一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及

1. 已知函数f(x)=3 + log 2x,问方程f(x)=0在区间
1 [ ,1]内有无实数解?为什么? 4
x
2. 若关于x的方程x +2(m+3)x+2m+14=0有两实 的取值范围。 根在(0,4)内,求实数m的取值范围。 变题: 若关于x的方程x +2(m+3)x+2m+14=0有两 的取值范围。 实根在[0,4)内,求实数m的取值范围。
k2
x
0
x 1 k
1
k2
x
2
x
y
y
0
(x k1 1) x2 k2
x
0
k1 x1
k 2 (x2)
x
f (k1 )i f (k2 ) < 0，或f (k1 ) f (k2 ) = 0, 解出参数，求出另一根，验证
5. 两个实根满足 x1 < k1, 且x2
> k2 (k1 < k2 )
2
2
3. 若关于x的方程x +2(m+3)x+2m+14=0有两实 的取值范围。 根在[-1,3]外,求实数m的取值范围。
2
已知关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两个实 4. 的取值范围。 根a,b满足0<a<1<b<2,求实数t的取值范围。
5. 若方程8x +8(a-2)x +5-a=0有解,求实数a的取 值范围。 值范围。 变题: 若方程x +2x +5-a=0有解,求实数a的取值 范围。 范围。
x1
k1
即 x1 < k1 < k2 < x2
y
k2
0
x2
x
{
f (k1) < 0 f (k2 ) < 0
6. 两个实根满足
k0 < x1 < k1 < k2 < x2 < k3
y
f (k0 ) > 0 f (k1) < 0 kx f (k2 ) < 0 f (k ) > 0 3 f (k0 )i f (k1) < 0 f (k2 )i f (k3 ) < 0
2
3. 两实根在区间 (k1, k2 )内
即 k1 < x1 ≤ x2
< k2
y
0
k1
x1
x
2
k2
x
≥ 0 k < b < k 1 2 2a f (k1) > 0 f (k2 ) > 0
问题4. 已知关于x的方程x -kx+2=0在(0,3)上有 且只有一解， 的取值范围。 且只有一解，求实数k的取值范围。 [解]： 设f ( x) = x 2 kx + 2
即 x1 < k < x2
0
y k
x1
x2
x
f (k ) < 0
问题3： （ 两个根都在（ 问题 ：x2+（m-3)x+m=0两个根都在（0 .2） 两个根都在 ）
内求m的范围 内求 的范围
= (m 3) 4m ≥ 0 3 m 0< <2 2 m < m ≤ 1 2 3 f (0) = m > 0 f (2) = 3m 2 > 0
有且仅有一个实数解
⑴方程有两个相等的实根，此根大于－１，且不 为０，令f(x)=x2+(2-k)x+1，则 = (2 k )2 4 = 0 求得k=4 2k ⑵方程有二根，一个大于－１，一个小于－１， 则f(-1)<0，解得k<0 所以k得取值范围是k<0或k=4
2 > 1
课堂练习： 课堂练习：
f (ki )
3、解题步骤： 、解题步骤： ①构造相应的二次函数。 构造相应的二次函数。 ②分析题意，列出等价的不等式组。 分析题意，列出等价的不等式组。 ③解此不等式组。 解此不等式组。
方程f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)的两根为 1,x2,且x1<x2 的两根为x 方程 的两根为 且 两根在相同区间 (1)m<x1<x2<n
x
0
x
提出问题：
问题1.关于 的方程 问题 关于x的方程 2+3x-5m=0有两个小于 关于 的方程2x 有两个小于 1 的实根，求实数 的取值范围 的取值范围。 的实根，求实数m的取值范围。
关于x的方程 有两个小于1 例1.关于 的方程 +3x-5m=0有两个小于 关于 的方程2x 有两个小于 的实根， 的取值范围。 的实根，求m的取值范围。 的取值范围 [解]：设x1,x2为方程的两根，则由题意可得： 解： 为方程的两根，则由题意可得：
≥ 0 m < b < n 2a f (m ) > 0 f (n) > 0
(2)-∞<x1<x2<n
≥ 0 b <n 2a f (n) > 0
(3)m<x1<x2<+∞
≥ 0 b >m 2a f (m ) > 0
两根在不同区间 (1)m<x1<n<p<x2<q
2
= 9 + 40 m ≥ 0 f (1) > 0
m ≥ 9 40 2 + 3 5m > 0 9 ≤ m <1 40
4
y
x 1
x2
0
1
x
问题2：若方程8x2+(m+1)x+m-7=0有一 的取值围。 根大于1,一根小于1,求实数m的取值围。
类比前例，分析解法
2. 两实根一个大于k，另一个小于k
2
11 ∴ f (0) f (3) < 0 k > 3 11 此时方程为 或f (0) f (3) = 0 k = 3 11 x + 2 = 0, 两一根为3,2 满足 2 x 3 3 11 综上k ≥ 3
4. 两个实根有且仅有一根在区间 (k1, k2 )内
y y
0
x k 1 1
x2
f (m )i f (n ) < 0 f ( p )i f ( q ) < 0
(2)x1<n<p<x2
f (n) < 0 f ( p) < 0
(3)x1<k<x2
f (k ) < 0
一元二次不等式的解集与一元二次方程的根以及 二次函数的图象之间的关系
= b 2 4ac
一元二次方程 △>0 △=0 △<0
ax 2 +ຫໍສະໝຸດ bx + c = 0 (a>0)的根
一 元 二 次 解 不 集 的 式 等
b ± b2 4ac x1,2 = 2a
(取x1 < x2 )
b 没有实根 x1 = x2 = 2a
4
4
2
2
6. 已知函数f(x)=mx +(m-3)x+1的图像与x轴的 交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取 交点至少有一个在原点的右侧， 值范围。 值范围。
2
小结： 小结：
1、适用范围：含有参数的一元二次方程。 、适用范围：含有参数的一元二次方程。
2、考虑要素：△、对称轴、 、考虑要素： 对称轴、
0
0
k1
1
k1
x
2
k3 x
练习： 练习：
已知关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅 有一个实数解，求实数k的取值范围 。
练习；关于x的方程lg(kx)=2lg(x+1)有且仅有一 个实数解，求实数k的取值范围 。 解：原方程可化为：lg(kx)=lg(x+1)2,它等价于
kx > 0 x > 1 2 x +1 > 0 x + (2 k )) x + 1 = 0 kx = ( x + 1) 2
2
= 9 + 40m ≥ 0 9 x1 + x2 = 3 < 2 m ≥ 2 40 5m <1 x1 x2 =
请同学们思考一下：这种解法错在哪里？ 请同学们思考一下：这种解法错在哪里？
2
例1.关于 的方程2x2+3x-5m=0有两个小于 关于x的方程 有两个小于1 关于 的方程 有两个小于 的实根， 的取值范围。 的实根，求m的取值范围。 的取值范围 [正解 设x1, x2为方程的两根，则由题意可得： 正解]:设 为方程的两根，则由题意可得： 正解
b } 2a
R
ax2 +bx+c >0 (a >0)
ax2 +bx+c < 0 (a > 0)
{ x| x < x1,
x > x2 } {x | x ≠ -
{ x| x1 < x < x2 }
y
φ
y
φ
y
二次函数
y = ax + bx+ c (a > 0)
2
x1
0
x2 x
0 ( x1 = x2 )
的图象
9 m≥ = 9 + 40 m ≥ 0 40 (x1 1) + (x2 1) < 0 3 < 2 2 (x 1) (x 1) > 0 2 1 5m 3 + +1 > 0 2 2 9 ≤ m<1 40
例1.关于 的方程2x2+3x-5m=0有两个小于 关于x的方程 有两个小于1 关于 的方程 有两个小于 的实根， 的取值范围。 的实根，求m的取值范围。 的取值范围 [另解 用图象法 令 f ( x) = 2 x + 3x 5m, 则 f (x) 另解]:用图象法 另解 用图象法,令 3 的抛物线 为开口向上, 为开口向上 对称轴为 x =