如何解一元二次不等式
一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集一元二次不等式是指一个包含一个未知数的二次方程不等式。
解集指的是满足不等式条件的所有实数值的集合。
在本文中，我们将讨论一元二次不等式的性质、解法和解集的表示方法。
一、一元二次不等式的性质1. 一元二次不等式的基本形式为ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
2. 当a > 0时，一元二次不等式的图像为开口向上的抛物线；当a < 0时，一元二次不等式的图像为开口向下的抛物线。
3. 一元二次不等式有零个、一个或两个解，解的个数取决于不等式的形式和系数的取值。
二、一元二次不等式的解法1. 通过图像法求解：通过绘制一元二次不等式的图像，可确定其解集的范围。
在绘制图像时，注意抛物线的开口方向和顶点的坐标。
2. 通过因式分解求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过因式分解将其转化为多个一次因式相乘的形式，然后利用每个因式的符号确定不等式的解集。
3. 通过配方法求解：对于特定的一元二次不等式，可以通过配方法将其转化为一个平方差或完全平方式，然后利用平方差或完全平方式的性质求解不等式。
三、一元二次不等式解集的表示方法1. 解集的表示方法有三种常用形式：区间表示法、集合表示法和图像表示法。
a) 区间表示法：用区间形式表示解集，如(a, b)、[a, b]、(a, +∞)、(-∞, b]等。
b) 集合表示法：用集合的形式表示解集，如{x ∈ R | a < x < b}表示一个开区间。
c) 图像表示法：用图形的方式表示解集，通过绘制坐标轴上的区间来表示解集的范围。
2. 解集的界限问题：解集的上下界取决于不等式的形式和系数的取值。
对于开口向上的抛物线，解集的下界是抛物线的顶点坐标；对于开口向下的抛物线，解集的上界是抛物线的顶点坐标。
4. 解集的无解情况：有些一元二次不等式没有实数解，这意味着不等式在实数范围内不成立。
一元二次不等式题型及解题方法
一元二次不等式题型及解题方法一元二次不等式是数学中常见的题型之一，涉及到一元二次函数的不等式关系。
解决一元二次不等式需要掌握一些基本的解题方法。
首先，我们来了解一些常见的一元二次不等式类型：1. 一元二次不等式的基本形式是 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），其中 a、b、c 是实数且 a ≠ 0。
这种类型的不等式可以化简为一个二次函数的图像在 x 轴上的开口方向。
2. 一元二次不等式的形式可能会有一些变化，例如 ax^2 + bx + c ≥0（或≤ 0），或者以绝对值的形式出现。
这些变化不影响我们解决问题的思路，只需要根据具体的情况进行适当的分析和转化。
接下来，我们讨论一些解题方法：1. 图像法：对于一元二次不等式，我们可以通过绘制二次函数的图像来直观地看出解的范围。
根据开口方向和图像与 x 轴的关系，我们可以很容易地确定不等式的解集。
2. 代入法：当我们遇到一元二次不等式时，有时可以将其转化为一个方程来求解。
我们可以通过解方程得到函数的根，并根据根的位置和开口方向来确定不等式的解集。
3. 判别式法：对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0（或 < 0），我们可以通过判别式 b^2 - 4ac 的正负性来判断解的情况。
当判别式大于零时，不等式有两个实数解；当判别式等于零时，不等式有一个实数解；当判别式小于零时，不等式没有实数解。
4. 化简法：有时候，我们可以通过对不等式进行化简来求解。
例如，将不等式的两边同时乘以一个正数或除以一个负数，可以改变不等式的符号，从而得到一个更简单的不等式。
除了上述方法，还可以使用数轴法、区间判断法等方法来解决一元二次不等式。
不同的问题可能需要结合多种方法进行综合分析和求解。
总之，解决一元二次不等式需要熟练掌握相关的解题方法，并能够根据具体情况进行灵活运用。
通过不断的练习和积累，我们可以更加熟练地解决各种类型的一元二次不等式问题。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法在数学中，一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式。
解一元二次不等式的方法可以通过图像法、代入法和判别法来实现。
本文将介绍这三种解法，并通过实例来说明其具体步骤。
图像法图像法是解一元二次不等式最直观的方法之一，它通过绘制一元二次函数的图像来找到不等式的解集。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明图像法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以通过求解x的一元二次方程来得到根，即使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
将方程x^2-4x+3=0代入求根公式中，得到x=1和x=3。
其次，在数轴上绘制一元二次函数y=x^2-4x+3的图像。
根据函数的开口方向和图像的凹凸性，我们可以确定函数在x<1和x>3的区间上为正值，即图像在该区间上位于x轴之上。
最后，根据不等式的正号，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
代入法代入法是通过代入特定的数值来判断一元二次不等式的真假。
下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明代入法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。
我们可以使用同样的方法得到x=1和x=3。
其次，选择一些特定的数值，代入一元二次不等式中，判断不等式的真假。
例如，选择x=0、x=2和x=4来代入不等式。
计算得到代入x=0时，不等式为3>0，代入x=2时，不等式为-1>0，代入x=4时，不等式为3>0。
根据计算结果，我们可以确定不等式在x<1和x>3的区间上为真。
最后，根据不等式的真假，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。
判别法判别法是解一元二次不等式的一种常用方法，它利用一元二次不等式的判别式来确定不等式的解集。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一、解一元二次不等式解一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 、与)0(02><++a c bx ax 时，可以通过一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠与一元二次函数()()20f x ax bx c a =++≠进行求解：（一）解不等式例1. (1) 解不等式：2x 2-3x -2>0 (2) 解不等式：-3x 2+x +1>0(3) 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≥--0412044322x x x x (4) 解不等式组：2223404210540x x x x x x ⎧+->⎪+-<⎨⎪-+>⎩（二）已知不等式的解集，写不等式例2. (1) 写出一个一元二次不等式，使它的解集()1,3-.(2) 已知219990ax x b -+>的解集是()3,1--，求不等式219990ax x b ++>的解集.(3) 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--05)25(20222a x a x x x 的整数解值只有2-，求实数a 的范围.二、一元二次方程根的分布例3. 若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围.例4.⑴ 已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围.⑵ 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 有一实根在()0,1内，求m 的取值范围.⑶ 已知方程012)2(2=-+-+m x m x 只有较大实根在()0,1内，求实数m 的取值范围⑷ 若方程0)2(2=-++k x k x 的两实根均在区间（1-、1）内，求k 的取值范围.⑸ 若方程012)2(2=-+-+k x k x 的两根中，一根在()0,1内，另一根在()1,2内，求k 的取值范围.⑹ 已知关于x 的方程062)1(22=-++--m m mx x m 的两根为βα、且满足βα<<<10，求m 的取值范围.（三）含参数一元二次不等式例5. 当k 为何值时，不等式010)5()5(2>+----k x k x k ，对一切实数都成立.例6. 关于x 的不等式0622<+++m m mx x 的解集包含区间（1，2）时，求实数m 的范围.例7. 设集合{}{}034,0107222<+-=<++=a ax x x B x x x A ，并且B A ⊆，求实数a 的范围.例8. 解关于x 的不等式032>--a ax x .例9. 解关于x 的不等式02)2(2>--+x m mx .例10. (1) 设不等式02>++c bx ax 的解集为βαβα<<<<0},{x x ，试求不等式02<++a bx cx 的解集.(2) 已知关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为（1，2），解关于x 的不等式20cx bx a -+>.(3) 已知关于x 的不等式0k x b x a x c++<++的解集为（-2，-1）∪（2，3），解关于x 的 1011kx bx ax cx -+<--.(4) 已知不等式223()0x a a x a -++<的解集为{|33}x x <<，求实数a 的取值情况；(5) 已知不等式223()0x a a x a -++<在{|33}x x <<内恒成立，求实数a 的取值情况．(6) 已知集合]2,21[=P ，}022|{2>+-=x ax x Q ．① 若∅≠Q P ，求实数a 的取值范围；② 若方程0222=--x ax 在]2,21[内有解，求实数a 的取值范围．(7) k 为何值时，不等式13642222<++++x x k kx x 恒成立例11. 已知2()2(2)4f x x a x =+-+，（1）如果对一切x R ∈，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围；（2）如果对[3,1]x ∈-，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．例12. 设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ⊆［1，4］，求实数a 的取值范围.例13. 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围.例14. 设c bx ax x f ++=2)(，若27)1(=f ，问是否存在R c b a ∈,,，使得不等式212+x 2322)(2++≤≤x x x f 对一切实数x 都成立，证明你的结论.。
一元二次不等式全部解法
一元二次不等式全部解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
要求解一元二次不等式，我们需要找到其解集，即使不等式成立的x的取值范围。
下面将介绍几种解一元二次不等式的方法。
方法一：图像法通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到不等式的解集。
以ax^2 + bx + c > 0为例，我们可以绘制出函数y = ax^2 + bx + c的图像，然后观察函数图像在x轴上的位置。
如果函数图像位于x轴上方，则不等式成立的x的取值范围为图像所在的区间；如果函数图像位于x轴下方，则不等式不成立的x的取值范围为图像所在的区间。
方法二：因式分解法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先通过因式分解将其转化为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，其中m、n是已知实数。
然后根据乘积大于零的性质，我们可以得到两个因子同时大于零或同时小于零时不等式成立。
因此，我们需要解以下两个不等式：ax + m > 0和ax + n > 0，得到的解集再取交集，即为原不等式的解集。
方法三：配方法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
具体步骤如下：1. 将不等式移项，得到ax^2 + bx + c = 0的形式。
2. 根据二次方程的求根公式，求得方程的两个根x1和x2。
3. 根据二次函数的性质，我们可以得到该二次函数在x1和x2之间变号。
即对于ax^2 + bx + c > 0来说，当x在x1和x2之间时，不等式成立。
方法四：求解判别式对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac。
根据判别式的值，我们可以得到不等式的解集：1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根x1和x2，此时不等式成立的x的取值范围为x<x1或x>x2。
一元二次不等式的解法
8x 1 16x 2 16x 2 8x 1 0 (4x 1)2 0, 解法二：
x R, 所以原不等式的解集为 R.
突破方法
通过根与系数的关系解一元二次不等式的方法 方法二 ： 一元二次不等式解集的两个端点值（不是 ）是对应
一元二次方程的两个根，故当已知一元二次不等式的 解集确定不等式中的参数值时，可借助韦达定理给出
授课人：谢水霞
考纲解读
会从实际情境中抽象出一元二次不等 式模型； 通过函数图象了解一元二次不等式与 相应的二次函数、一元二次方程的联 系； 会解一元二次不等式，对给定的一元 二次不等式，会设计求解的程序框图
一元一次不等式(组)的解法
1. 一 元 一 次 不 等 式 ax b : 若 a 0, 解 集 为 {x x }; 若 a 0, 解 集 为
一元二次不等式
1.只含有
1 个未元二次不等式.
2.一元二次不等式的解集如下表：
判别式 b 2 4ac
0
0
0
二次函数 y ax2
bx c(a 0) 的图象
一 元 二 次 方 程 有 两 相 异 实 根 有 两 相 等 实 根 没有实数根
综上所述:
巩固训练
2 x 1 0 1.不等式组 2 的解集为 x 3x 0
C
A.{x 1 x 1 }
B.{x 0 x 3}
D.{x 1 x 3}
C.{x 0 x 1}
2.已知不等式x 2 2 x 3 0的解集为A, 不等式x 2 x 6 0的解集为B, 不等式x 2 ax b 0的解集是A B, 那么a b等于 D.3 B.1 A. - 3 C. 1
一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。
这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。
解法一：使用因式分解法。
对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。
解法二：使用它的图像解法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
解法三：使用开平方法。
对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。
首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。
解法四：使用代数求解法。
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。
求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。
解法五：使用数轴法。
将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。
解法六：使用区间法。
将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。
以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。
在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法一元二次不等式是由一个二次方程构成的数学不等式，其形式通常为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。
解一元二次不等式需要运用一些特定的方法和原理，下面将介绍一些常用的解法。
1. 图像法图像法是一种直观的解一元二次不等式的方法。
首先，我们可以将不等式的左边化简成一个二次函数的形式，例如将 ax^2 + bx + c > 0 转化为 y = ax^2 + bx + c 的图像。
然后，通过观察图像的形状和位置，确定不等式的解集。
对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，可以按照以下步骤使用图像法解答：a) 计算二次函数的顶点坐标 (-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。
b) 如果 a > 0，表示二次函数开口向上，则解集为顶点坐标的右侧部分。
如果 a < 0，表示二次函数开口向下，则解集为顶点坐标的左侧部分。
c) 如果二次函数与 x 轴有交点，则解集还包括这些交点。
举例说明：假设要解一元二次不等式 x^2 + 4x + 3 > 0。
a) 通过计算，可得到顶点坐标为 (-2, -1)。
b) 由于 a > 0，解集为顶点坐标的右侧部分。
c) 二次函数与 x 轴的交点为 (-3, 0) 和 (-1, 0)。
因此，解集为 (-∞, -3) ∪ (-1, +∞)。
2. 因式分解法对于一元二次不等式，我们可以先将其因式分解为二次方程的形式，然后再解这个二次方程。
具体步骤如下：a) 将不等式左边移项，将其写成一个完全平方的形式，例如 a(x -r)(x - s) > 0 或 a(x - r)(x - s) < 0，其中 r 和 s 是待定系数。
b) 将方程 a(x - r)(x - s) = 0 求解，得到方程的根（解），记作 x = r和 x = s。
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如何解一元二次不等式，例如：xˆ2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路
解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，
通常有以下两种解决办法：
①运用“分类讨论”解题思想；
②运用“数形结合”解题思想。
以下分别详细探讨。
例1、解不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0。
解法①：原不等式可化为：
(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。
两部分的乘积大于等于零，
等价于以下两个不等式组：
（1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0
x + 2 ≥ 0
x + 2 ≤ 0
解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”）
解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”）
∴不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。
其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。
解法②：原不等式可化为：
[ (x² -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。
∴(x -- 1)² ≥ 9
∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3
∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。
∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。
解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，
那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，
如本题，用求根公式求得方程x² -- 2x -- 8 = 0
的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。
下同解法①。
体会：以上三种解法，都是死板板地去解；
至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。
下面看“数形结合”法。
解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x² -- 2x -- 8 的图像
开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)，
显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，
图像在x 轴的上方；
当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。
∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x² -- 2x -- 8 ≥ 0，
即：不等式x² -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。
顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x² -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x² -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。
其解集为：[ -- 2，4 ]。
领悟：对于ax² + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；
对于ax² + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。
例2、解不等式x² + 2x + 3 ＞0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＞0。
无论x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零。
∴该不等式的解集为x ∈R。
用“数形结合”考虑，
∵方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式x² + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。
例3、解不等式x² + 2x + 3 ＜0。
在实数范围内左边无法进行因式分解。
配方得：(x + 1)² + 2 ＜0。
无论x 取任何实数，(x + 1)² + 2 均大于零，
∴该不等式的解集为空集。
用“数形结合”考虑，
∵方程x² + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0，
∴函数f(x) = x² + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。
即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。
∴不等式x² + 2x + 3 ＞0的解集为空集。
注：在以后的高中学习中，对于“不等式”这一块，较麻烦的是“含有参数的不等式”。
如：
f(x) = ax² + x （a ∈R 且a ‡ 1）
若当x ∈[ 0，1] 时，总有| f(x) | ≤ 1，求a的取值范围。
cos27°cos57°-sin27°cos147°=
解一
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°cos57°+sin27°sin57°
=cos(27°-57°）
=cos30°
=√3/2
解二
cos27°cos57°-sin27°cos147°
=cos27°sin33°+sin27°cos33°
=sin（27°+33°）
=sin60°
=√3/2
解三
把cos147度用诱导公式cos(90度+A）=-sinA变成-sin57度，所以原式变为cos27度cos57度+sin27度sin57度=cos(57度-27度）=cos30度=根号3/2
根据等差数列的求和公式和通项公式分别表示出S5和a2，联立方程求得d和a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．
解：依题意可得{a1+d=35a1+10d=25，
d=2，a1=1
∴a7=1+6×2=13
故答案为：13
本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生对等差数列基础知识的综合运用．
若x>0,则(x^2+4)/x的最小值为
若实数x>0,则(x^2+2x+4)/x的最小值是
原式=x²/x+2x/x+4/x =x+4/x+2 x>0 所以x+4/x+2≥2√(x*4/x)+2=4+2=6 所以最小值=6。