函数的图像 (2)

图 2-7-2
A．y＝f(|x|) C．y＝f(－|x|)
B．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
(2)(2014·江西高考)在同一直角坐标系中，函数 y＝ax2－x
＋a2与 y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不．可．能．的是(
)
【思路点拨】 (1)根据图象的变化特点，结合选项判断． (2)讨论字母的取值情况，确定函数的图象特征，再利用 排除法求解．
[典例剖析]
【典例】 (2014·北京高考)已知函数 f(x)＝6x－log2x，在
下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,4)
D．(4，＋∞)
【解析】 在同一坐标系中作出函数 y＝6x与函数 y＝log2x 的大致图象．如图所示：
误区分析：此处易出现作出的图象比较粗糙，从而不能 准确确定出交点的位置，而出现错误．
∵f(x－1)≤21，则在直线 y＝12上及其下方的图象满足， ∴13≤x－1≤43或－34≤x－1≤－13， ∴43≤x≤47或41≤x≤23.
【答案】 A
当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可 作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问 题，从而利用数形结合求解
误区分析 5 作图不规范导致解题“误入歧途”
【答案】 D
(1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分 析函数的最值、极值
(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性 (3)从图象的走解的个数
【例 3－2】 方程 x －12x＝0 的解的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【思路点拨】 转化为函数图象交点的个数问题解答．
图 2-7-1
【解析】 由题意 y＝logax(a＞0，且 a≠1)的图象过(3,1) 点，可解得 a＝3.选项 A 中，y＝3－x＝13x，显然图象错误； 选项 B 中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y＝(－ x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项 D 中，y＝log3(－x)的 图象与 y＝log3x 的图象关于 y 轴对称，显然不符，故选 B.
【答案】 (1)C (2)B
1．识图选式或选性质的策略 (1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域． (2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性． (3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性． (4)从图象的循环往复，观察函数的周期性． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．
2．知式选图的策略 (1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值 域，判断图象上下的位置． (2)从函数的单调性(有时可借助导数判断)，判断图象的 变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复． (5)从函数的极值点，判断图象的拐点． 利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．
【答案】 A
考向三 函数图象的应用 【命题视角】 函数的图象因其直观而形象地显示了函 数的性质而成为高考的命题热点，一般以选择题、填空题形 式呈现，难度中档，常考查函数的性质，方程解的个数、不 等式的解集等问题，同时考查数形结合的数学思想．
角度一：利用函数的图象研究函数的性质．
【 例 3 － 1 】 (2014·福 建 高 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝
【解析】 方程 x －12x＝0 的解的个数是方程 x ＝12x 的解的个数，也就是函数 y＝x 与 y＝12x 的图象交点个数．在 同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为 1 个．
【答案】 B
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方 程的根，方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)图象与 x 轴的交点的 横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象的交点 的横坐标
(3)∵y＝2＋x－1 1，故函数图象可由 y＝1x图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位而得，如图．
(4)∵y＝xx22－ ＋22xx－ －11， ，xx＜≥00， 且函数为偶函数，先用描 点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上 的图象，如图．
作函数图象的三个重要方法及适用类型： (1)直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的 函数或解析几何中熟悉的曲线的局部(如圆、椭圆、双曲线、 抛物线的一部分)时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、 对称性或曲线的特征直接作出．
提醒：注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除 时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
[对点练习]
函数 y＝eexx－＋ee－－xx的图象大致为(
)
【解析】 y＝eexx＋ －ee－ －xx＝ee22xx＋ －11＝1＋e2x2－1，当 x>0 时， e2x－1>0 且随着 x 的增大而增大，故 y＝1＋e2x2－1>1 且随着 x 的增大而减小，即该函数在(0，＋∞)上函数值恒大于 1 且单 调递减，又函数 y＝eexx＋ －ee－ －xx是奇函数，所以结合各选项可得到 答案．
可得 f(x)的零点所在的区间为(2,4)．
【答案】 C
【防范措施】 1.掌握基本初等函数的图象及作图的基 本方法，准确作图．
2．重视数形结合，注意图象的变化趋势，对称性．抓住 最(极)值点，特殊点，力求所作图形规范．
[对点练习] 已知函数 y＝|xx2－－11|的图象与函数 y＝kx－2 的图象恰有 两个交点，则实数 k 的取值范围是________．
【解析】 (1)∵y＝f(－|x|)＝ff－x，x，x<x0≥，0， 与所给图 象吻合．
(2)当 a＝0 时，函数为 y＝－x 与 y＝x，图象为 D，故 D 有可能．
当 a≠0 时，函数 y＝ax2－x＋a2的对称轴为 x＝21a，对函 数 y＝a2x3－2ax2＋x＋a，求导得 y′＝3a2x2－4ax＋1＝(3ax －1)(ax－1)，令 y′＝0，则 x1＝31a，x2＝1a.所以对称轴 x＝21a 介于两个极值点 x1＝31a，x2＝a1之间，A，C 满足，B 不满足， 所以 B 是不可能的．
(2)图象变换法： ①若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、 对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序； ②对不能直接找到熟悉函数的，要先变形，同时注意平 移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． (3)描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点 法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需 要结合函数的单调性、奇偶性等性质进行分析．
【解】 (1)作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图象中 x≥0 的部分，加上 y＝12x 的图象中 x＞0 部分关于 y 轴对称的部分， 即得 y＝12|x|的图象，如图实线部分．
(2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴 下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y＝|log2(x＋1)|的 图象，如图．
【解析】 y＝－f(－|x|) ＝－ －ff－x＝x＝ －2－x，2－xx<，0x≥0， 与图象相吻合． 【答案】 C
x2＋1，x>0，
cos
x，x≤0，
则下列结论正确的是(
)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数
D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【思路点拨】 根据所给分段函数解析式，画出其图象
解答．
【解析】 函数 f(x)＝xco2＋s x1，，xx≤＞00， 的图象如图所示， 由图象知只有 D 正确．
【答案】 (0,1)∪(1,4)
1．函数 y＝1－x－1 1的图象是( )
【解析】 将 y＝－1x的图象向右平移 1 个单位，再向上 平移 1 个单位，即可得到函数 y＝1－x－1 1的图象．
【答案】 B
2．函数 y＝x|x|的图象大致是( )
【解析】
y＝x|x|＝x－2，x2，
x≥0， x＜0，
【解析】
根
据
绝
对
值
的
意
义
，
y
＝
|x2－1| x－1
＝
x＋1x>1或x<－1， －x－1－1≤x<1，
在直角坐标系中作出该函数的图象如
图所示．
∵函数 y＝kx－2 的图象直线恒过定点 B(0，－2)，且 A(1， －2)，C(－1,0)，D(1,2)，
∴kAB＝－1－2＋02＝0，kBC＝－0＋1－20＝－2，kBD＝21＋ －20＝4， 由图象可知 k∈(0,1)∪(1,4)．
【答案】 B
2．(2012·课标全国卷)已知函数 f(x)＝lnx＋11－x，则 y ＝f(x)的图象大致为( )
【解析】 当 x＝1 时，y＝ln 21－1<0，排除 A；当 x＝0 时，y 不存在，排除 D；
当 x 从负方向无限趋近 0 时，y 趋向于－∞，排除 C，选 B.
【答案】 B
[命题规律预测] 从近几年高考试题看，命题主要涉及 命题 图象的识辨与应用，题型以选择题为 规律 主，难度中档．
考向 预测 2016 年高考仍以作图、识图、 预测 用图为主要考查内容.
考向一 作函数的图象
[典例剖析]
【例 1】 作出下列函数的图象： (1)y＝12|x|； (2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； (4)y＝x2－2|x|－1.
【思路点拨】 对于(1)，(2)，(4)可先去掉绝对值号化成 分段函数，再分别画出函数的图象，也可通过图象变换画出 函数图象．对于(3)可先化简解析式分离常数，再用图象变换 画图．
[对点练习]
分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|； (2)y＝xx＋ ＋23； (3)y＝|log2x－1|.
【解】 (1)∵y＝|lg x|＝l－g xlg，xx，≥01＜，x＜1. ∴函数 y＝|lg x|的图象，如图①. (2)∵y＝xx＋ ＋23＝1－x＋1 3，可见原函数图象可由 y＝－1x图 象向左平移 3 个单位再向上平移 1 个单位而得，如图②.