圆锥摆模型全透视
圆锥摆模型
专题：圆锥摆模型（水平面内的圆周运动）教学目标物理观念：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。
科学思维：运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。
科学探究：通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆模型。
科学态度与责任：通过圆锥摆模型的分析，培养学生将物理知识应用于生活的意识。
教学重难点：重点：通过圆锥摆模型的分析，会在具体问题中分析向心力的来源，会寻找圆心，计算半径，列出方程求解物理量。
难点：1.运用函数思想构建所求物理量的函数关系，并利用函数关系处理物理问题。
2.通过圆锥摆模型的分析，体会物理模型的重要性，并能将相关模型等效成圆锥摆。
模型。
教学过程：复习导入：向心力的表达式。
新课教学一.圆锥摆模型的受力特点受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。
二．圆锥摆的相关规律1.摆球的加速度2.摆球的线速度3.摆球的周期和角速度4.摆线得拉力5．两种圆锥摆分析对甲：由a ＝g tan θ知A 、B 的向心加速度大小相等。
由a ＝ω2r 知ωA <ωB ，由a ＝v 2r 知v A >v B 对乙：由T ＝2πhg 知摆高h 相同，则ωA ＝ωB ，由v ＝ωr 知v A >v B ，由a ＝ω2r知a A >a B 。
三.案例分析例1、如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O 点．设法让两个小球均在各自的水平面上做匀速圆周运动．已知L 1跟竖直方向的夹角为60°，L 2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（ ）A ．细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为1：√3B ．小球m 1和m 2的角速度大小之比为1:1C ．小球m 1和m 2的向心力大小之比为3：1D ．小球m 1和m 2的线速度大小之比为3√3：1练习1、A 、B 两质量相同的质点用轻质细线悬挂在同一点O ，在同一水平面上做匀速圆周运动，如图所示，则（ ） A ．A 的加速度一定比B 的加速度小 B ．A 的线速度一定比B 的线速度小 C ．A 的角速度一定等于B 的角速度D ．A 所受细线的拉力一定等于B 所受的细线的拉力例2：如图所示，用一根质量不计、不可伸长的细绳，一端系一可视为质点的小球，另一端固定在O 点。
最新圆锥摆模型全透视
圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
nn ma F =，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l Tl l v g a n =====2． 摆线的拉力：有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时l f m l Tm l m F F n 222)2()2(sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
圆锥摆模型全透视
精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2． ，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。
2017-2018学年高中物理 模块要点回眸8 圆锥摆模型及其拓展应用 新人教版必修2
第8点 圆锥摆模型及其拓展应用1. 圆锥摆结构和运动模型如图1所示，一根不可伸长的绳，一端固定在O 1点，另一端拴一小球(可视为质点)，给小球一水平初速度，不计空气阻力，小球在水平面内做匀速圆周运动.图12.提供的向心力(1)可认为绳子对小球的拉力和小球的重力的合力提供向心力. (2)也可认为是绳子拉力在水平方向的分量提供向心力. 3. 线速度和绳长的关系(如图2所示)设小球的质量为m ，悬线与竖直方向的夹角为θ，绳长为l ，则小球做圆周运动的半径为r＝l sin θ.由牛顿第二定律得mg tan θ＝m v 2r.所以v ＝gr tan θ＝gl sin θ·tan θ.图24.拓展(1)光滑漏斗上小球的圆周运动.如图3. (2)火车转弯问题.如图4.图3 图4对点例题 长为L 的细线，一端固定于O 点，另一端拴一质量为m 的小球，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图5所示，摆线与竖直方向的夹角为α，求：图5(1)线的拉力大小；(2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的周期.解题指导 对小球受力分析如图所示，小球受重力mg 和线的拉力F T 作用，这两个力的合力mg tan α指向圆心，提供向心力，由受力分析可知，细线拉力F T ＝mgcos α.由F n ＝m v 2R＝m ω2R＝m 4π2RT2＝mg tan α，半径R ＝L sin α，得v ＝gL sin 2 αcos α＝gLcos αsin α，T ＝2πL cos αg.答案 见解题指导如图6所示，质量为1 kg 的小球用长为0.5 m 的细线悬挂在O 点，O 点距地面竖直距离为1 m ，如果使小球绕OO ′竖直轴在水平面内做圆周运动，若细线最大承受拉力为12.5 N ，(g＝10 m/s 2)求：图6(1)当小球的角速度为多大时，细线将断裂； (2)线断裂后小球落地点与悬点的水平距离. 答案 (1)5 rad/s (2)0.6 m解析 (1)当细线承受的拉力恰为最大时，对小球受力分析，如图所示： 竖直方向F T cos θ＝mg ， 解得θ＝37°向心力F 向＝mg tan 37°＝m ω2L sin 37° 解得ω＝5 rad/s.(2)线断裂后，小球做平抛运动，则其平抛运动的初速度为v 0＝ωL sin 37°＝1.5 m/s 竖直方向：y ＝h －L cos 37°＝12gt 2水平方向：x ＝v 0t解得d ＝L 2sin 2θ＋x 2＝0.6 m.。
圆锥摆正稿
圆周运动模型——圆锥摆模型1.特点：对于圆锥摆模型，是水平面内的圆周运动，一般涉及水平面内圆周运动是匀速的，需要的向心力水平，圆心在水平面内。
2.基本模型：圆锥摆是一种典型的匀速圆周运动模型，基本的圆锥摆模型和受力情况如图所示，拉力和重力的合力提供球做圆周运动的向心力．F 合＝F n ＝mg tan θ＝m v 2R例1：（基本模型）量为m 的小球，一端固定于O 点。
让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动通常称为圆锥摆运动)，如图所示。
当摆线L 与竖直方向的夹角是时，求：(1) 线的拉力F ；(2) 小球运动的角速度；例2：(广东高考)有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图4-3-1所示，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．例3：（火车弯道）铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率．下列表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之对应的轨道的高度差h.(1)根据表中数据，试导出h 和r 关系的表达式，并求出当r ＝440 m 时，h 的设计值．(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内、外轨的间距设计值为L ＝1 435 mm ，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km /h 为单位，结果取整数．当θ很小时，tan θ≈sin θ)．(3)为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速，这就要求火车转弯速率也需要提高．请根据上述计算原理和上述表格分析提速时应采取怎样的有效措施．弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110 内、外轨高度差h/mm 50 100 150 200 250 300例4：（双线圆锥摆）如图所示，在竖直的转动轴上，a 、b 两点间距为40 cm ，细线ac 长50 cm ，bc 长30 cm ，在c 点系一质量为m 的小球，在转动轴带着小球转动的过程中，下列说法不正确的是( )A ．转速小时，ac 受拉力，bc 松弛B ．bc 刚好拉直时ac 中拉力为1.25mgC ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力不变D ．bc 拉直后转速增大，ac 拉力增大例5：（双线圆锥摆）如图所示，一个质量为m 的小球由两根细绳拴在竖直转轴上的A 、B 两处，AB 间距为L ，A 处绳长为2L ，B 处绳长为L ，两根绳能承受的最大拉力均为2mg ，转轴带动小球转动。
2019精选教育好题精析：圆锥摆模型.doc
第 1 页 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h ，下列说法中正确的是( )
A ．h 越高，摩托车对侧壁的压力将越大
B ．h 越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大
C ．h 越高，摩托车做圆周运动的周期将越大
D ．h 越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大
答案 BC
解析 摩托车受力如图所示
由于F N ＝mg cos θ
，所以摩托车受到侧壁的支持力与高度无关保持不变，摩托车对侧壁的压力F N ′也不变，A 错误，由F n ＝mg tan θ＝m v 2r
＝mω2r 知h 变化时向心力F n 不变，但高度升高r 变大，所以线速度变大，角速度变小，周期变大，选项B 、C 正确，D 错误．。
高考物理难点解读：类圆锥摆模型的分析
难点25类圆锥摆模型的分析
有些物体的运动从表面上看不属于圆锥摆模型：但其受力情况和运动情况与圆锥摆模型类似，利用类似的分析方法即可求解，常见的类圆锥摆模型有：火车转弯、“飞车走壁”、飞机在水平面内盘旋（匀速圆周运动）．它们的情境虽然各异，但受力情况类似：弹力与重力的合力提供向心力，方向指向水平面内的圆心；运动情况都类似于水平面内的匀速圆周运动
典列23
将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度做匀速圆周运动，如图甲所示，求小球做圆周运动的平面距碗底的高度，若角速度∞增大，则高度、回旋半径、向心力将如何变化？。
圆周运动的三种模型之欧阳语创编
圆周运动的三种模型时间：2021.03.01 创作：欧阳语一、圆锥摆模型：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X=最终得F合=。
用力的合成法得F合=。
半径r=，圆周运动F向==，由F合=F向可得V=，ω=圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。
共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。
（小球的半径远小于R）2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。
求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？二．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力：=，v临界=2. 小球能通过最高点的条件： vv临界（此时，绳子对球产生力）3. 不能通过最高点的条件： vv临界（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）练习：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg三．轻杆模型：(一)轻杆模型的特点：1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N=（ N 为力）2. 当=R v m 2临界（ 轻杆对小球的作用力N=0），gR v 临界3 当 （即0<v< v 临界）时，有 =R v m 2（ 轻杆对小球的作用力N 为力）4 当 （即v>v 临界）时，有 =R v m2（轻杆对小球的作用力N 为力）练习：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg 的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ）A. 外轨道受到24N的压力B. 外轨道受到6N的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到 6N的压力一．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力：2. 小球能通过最高点的条件：（当时，绳子对球产生拉力）3. 不能通过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型当小球经过最高点的临界速度为v ，则当小球以2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则因为所以根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是，故选 c.二．轻杆模型：(一)轻杆模型的特点：1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的临界条件：v=0 ，N=mg （ N为支持力）2. 当时，有（ N为支持力）3 当时，有（N=0 ）4 当时，有（N 为拉力）例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（）A. 外轨道受到24N的压力B. 外轨道受到6N的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到 6N的压力分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有则， =>2m/s所以，内轨道对小球有向上的支持力，则有代入数值得： N=6N根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选 D三．圆锥摆模型：圆锥摆模型在圆周运动中的应用：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆线与竖直方向成θ角，则分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得：圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
关于如何用PPT绘制圆锥透视图的研究说明
第五步
• 选择直线做出一个三角形的左右两边即可， 图右图所示，左边为其中的两部分 • Eg:
最后一步
• 将所有部分选中拼接在一起并选择组合图 形将其变成完整的一部分，最终的到的效 果图如后面所示
效果展示
附录
• 当然这个也可以用windows自带的画图工具 完成，相对比较方便，但是精度较差，如 图所示为一个后缀名为.jpg的图形附件 • Eg：
第二步
• 然后选择绘图工具自选图形中的连接符栏 目，选择曲线连接符，并分别点击B，C两 点创建出圆锥的下地面的一半 A • Eg：
B
C
第三步
• 同理第二步选择B与BD边中点C点做出圆锥 的上半面所需部分 • Eg：
第四步
• 选取已经做好的各半部分，按住ctrl键并点 击鼠标左键拖动便可得到预期相同的部分， 然后旋转得到与之互补的另一半,然后双击 其中一个选择虚线选项框中的长划线选项 将其转化为虚线，另一部分同理 • Eg:
最后一步将所有部分选中拼接在一起并选择组合图形将其变成完整的一部分最终的到的效果图如后面所示效果展示附录当然这个也可以用windows自带的画图工具完成相对比较方便但是精度较差如图所示为一个后缀名为
关于PPT绘制圆锥的方法
制作人：雒蒙
第一步
• 首先选择绘图工具自选图形，选取三角形 创建一个三角形： • Eg：
圆锥摆模型全透视
圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
nn ma F =，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，θπθπθωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l Tl l v g a n =====2． 摆线的拉力：有两种基本思路：当θ角已知时θcos /mg F =，当θ角未知时l f m l Tm l m F F n 222)2()2(sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
圆锥摆模型全透视
一、圆锥摆模型：
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：
1． 向心力和向心加速度：
设摆球的质量为m ，摆线长为l ，与竖直方向的夹角为θ，摆球的线速度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
n
n ma F =，
θ
πθπ
θωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f m l T m l m l v m mg ====，
θπθπ
θωθθsin )2(sin )2(sin sin tan 2222l f l T
l l v g a n =====
2． 摆线的拉力：
有两种基本思路：当θ
角已知时θ
cos /mg F =，当θ角未知时
l f m l T
m l m F F n 22
2)2()2(
sin /ππωθ==== 3． 周期的计算：
设悬点到圆周运动圆心的距离为h ，根据向心力公式有g
h
g l T π
θπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2
R m mg =有R
g
2
cos ωθ=
，ω增大，θ增大，
向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：
例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？
2
解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθs i n t a n 2R m mg =，故R
g
2cos ωθ=
，圆周平面距碗底的高度为2
cos ωθg
R R R h -
=-=。
若角
速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质即为圆锥摆模型。
例2：一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度ω做匀速转动，在圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图，当圆锥筒的角速度增大时，则小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化？
解析：小球受两个力mg 、F N ，r m mg 2cot ωθ=，角速度增大时，由于角度不变，故向心力不变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1，不属于圆锥摆模型。
圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变。
本题动态分析的结论和例1相反。
例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为600
，，如图所示，一条长为L 的轻绳，一端固定在锥顶O 点，另一端拴一质量为m 的小球，小球的速率v 绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：（1）当
gL v 61
=
，绳上的拉力多大？（2）当gL v 2
3
=，绳上的拉力多大？ 解析：当圆锥体刚好对斜面没有压力时，0
2
30
sin 30tan L v m mg =，求得小球的线速度为gL v 6
3
0=。
（1）当061v gL v <=小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mg F F N =+0030sin 30cos ，
平方向0
2
30
sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。
（2）当02
3
v gL v >=，小球做圆锥摆运动，且0
30>θ，设此时绳与竖直方向的夹角为φ，则有φ
φsin tan 2L v m mg =，解得0
60=φ，因
此mg mg
F 260
cos 0
==。
点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。
判断时，先根据临界问题，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为0v 。
当0v v >时，小球做圆锥摆运动， 0v v <时，小球不做圆锥摆运动。