三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：不等式的性质与一元二次不等式

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三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理2019年1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31x y x x =++（），所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，）处的切线斜率3k =，又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =．2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-，B ．a=e ，b =1C ．1e 1a b -==，D ．1e a -= ，1b =- 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++，又函数e ln xy a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+，可得e 012a ++=，解得1e a -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ．2017、2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = D 【解析】通解因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ，所以3232()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ，因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解一因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以(1)(1)0-+=f f ，所以11(11)0-+--++-+=a a a a ，解得1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．优解二易知322()(1)[(1)]=+-+=+-+f x x a x ax x x a x a ，因为()f x 为奇函数，所以函数2()(1)=+-+g x x a x a 为偶函数，所以10-=a ，解得1=a ，所以 3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ，所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．二、填空题14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为__________． 2=y x 【解析】∵2ln(1)=+y x ，∴21y x '=+．当0x =时，2y '=， ∴曲线2ln(1)=+y x 在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即2=y x ．15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xy ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a =____． 3-【解析】(1)x y ax a e '=++，由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为2-，得00(1)12x x x y ax a e a =='=++=+=-，所以3a =-．三、解答题34．（2017北京）已知函数()cos x f x e x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．【解析】（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0x f x x x f ''=--=．又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（Ⅱ）设()e (cos sin )1x h x x x =--，则()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x '=---=-．当π(0,)2x ∈时，()0h x '<，所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减．所以对任意π(0,]2x ∈有()(0)0h x h <=，即()0f x '<．所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递减．因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-．。

三年高考2017_2019高考数学真题分项汇编专题03导数及其应用选择题填空题理含解析

sin x x cos x x2

f
(x) ，得
f (x) 是奇函数，其图象关于原点对称．
又
f
(π) 2

1 π 2
( π )2

4
2π π2
1,
f
(π)

π 1
π2
0 ，可知应为 D 选项中的图象．
2
故选 D．
【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性
通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道
运行． L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R， L2
点到月球的距离为
r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r
满足方程：
(
M1 Rr
)2

M2 r2
11．【2018 年高考全国Ⅱ卷理数】函数 f x ex ex 的图像大致为
x2
【答案】B
【解析】 x

0,
f
x
ex ex x2

f
x,
f
x 为奇函数，舍去 A；
f 1 e e1 0 ，∴舍去 D；
f x
因为
x

π 2
,
π

时，
f
x

0
，所以排除选项
C，
故选 D．
【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在

π 2
,
π

上的符号，即可判断选择.有关函数图象的

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：函数的综合及其应用

函数的综合及其应用一、选择题1．（2017天津）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[- D．39[]16- A 【解析】解法一根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示当1x ≤时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需23()2x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21()4(3)02a ∆=--+≤，解得4716a -≥；当1x >时，若要()||2xf x a +≥恒成立，结合图象，只需22x x a x ++≥，即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当22x x=，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47[,2]16-．选A ．解法二由题意()f x 的最小值为114，此时12x =．不等式()||2xf x a +≥在R 上恒成立等价于11||24x a +≤在R 上恒成立．当a =-12x =，11|||28x -=>，不符合，排除C 、D ；当3916a =时，令12x =，394311||||216168x +=>，不符合，排除B ．选A ．二、填空题x1．（2017山东）若函数e ()xf x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是． ①()2xf x -=②2()f x x=③()3xf x -=④()cos f x x =①④【解析】①()2()2x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()3()3x x x x e e f x e -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③3()xxe f x e x =⋅，令3()x g x e x =⋅，则322()3(2)xxxg x e x e x x e x '=⋅+⋅=+，∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴3()x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④2()(2)xxe f x e x =+，令()()22x g x e x =+，则22()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++⋅=++>，∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质．2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是．8【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且,m n 互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，()[0,1)f x ∈110x ≤<x ∈Q x D ∈*,,,2qx p q p p=∈≥N ,p q lg x ∈Q lg (0,1)x ∈*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N 10n mq p=10()nm q p =lg x ∉Q因此不可能与每个周期内对应的部分相等，只需考虑与每个周期的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期的部分，且处，则在附近仅有一个交点，因此方程的解的个数为8．3．（2017新课标Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，DBC ∆，ECA ∆，FAB ∆分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：不等式的综合应用

不等式的综合应用2019年1.（2019天津理13）设0,0,25x y x y >>+=，的最小值为 .解析 0x >，0y >，25x y +=，===由基本不等式，==时，即3xy =，且25x y +=时，即31x y =⎧⎨=⎩或x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2017、2018年一、选择题1．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ D 【解析】点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．2．（2017天津）已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+⎪⎩≥设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是A ．[2,2]- B．[2]- C．[2,- D．[- A 【解析】解法一函数()f x 的图象如图所示，当||2xy a =+的图象经过点(0,2)时，可知2a =±．当2x y a =+的图象与2y x x =+的图象相切时，由22x a x x+=+，得2240x ax -+=，由0∆=，并结合图象可得2a =，要使()||2xf x a +≥恒成立，当0a ≤时，需满足2a -≤，即20a -≤≤，当0a >时，需满足2a ≤，所以22a -≤≤．解法二由题意0x =时，()f x 的最小值2，所以不等式()||2xf x a +≥等价于 ||22xa +≤在R 上恒成立．当a =0x =，得|22x+>，不符合题意，排除C 、D ；当a =-0x =，得|22x->，不符合题意，排除B ；选A ．二、填空题1．(2018天津)已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128ab +的最小值为． 15．14【解析】由360a b -+=，得36a b =-，所以36331112222824ab b b --+=+=⨯=≥，当且仅当363122b b -=，即1b =时等号成立． 2．(2018浙江)已知λ∈R ，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是___________．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．(1,4)；(1,3](4,)+∞U 【解析】若2λ=，则当2x ≥时，令40x -<，得24x <≤；当2x <时，令2430x x -+<，得12x <<．综上可知14x <<，所以不等式()0f x <的解集为(1,4)．令40x -=，解得4x =；令2430x x -+=，解得1x =或3x =．因为函数()f x 恰有2个零点，结合函数的图象（图略）可知13λ<≤或4λ>． 3．(2017北京)已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是_______．1[,1]2【解析】由题意，22222211(1)2212()22u x y x x x x x =+=+-=-+=-+，且[0,1]x ∈，又0x =时，221u x y =+=，12x =时，22min 12u x y =+=，当1x =时，221u x y =+=，所以22x y +取值范围为1[,1]2．4．（2017天津）若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________．4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab+++=+≥≥ ，当且仅当222a b =，且12ab =，即22a =时取等号．5．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x 的值是． 30【解析】总费用为，当且仅当，即时等号成立．6．（2017浙江）已知a ∈R ，函数4()||f x x a a x=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是．9(,]2-∞【解析】∵[1,4]x ∈，∴4[4,5]x x+∈①当5a ≥时，44()2224f x a x a a x a a x x =--+=---=-≤，所以()f x 的最大值245a -=，即92a =（舍去） ②当4a ≤时，44()5f x x a a x x x=+-+=+≤，此时命题成立．③当45a <<时，max ()max{|4|,|5|}f x a a a a =-+-+，则|4||5||4|5a a a a a a -+-+⎧⎨-+=⎩≥或|4||5||5|5a a a a a a -+<-+-+=，解得92a =或92a <，综上可得，实数a 的取值范围是9(,]2-∞．600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯900x x=30x =。

三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题19不等式选讲文(含解析)

专题19 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++．（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1．综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．6．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞． 7．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）a b +的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5． 8．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】222x y z ++的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．9．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤．所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-≤≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 10．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a ba b ab a b ab a b =+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >．所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=．故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=，所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22212n a a a +++）（22212n b b b +++）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论．。

2017-2019年高考真题“不等式”全集(含详细解析)

2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．62．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．123．（2019•北京）若x ，y 满足||1x y -…，且1y -…，则3x y +的最大值为( ) A ．7-B ．1C ．5D ．74．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．455．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．37．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．68．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2a ba ab b +<<+ B ．21log ()2ab a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 9．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件250302x y x y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y =+的最大值是( )A ．3-B ．1-C ．1D ．310．（2017•浙江）若x 、y 满足约束条件03020x x y x y ⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y =+的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，)+∞D ．[4，)+∞11．（2017•北京）若x ，y 满足32x x y y x ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y +的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．912．（2017•新课标Ⅱ）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最小值是() A ．15-B ．9-C ．1D ．913．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]14．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件3310x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二．填空题（共23小题） 15．（2020•上海）不等式13x>的解集为． 16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为． 18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为． 19．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为． 20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为．22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x ，y 满足约束条件2360,30,20,x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y =-的最大值是．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．24．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为，最大值为．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为． 26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是，最大值是．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是．29．（2018•新课标Ⅱ）若x ，y 满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y =+的最大值为．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为． 31．（2017•上海）不等式11x x->的解集为． 32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为． 36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数； ()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为． ②该小组人数的最小值为．37．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值． 39．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…．2017-2019年高考真题“不等式”全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2019•天津）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………则目标函数4z x y =-+的最大值为( ) A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩…………作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5．故选：C ．2．（2019•浙江）若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………则32z x y =+的最大值是( )A ．1-B ．1C ．10D ．12【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩………作出可行域如图，联立340340x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得(2,2)A，化目标函数32z x y=+为3122y x z=-+，由图可知，当直线3122y x z=-+过(2,2)A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．3．（2019•北京）若x，y满足||1x y-…，且1y-…，则3x y+的最大值为() A．7-B．1C．5D．7【解答】解：由||11x yy-⎧⎨-⎩……作出可行域如图，联立110yx y=-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A-，令3z x y=+，化为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过点A时，z有最大值为3215⨯-=．故选：C．4．（2018•天津）设变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，则目标函数35z x y =+的最大值为( ) A ．6B ．19C ．21D ．45【解答】解：由变量x ，y 满足约束条件52410x y x y x y y +⎧⎪-⎪⎨-+⎪⎪⎩…………，得如图所示的可行域，由51x y x y +=⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．当目标函数35z x y =+经过A 时，直线的截距最大， z 取得最大值．将其代入得z 的值为21，故选：C ．5．（2018•北京）设集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}x ay -…，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉ C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a …时，(2,1)A ∉ 【解答】解：当1a =-时，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y -+>，2}x y +…，显然(2,1)不满足，4x y -+>，2x y +…，所以A 不正确；当4a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，44x y +>，42}x y -…，显然(2,1)在可行域内，满足不等式，所以B 不正确；当1a =，集合{(,)|1A x y x y =-…，4ax y +>，2}{(,)|1x ay x y x y -=-剠，4x y +>，2}x y -…，显然(2,1)A ∉，所以当且仅当0a <错误，所以C 不正确；故选：D ．6．（2017•天津）设变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………，则目标函数z x y =+的最大值为( ) A ．23B ．1C ．32D ．3【解答】解：变量x ，y 满足约束条件2022003x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩…………的可行域如图：目标函数z x y =+结果可行域的A 点时，目标函数取得最大值，由30y x =⎧⎨=⎩可得(0,3)A ，目标函数z x y =+的最大值为：3．故选：D ．7．（2017•山东）已知x ，y 满足约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．2C ．5D ．6【解答】解：画出约束条件3035030x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图所示；由30350x x y +=⎧⎨++=⎩解得(3,4)A -，此时直线1122y x z =-+在y 轴上的截距最大，所以目标函数2z x y =+的最大值为 3245max z =-+⨯=．故选：C ．8．（2017•山东）若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是( ) A ．21log ())2ab a a b b +<<+ B ．21log ()2a b a b a b<+<+C ．21log ()2a b a a b b +<+< D ．21log ())2aba b a b +<+< 【解答】解：0a b >>，且1ab =，∴可取2a =，12b =．则14a b +=，2112228a b ==，22215log ()(2)(1,2)22a b log log +=+=∈，∴21log ()2a b a b a b<+<+．故选：B ．9．（2017•山东）已知x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………则2z x y=+的最大值是()A．3-B．1-C．1D．3【解答】解：x，y满足约束条件250302x yxy-+⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：目标函数2z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由：2250yx y=⎧⎨-+=⎩解得(1,2)A-，目标函数的最大值为：1223-+⨯=．故选：D．10．（2017•浙江）若x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则2z x y=+的取值范围是()A．[0，6]B．[0，4]C．[6，)+∞D．[4，)+∞【解答】解：x、y满足约束条件3020xx yx y⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，表示的可行域如图：目标函数2z x y=+经过C点时，函数取得最小值，由3020x yx y+-=⎧⎨-=⎩解得(2,1)C，目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，)+∞．故选：D．11．（2017•北京）若x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2x y+的最大值为()A．1B．3C．5D．9【解答】解：x，y满足32xx yy x⎧⎪+⎨⎪⎩………的可行域如图：由可行域可知目标函数2z x y=+经过可行域的A时，取得最大值，由3xx y=⎧⎨=⎩，可得(3,3)A，目标函数的最大值为：3239+⨯=．故选：D．12．（2017•新课标Ⅱ）设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………，则2z x y=+的最小值是()A ．15-B ．9-C ．1D ．9【解答】解：x 、y 满足约束条件2330233030x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………的可行域如图：2z x y =+ 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由32330y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(6,3)A --，则2z x y =+ 的最小值是：15-．故选：A ．13．（2017•新课标Ⅲ）设x ，y 满足约束条件3260x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………则z x y =-的取值范围是( )A ．[3-，0]B ．[3-，2]C ．[0，2]D ．[0，3]【解答】解：x ，y 满足约束条件32600x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩………的可行域如图：目标函数z x y =-，经过可行域的A ，B 时，目标函数取得最值，由03260x x y =⎧⎨+-=⎩解得(0,3)A ，由03260y x y =⎧⎨+-=⎩解得(2,0)B ，目标函数的最大值为：2，最小值为：3-，目标函数的取值范围：[3-，2]．故选：B ．14．（2017•新课标Ⅰ）设x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z x y=+的最大值为()A．0B．1C．2D．3【解答】解：x，y满足约束条件331x yx yy+⎧⎪-⎨⎪⎩………的可行域如图：，则z x y=+经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由33yx y=⎧⎨+=⎩解得(3,0)A，所以z x y=+的最大值为：3．故选：D．二．填空题（共23小题）15．（2020•上海）不等式13x>的解集为1(0,)3．【解答】解：由13x>得13xx->，则(13)0x x->，即(31)0x x-<，解得13x<<，所以不等式的解集是1(0,)3，故答案为：1(0,)3．16．（2019•全国）若12log (41)2x ->-，则x 的取值范围是 15(,)44 ．【解答】解：1122log (41)2log 4x ->-=，∴410414x x ->⎧⎨-<⎩，∴1544x <<，x ∴的取值范围为15(,)44．故答案为：15(,)44．17．（2019•上海）已知x ，y 满足002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………，则23z x y =-的最小值为 6- ．【解答】解：作出不等式组002x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩………表示的平面区域，由23z x y =-即23x zy -=，表示直线在y 轴上的截距的相反数的13倍，平移直线230x y -=，当经过点(0,2)时，23z x y =-取得最小值6-，故答案为：6-．18．（2019•上海）若x ，y R +∈，且123y x +=，则yx的最大值为 98 ．【解答】解：132y x =+…∴298y x =…；故答案为：9819．（2019•天津）设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2(1,)3- ．【解答】解：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有： (1)(32)0x x +-<；2(1)()03x x +-<；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边” 可得：213x -<<；即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2(1,)3-；20．（2019•天津）设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 92．【解答】解：0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+； 0x >，0y >，24x y +=，由基本不等式有：42x y =+…， 02xy ∴<…， 552xy …，故：5592222xy ++=…；（当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立），故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92．21．（2019•天津）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：64xyxy=当且仅当时，即：3xy=，25x y+=时，即：31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：22．（2019•新课标Ⅱ）若变量x，y满足约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………则3z x y=-的最大值是9．【解答】解：由约束条件2360,30,20,x yx yy+-⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图：化目标函数3z x y=-为3y x z=-，由图可知，当直线3y x z=-过(3,0)A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为9．故答案为：9．23．（2019•北京）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．【解答】解：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)，即有顾客需要支付14010130-=（元)； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得()80%70%m x m -⨯⨯…，即有8mx …恒成立，由题意可得120m …，可得120158x =…，则x 的最大值为15元．故答案为：130，1524．（2019•北京）若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………则y x -的最小值为 3- ，最大值为．【解答】解：由约束条件2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩………作出可行域如图，(2,1)A -，(2,3)B ，令z y x =-，作出直线y x =，由图可知，平移直线y x =，当直线z y x =-过A 时，z 有最小值为3-，过B 时，z 有最大值1．故答案为：3-，1．25．（2018•上海）已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 1(OA x =，1)y ，2(OB x =，2)y ，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，可得A ，B 两点在圆221x y +=上，且111cos 2OA OB AOB =⨯⨯∠=，即有60AOB ∠=︒，即三角形OAB 为等边三角形，1AB=，的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行，可设:0AB x y t ++=，(0)t >，由圆心O到直线AB 的距离d =，可得1，解得t1=，+26．（2018•浙江）若x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………，则3z x y =+的最小值是 2- ，最大值是．【解答】解：作出x ，y 满足约束条件0262x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩………表示的平面区域，如图：其中(4,2)B -，(2,2)A ．设(,)3z F x y x y ==+，将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，可得当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值．()4,22z F ∴=-=-最小值．可得当l 经过点A 时，目标函数z 达到最最大值：()2,28z F ==最大值．故答案为：2-；8．27．（2018•新课标Ⅲ）若变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则13z x y =+的最大值是 3 ．【解答】解：画出变量x ，y 满足约束条件23024020x y x y x ++⎧⎪-+⎨⎪-⎩………表示的平面区域如图：由2240x x y =⎧⎨-+=⎩解得(2,3)A ．13z x y =+变形为33y x z =-+，作出目标函数对应的直线，当直线过(2,3)A 时，直线的纵截距最小，z 最大，最大值为12333+⨯=，故答案为：3．28．（2018•北京）若x ，y 满足12x y x +剟，则2y x -的最小值是 3 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设2z y x =-，则1122y x z =+，平移1122y x z =+，由图象知当直线1122y x z =+经过点A 时，直线的截距最小，此时z 最小，由12x y y x +=⎧⎨=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)A ，此时2213z =⨯-=，故答案为：329．（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………，则z x y=+的最大值为9．【解答】解：由x，y满足约束条件25023050x yx yx+-⎧⎪-+⎨⎪-⎩………作出可行域如图，化目标函数z x y=+为y x z=-+，由图可知，当直线y x z=-+过A时，z取得最大值，由5230xx y=⎧⎨-+=⎩，解得(5,4)A，目标函数有最大值，为9z=．故答案为：9．30．（2018•新课标Ⅰ）若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩………，则32z x y =+的最大值为 6 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由32z x y =+得3122y x z =-+，平移直线3122y x z =-+，由图象知当直线3122y x z =-+经过点(2,0)A 时，直线的截距最大，此时z 最大，最大值为326z =⨯=，故答案为：631．（2017•上海）不等式11x x->的解集为 (,0)-∞ ．【解答】解：由11x x->得： 111100x x x->⇒<⇒<，故不等式的解集为：(,0)-∞，故答案为：(,0)-∞．32．（2017•天津）若a ，b R ∈，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 4 ．【解答】解：【解法一】a ，b R ∈，0ab >，∴4441a b ab ++2241a b ab +=144ab ab ab ab=+=…，当且仅当44414a b ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．【解法二】a ，b R ∈，0ab >，∴44334141142222a b a b ab b a ab ab a ab ab++=+++=…，当且仅当44414ab ab ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2222214a b ab ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即a =，b 或a =，b =时取“=”； ∴上式的最小值为4．故答案为：4．33．（2017•新课标Ⅰ）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………，则32z x y =-的最小值为 5- ．【解答】解：由x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩………作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ，联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得(1,1)A -．32z x y ∴=-的最小值为31215-⨯-⨯=-．故答案为：5-．34．（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6000644240x x =⨯+⨯=…（万元）．当且仅当30x =时取等号．故答案为：30． 35．（2017•山东）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则2a b +的最小值为 8 ．【解答】解：直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2)，则121a b +=，由12442(2)()2244448a b a b a b a b a b b a b a +=+⨯+=+++=++++=…，当且仅当4a bb a=，即12a =，1b =时，取等号，2a b ∴+的最小值为8，故答案为：8．36．（2017•北京）某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： ()i 男学生人数多于女学生人数；()ii 女学生人数多于教师人数； ()iii 教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为 6 ． ②该小组人数的最小值为．【解答】解：①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则424x y y x >⎧⎪>⎨⎪⨯>⎩，即48y x <<<，即x 的最大值为7，y 的最大值为6，即女学生人数的最大值为6．②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩，即2z y x z <<< 即z 最小为3才能满足条件，此时x 最小为5，y 最小为4，即该小组人数的最小值为12，故答案为：6，1237．（2017•新课标Ⅲ）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为 1- ．【解答】解：由34z x y =-，得344zy x =-，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线344z y x =-，由平移可知当直线344zy x =-，经过点(1,1)B 时，直线344zy x =-的截距最大，此时z 取得最小值，将B 的坐标代入34341z x y =-=-=-，即目标函数34z x y =-的最小值为1-．故答案为：1-．三．解答题（共3小题）38．（2018•江苏）若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求222x y z ++的最小值．【解答】解：由柯西不等式得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++…， 226x y z ++=，2224x y z ∴++… 是当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时23x =，43y =，43z =，222x y z ∴++的最小值为439．（2017•天津）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．()I 用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； ()II 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解答】（Ⅰ）解：由已知，x ，y 满足的数学关系式为70606005530200x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩……………，即766062000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪-⎨⎪⎪⎪⎩……………．该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：（Ⅱ）解：设总收视人次为z 万，则目标函数为6025z x y =+．考虑6025z x y =+，将它变形为12525z y x =-+，这是斜率为125-，随z 变化的一族平行直线．25z 为直线在y 轴上的截距，当25z取得最大值时，z 的值最大．又x ，y 满足约束条件，∴由图可知，当直线6025z x y =+经过可行域上的点M 时，截距25z最大，即z 最大．解方程组766020x y x y +=⎧⎨-=⎩，得点M 的坐标为(6,3)．∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．40．（2017•江苏）已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，2216c d +=，证明8ac bd +…．【解答】证明：224a b +=，2216c d +=，令2cos a α=，2sin b α=，4cos c β=，4sin d β=．8(cos cos sin sin )8cos()8ac bd αβαβαβ∴+=+=-…．当且仅当cos()1αβ-=时取等号．因此8ac bd +…．另解：由柯西不等式可得：22222()()()41664ac bd a b c d +++=⨯=…，当且仅当a bc d=时取等号．88ac bd ∴-+剟．。

2017-2019年高考真题数学(理)分项汇编_专题12 数列

专题12数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ．【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭，整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d ,的关系，从而求得结果.5．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意；若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230l n a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥6．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ．【秒杀解】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=，则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.7．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=，所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 8．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ．【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．9．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24- B ．3- C ．3D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ．【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=，结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．11．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--．【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．12．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________．【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+．【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为___________．【答案】 0，10-. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.14．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________．【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.15．【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16．【2018年高考北京卷理数】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为___________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，，【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.17．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}nB x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________．【答案】27【解析】所有的正奇数和()2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16个正奇数，即5621382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意；……；当n =26时，()2752621221(141)441625032121=2516S a ⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，()8527221222(143)21484+62=546>12=5420S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.18．【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑___________．【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=，裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++，所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knSn n n n ==-+-++-=-=+++∑．【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．19．【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.20．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________．【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=．【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．21．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==．【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 22．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.23．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．【答案】(1) 1,3,5,6（答案不唯一）；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一）（2）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ，又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤. 所以00m n a a <·（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件.所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.24．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ．（i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（1）31n a n =+；32nn b =⨯（2）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（2）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-．所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-．（ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．25．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．26．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-．所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ．我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<<==．即当1n k =+时不等式也成立．根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.27．【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16．【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．（2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.28．【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m =.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.29．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=，因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.30．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；（2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．【答案】（1）75[,]32；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．31．【2018年高考天津卷理数】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N . 【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）（i ）122n n T n +=--；（ii ）见解析.【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（1）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+，可得131316,b d +=从而11,1,b d ==故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（2）（i ）由（1），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑. 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．【2017年高考天津卷理数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得23112(14)324343434(31)44(314n nn n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328433n n n T +-=⨯+．所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+．【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 33．【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积n T .【答案】（1）12n n x -=；（2）(21)21.2n n n T -⨯+=【解析】（1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >.由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=，因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（2）过123,,,P P P …，1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q …，1n Q +,由(1)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯，所以123n T b b b =+++…+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+…+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯①，又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+…+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯②，①-②得121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 34．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k nnnk n ka aa a aa --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++，因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥，所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-，所以数列{}n a 是等差数列．【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可． 35．【2017年高考北京卷理数】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<，所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-，所以{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，nc M n>. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生. 36．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时，（1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1−x n ≤12n n x x +；（3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >．当n =1时，x 1=1>0．假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．。

三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题20不等式选讲理(含解析)

专题20 不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++．（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞．（2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----．所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．【答案】（1）43；（2）见详解．【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥，当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立．所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立．因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-；当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解；当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1．综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 5．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知()|1||1|f x x ax =+--．（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．6．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--．（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；（2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤．（2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥．由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞． 7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．【答案】（1）图像见解析；（2）a b +的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5． 8．【2018年高考江苏卷数学】若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【答案】222x y z ++的最小值为4．【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++．因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4．9．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ．（1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．【答案】（1）{|1x x -≤≤；（2）[1,1]-．【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤．所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-≤≤．（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]-．【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 10．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）()()556556a b a b a ab a b b ++=+++()()()2333344222244.a ba b ab a b ab a b =+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．11．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤；当2x >时，由()1f x ≥解得2x >．所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=．故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．12．【2017年高考江苏卷数学】已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【答案】见解析【解析】由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，因为22224,16a b c d +=+=，所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤．【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则（22212n a a a +++）（22212n b b b +++）≥（a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ）2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i （i ＝1，2，…，n ）时，等号成立．本题中，由柯西不等式可得22222()()()ac bd a b c d +≤++，代入即得结论．。

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不等式的性质与一元二次不等式
2019年
1.（2019全国Ⅱ理6）若a >b ，则
A ．ln(a −b )>0
B ．3a <3b
C ．a 3−b 3>0
D ．│a │>│b │ 解析：取0a =，1b =-，则
ln()ln10a b -==，排除A ； 011
331333
a b -==>==，排除B ；
011a b =<-==，排除D ．
函数3
()f x x =在R 单调递增，由a b >可得33a b >，所以330a b ->，C 正确. 故选C ．
2017、2018年
一、选择题
1．(2018全国卷Ⅰ)已知集合2
{20}=-->A x x x ，则A =R ð A ．{12}-<<x x B ．{12}-≤≤x x C ．{|1}{|2}<->U x x x x
D ．{|1}{|2}-U ≤≥x x x x
B 【解析】因为2
{20}=-->A x x x ，所以2
{|20}=--R ≤A x x x ð
{|12}=-≤≤x x ，故选B ．
2．(2018天津)已知2log e =a ，ln 2b =，1
2
1
log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>
D 【解析】因为2log e >1a =，ln 2(0,1)b =∈，1
222
1
log log 3log 13
c e ==>>．所以c a b >>，故选D ．
3．(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则
A ．0a b ab +<，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．
4．（2017新课标Ⅰ）已知集合{|1}A x x =<，{|31}x
B x =<，则
A ．{|0}A
B x x =U
D ．A B =∅I A 【解析】∵{|0}B x x =<，∴{|0}A B x x =得1x <，故
A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -<=->，且1ab =，则下列不等式成立的是
A ．()21log 2a b a a b b +
<<+ B ．()21
log 2a b a b a b <+<+ C ．()21log 2
a b
a a
b b +
<+< D ．()21log 2a b a b a b +<+，01b <<，所以1
2a
b
<，122a a a a b +=+=>，又1a b +>，所以2
()()a b a b +>+，
所以2
2222log ()log ()log 1a b a b >+>+>=，
故
()21log 2a b a b a b
<+<+，选B ．二、填空题
1．（2017新课标Ⅲ）设函数1,0()2,0
x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值
范围是___．
1(,)4-+∞【解析】当12
x >时，不等式为1
2221x x
-+>恒成立；当102x <≤
，不等式1
2112
x x +-+>恒成立；当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即1
04
x -<≤；
综上，x 的取值范围为1
(,)4
-+∞．
2．（2017江苏）
记函数()f x =的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数
x ，则x D ∈ 的概率是．
5
9
【解析】由260x x +-≥，解得23x -≤≤，根据几何概型的计算公式得概率为 3(2)5
5(4)9
--=--．
3．（2017北京）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +>”是假命题
的一组整数a ，b ，c 的值依次为________________．
-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】因为“设a ，b ，c 是任意实数．
若a b c >>，则a b c +>”是假命题，则它的否定“设a ，b ，c 是任意实数．若a b c >>，则a b c +≤”是真命题，
由于a b c >>，所以2a b c +>，又a b c +≤，所以0c <，因此a ，b ，c 依次取整数-1，-2，-3，满足a b c +≤．
相矛盾，所以验证是假命题．
()123,1233->->--+-=->-。