圆锥摆及其变形
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“圆 锥 摆”及 其 变 形
江苏省木渎高级中学（215101）郁建石
细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析
如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度
根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝α
cos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：
①当悬线长度l 一定时，ω∝α
cos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角
速度ω的增大而增大。
m
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②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝
l
g
，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞
l
g
时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜
l
g
，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
三、变形
根据圆锥摆的受力特点和运动特点，可以将其进行如下几种变形：
1、小球沿一个倒置的光滑圆锥面的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图[3]所示。
受力分析：这时小球在重力G 和圆锥面对它的支持 力N （相当于圆锥摆中悬线的拉力T ）的合力F 提供小 球做匀速圆周运动的向心力。
与圆锥摆比较：由于圆锥面的顶角θ为一定值，根 据F ＝mg ctg
2θ＝ma ，得小球的向心力速度a ＝g ctg 2
θ
， 可知所有在此圆锥面内做匀速圆周运动的小球，都具有
图[2]ω
图[3]
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相同大小的加速度；再由向心加速度公式：a ＝r
v 2
＝ω2r ，可知小球圆周运动的轨道
半径r 越大（即离开圆锥顶点O 越远），线速度v 越大，角速度ω越小。
3、细线一端系一小球，另一端固定于光滑圆锥面 的顶点，小球在水平面内做圆周运动，如图[4]所示。
受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力 G 、细线对它的拉力T 和圆锥面对它的支持力N 。
这三 个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
与圆锥摆比较：当角速度ω较小时，小球将沿圆锥 面运动，此时分别将N 和T 分解到水平方向和竖直方向， 列出方程：水平方向 T sin
2θ－N cos 2θ＝m ω2r ，竖直方向 T cos 2θ+N sin 2
θ
－mg ＝0 。
不难看出，随着角速度ω的增大，圆锥面对小球的支持力N 将减小；当角速度ω增大到ω＝
2
cos
θ
l g 时，圆锥面对小球的支持力N 将减小到0，这是一个临界状态；如
果继续增大角速度ω，小球将脱离圆锥面运动，这时其规律与圆锥摆就没有区别了。
如果将这种情况中的圆锥面去掉，而紧贴 着小球的运动平面加一个光滑水平面，如图[5] 所示。
小球在水平面内做匀速圆周运动时的受 力情况、运动情况以及临界状态的分析，都同 这种情况相似；所不同的是将原来的圆锥面对 小球斜向上的支持力，改成现在水平面对小球 竖直向上的支持力而已。
3、用两根细线，其一端系着一个小球，另一端系在一根匀速转动的竖直杆上的两点
图[4]
图[5]
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上，小球在水平面内做匀速圆周运动，如图[6]所示。
受力分析：小球共受到三个力的作用：小球的重力G 、细线AB 对它的拉力T 1和细线BC 对它的拉力T 2。
这三个力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
与圆锥摆比较：①当角速度ω较小，即当ω＜
l
g
时，小球不会在水平面内做圆周运动，此时两根细线小球将均缠绕在竖直杆上，小球随杆一起转动，如图[7]所示。
②当角速度ω在下列范围：
l g ＜ω＜α
cos l g ，细线AB 将被拉紧，而细线BC 则处于松弛状态，这时情形与原始的圆锥摆相同，如图[8]所示。
③当角速度ω＞
α
cos l g
时，两根细线都将被拉紧，也就是象图[6]中的情形了。
有兴趣的同学还可以进一步讨论：这时细线AB 和BC 哪根线上拉力较大？如果两根细线的规格是相同的，则随着角速度ω的不断增大，哪根细线先断？断了以后再增大角速度ω，又会出现什么情况？等等。
另外，还可把圆锥摆问题放到电场、磁场中去，这时只要再原来的基础上再加上电场力或者磁场力就行了，限于篇幅，这里就不再细述了。
图[6]
G
图[8]
图[7]
ω
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“圆锥摆”专题
●引入：这个模型我们在学习《向心力》时就见到过。
指的是什么呢？大家请看这个动态
图【PPT】：在天花板上有一个悬点，下方通过一根细绳悬挂着一个小球，小球由于旋转形成了一个圆平面，再与两边的悬绳组合，是不是就构成了数学中的“圆锥”的形状。
那如果学美术的同学可能会京城遇到这个石膏模型，有时候上边是不是还插一个圆柱？
好，我们请一位同学在黑板上画出这个模型，并且分析小球的受力。
好，画的非常标准！
●漏斗摆：刚才圆锥摆是尖尖朝上的，就像一个金字塔。
那么漏斗摆是尖尖朝下的，是不
是跟化学中的长颈漏斗、分液漏斗有点像？所以这就是它名称的得来。
那么漏斗摆是如何运转的呢？我们用一根刚性的绳连接小球，抓住绳子的下端旋转，小球于是在上方的平面内做匀速圆周运动。
圆锥摆总结
圆锥摆总结引言圆锥摆是一种具有特殊运动形式的物体，它可以通过自身的旋转而实现平衡。
本文将介绍圆锥摆的基本原理、应用领域以及未来发展方向。
1. 圆锥摆的基本原理圆锥摆的运动原理可以总结为以下几点：•重力和离心力的平衡：圆锥摆的运动是通过重力和离心力之间的平衡实现的。
当圆锥摆旋转时，重力会使得摆的质心向下，而离心力会使得摆的质心向外。
•建立稳定的摆动轨道：为了建立稳定的摆动轨道，摆的底部需要具有一定的倾斜角度，并且摆动的半径需要逐渐减小。
这样可以使得重力和离心力恰好相等，从而实现平衡。
2. 圆锥摆的应用领域圆锥摆在科学研究和工程领域有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：2.1 天文学圆锥摆可以模拟行星和卫星的轨道运动。
科学家可以通过观察圆锥摆的运动来研究行星和卫星的运动规律，从而帮助解开宇宙的奥秘。
2.2 工程学圆锥摆可以用于建筑物的结构分析和抗震设计。
通过模拟地震时建筑物的摆动情况，科学家可以评估建筑物的抗震性能，并优化设计方案。
2.3 教育圆锥摆也常用于物理实验教学。
通过操纵圆锥摆的各种参数，学生可以直观地观察到重力和离心力的作用，从而更好地理解物理原理。
3. 圆锥摆的未来发展方向圆锥摆作为一种有趣而又实用的物体，未来还有很大的发展潜力。
以下是一些可能的发展方向：3.1 精确控制技术未来可以开发出更加精确的控制技术，使得圆锥摆的运动更加稳定和可控。
这将有助于提高圆锥摆的应用范围，并扩大其在科学研究和工程领域的应用。
3.2 多维度摆动目前的圆锥摆主要是在一个平面上进行摆动，未来可以进一步发展多维度摆动的圆锥摆。
这将带来更加丰富的运动形式，并开辟新的实验和研究领域。
3.3 生物医学应用圆锥摆的平衡运动可以模拟人体的动态平衡。
未来可以将圆锥摆应用于康复医学领域，帮助恢复平衡功能的患者进行康复训练。
结论圆锥摆作为一种具有特殊运动形式的物体，具有广泛的应用领域和未来发展的潜力。
我们可以通过深入研究圆锥摆的原理，加强控制技术的发展，进一步推动圆锥摆在科学研究、工程应用和教育领域的发展。
圆锥摆模型全透视
精心整理圆锥摆模型全透视一、圆锥摆模型：1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。
2．受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg 和沿摆线方向的拉力F 。
两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力F n ，如图示。
二、常规讨论：1． 向心力和向心加速度：设摆球的质量为m ，摆线长为l度为v ，角速度为ω，周期为T ，频率为f 。
n n ma F =，θπθωθθsin )2(sin sin tan 222l T m l m l v m mg ====θtan g a n =2． ，当θ角未知时F F n sin /θ=3． ghg l T πθπ2cos 2==，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与θ,,l m 无关。
4．动态分析：当角速度ω增大时，根据θωθsin tan 2R m mg =有Rg2cos ωθ=，ω增大，θ增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。
三、典型实例：例1：将一个半径为R 的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m 的小球贴着碗的内壁在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动，如图，求圆周平面距碗底的高度。
若角速度ω增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
θωθsin tan 2R m mg =，故Rg2cos ωθ=，圆周平面距碗底的高度为2cos ωθgR R R h -=-=。
若角速度ω增大，则有θ增大，高度h 变大，回旋半径变大，向心力变大。
点评：例2：圆锥筒内壁的A 处有一质量为m 回旋半径，向心力分别如何变化？解析：小球受两个力mg 、F N ，m mg 2cot ωθ=变，回旋半径r 减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1例3：一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，顶角为600一速圆周运动，绳解析：0230sin 30tan L v m =，求得小球的线速度为小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图示，用正交分解法解题，在竖直方向mgF F N =+0030sin 30cos ，在水平方向0230sin 30cos 30sin L v m F F N =-，解得mg F 033.1=。
圆锥摆及其变形
“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积ml cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
圆锥摆及其变形
.“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
m.②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
《6.4 “圆锥摆”专题》教案
●圆锥摆：天花板上有一个悬点，下方通过一根细绳悬挂着小球，小球旋转形成圆平面，
与两边的悬绳（母线）组合，就构成了数学中“圆锥”的形状。
学美术的同学可能会遇到石膏模型，有时候上边是不是还插一个圆柱？高度相同的圆锥摆，角速度相同；线速度与旋转半径成正比。
与“同轴转动模型”类似。
●漏斗摆：由对称性，圆锥摆尖尖朝上，就像金字塔；漏斗摆尖尖朝下，与长颈漏斗、分
液漏斗有点像？漏斗摆是如何运转的呢？用一根刚性的绳连接小球，抓住绳子的下端旋转，小球在上方的平面内做匀速圆周运动就形成了漏斗摆。
●应用：圆锥摆与漏斗摆受力的本质相同。
主要应用于：“超级飞椅”、“花样滑冰”、“火
车转弯”、“飞车走壁”等模型。
圆锥摆的特点
· 圆锥摆的特点：1、圆锥摆、圆锥摆模型模型的受力特点——只受两个力：竖直向下的重力（的受力特点——只受两个力：竖直向下的重力（mg mg mg）和沿）和沿）和沿摆线摆线方向的拉力（F ），二力的合力就是摆球做），二力的合力就是摆球做圆周运动圆周运动的向心力（的向心力（F F n ），如图所示。
2、向心力和、向心力和向心加速度向心加速度的计算设摆球的质量为m ，摆长为l ，与竖直方向的，与竖直方向的夹角夹角为θ，摆球的线速度、角速度、周期和，摆球的线速度、角速度、周期和频频率依次为v 、ω、T 和f 。
如图所示，根据不同的条件向心力可以表示为：；向心加速度可表示为：。
3、摆线拉力的计算计算摆线的拉力，有两种基本思路：①当θ角已知时，；②当θ角未知时，。
4、周期T 、频率f 和角速度ω的计算根据根据向心加速度向心加速度公式，有，，。
式中为摆球的轨道为摆球的轨道平面平面到悬点的距离，到悬点的距离，即即圆锥摆的高度。
由这些公式可知，高度相同的圆锥摆，即等高圆锥摆的T 、f 和ω相等，与m 、l 和θ无关。
5、漏斗摆：物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面上做、漏斗摆：物体在光滑的漏斗形容器内壁的某水平面上做匀速圆周运动匀速圆周运动。
漏斗摆的力学特点：物体只受两个力，竖直向下的重力mg mg，，垂直于漏斗壁的弹力，两个力的合力水平指向转轴，其力水平指向转轴，其向心力向心力。
如图所示。
①向心加速度的计算，θ角一定，故a n 恒定。
②周期T 、角速度ω、线速度v 的计算（设匀速圆周运动的平面离漏斗尖端距离为h ） 由，得；由，得；由，得。
可见，可见，h h 增大，线速度增大，角速度减小，周期增大。
受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg · 结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动匀速圆周运动。
圆锥摆及其变形
“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做m匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
- 1 -②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 lg，小球不会在水平面内做圆 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜- 2 -锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 ω杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 图[2]如图[2]所示）。
圆锥摆及其变形
“圆 锥 摆”及 其 变 形江苏省木渎高级中学（215101）郁建石细线一端系一小球，另一端固定于天花板上，小球以一定的大小的速度在水平面内做匀速圆周运动，细线在空中划出一个圆锥面，这样的装置叫做“圆锥摆”， 如图[1]所示。
“圆锥摆”是匀速圆周运动中一个典型的实例，如果真正地搞清了圆锥摆的有关问题，那么匀速圆周运动中不少常用的分析和处理方法也就基本掌握了。
下面就“圆锥摆”问题着重谈三个方面的问题。
一、受力分析如图[1]所示的圆锥摆，小球在水平面内做 匀速圆周运动，共受到重力G 和悬线上拉力T 两个力作用，这两个力的合力F 沿水平方向指 向圆周运动的圆心O ′，它作为小球做匀速圆 周运动的向心力。
若悬线长为l ，小球的质量 为m ，悬线与竖直方向的夹角为α，则向心力 F ＝mg tan α。
二、角速度根据匀速圆周运动的物体，其合外力提供向心力，可以得到：mg tan α＝m ω2r ，其中r ＝l sin α，代入整理，得到其角速度：ω＝αcos l g。
根据这一表达式，进行如下讨论：①当悬线长度l 一定时，ω∝αcos 1，即悬线与竖直方向的夹角α随着小球角速度ω的增大而增大。
②若悬线的长度l 和悬线与竖直方向的夹角α均不相同，但是l 和cos α的乘积l cos α相同，则角速度ω就相同，乘积l cos α实际上就等于小球到悬点在竖直方向上的距离。
即：如果有若干圆锥摆，即使小球质量m 和悬线长度l 各不相同，只要小球做圆周运动所在的平面到悬点的距离相同，那么它做匀速圆周运动的角速度ω就一定相同。
③小球做圆锥摆运动的角速度有一个最小值。
当悬线与竖直方向的夹角α＝0时，得到角速度ω0＝lg，这是角速度的一个临界值，也就是小球做圆锥摆运动的角速度的最小值。
即只有当ω＞lg时，悬线才会被拉直，小球在 水平面内做圆锥摆运动；如果ω＜lg，小球不会在水平面内做圆 锥摆运动（这种情况下，如果悬线上端是固定的一根旋转的竖直 杆上的话，悬线将会缠绕在竖直杆上，然后小球随杆一起转动， 如图[2]所示）。
圆周运动的三种模型
圆周运动的三种模型一、圆锥摆模型：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆球做圆周运动，摆线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，正交分法解得：竖直方向：水平方向：F X= 最终得 F合=。
用力的合成法得F合=。
半径r= ，圆周运动F向= =，由F合=F向可得V=，ω=圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。
分析方法同样适用自行车，摩托车，火车转弯，飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。
共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
1、小球在半径为R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度V ，周期T 的关系。
（小球的半径远小于 R）2、如图所示，用一根长为l＝1m的细线，一端系一质量为m＝1kg的小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T。
求（取g＝10m/s2，结果可用根式表示）：（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω＇为多大？二．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力： = ，v 临界 =2. 小球能通过最高点的条件： v v 临界（此时，绳子对球产生 力）3. 不能通过最高点的条件： v v 临界 （实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）练习：质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是（ ）A . 0 B. mg C .3mg D 5mg三．轻杆模型：(一)轻杆模型的特点：1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的最小速度v= ，此时轻杆对小球的作用力N= （ N 为 力）2. 当 =R v m 2临界（ 轻杆对小球的作用力N= 0 ），gR v 临界3 当 （即0<v< v 临界）时，有 =Rv m 2（ 轻杆对小球的作用力N 为 力）4 当（即v>v 临界）时，有 =R v m 2（轻杆对小球的作用力N 为 力） 练习：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg 的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（ ）A. 外轨道受到24N 的压力B. 外轨道受到6N 的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到 6N 的压力一．轻绳模型（一）轻绳模型的特点：1. 轻绳的质量和重力不计；2. 只能产生和承受沿绳方向的拉力；（二）轻绳模型在圆周运动中的应用小球在绳的拉力作用下在竖直平面内做圆周运动的临界问题：1. 临界条件：小球通过最高点，绳子对小球刚好没有力的作用，由重力提供向心力：2. 小球能通过最高点的条件：（当时，绳子对球产生拉力）3. 不能通过最高点的条件：（实际上小球还没有到最高点时，就脱离了轨道）例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A. 0B. mg C .3mg D 5mg分析：内侧轨道只能对小球产生向下的压力，其作用效果同轻绳一样，所以其本质是轻绳模型当小球经过最高点的临界速度为v ，则当小球以 2v的速度经过最高点时，轨道对小球产生了一个向下的压力N ，则因为所以根据牛顿第三定律，小球对轨道压力的大小也是，故选 c.1.轻杆的质量和重力不计；2.能产生和承受各方向的拉力和压力(二)轻杆模型在圆周运动中的应用轻杆的一端连着一个小球在竖直平面内做圆周运动，小球通过最高点时，轻杆对小球产生弹力的情况：1. 小球能通过最高点的临界条件：v=0 ，N=mg （ N为支持力）2.当时，有（ N为支持力）3当时，有（N=0 ）4当时，有（N 为拉力）例：半径为R=0.5m 的管状轨道，有一质量为m=3kg的小球在管状轨道内部做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2m/s ，g=10m/s2 ，则（）A. 外轨道受到24N的压力B. 外轨道受到6N的压力C. 内轨道受到24N 的压力D. 内轨道受到 6N的压力分析：管状轨道对小球既有支持力又有压力，所以其本质属于杆模型：当小球到最高点轨道对其作用力为零时：有则，=>2m/s所以，内轨道对小球有向上的支持力，则有代入数值得： N=6N根据牛顿第三定律，小球对内轨道有向下的压力大小也为6N ，故选 D三．圆锥摆模型：圆锥摆模型在圆周运动中的应用：如图所示：摆球的质量为m，摆线长度为L ，摆动后摆线与竖直方向成θ角，则分析：摆球在水平面上做匀速圆周运动，加速度必定指向圆心，依据牛顿第二定律，对摆球受力分析，得：圆锥摆是物理学中一个基本模型，许多现象都含有这个模型。