中误差(精)
测绘精度指标“中误差”的计算的个人理解
地形图测绘精度的理解和计算一、 概念的理解中误差：衡量观测精度的指标，检测值较差的平方和再开根号 限差：高精度检测是2倍中误差，同精度是2√2倍（约2.8倍）中误差 粗差：大于限差的值 二、 精度合格的判定1、粗差率小于5％2、平面和高程的中误差满足规范要求 三、 平面精度中误差的计算1、检测点（边）少于20个时，以误差的算术平均值代替中误差 即：较差值的平均数2、检测点（边）大于20个时，计算限差内所有检测点的中误差 高精度的计算公式如下：M =±√∑∆i 2n i=1n同精度的计算公式如下：M =±√∑∆i 2n i=12n公式中：M 为中误差Σ为求和Δ为较差 n 为检测点个数3、以边长检查为例的中误差计算公式分步计算如下（L 为检测边长，l 为图上边长） 第一步计算较差平方：∆2=(L 1−l 1)2第二步计算较差平方和：∑∆i 2n i=1=(L 1−l 1)2+(L 2−l 2)2+⋯(L n −l n )2第三步计算较差平方和除以检测边个数n 第四步计算平方根四、 平面精度检测的两种类型1、相对位置：指的是两个地物间的相对长度 按照上页例子计算即可2、绝对位置：使用仪器测出的坐标数据 对坐标数据的精度检测计算如下表北坐标较差：dx=X 1-x 1 东坐标较差：dy=Y 1-y 1检测点与图上坐标点的差距： ds =√(X 1−x 1)2+(Y 1−y 1)2 检测点少于20个时取ds 平均值即可 检测点多于20个时按照中误差计算公式计算其中较差平方和：∑∆i 2n i=1=ds 12+ds 22+ds 32+⋯ds n 2五、 高程精度的检测计算高程精度的检测计算同平面相对位置的计算。
误差基本知识及中误差计算公式
测量中误差测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1）具有一定的范围。
（2）绝对值小的误差出现概率大。
（3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4）数学期限望等于零。
即：误差概率分布曲线呈正态分布，偶然误差要通过的一定的数学方法（测量平差）来处理。
此外，在测量工作中还要注意避免粗差（gross error）（即：错误）的出现。
§2衡量精度的指标测量上常见的精度指标有：中误差、相对误差、极限误差。
一.中误差方差——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：标准差中误差（标准差估值）， n为观测值个数。
2.用改正数来确定中误差（白塞尔公式）——适用于观测量真值未知时。
V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：二.相对误差1.相对中误差=2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
§3误差传播定律一.误差传播定律设、…为相互独立的直接观测量，有函数，则有：二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有：权其中，为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。
误差的种类——精选推荐
误差分类及特性(一) 误差分类根据观测误差性质，可将其分为系统误差和偶然误差两类。
（1）系统误差在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小相同或按一定规律变化，这种误差称为系统误差．．．．。
系统误差对成果的影响具有规律性，可采取一定措施或采用改正公式消除或削弱其对观测成果的影响。
主要方法有：①在观测方法和程序上采取必要措施削弱其影响，如角度测量中，经纬仪盘左盘右观测，消除视准差、横轴误差和竖盘指标差等系统误差影响；水准测量中的前后视距相等，消除视准轴和水准管轴不平行引起的i 角误差、地球曲率和大气折光对观测高差影响;②找出产生系统误差的原因，利用公式对观测值进行改正，如对钢尺量丈量距离，应加尺长改正、温度改正、地球曲率改正，以消除该三项系统误差影响等。
（2）偶然误差在相同的观测条件下，对某量作一系列观测，如果误差的出现在符号和大小均不一致，即从表面上看，没有什么规律性，这种误差称为偶然误差，．．．．．偶然误差又称为随机误差．．．．。
偶然误差是由于人的感觉器官和仪器的性能受到一定的限制，以及观测时受到外界条件中气温、湿度、风力、明亮度、大气等的影响产生的。
例如用刻至1mm 的钢尺，只能估读到十分之一毫米，读数时可能偏大，也可能偏小，从而产生读数误差，其对成果的影响符号和大小不具有预见性，对观测结果影响呈现出偶然。
测量工作过程中，除了上述两种误差外，还可能发生错误，即粗差．．，粗差不是观测误差。
粗差大多是由于是作业员疏忽大意造成的，如大数被读错、记错等。
为有效的发现粗差，采取必要的重复观测、多余观测、严格的检验、验算等措施，一经发现存在粗差，必须舍弃或进行重测，及时更正。
(二)偶然误差特性偶然误差，从单个误差看，其大小和符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（随机性），但随着观测个数的增多，则呈现出一定的明显的统计规律性。
下面通过事例来说明。
在某测区，在相同的条件下，独立地观测358个三角形的全部内角，由于观测值含有误差，各三内角观测值之和不等于其真值180°。
中误差
mZ
(
f x1
)2
m12
(
f x2
)2
m22
(
f xn
)2
mn2
[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测 得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距 离D
解：1.函数式
D D cos
2.全微分
dD (cos )dD (D sin ) d
3.求中误差
mD2
[(cos
) mD ]2
三、 相对误差
相对误差K 是中误差的绝对值 m 与相 应观测值 D 之比，通常以分母为1的分式
来表示，称其为相对（中）误差。即:
m
K
1
D
D
m
一般情况 :角度、高差的误差用m表示， 量距误差用K表示。
[ 例 ] 已 知 ： D1=100m, m1=±0.01m ， D2=200m, m2=±0.01m，求： K1, K2 解：
L
l
n
1 n
l1
1 n
l2
1 n
ln
式中，1／n为常数。由于各独立观测
值的精度相同，设其中误差均为m。
设平均值的中误差为mL，则有
m2 L
1 n2
m2 1
1 n2
m2 2
1 n2
m2 n
1 m2 n
故
mL
m n
由此可知，算术平均值的中误差为观 测值的中误差的 1 倍。
n
三、精度评定
第一公式
m
由于 1, 2,, n 为偶然误差，它们的非自乘积
P Q仍具有偶然误差的性质，根据偶然误差的特 性，即
lim PQ 0
n
n
中误差——精选推荐
评定精度的标准一、评定精度的标准为了对测量成果的精确程度作出评定,有必要建立一种评定精度的标准,通常用中误差,相对误差和容许误差来表示。
１.中误差1）用真误差来确定中误差设在相同观测条件下，对真值为的一个未知量进行次观测,观测值结果为，每个观测值相应的真误差(真值与观测值之差)为△1、△2、……,△n。
则以各个真误差之平方和的平均数的平方根作为精度评定的标准,用表示,称为观测值中误差。
式中：观测次数—称为观测值中误差(又称均方误差)为各个真误差△的平方的总和。
上式表明了中误差与真误差的关系，中误差并不等于每个观测值的真误差，中误差仅是一组真误差的代表值，当一组观测值的测量误差愈大，中误差也就愈大，其精度就愈低；测量误差愈小，中误差也就愈小，其精度就愈高。
【例题】甲、乙两个小组，各自在相同的观测条件下，对某三角形内角和分别进行了7次观测，求得每次三角形内角和的真误差分别为：甲组：+2〞、-2〞、+3〞、+5〞、-5〞、-8〞、+9〞乙组： -3〞、+4〞、0〞、-9〞、-4〞、+1〞、+13〞 则甲、乙两组观测值中误差为：由此可知，乙组观测精度低于甲组,这是因为乙组的观测值中有较大误差出现，因中误差能明显反映出较大误差对测量成果可靠程度的影响，所以成为被广泛采用的一种评定精度的标准。
2）用观测值的改正数来确定观测值的中误差在实际测量工作中，观测值的真误差往往是不知道的，因此，真误差也无法求得，所以常通过观测值的改正数V i 来计算观测值中误差。
即：V i=L-L 1 (i=1,2.....,n)[]1-±=n vv m3）算术平均值中误差算术平均值L 的中误差M ，按下式计算：[]()1-±==n n vv nm M【例题】某一段距离共丈量了6次，结果如表所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差、及相对误差。
(二)相对误差测量工作中对于精度的评定，在很多情况下用中误差这个标准是不能完全描述对某量观测的精确度的。
诊断性检验中误差网格的建立与解释(精)
诊断性检验中误差网格的建立与解释体外诊断结果在医学决策中的作用日益重要，因此，诊断性检验的质量受到更多的关注。
虽然Westgard等表明诊断性检验中总分析误差很重要，但通常的做法是估计总误差。
而且，即使按照Bland和Altmanl2 的建议直接计算总误差，但对于这些误差可能对患者带来的损害的了解还是不够的。
譬如在当今流行的六西格玛方法ll5 和测量不确定度的指南中，使用的医学误差界限只有1组。
这意味着，超过这些医学误差界限并对患者有潜在伤害的值并没有受到限制。
因此，需要应用误差网格来提供误差的全面信息。
1. 基本概念Clarke等最早提出误差网格概念，并将其用于评估糖尿病患者所用的葡萄糖自我检测(SMBG)系统。
但是由于其可以不经过中间区域便跨越2个区域，并且曲线不光滑，因此随后产生了Parkes共识误差网格。
Parkes 共识误差网格被认为是对Clarke误差网格的明显改进，并且是目前评价SMBG 系统性能的行业标准。
误差网格是可以告知使用者试验方法中误差可能带来的临床后果的图。
试验方法可为考虑的任何方法，可比对的方法通常是参考方法或可溯源至参考方法的方法。
然而，可比对的方法可以是能提供有利于患者治疗价值的非参考方法。
A 区，即ATE 区，是包含了y鈥擷线的最里面的区域，并且包含了大部分数据，其中的结果不可能对患者产生损害。
C区，即I ER区，它是在最外面没有或仅包含几个数据的区域，其中的结果可以造成潜在的患者损害。
当所划分的区域大于3个时，造成最大的潜在患者损害的区域用更高排序的字母来表示。
B区包含了A区和C区之间的结果，通常包含大于5 的数据，其中可能发生一些潜在的患者损害，但是比c区中的损害小，也可能完全没有损害。
未报告的结果区并非误差网格中的实际区域，其考虑的是试验方法不能获得结果时，可能引起患者损害的情况。
尽管这些区域的形状和位置在不同的检验方法中可能不同，但在3个区域的误差网格中，A 区和C区是绝对不能相接的。
中误差传播定律(精)
观测值之间相互无影响，即任何一个观测 值产生的误差，都不影响其他观测值误差 的大小。一般来说，直接观测的值就是独 立观测值。
令函数Z及X、Y的真误差分别为△Z、△X、 △Y。显然
Z+△Z=（X+△X）±（Y+△Y）
和差函数的中误差
△Z=△X±△Y 观测n次，则有 △Z1=△X1±△Y1 △Z2=△X2±△Y2 …… △Zn=△Xn±△Yn 将上列各式两边平方并求和，得 [△2Z]=[△2X]+[△2Y] ±2[△X测了α、β、γ三个角度， 已知它们的中误差分别为± 12、± 24、± 24 秒，求由此而得圆周角不符值ε的中误差。如果 用方向观测法观测了这三个角且测角中误差为 12秒，请问计算角的中误差是多少？
设对X进行了n次观测，则有
△Z1=K△X1 △Z2= K△X2 ……
△ZN= K△XN 得 △2Z1=K2△2X1 △2Z2=K2△2X2 ……
△2ZN=K2△2XN [△2Z]=K2[△2X] 按中误差定义，上式可表示为 m2Z=K2m2X 或 mZ=KmX 可见，倍数函数的中误差等于倍数（常数）与观测值中误差的乘积。
用比例尺在1：1000的图上量得长度L=168 m相m应，地并面已上知的其水中平误距差离mS及i=中±误0.差2 mmSm。，求
解：相应地面上的水平距离
S=1000L=168 m
中误差
mS=1000mi=±0.2 m 最后写成
S=168±0.2 m
（二）和、差函数的中误差
则有
dz
测量误差基本知识及中误差计算公式
测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：一.系统误差（system error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
2.特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
二.偶然误差（accident error）1.定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。
但具有一定的统计规律。
2.特点：（1） 具有一定的范围。
（2） 绝对值小的误差出现概率大。
（3） 绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。
（4） 数学期限望等于零。
即：——某量的真误差，[]——求和符号。
规律：标准差估值（中误差m）绝对值愈小，观测精度愈高。
在测量中，n为有限值，计算中误差m的方法，有：1.用真误差（true error）来确定中误差——适用于观测量真值已知时。
真误差Δ——观测值与其真值之差，有：中误差（标准差估值） ，V——最或是值与观测值之差。
一般为算术平均值与观测值之差，即有：2.往返测较差率K=三.极限误差（容许误差）常以两倍或三倍中误差作为偶然误差的容许值。
即：。
、…为相互独立的直接观测量，有函数，则二.权（weight）的概念1.定义：设非等精度观测值的中误差分别为m1、m2、…m n，则有：权为任意大小的常数。
当权等于1时，称为单位权，其对应的中误差称为单位权中误差（unit weight mean square error）m0，故有：。
2.规律：权与中误差的平方成反比，故观测值精度愈高，其权愈大。
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一定的观测条件对应一种确定不变的误差分布。若观测条件较好，误差分布 较密集，则其精度较高。 提示：观测条件相同的一组观测，称为等精密度观测，但各自的真误差彼此 并不一定相等。
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6
• 精度与准确度
频数/d 频数/d
-0.8 -0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
衡量精度的指标
案例导入：某公司刚刚购进一台的经纬仪，为测量其测角 精度，现对某一精确测定的水平角（设无误差）作25次 观测，根据观测结果，算得各次的观测误差（单位：″） 如表1-2。
表 1-2 次 序 1 2 3 4 5 6 7
i
+1.5 +1.3 +0.8 -1.1 +0.6 +1.1 +0.2
试根据计算测量精度。
1 1
• 衡量精度的指标
方差与中误差
方差是指随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。方差定义为：
2 X E X E X 2
又可将方差表示为：
X EX
2
f X dX
2 D E 2 lim
注意：在一定的观测条件下，具有确定不变的概率分布，
即方差和标准差均为定值，是一个固定不变的常数。而由 上式得到的估值和将随着观测个数的多少及试验中观测值 的随机性而发生变动，即方差、标准差的估值和仍是一个 随机变量，且当逐渐增大时，估值越来越接近于理论值。
n
n
3
3
• 衡量精度的指标
平均误差 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望。
次 序 8 9 10 11 12 13 14
i
-0.3 -0.5 +0.6 -2.0 -0.7 -0.8 -1.2
次 序 15 16 17 18 19 20 21
i
+0.8 -0.3 -0.9 -1.1 -0.4 -1.3 -0.9
次 序 22 23 24 25
i
+1.2 +0.6 -0.3 +0.8
0 0.4 0.6 0.8
1 2闭ຫໍສະໝຸດ 差提示： 越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相反，精度 越 低。
8 8
• 精度与准确度
方差的估值：
中误差的估值：
2
[ ] n
[] n
上式中
9
2 2 2 1 2 ... n
9
• 精度与准确度
案例解答： 解： ［ΔΔ ］=22.61
ˆ2
22.61 / 25 0.90() 2
n
ˆ
n
0.90 0.95 "
10
10
闭合差
-0.8 -0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
由例1和例2误差分布图知：
左图误差分布曲线较高且陡峭 （即误差分布较密集），故其精度 高； 右图误差分布 曲线较低且平 缓 （即误差分布较离散），故其精度 低。
7 7
频数/d
- -0.4 - 0 0.4 0.6 0.8 -0.8 -0.6
E( )
f ()d lim
n
n
与中误差的关系：
4 5
[ i ] n
4
4
• 衡量精度的指标
或然误差
p( ) 50%
2 3
f()
50%
1
0
1
闭合差
5
5
• 衡量精度的指标
n
n
方差的平方根称为标准差。即
lim
n
2 2
n
• 衡量精度的指标
上述方差、标准差公式只是在观测个数 n 充分大时才成立。
实际上，观测个数总是有限的，因此当有限时，我们只能
依据有限的真误差数计算方差和标准差的估值，习惯上记 2 ˆ 2 作 和 。计算公式是 ， ˆ ˆ
闭合差
• 精度与准确度
方差与中误差
设
~ 为服从正态分布的偶然误差，其方 L L
f()
差为
2 lim
n
[] n
中误差为
2 lim
[ ] D() E (2 ) 2 f ()d n n
2 1 -0.8-0.6 -0.4