高考数学专题（三）代数推理题怎么解

高三数学专题（三） 代数推理题怎么解

数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.

例1设函数13

4

)(,4)(2+=

--+

=x x g x x a x f ，已知]0,4[-∈x ，时恒有)()(x g x f ≤，求a 的取值范围.

讲解: 由得实施移项技巧,)()(x g x f ≤

,13

4

:,4:,134422a x y L x x y C a x x x -+=--=-+≤

--令, 从而只要求直线L 不在半圆C 下方时, 直线L 的y 截距的最小值.

当直线与半圆相切时，易求得3

5

(5=-=a a 舍去）. 故)()(,5x g x f a ≤-≤时.

本例的求解在于,实施移项技巧 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性. 还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.

例2 已知不等式

3

2)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 对于大于1的正整数n 恒成立，试确定a 的取值范围.

讲解: 构造函数n

n n n f 21

2111)(+++++=

，易证(请思考:用什么方法证明呢?))(n f 为增函数.

∵n 是大于1的 正整数，

.12

7)2()(=≥∴f n f 3

2)1(log 121212111+-≥+++++a n n n a 要使

对一切大于1的正整数恒成立，必须12

73

2)1(log 12

1≤+-a a ,

即.2

511,1)1(log +≤<-≤-a a a 解得

这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.

例3 已知函数)0(4

9

433)(2

2

>+

+--=b b x x x f 在区间[－b ，1－b]上的最大值为25，求b 的值.

讲解: 由已知二次函数配方, 得 .34)2

1

(3)(22+++-=b x x f

2

3

21,121)1(≤≤-≤-

≤-b b b 即当时，)(x f 的最大值为4b 2+3=25. ;2

3214252矛盾与≤≤=∴b b ]1,[)(,2

10,21)2(b b x f b b --<<-<-在时即当上递增， ;25)2

3

()(2<+=-∴b b f

]1,[)(2

3

,121)3(b b x f b b -->->-

在时，即当上递增， ∴2

5

,2541596)1(2==-+=-b b b f 解得.

关于二次函数问题是历年高考的热门话题, 值得读者在复课时重点强化训练. 针对抛物线顶点横坐标

2

1

在不在区间[－b ，1－b], 自然引出解题形态的三种情况, 这显示了分类讨论的数学思想在解题当中的充分运用. 该分就分, 该合就合, 这种辨证的统一完全依具体的数学问题而定, 需要在解题时灵活把握.

例4已知).1(1

)(-≠+=

x x x

x f )()1(x f 求的单调区间；

（2）若.4

3

)()(:,)(1,0>+-=

>>c f a f b b a c b a 求证

讲解: （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 1

1

1)(+-

=x x f , .),1()1,()(上分别单调递增和在区间+∞---∞∴x f

（2）首先证明任意).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有

事实上,)(1

111)()(y x xy f y x xy y x xy y x xy y x xy xy y y x x y f x f ++=+++++>++++++=+++=

+ 而 ()),()1(,y x f y x xy f y x y x xy +>+++>++知由

)()()(y x f y f x f +>+∴

,04

)

2

(1)(122>=+-≥-=

a b b a b b a c

.34

222≥++≥+∴a

a a c a

4

3

)3()()()(=≥+>+∴f c a f c f a f .

函 数 与 不 等 式 证 明 的 综 合 题 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 识 又 考 能 力 的 好 题

型 , 在 高 考 备 考 中 有 较 高 的 训 练 价 值.. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意

).()()(,0y f x f y x f y x +<+>>有采用逆向分析法, 给出你的想法!

例5 已知函数f (x )=

a

a a x

x +（ａ＞０，ａ≠１）．

(1) 证明函数f (x )的图象关于点P (

2

1

,21)对称． (2) 令a n ＝)

1()(n f n f a -，对一切自然数n ，先猜想使a n ＞ｎ２

成立的最小自然数a ,并证明

之．

(3) 求证：

n n n n )(!(lg 3lg )1(4

1

>+∈Ｎ). 讲解: (1)关于函数的图象关于定点P 对称, 可采用解几中的坐标证法. 设M (x ,y )是f (x )图象上任一点，则M 关于P (2

1

,21)的对称点为M ’（１－ｘ，１－ｙ），

y

x f a

a a

a a a y a a a a a a a a

a a x

x

x

x

x

x x -=-∴+=

+-

=-+=⋅+=

+--1)1(1111

∴Ｍ′(1-x ,1-y )亦在f (x )的图象上， 故函数f (x )的图象关于点P (

2

1

,21)对称.