．3 5 m /s ≤v ≤5 5 m /s6．水平光滑直轨道ab 与半径为R 的竖直半圆形光滑轨道bc 相切，一小球以初速度 v 0沿直轨道向右运动，如图4所示，小球进入半圆形轨道后刚好能通过c 点，然后 小球做平抛运动落在直轨道上的d 点，则下列说法错误的是( )A ．小球到达c 点的速度为gRB ．小球到达b 点时对轨道的压力为5mgC ．小球在直轨道上的落点d 与b 点距离为2RD ．小球从c 点落到d 点所需时间为2 R g图4图57．如图5所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，bc 长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是()A．转速小时，ac受拉力，bc松弛B．bc刚好拉直时ac中拉力为1.25mgC．bc拉直后转速增大，ac拉力不变D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大8．(2010·重庆理综·24)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图6所示．已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为34d，重力加速度为g.忽略手的运动半径、绳重和空气阻力．(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2.(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？图6。
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一、圆锥摆模型
1、如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线
拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的：
A．运动周期相同 B．运动线速度相同
C．运动角速度相同 D．向心加速度相同
2、如图所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测体重为G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，估算该女运动员( )
A．受到的拉力为G B．受到的拉力为2G
C．向心加速度为g D．向心加速度为2g
3、质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m
的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速
度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )
A.mω2R
B.
C. D.不能确定
4、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A 和B 沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运
动半径较大，则
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必大于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
5、有一种杂技表演叫“飞车走壁”。
由杂技演员驾驶摩托车沿
圆台形表演台的侧壁，做匀速圆周运动。
右图中粗线圆表示摩
托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。
下列说法中正确的是：
A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小
D．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
6、如图所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2θ，当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面。
(1)此时绳的张力是多少？
(2)若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？
1、A
2、B
3、C
4、ABC
5、 D 6。