高二数学1.1.1《变化率问题》课件(人教A版选修2-2)
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5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
【课件】第5章 5.1 5.1.1 变化率问题【新教材】人教A版(2019)选择性必修第二册
)
A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率
B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的速率
C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率
D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确．]
变化率．(重点) 率及瞬时速度的学习，培养逻辑
3.理解函数的平均变化率，瞬时变 推理及数学运算的核心素养.
化率及瞬时速度的概念．(易混点)
3
情境 导学 探新 知
4
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的 高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系 h(t) ＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些 时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
20
1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量 Δy＝f (x2)－f (x1)； 第三步，求平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. 2．求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率，可用fx0＋ΔΔxx－fx0的形式．
切线的斜率为 k＝lim Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim Δx→0
1＋Δx2＋1－12＋1 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2＋2Δx Δx
＝lim (Δx＋2) Δx→0
＝2.
故切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
34
求函数 y＝f (x)在点 x0 处的导数的三个步骤
35
[跟进训练] 2．求函数 y＝x42在 x＝2 处的切线方程．
42
人教新课标A版高二数学《选修2-2》1.1.2 导数的概念
＝
Δt
65 ht0＋Δt－ht0 －4.9 ＋Δt＋6.5＝0 ∴Δ lim ＝Δ lim → t→0 t 0 Δt 49
65 即运动员在 t0＝98 s 时的瞬时速度为 0 m/s. 说明运动员处于跳水运动中离水面最高点处．
点评：运动物体瞬时速度问题实际上是函数平均变化率在物理知识上 的一个深入的应用．事实上，瞬时速度就是位移函数相对于时间的瞬 Δs 时 变 化 率 ． 这 里 需 强 调 的 是 ： 依 题 意 在 求 完 平 均 变 化 率 Δt ＝ st0＋Δt－st0 Δs Δs 后需对 求极限，只有当 Δ lim 为一个常数时，此常数 → t 0 Δt Δt Δt 才称为物体在 t＝t0 时的瞬时速度．
Δy 点评： 的最终结果要先化简约分，再令 Δx＝0 代入求出导数值． Δx
变式探究 2
若函数 y＝x ＋ax 在 x＝2 处的导数为 8，求 a 的值．
2
f2＋Δx－f2 解：f′(2)＝Δ lim x→0 Δx 2＋Δx ＋a2＋Δx－2 ＋2a ＝Δ lim x→0 Δx ＝Δ lim (Δx＋4＋a) x→0 ＝4＋a. 由题意知 f′(2)＝8， ∴4＋a＝8. 解得 a＝4.
【答案】C
知识讲解： 1.了解导数的概念需注意 (1)Δx 是自变量 x 在 x0 处的改变量， 所以 Δx 可正、 可负， 但不能为零． 当 Δx＞0(或 Δx＜0)时， Δx→0 表示 x0＋Δx 从右边(或从左边)趋近于 x0， Δy 是相应函数的改变量，Δy 可正、可负，也可以为零． (2)导数是一个局部概念，它只与函数 y＝f(x)在 x＝x0 处及其附近的函 数值有关，与 Δx 无关． fx0＋Δx－fx0 (3)f′(x0)是一个常数，即当 Δx→0 时，存在一个常数与 Δx Δy 无限接近．如果当 Δx→0 时，Δ lim 不存在，则称函数 f ( x ) 在 x ＝ x 处 0 → x 0Δx 不可导．
1.1.1变化率问题与导数概念
2004年雅典奥运会
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度 统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还 快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95 奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪 录，他的平均速度达到8.52m/s。
1.1.1 变化率问题
问题1
吹气球
的值为-13.1 .
探1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度 究 怎样表示？ ？
瞬时速度，即是时间增量趋近于0时某一时刻的速度， 由极限的观点可知：当t 0, 时，
h t0Байду номын сангаас t h t0 瞬时速度为： lim t 0 t
2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示？
观 察 ？
当△t趋近于0时，平均 速度有什么样的变化趋 势？
我们发现：当△t趋近于0时，即无论t从 小于2的一边，还是从大于2的一边趋近 v 于2时，平均速度 都趋近于一个确定 的值-13.1。
从物理的角度看： 时间间隔| △t |无限变小时，平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时速度。 所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
y f (x 2 ) f (x1 ) f (x 1 x) f (x 1 ) x x x 2 x1
问题: 平均变化率的几何意义是什么?
y f (x 2 ) f (x 1 ) x x 2 x1
y 及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy), 则 =( x
)
A、3
B、3Δx-(Δx)2 D、3-Δx
C 、 3-(Δx)2
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.1 变化率问题
A.v1
1 2 3 4
B.v2
C.v3
D.v4
解析 由题意知,汽车在时间[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]内的平均速度的大小分别
为1 , 2 , 3 , 4 ,设路程 y 与时间 t 的函数关系为 y=f(t),则1 =
(2 )-(1 )
,即为经
2 -1
规律方法 求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度 =
( 0 +Δ)-( 0 )
.
Δ
(3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0
的瞬时速度.
( 0 +Δ)-( 0 )
时,
无限趋近于常数
Δ
v,即 t0 时刻
解
2.25-0.25
(1)所求平均速度为
0.5-0.1
=
2
=5(m/s).
0.4
(2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为5,且直线通
过点(0.1,0.25),因此,x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).
在上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即t=0.2时物体的位移可以估计为0.75 m.
过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率 k1,同理2 为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线
的斜率 k2,3 为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k3,4 为经过点
(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k4,如图,由图可知,k3 最小,即3 最小.故选 C.
1 2 3 4
B.v2
C.v3
D.v4
解析 由题意知,汽车在时间[t1,t2],[t2,t3],[t3,t4],[t1,t4]内的平均速度的大小分别
为1 , 2 , 3 , 4 ,设路程 y 与时间 t 的函数关系为 y=f(t),则1 =
(2 )-(1 )
,即为经
2 -1
规律方法 求运动物体在t=t0时的瞬时速度的三个步骤
(1)求时间改变量Δt和位移改变量s(t0+Δt)-s(t0).
(2)求平均速度 =
( 0 +Δ)-( 0 )
.
Δ
(3)求瞬时速度,当 Δt 无限趋近于 0
的瞬时速度.
( 0 +Δ)-( 0 )
时,
无限趋近于常数
Δ
v,即 t0 时刻
解
2.25-0.25
(1)所求平均速度为
0.5-0.1
=
2
=5(m/s).
0.4
(2)将x在[0.1,0.5]上的图象看成直线,则由(1)可知,直线的斜率为5,且直线通
过点(0.1,0.25),因此,x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).
在上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即t=0.2时物体的位移可以估计为0.75 m.
过点(t1,f(t1)),(t2,f(t2))的直线的斜率 k1,同理2 为经过点(t2,f(t2)),(t3,f(t3))的直线
的斜率 k2,3 为经过点(t3,f(t3)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k3,4 为经过点
(t1,f(t1)),(t4,f(t4))的直线的斜率 k4,如图,由图可知,k3 最小,即3 最小.故选 C.
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问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
人教A版高中数学选择性必修第二册课件 第5章一元函数的导数及其应用 第1课时 变化率问题、导数的概念
Δ
1
所以 =v0-gt0- gΔt,
Δ
2
所以当 Δt 无限趋近于 0
Δ
y
时, Δ 无限趋近于 v0-gt0,即 lim t =v00 时刻的瞬时速度为 v0-gt0.
若把例题中的“v0”改为“v0=20”,求物体在t=3 s时的瞬时速度.
解:因为
1
1
1
2
2
Δ→0
答案:B
)
二、函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率
1.假设一座山的剖面图如图所示,建立平面直角坐标系.设A是出发点,H是
山的最高处,爬山路线用函数y=f(x)表示.
自变量x表示某游客的水平位置,函数值y=f(x)表示此时游客所在的高度,
则点A的坐标为(x1,y1),点B的坐标为(x2,y2).
k 1=
Δ
=
(1+Δ)2 -12
=2+Δx;
Δ
在 x=2 附近的平均变化率为
(2+Δ)-(2)
k 2=
Δ
=
(2+Δ)2 -22
=4+Δx;
Δ
在 x=3 附近的平均变化率为
(3+Δ)-(3)
k 3=
Δ
若
=
(3+Δ)2 -32
=6+Δx.
Δ
1
1
Δx=3,则 k1=2+3
=
7
Δ
Δ→0
.
3.已知f(x)=x2-3x,则f'(0)=(
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
变化率问题(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第二册)
∴抛物线f ( x) x2+2x在点P(1,3)处的切线方程为
y 3 4( x 1),即4x y 1 0.
例3 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程.
解1：由已知得,当x 1时,f (1) 1.
取点P(1,1),在点P附近任宋取老一点Q(1 x, f (1 x)),则
内并非静止,因此,用平均速度不能精确描述运动员在这一时间段的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在 某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1
s时的瞬时速度吗?
0.001 0.0001 0.00001 0.000001
∆x <0
∆x >0
k x 宋师2 老数
∆x
1.99学精
0.01
k x 2
2.01
1.999品工 宋老师0.001 宋老师1.数99学99作精室品工作数室学精0.0001
2.001 2.0001
1.99999 1.999999
品工0作.00001 室 0.000001
2.00001 2.000001
通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大 于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
切线的斜率：
事实上，由 k f (1 x) f (1) x 2 可以发现，当∆x在无限趋近于0时，
x x 2无限趋近于2，我们把2叫宋做老“当△x无限趋近于0时，k
y
P•
师数 学精
4
T
品工 宋老师
限趋我近们于发一现个，确当定点宋的P老无位师限置数趋，学作近这精室于个品点工确作数品室P定0室学工时位精作，置割的线直P线0P无 P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线.
人教版高二数学选修2-1全套精美课件
人教版高二数学选修2－1全套精美 课件
复习参考题
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第二章 圆锥曲线与方程
人教版高二数学选修2－1全套精美 课件
第一章 常用逻辑用语
人教版高二数学选修2－1全套精美 课件
1.1 命题及其关系
人教版高二数学选修2－1全套精美 课件
1.2 充分条件与必要条件
人教版高二数学选修2－1全套精 美课件目录
0002页 0115页 0173页 0208页 0231页 0303页 0345页 0388页 0456页 0574页 0658页 0660页 0694页
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.4 全称量词与存在量词 复习参考题 2.1 曲线与方程 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 阅读与思考 复习参考题 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 复习参考题
人教版高二数学选修2－1全套精美 课件
1.3 简单的逻辑联结词
人教版 全称量词与存在量词
人教版高二数学选修2－1全套精美 课件
小结
复习参考题
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第二章 圆锥曲线与方程
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第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题及其关系
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1.2 充分条件与必要条件
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0002页 0115页 0173页 0208页 0231页 0303页 0345页 0388页 0456页 0574页 0658页 0660页 0694页
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.4 全称量词与存在量词 复习参考题 2.1 曲线与方程 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 阅读与思考 复习参考题 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 复习参考题
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1.3 简单的逻辑联结词
人教版 全称量词与存在量词
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小结
人教新课标版数学高二课件 变化率问题_ 导数的概念
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示， 则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√ B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义
知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝_2__.
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及 邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔyx ＝_Δ_x_.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
解析 答案
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
A.4
B.4.1 √
C.0.41
D.3
3＋2.12－3＋22
解析 v ＝
0.1
＝4.1
12345
解析 答案
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变D.－2