理论力学(6)

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2d
A
P1 P2
W
B
C
2θ
D
O
解:(1)求P的极小值 设圆柱有下滑的趋势,画受力图. 由对称性得: N1 = N2 = N ∑Xi = 0 2Fcosθ + 2Nsinθ = W F=f N 联立(1)和(2)式得:
(1) (2) W
C
D
N2 F2
F1 = F2 = F
N1
F1
W N = 2 (sin θ + f cos θ )
xmin = l cos(θ +m) cosm
讨论:(1)若m = 0,则 xmin = l cosθ .工人只能站在梯子 的底端. (2)当 θ ≥ (90o - m)时, 则 xmin = 0 .工人可安全地 站在梯子的顶端.
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6-4.有摩擦阻力时的翻倒问题
对于有摩擦阻力时的翻倒问题,除了考虑物体底 对于有摩擦阻力时的翻倒问题 除了考虑物体底 面上的摩擦阻力外,同时要考虑正压力 的作用线在 面上的摩擦阻力外 同时要考虑正压力N的作用线在 同时要考虑正压力 底面上的位置. 底面上的位置 (1)当物体上没有水平力 作用时 当物体上没有水平力P作用时 当物体上没有水平力 底面上的摩擦阻力等于零.同时底面 底面上的摩擦阻力等于零 同时底面 上的正压力N与W共线 如图所示,正 上的正压力 与 共线.如图所示 正 共线 如图所示 压力分布于的底面上,而 为合力 为合力. 压力分布于的底面上 而N为合力
Wb P = 2a
W
P a F b N
A
∑Xi = 0 P-F=0 ∑Yi = 0 N-W=0 Fm = f N = f W
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讨论:比较 F 与 Fm可知 (1)如果 f W > Wb/2a ,即 f > b/2a , 则方块 先翻倒. (2)如果 f W < Wb/2a ,即 f < b/2a , 则方块 先滑动. (3)如果 f W = Wb/2a ,即 f = b/2a , 则滑动 将同时发生.
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假定方块先滑动画受力图. ∑Yi = 0 ∑Xi = 0 N-W=0
W
P
P - Fm = 0
a
C Fm d A
即 P= f N = f W ∑mC(Fi) = 0 Nd - Pa = 0 d=fa
b
N
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讨论:比较 d 与它的极值(b/2)可知
(1)当d < b/2 ,即 f < b/2a时,方块先滑动. (2)当d > b/2 ,即 f > b/2a时,方块先翻倒. (3)当d = b/2 ,即 f = b/2a时,滑动与翻倒 同时发生.
W θ A B
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分析: (1)地面和墙均光滑时, D点是力系的汇交点. (2)地面光滑而墙的摩 擦达到临界状态时,E 点是力系的汇交点. (3)地面的摩擦达到临 界状态而墙光滑时,C 点是力系的汇交点. (4)地面和墙的摩擦均 达到临界状态时,F点 是力系的汇交点.
x
xmin
F B (m)B
E RB
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例题6-2. 在维修某房屋时 重W的工人登上长为 l 倾 的工人登上长为 角为θ的梯子 角为θ的梯子AB . 梯子的 下端A搁在水平地上 上端 下端 搁在水平地上,上端 搁在水平地上 B靠在铅直墙上 设地面和 靠在铅直墙上.设地面和 靠在铅直墙上 墙与梯子间的摩擦角分别 为 (m)A和 (m)B . 求梯子 不致下滑时工人所能登上 的最大高度x 的最大高度 min.
f ----- 静摩擦系数 f ′ ----- 动摩擦系数
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(4)摩擦角与自锁现象
法向反力N和静摩 法向反力 和静摩 擦力F的合力 称为支 擦力 的合力R称为支 的合力 承面对物体作用的全 约束反力. 约束反力 摩擦角是静摩擦力 达到最大值时,全反力 达到最大值时 全反力 与支承面法线的夹角. 与支承面法线的夹角
(2)静滑动摩擦定律
当力Q增加到某个数值 当力 增加到某个数值QK时,物体处于将动未动的 增加到某个数值 物体处于将动未动的 临界状态.此时静摩擦力达到最大值 临界状态 此时静摩擦力达到最大值Fm ,称为最大静 此时静摩擦力达到最大值 称为最大静 摩擦力. 摩擦力
Fm = f N (3)动滑动摩擦定律 F = f ′ N
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板为研究对 画受力图.此时的 取OA板为研究对象画受力图 此时的 板为研究 水平力有极小值P 水平力有极小值 min ∑mO(Fi) = 0
A F1
′
P1
N1′
C
θ O
N1′ r ctgθ Pmin d ctgθ = 0
Wr P = min 2d(sinθ + f cosθ)
(2)求P的极大值 求 的极大值 达到极大值时,圆柱有向上滑的趋势 当P达到极大值时 圆柱有向上Байду номын сангаас的趋势 只 达到极大值时 圆柱有向上滑的趋势.只 要改变受力图中摩擦力的指向或改变 f 前的 符号即可. 符号即可
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S
θ
m
R
S
如果物体所受的主 动力合力 S 的作用线 在锥面上,即θ = m ,则 物体处于临界状态.
R θ
m
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6-3.考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
考虑摩擦的平衡问题,应注意以下几点 考虑摩擦的平衡问题 应注意以下几点: 应注意以下几点 (1)摩擦力的大小由平衡条件确定 同时应与最大 摩擦力的大小由平衡条件确定,同时应与最大 摩擦力的大小由平衡条件确定 摩擦力比较.若 则物体平衡;否则物体不平衡 摩擦力比较 若F ≤ Fm ,则物体平衡 否则物体不平衡 则物体平衡 否则物体不平衡. (2)在临界状态下 摩擦力为最大值 m ,应满足关系 在临界状态下,摩擦力为最大值 在临界状态下 摩擦力为最大值F 应满足关系 式 Fm = f N 问题归结为求解平衡范围.一 (3)由于 ≤ F ≤ Fm ,问题归结为求解平衡范围 一 由于0 问题归结为求解平衡范围 由于 般设物体处于临界状态. 般设物体处于临界状态 (4)当物体尚未达到临界状态时 摩擦力的方向可 当物体尚未达到临界状态时,摩擦力的方向可 当物体尚未达到临界状态时 以假定.当物体达到临界状态时 当物体达到临界状态时,摩擦力的方向与相 以假定 当物体达到临界状态时 摩擦力的方向与相 对滑动趋势的方向相反. 对滑动趋势的方向相反 11
P
F
W
P
Fm
N
W
N
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例题6-3. 重W的方块放 在水平面上,并有一水平 力P作用 . 设方块底面的 长度为b,P与底面的距离 为a , 接触面间的摩擦系 数为 f , 问当 P逐渐增大 时,方块先行滑动还是先 行翻倒.
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W
P a
b
解:假定方块先翻倒,画受力图. ∑mA(Fi) = 0
b W Pa = 0 2
N
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W
(2)当有水平力P作用而
W
物体仍保持平衡时,底面上 有摩擦阻力 F作用. 同时 底面上 N 的作用线将从底 面中点向一边偏移,且偏移 的距离随着 P增加而增加. 如图所示.
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P
F
N
(3)当P值逐渐增加时,F的大小 当 值逐渐增 的大小 值逐渐 以及N偏移的距离均随着同时增 以及 偏移的距离均随着同时增 先达到极值F 加.若F先达到极值 m而N还在底 若 先达到极值 还在底 面内时,则物体先滑动 如图所示 面内时 则物体先滑动.如图所示 则物体先滑动 如图所示. (4)若N的作用线已偏移到它的 若 的作用线已偏移到它的 极限位置而F还小于 m,则物体先 极限位置而 还小于F 则物体先 还小于 翻倒.如图所示 翻倒 如图所示. 如图所示 (5)若N的作用线已偏移到它的 若 的作用线已偏移到它的 极限位置而F亦等于 则物体滑 极限位置而 亦等于Fm,则物体滑 亦等于 动和翻倒同时发生. 动和翻倒同时发生
B (m)B
x
xmin
F
E RB
C
D
(m)A RA
W θ
A
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由正弦定理得:
BC =
cos [( m )B ( m )A ]
l cos [θ + ( m )A ]
x min = BC cos ( m )B =
若(m)A = (m)B = m
l cos [θ + ( m )A ]cos ( m )B cos [( m )B ( m )A ]
QK Q
P F R
N
P Fm Rm
m
N
0 ≤ ≤ m
tgm =
f
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如果改变水平力QK的 作用线方向, 则Fm及Rm 的方向也将随之作相应 的改变; 若QK在水平面 转过一圈, 则全反力Rm 的作用线将在空间画出 一个锥面,称为摩擦锥. 全反力与接触面法线所形成的夹角不会大 于m ,即R作用线不可能超出摩擦锥.
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6-5.滚动摩擦的概念 (1) 滚阻力偶和滚阻力偶矩
P
设一半径为r的滚子静止地放在水平 面上,滚子重为P.在滚子的中心作用
Q
c
r A
一较小的水平力Q.
P
取滚子为研究对象画受力图. ∑Xi = 0 Q-F=0 ∑Yi = 0 N-P=0 m - Qr = 0 ∑mA(Fi) = 0 m=Qr
理 论 力 学
(6)
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内容提要
六.摩擦
6-1.摩擦现象 6-2.滑动摩擦 6-3.考虑滑动摩擦时物体的平衡问题 6-4.有摩擦阻力时的翻倒问题 6-5.滚动摩擦的概念
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6-1.摩擦现象 摩擦是机械运动中一种普遍的现象.摩擦 现象广泛地存在于日常生活中.
(1)滑动摩擦 两个物体接触面作相对滑动或具有 滑动摩擦:两个物体接触面作相对滑动或具有 滑动摩擦 相对滑动趋势时的摩擦. 相对滑动趋势时的摩擦 动滑动摩擦----具有相对滑动 动滑动摩擦 具有相对滑动. 具有相对滑动 静滑动摩擦----具有相对滑动趋势 静滑动摩擦 具有相对滑动趋势. 具有相对滑动趋势