一元线性回归模型(第二次课)教材
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8.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时)课件-人教A版选择性必修第三册
我们将 y
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
，
8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
编
号
1
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6
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8
t
1896
1912
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1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
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，
8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
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-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
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8.2一元线性回归模型及其应用(2)课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选
i1
i1
n
n
[( yi y) b(xi x)][( y bx) a] ( y bx a) [( yi y) b(xi x)]
i1
i1
n
n
( y bx a)( ( yi y) b (xi x))
i1
i1
( y bx a)[(n y n y) b(nx nx)] 0
i1
i1
i1
i1
上式是关于b的二次函数，因此要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为
n
( xi x)( yi y)
b i1 n
( xi x)2
i 1
新知探索
3.最小二乘法
n
n
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
b i1
n
(xi x)2
aˆ
i 1
ˆy bˆx
新知探索
问题2:依据用最小二乘估计一元线性回归模型参数的公式,求出儿子身高Y 关于父亲身高x的经验回归方程.
ˆy 0.839x 28.957
1). 当x=176时，y 177 ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后
身高一定能长到177cm吗？为什么？
儿子的身高不一定会是177cm，这是因为还有其他影响儿子 身高的因素，回归模型中的随机误差清楚地表达了这种影响,父亲 的身高不能完全决定儿子的身高，不过，我们可以作出推测，当 父亲的身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右.
n
因此可用 yi -(bxi a)来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的整体接近程度. i 1
新知探索
n
| yi (bxi a) |
i 1
n
残差平方和：Q(a,b) yi (bxi a)2 i1
8-2第2课时 一元线性回归模型的综合问题(教学课件) 高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
由题意知lg lg
ห้องสมุดไป่ตู้
300＝klg 200＝klg
300＋b 2 000＋b，
解得k＝－14 b＝285，
所以 lg f＝－14lg W＋285，
25
1
所以f关于W的函数解析式为f＝10 8 W 4 .
03 残差平方和与决定系数R2
问题3 例2中给出了两个模型，那么如何比较这两个模型的拟合效果？ 提示 残差平方和、决定系数.
(2)当声音强度大于60 dB时属于噪音，会产 生噪声污染，城市中某点P共受到两个声源的 影响，这两个声源的声音能量分别是I1和I2， 且 I11＋I42＝1010.已知点P的声音能量等于声音 能量I1与I2之和，请根据(1)中的经验回归方 程，判断P点是否受到噪声污染的干扰，并 说明理由.
点P的声音能量I＝I1＋I2， ∵I11＋I42＝1010， ∴I＝I1＋I2＝10－10·I11＋I42(I1＋I2)＝10－10· 5＋II21＋4II21≥9×10－10(当且仅当II21＝4II21，即 I2＝2I1 时等号成立)， 根据(1)中的经验回归方程，点 P 的声音强度 D 的最小预测值为D^ ＝ 10·lg(9×10－10)＋160.7＝10·lg 9＋60.7>60，
量 I 的经验回归方程D^ ＝a^ ＋b^ ·lg I；
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归直线v^ ＝
n
ui－ u vi－ v
i＝1
α^ ＋β^ u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^ ＝
，α^ ＝ v
n
ui－ u 2
i＝1
－β^ ·u .
由Wi＝lg Ii，先建立D关于W的经验回归方程，
02一元线性回归模型
xi xi2 Yi
o
Wi Yi
1
n
X
xi
xi 2
Yi
证： βˆ1
xi yi xi2
xi (Yi Y ) xi2
xiYi Y xi
xi2
xi2
令ki
xi
xi2
，因xi
(Xi
X)
0 ，故有
使偏导数为零
(
e2 i
)
o
2(Yi
o
1 Xi)
0
(
e2 i
)
1
2(Yi
o
1 Xi) Xi
0
得正规方程
Yi = nβo + β 1 Xi XiYi = β o Xi + β 1 Xi2
解得
1
X iYi nXY
14
800
1000
1200
1400
1600
x
y
Fitted values
OLS估计结果：Yˆi 10.7662 0.0051X i （第2版教材第17页）
（第3版教材第15页）
2.3 最小二乘估计量的统计性质
一、线性性
线性特性是指估计式 β^o 和 β 1^是Yi 的线性函数。
1 Ki Yi
如此以来，高的越来越高，矮的越来越矮。他 百思不得其解，同时又发现某人种的平均身高 是相当稳定的。最后得到结论：儿子们的身高 回复于全体男子的平均身高，即“回归”—— 见1889年F.Gallton的论文《普用回归定律》。
第二章：一元线性回归模型理论与方法(第二部分)
最小二乘法的数学原理
• 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异 大拟合不好，差异小拟合好，所以又称为 拟合误差或残差。 • 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平 方和，“最好”直线就是使误差平方和最 小的直线。 • 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟 合直线问题转换为求误差平方和最小。
普通最小二乘法（OLS）
这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计 量（best liner unbiased estimator, BLUE）。
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
ˆ , ˆ 的均 2、无偏性，即以X的所有样本值为条件，估计量 0 1 0与1 。 值（期望）等于总体回归参数真值
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
对数似然函 数极大化的 一阶条件
结构参数的 ML估计量
最大似然法与普通最小二乘法讨论
已知一组样本观测值（Yi，Xi）(i=1,2, …,n)， 要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值，即 样本回归线上的点Y ˆi 与真实观测点Yi的“总体” 误差尽可能地小。在技术处理上我们一般采用 “最小二乘法”。
最小二乘原则：由于估计值和实测值之差可正 可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，因 此，只有平方和才能反映二者在总体上的接近 程度。
n 1
证残差与 Yˆ 的样本协方差为0，即证： i
eiYˆ i
0
ห้องสมุดไป่ตู้
第二章 一元线性回归模型(本科生计量经济学)
即：正规方程组揭示的是残差的性质。
26
普通最小二乘估计有关 的其他性质（课后习题）
Y Y
^
e Y e y
i ^ i
^
i
0 0
27
i
2、由普通最小二乘估计系数的性质可证
得普通最小二乘估计与参数的关系如下：
1 1 k i u i
^
0 0 wi ui
（ 1） （ 2）
（ 1）
0 Y 1 X
^
^
Y
1 n
Y , X X
i 1 i 1 n i 1
n
n
i
18
参数的普通最小二乘估计量
ˆ ˆ X )0 (Yi 0 1 i ˆ ˆ X )X 0 ( Y i 0 1 i i
^
33
三、一元线性回归模型参数的最大似 然法(Maximum Likehood,ML)估计
• 基本原理：似然原理
• 一元线性回归模型ML使用的条件：已知随机扰动 项的分布。
34
Y1 , Y2 ,...,Yn
1 f (Yi ) e 2
1 2
1 2
2
Yi ~ N (0 1 X i , 2 )
w 1
i
22
普通最小二乘估计的例
年份
1991 1992 1993 1994
ED(X)
708 793 958 1278
FI(Y)
3149 3483 4349 5218
ed(x)
-551 -466 -301 19
fi(y)
-2351 -2017 -1151 -282
高中数学第4章统计4.2一元线性回归模型4.2.2一元线性回归模型的应用课件湘教版选择性必修第二册
基础自测 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何两个变量都可以用一元线性回归关系进行合理的描述．( × ) (2)对于一个样本，用最小二乘法估计得到的一元线性回归方程参数 估计值是唯一的．( √ ) (3)任何两个相关关系的变量经过变换后都可以化为一元线性回归关 系．( × )
x 0.25 0.5 1 2 4
y 16
12 5 2 1
试建立y与x之间的线性回归方程．
解析：令x＝15，所以yො＝0.76×15＋0.4＝11.8.
题型探究·课堂解透
题型 1 线性回归方程的应用 例1 某书店刚刚上市了《中国古代数学史》，销售前该书店拟定了 5种单价进行试销，每种单价x(元)试销1天，得到如表单价x(元)与销 量y(册)数据：
单价x(元) 18 19 20 21 22 销量y(册) 61 56 50 48 45
(1)根据表中数据，请建立y关于x的回归直线方程； (2)预计今后的销售中，销量y(册)与单价x(元)服从(1)中的回归方程， 已知每册书的成本是12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应 定为多少元？
方法归纳 若已知y与x是线性相关关系，则可求出回归方程进行估计和预 测．否则，若两个变量不具备相关关系或它们之间的相关关系不显著， 即使求出回归方程也毫无意义．
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx2哪一个更适合作为有效度 y与用药量x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程； (3)若要使有效度达到75，则用药量至少为多少毫克？
方法归纳
求非线性回归方程的步骤
巩固训练2 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
21一元线性回归模型.ppt
同理，p(Y= ？ /X=260)=1/7
条件均值(条件期望 ) :
对Y的每一条件概率分布，我们能算出它 的均值 :
记做E(Y/X=Xi)
［简写为E(Y/Xi) ］
并读为“在X取特定Xi值时的Y的期望值”。
计算方法：
将表2.1中的有关列乘以表2.2中的相应列 的条件概率，然后对这些乘积求和便是。
第二章 一元线性回归模型
§2.1 一元线性回归模型概念基础 回归是计量经济学的主要工具 一、“回归”一词的历史渊源
Francis Galton F．加尔顿
回归一词最先由F．加尔顿 (FrancisC,alton)引入
加尔顿的普遍回归定律还被他的朋友 K．皮尔逊(KartPearson)证实
Karl Pearson K．皮尔逊
综合来看，回归分析一般可以用来：
（1） 通过已知变量的值来估计因变量的均值。
（2）对独立性进行假设检验―――根据经济理 论建立适当的假设。
例如，对于需求函数，你可以检验假设：需求的 价格弹性为-1.0；即需求曲线具有单一的价格 弹性。也就是说，在其他影响需求的因素保持 不变的情况下，如果商品的价格上涨1％，平 均而言，商品的需求量将减少1％。
P （
1/7 1/5 1/5 1/6 1/5 1/7 1/5 1/7 1/5
Y/ 1/7 1/5 1/5 1/6 1/5 1/7 1/5 1/7 1/5
Xi ） 1/7
1/6
1/7
1/7
1/7
1/7
1/7
Y的条 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30
件均值
E(Y/X=Xi) Y的条件均值
·
·
·
· ·
计量经济学第二篇一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略，（2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
2.1.3 一元线性回归模型的基本假定通常线性回归函数E(y t ) = β0 + β1 x t 是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t ) =β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。
第2章 一元线性回归模型
2.3.3 回归参数的显著性检验
假设检验的基本任务是根据样本所提供的信息，对未知总体分 布的某些方面的假设作出合理的判断。
其基本思想是：在某种原假设成立的条件下，利用适当的统计量和给定
的显著性水平，构造—个小概率事件，可以认为小概率事件在一次观察中基 本不会发生，如果该事件竟然发生了，就认为原假设不真，从而拒绝原假设， 接受备择假设。 对于一元线性回归模型而言，通常最关心的问题是解释变量对被解释变量 是否有显著影响。
图2.5.6 数组窗口
2.5.4 用OLS估计模型中的未知参数
1 ． 菜 单 方 式 ： 在 主 页 上 选 Quick 菜 单 ， 点 击 Estimate Equation项，屏幕出现估计对话框(Equation Speicfication，在 Estimation Settings中选OLS估计，即Least Squares，键入： y c
则应该扩大样本容量，考察参数估计量的大样本性质。
用最小二乘法得到的参数估计，具有线性、无偏性和有 效性（或最小方差性）三种最重要的统计性质。
1. 线性
最小方差性证明略。
2.2.3 回归参数的区间估计
3．回归系数的区间估计
2.3 一元线性回归模型的假设检验
2.3.1 模型估计式检验的必要性
其中，u为随机误差项。最简单的形式为一元线性回归模型：
“线性”一词在这里有两重含义。它一方面指被解释变量y与解释变量x 之间为线性关系，即
2.1.2 随机误差项的性质
产生误差项的原因主要有以下几方面： 1．模型中被忽略掉的影响因素造成的误差 2．模型关系设定不准确造成的误差
3．变量的测量误差
1．模型解释变量选择的正确性需要证明
2．模型函数形式的正确性需要验证 3．模型估计的可靠性需要评价
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E(Y|X=Xi) 该例中：E(Y | X=800)=561
描出散点图发现：随着收入的增加，消费 “平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在 一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
3500
每 月 消 费 支 出
Y （元）
3000 2500 2000 1500 1000
500
0
500
1000
1500 2000 2500 3000 每月可支配收入X（元）
3500 4000
• 含义：
从总体回归线说明被解释变量Y的平均状态随 解释变量X变化的规律。
• 函数形式：
可以是线性或非线Βιβλιοθήκη 的。例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收 入的线性函数时:
E(Y | X i ) 0 1 X i
为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为
回归系数（regression coefficients）。 。
例2.1中，个别家庭的消费支出为：
(*)
即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和: （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性或确定性部分。
（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确 定现象随机变量间的关系。
例如： 函数关系：
圆面积 f ,半径 半径2
统计依赖关系/统计相关关系：
农作物产量 f 气温, 降雨量, 阳光, 施肥量
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlation analysis)或回归分析(regression analysis)来完成的：
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
统计依赖关系
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 无因果关系
回归分析 相关分析
▲注意：
①不线性相关并不意味着不相关； ②有相关关系并不意味着一定有因果关系； ③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个 （些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定 有因果关系。 ④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个 变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法 存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变 量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871
1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101
即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区 家庭的平均月消费支出水平。
为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差 不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。
每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元）
共计
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归线 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类：
（1）确定性关系或函数关系：研究的是 确定现象非随机变量间的关系。
2、回归分析的基本概念
回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依 赖关系的计算方法和理论。
这里：前一个变量被称为被解释变量或应变量，后一个 （些）变量被称为解释变量或自变量。
回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内 容包括：
（1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回 归方程；
（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
二、总体回归函数
由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根 据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体 均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关 的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研 究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收 入X的关系。
三、随机扰动项
区家总庭体平回均归的函消数费说支明出在水给平定。的收入水平Xi下，该社 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水
平有偏差。
记
i Yi E(Y | X i )
称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差
（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称 为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误 差项（stochastic error）。
单方程计量经济学模型 理论与方法
Theory and Methodology of SingleEquation Econometric Model
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
• 回归分析概述 • 一元线性回归模型的参数估计 • 一元线性回归模型检验 • 一元线性回归模型预测 • 实例
1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200
2002 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
分析：
由于不确定因素的影响，对同一收入水平 X，不同家庭的消费支出不完全相同；
因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件 均值
描出散点图发现：随着收入的增加，消费 “平均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在 一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
3500
每 月 消 费 支 出
Y （元）
3000 2500 2000 1500 1000
500
0
500
1000
1500 2000 2500 3000 每月可支配收入X（元）
3500 4000
• 含义：
从总体回归线说明被解释变量Y的平均状态随 解释变量X变化的规律。
• 函数形式：
可以是线性或非线Βιβλιοθήκη 的。例2.1中，将居民消费支出看成是其可支配收 入的线性函数时:
E(Y | X i ) 0 1 X i
为一线性函数。其中，0，1是未知参数，称为
回归系数（regression coefficients）。 。
例2.1中，个别家庭的消费支出为：
(*)
即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和: （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性或确定性部分。
（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确 定现象随机变量间的关系。
例如： 函数关系：
圆面积 f ,半径 半径2
统计依赖关系/统计相关关系：
农作物产量 f 气温, 降雨量, 阳光, 施肥量
对变量间统计依赖关系的考察主要是通过相关分析(correlation analysis)或回归分析(regression analysis)来完成的：
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
统计依赖关系
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 无因果关系
回归分析 相关分析
▲注意：
①不线性相关并不意味着不相关； ②有相关关系并不意味着一定有因果关系； ③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个 （些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定 有因果关系。 ④相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个 变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法 存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变 量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。
935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871
1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101
即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区 家庭的平均月消费支出水平。
为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差 不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。
每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元）
共计
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念 二、总体回归线 三、随机扰动项 四、样本回归函数（SRF）
§2.1 回归分析概述
一、变量间的关系及回归分析的基本概念
1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类：
（1）确定性关系或函数关系：研究的是 确定现象非随机变量间的关系。
2、回归分析的基本概念
回归分析是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依 赖关系的计算方法和理论。
这里：前一个变量被称为被解释变量或应变量，后一个 （些）变量被称为解释变量或自变量。
回归分析构成计量经济学的方法论基础，其主要内 容包括：
（1）根据样本观察值对经济计量模型参数进行估计，求得回 归方程；
（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
二、总体回归函数
由于变量间关系的随机性，回归分析关心的是根 据解释变量的已知或给定值，考察被解释变量的总体 均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关 的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。
例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研 究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收 入X的关系。
三、随机扰动项
区家总庭体平回均归的函消数费说支明出在水给平定。的收入水平Xi下，该社 但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水
平有偏差。
记
i Yi E(Y | X i )
称i为观察值Yi围绕它的期望值E(Y|Xi)的离差
（deviation），是一个不可观测的随机变量，又称 为随机干扰项（stochastic disturbance）或随机误 差项（stochastic error）。
单方程计量经济学模型 理论与方法
Theory and Methodology of SingleEquation Econometric Model
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
• 回归分析概述 • 一元线性回归模型的参数估计 • 一元线性回归模型检验 • 一元线性回归模型预测 • 实例
1430 1650 1870 2112 1485 1716 1947 2200
2002 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
分析：
由于不确定因素的影响，对同一收入水平 X，不同家庭的消费支出不完全相同；
因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件 均值