拱结构平面内的稳定问题研究

拱结构平面内的稳定问题研究
摘要：本文主要对拱结构进行平面内稳定问题的分析，讨论了不同荷载分布情况下拱平面内的线弹性和非线性分析，不同矢跨比在对称和非对称荷载情况下的平面内稳定，以及以两铰拱为例简要的阐述了其在理想的纯压状态和实际的受压与受弯共同作用状态下的简化计算公式。

关键词：拱结构；平面内稳定；荷载性质；矢跨比；两铰拱
0 引言
近年来，大跨空间结构得到了很大的发展，更是为大跨拱式体系提供了广阔的发展舞台，拱是一个以受压为主的构件，能将外部荷载转化为拱轴力，是一种较为合理的受力体系。

然而对于拱结构的稳定性问题的研究理论还不是很成熟。

当拱所承受的荷载超过其临界荷载时，整个拱就会丧失稳定性，在其平面内发生压弯屈曲，或者倾出平面之外的弯扭侧倾。

拱平面外的稳定往往可以通过设置足够的支撑或者构件之间的相互约束得到保证。

但作为竖向的主要承力体系，拱往往跨越很大的跨度而没有面内的支承。

平内的稳定难以得到保证，平面内稳定常常是拱结构设计的控制因素。

与直杆构件相比，拱的稳定已经不是构件层次上的稳定问题，比一维粱柱构件的稳定问题复杂得多。

如轴线形式、截面形式、荷载性质和作用位置、支承条件、矢跨比、长细比、几何缺陷、残余应力等众多影响因素都给拱平面内稳定问题的研究带来极大的难度，虽然许多学者对钢拱平面内稳定的失稳机理和设计理论进行了大量的研究，促进了拱形结构稳定理论的发展，但由于拱的稳定问题研宄难度大，影响因素多，迄今为止并没有形成系统完善的拱形结构的平面内稳定设计理论[1]。

本文主要从荷载形式和矢跨比方面对拱结构进行平面内的稳定分析，以及讨论一下关于两铰拱的简要计算方法。

1 不同荷载形式作用下拱结构的平面内稳定分析
1.1 全跨荷载作用下线弹性屈曲分析
采用线弹性屈曲理论来分析拱结构的屈曲承载能力，首先确定结构的不同失稳模态，每一阶失稳模态对应一个失稳时的临界荷载和一种屈曲模态形状，对每一失稳模态建立相应的屈曲平衡微分方程(1)[2]。

求解方程特征值得到各阶模态的线弹性屈曲临界荷载。

[][](){}0=∆+ξλS K (1) 式中，[]K 表示刚度矩阵；[]S 表示应力刚度矩阵；{}ξ∆表示位移特征矢量；λ表示特征值。

可用各种迭代法求解各阶模态平衡方程(1)得特征值，特征值与给定荷载的乘积为弹性屈曲荷载。

张志忠等人[3]根据上述理论与计算方法进行了线性弹性屈曲分析，得出线弹性屈曲分析得到前4阶模态的屈曲形态依次呈反正对称交替，如图1所示。

图1 线弹性各阶模态屈曲形态
1.2 全跨荷载作用下几何非线性屈曲分析
在对结构进行几何非线性屈曲分析时，结构的平衡方程及变形协调条件必须建立在变形之后的几何位置上，列结构的增量平衡方程(2)：
[][][](){}{}{}F P K K K t t t L -=∆++∆+δσ0 (2) 式中：[]0K 为小位移线性刚度矩阵；[]L K 、[]σK 分别为大位移矩阵和初应力矩阵；{}δ∆ 为节点位移增量；{}P t t ∆+为外荷载等效节点力列阵；{}
F t 为t 时刻的单元应力等效节点力列阵。

该方程采用弧长法迭代求解。

张志忠等人[3]进行几何非线性屈曲分析，发现拱结构的几何非线性屈曲临界荷载比线弹性屈曲荷载大，这与传统的结构失稳理论矛盾，图2是几何非线性屈曲形态图。

图2 几何非线性屈曲形态
1.3 半跨荷载作用下的几何非线性分析
拱结构在受到半跨荷载作用时，变形以开始就是非对称的，以极值点形式失稳[4]，几何非线性屈曲临界荷载小于线弹性屈曲荷载。

结构在半跨加载过程中提前发生变形，达到
临界极值时，结构已经发生了较大的变形。

拱结构的屈曲失稳承载能力在半跨荷载作用下受大变形非线性的影响更大，从线弹性分析到非线性分析，拱结构的屈曲荷载系数降低了超过40%，而在全跨荷载作用下，降幅则小于1%[3]。

2 不同矢跨比拱结构的平面内稳定分析
2.1 对称荷载作用的情况
矢高比越小的拱结构，其屈曲拐点越明显，在达到屈曲以前刚度越大，在屈曲临界点处结构产生的变形越小，但在屈曲临界点后承载力下降较快，结构呈脆性失稳。

而对于矢跨比较大的拱结构，其屈曲拐点不明显，结构屈曲前产生较大的位移，但屈曲后，曲线下降较平缓，甚至还会出现上升阶段（当矢跨比大于约0.35时），说明其结构具有较强的变形能力。

2.2 非对称荷载作用的情况
工程设计中通常取全跨恒载（后用p 表示）加半跨活载（后用q 表示）作为最不利工况。

不同的拱结构中设计荷载会取到不同的ν(ν=q/p)值。

从计算中发现只要在微小的半跨或其它非对称荷载的影响下，拱结构都会以极值点失稳形式失稳。

不同矢跨比拱结构在不同ν值荷载作用下，其平面内失稳性能有不同的特征，但呈现出一定的变化规律。

在每一矢跨比拱结构中，随着ν值增大，结构达到屈曲临界荷载时产生的位移增大。

对于矢跨比越小的拱结构，随半跨荷载比例增大，结构产生的位移增大更快，矢跨比大的拱结构抵抗半跨荷载的能力更强。

3 两铰拱的平面内稳定分析
3.1 纯压状态下的平面内稳定
单纯受压而又没有几何缺陷的拱和完善的受压直杆一样，失稳呈分岔屈曲，使原来的平衡状态失去了稳定性而转向新的平衡状态，属于第一类稳定问题。

两铰拱屈曲时是以反对称形式失稳亦即在拱顶处有反弯点。

两铰拱单纯受压而发生反对称失稳时，其屈曲半波长相当于两端铰接的直杆，所以拱的平面内稳定就算可以根据直杆的轴心受压整体稳定来确定。

3.1.1 两铰拱的临界压力Pcr 表达式
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=123απR
EI Pcr z （3）
式中：R —拱轴的曲率半径；I z —拱在自身平面内弯曲时截面惯性矩；α—拱轴圆弧所对圆心角的一半。

3.1.2 纯压拱的非弹性稳定
由于无缺陷纯压拱的失稳属于分叉失稳，性质和受压直杆相同，它的非弹性屈曲可以利用计算长度化作等价的直杆，并利用轴心压杆和稳定系数来计算。

(1) 等截面纯压圆弧拱
对于等截面纯压圆弧拱，其拱脚截面压力的临界值cr x N ,按下式计算：
()
22,S EI N s z cr x μπ= （4） 式中：cr x N ,—拱脚截面压力的临界值；s μ—计算长度系数；S —拱轴线长度一半；z I —拱在自身平面内弯曲时截面惯性矩。

当拱在非弹性范围内失稳时，由计算长度S l s μ=0，找出长细比z z i l /0=λ，再由规范按相应截面特性查出稳定系数ϕ来，由下式验算纯压拱的非弹性稳定性：
f A N ≤ϕ
（5） 式中：N —拱脚实际所受轴力；A —截面面积；ϕ—稳定系数；f —材料强度设计值。

(2) 变截面纯压圆弧拱
对于变截面拱可以把拱换算成当量的等截面拱，将临界压力写成：
2002,S EI N cr x π=
（6） 式中：0S —拱的计算长度2
0s s β=(s 为拱弧全长)；0I —换算截面的惯性矩。

可按变截面压杆公式换算，当截面变化不大时，可取四分点（四分之一跨度处）；β—拱度的影响系数，2211⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=R s πβ。

换算成()
22,S EI N s z cr x μπ=，求出s μ，利用f A N ≤ϕ验算平面内稳定性。

3.2 有弯矩拱的稳定性
实际工程中的拱往往在受压的同时还要受弯矩作用。

承受非对称荷载的拱.变形一开始
就是非对称的，荷载达到临界值时，拱以极值点形式失稳。

根据稳定分析，非对称荷载比对称荷载更为不利。

当活荷载并非均匀，或只作用在一个区段内时，拱截面弯矩较大。

对稳定最不利的均匀分布的活荷载大约为半跨略多一点。

为计算简便，常取半跨活荷载加全跨恒载作用计算。

既受压又受弯的拱在弹塑性范围失稳时，和压弯直杆类似。

塑性出现在某一区段的部分截面上，残余应力对承载力有相当大的影响，弯矩也由于拱轴位移而增大，所以拱的弹塑性稳定问题既要计入变形影响又要考虑残余应力，需要对拱进行二阶分析，计算比较复杂。

用极限轴力和极限弯矩的相关公式，内力计算只要求一阶分析[5]。

4 结论
本文简要的进行了拱结构的平面内稳定问题的分析。

首先，拱在全跨荷载作用下的线弹性分析时得出拱前4阶模态的屈曲形态呈现反正对称交替变化的情形，线性屈曲荷载是非线性屈曲荷载的上限。

其次，在对称荷载作用下不同矢跨比的拱结构，其矢跨比越小，在屈曲临界点处产生的变形越小，但在屈曲临界点后承载力迅速下降，使得结构呈脆性失稳；而矢跨比较大时，结构具有较强的变形能力。

对于非对称荷载情况下，矢跨比越小，随半跨荷载比例增大，结构产生的位移增大更快，矢跨比越大，抵抗半跨荷载的能力越强。

最后，对两铰拱在纯压和有弯矩的情况下分析了其简化计算公式。

参考文献
[1]林冰,郭彦林,吕晶.钢拱平面内稳定性设计理论的研究现状.2007全国钢结构学术年会.
[2]李国豪.桥梁结构稳定与震动[M],北京,中国铁道出版社.
[3]张志忠,傅学怡,陈贤川.拱结构平面内稳定性能研究[J].深圳土木与建筑,2007(3),4(1):35-38.
[4]陈骥,钢结构稳定理论与应用[M],北京,科学技术文献出版.
[5]胥彦斌,马重阳.拱平面内稳定的简化计算[J].黑龙江科技信息.2008(7).。