勾股定理课件 2022—2023学年北师大版数学八年级上册

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

第一章勾股定理

1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

ABCabc弦股勾

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边

2.勾股定理定义的应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

例. 在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________；

（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

3.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc

大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc

4.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么cbaHGFEDCBAbacbaccabcabka，kb，kc同样也是勾股数组。）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

_第1章勾股定理单元课后自主测评 2021-2022学年北师大版八年级数学上册

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元课后自主测评（附答案）

一．选择题（共11小题，满分44分）

1．下列各组数中，是勾股数的是（）

A．4，5，6 B．1，2，1.5 C．6，8，10 D．5，12，23

2．如图，一个底面圆周长为24m，高为5m的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（）

A．12m B．15m C．13m D．9.13m

3．在数学实践活动中，伍伍利用四个全等的直角三角形纸片拼成了一个“伍伍弦图”．如图，连接小正方形的一条对角线，并把部分区域涂上颜色，大直角三角形的两条直角边的长分别是6和8．则图中阴影部分的面积是（）

A．36 B．64 C．100 D．50

4．已知Rt△ABC的两直角边分别是6cm，8cm，则Rt△ABC的斜边上的高是（）

A．4.8cm B．2.4cm C．48cm D．10cm

5．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠C＝∠A﹣∠B

C．a2+b2＝c2 D．a：b：c＝6：8：10

6．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）

A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．点A到直线BC的距离是2 7．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（）

A．15m B．9m C．7m D．8m

8．如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE＝3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

A．1米 B．米 C．2米 D．4米

9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（）

新北师大版八年级数学上册勾股定理专题训练优质讲义

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勾股定理

本章常用知识点：

1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。如果用字母a,b,c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

2、勾股数：满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数。

常见勾股数有：

3、常见平方数：

121112； 144122； 169132； 196142； 225152；256162

289172； 324182； 361192； 400202；441212； 484222

529232； 576242； 625252； 676262；729272

专题归类：

专题一、勾股定理与面积

1、、在Rt▲ABC中，C=90,a=5,c=3.，则Rt▲ABC的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：

。

3、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为

4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，

则S1＋S2＋S3＋S4等于。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c且满足：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。

7、如图1，90ACB，BC=8,AB=10,CD是斜边的高，求CD的长？ l a b

c

l321S4S3S2S1

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7、如下图，在∆ABC中，90ABC，AB=8cm，BC=15cm，P是到∆ABC三边距离相等的点，求点P到∆ABC三边的距离。

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习 2

勾股定理

1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

ABCabc弦股勾

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边

2.勾股定理定义的应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

例. 在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________；

（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

3.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc

大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc

4.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么cbaHGFEDCBAbacbaccabcabka，kb，kc同样也是勾股数组。）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

7 24 25 ，8 15 17

勾股定理的应用培优提升解答题专题训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《1.3勾股定理的应用》

培优提升解答题专题训练（附答案）

1．如图，木工师傅将一根长2.5米的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯足B到墙底端O的距离是0.7米，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4米到点A′时，梯足将外移多少米？

2．如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度．

3．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个记号，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面处，发现此时绳子底端距离记号处1米，则旗杆的高度是多少米？

4．有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送2m（水平距离BC＝2m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.5m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

5．如图，台风过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上．求这棵树折断之前的高度．

6．我市某中学有一块四边形的空地ABCD（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，CD＝13m，BC＝12m．若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？

7．一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时它偏离原来的位置有2米远，如图所示，求荷叶的高度和水面的深度．

8．在某段公路的正上方有一摄像头A距离地面7米，一天李叔叔驾驶的汽车正沿公路笔直匀速驶来，当行驶到B点时第一次摄像，此时AB两点相距25米，1.5秒后第二次摄像汽车恰好行驶到A点正下方C点，已知该路段限速60km/h，请判断李叔叔是否超速，说明理由．

9．一艘轮船从A港向南偏西52°方向航行170km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行210km到达C岛，已知A港到航线BM的最短距离是80km，若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

新北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷

第 1 页共 4 页北

南 A 东

第8题图八年级上册第一章《勾股定理》单元检测题

班级姓名座号成绩

一、选择题

1、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )

A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15.

2、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（）

A、6厘米 B、8厘米 C、1380厘米 D、1360厘米

3、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16 cm,那么它的面积为（）

A. 48 cm2 B. 36 cm2 C. 24 cm2 D.12 cm2

4、如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面

成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）

A．10米 B．15米 C．25米 D．30米

5、如图中字母A所代表的正方形的面积为（）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 64

6、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）

A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm

7、一部电视机屏幕的长为58厘米,宽为46厘米,则这部电视机大小规格（实际测量误差忽略不计）（）

北师大版八年级数学上册勾股定理测试题

?勾股定理知识总结

一：勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2＝c2）

要点诠释：

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边

（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

二：勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形

（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2

三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

勾股定理练习

一．填空题：

1. 在Rt△ABC中，∠C=90°（1）若a=5，b=12，则c=________；

（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。

2.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。

3. 直角三角形的三边长为连续自然数，则其周长为________。

4．传说,古埃及人曾用＂拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为_______厘米,______厘米,________厘米,其中的道理是______________________.

5.命题“对顶角相等”的逆命题为___________________,它是____命题.(填“真”或“假”)

勾股定理 课件 2022—2023学年北师大版数学八年级上册

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勾股定理的应用 培优提升解答题专题训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册

新北师大版八年级上册数学《勾股定理》单元测试卷

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勾股定理的应用培优提升解答题专题训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册