用由集合关系求参数范围共23页
《子集、全集、补集》典型例题剖析
《子集、全集、补集》典型例题剖析题型1 集合关系的判断例1 指出下列各组集合之间的关系：（1）{15},{05}A xx B x x =-<<=<<∣∣； （2）{}21(1)0,,2nA x x xB x x n ⎧⎫+-=-===∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣；（3）{(,)0},{(,)0,00,0}A x y xy B x y x y x y =>=>><<∣∣或； （4）{}{}2*2*1,,45,A x x a a B x x a a a ==+∈==-+∈N N ∣∣.解析 （1）中集合表示不等式，可以根据范围直接判断，也可以利用数轴判断；（2）解集合A 中方程得到集合A ，再根据集合B 中n 分别为奇数、偶数得到集合B ，进行判断；（3）可以根据集合中元素的特征或者集合的几何意义判断；（4）将集合A 中x 关于a 的关系式改写成集合B 中的形式，再进行判断.答案 （1）方法一：集合B 中的元素都在集合A 中，但集合A 中有些元素（比如00.5-，）不在集合B 中，故BA .方法二：利用数轴表示集合A ，B ，如下图所示，由图可知BA .（2）{}20{0,1}A x x x =-==∣.在集合B 中，当n 为奇数时,1(1)02nx +-==，当n 为偶数时，1(1)1,{0,1},2n x B A B +-==∴=∴=.（3）方法一：由00000xy x y x y >>><<得，或，；由000x y x >><，或，0y <得0xy >，从而A B =.方法二：集合A 中的元素是平面直角坐标系中第三象限内的点对应的坐标，集合B 中的元素也是平面直角坐标系中第一、三象限内的点对应的坐标，从而A B =.（4）对于任意x A ∈，有221(2)4(2)5x a a a =+=+-++.**,2{3,4,5},a a x B ∈∴+∈∴∈N N .由子集的定义知，A B ⊆.设1B ∈，此时2451a a -+=，解得*2,a a =∈N .211a +=在*a ∈N 时无解，1A ∴∉. 综上所述，AB .名师点评 对于（5），在判断集合A 与B 的关系时可先根据定义判断A B ⊆，再进一步判断AB .判断A B 时，只要在集合B 中找出一个元素不属于集合A 即可.变式训练1 判断下列各组中两个集合的关系：（1）{3,},{6,}A xx k k B x x z z ==∈==∈N N ∣∣； （2）1,24k A xx k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，1,42k B x x k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣. 答案 （1）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对于任意的,63(2)z z z ∈=⨯N ，因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆.设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以BA . （2）方法一：取,0,1,2,3,4,5,k =，可得1357911,,,,,,,444444A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,13537,,,1,,,,24424B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 易知A 中任一元素均为B 中的元素，但B 中的有些元素不在集合A 中，A B .方法二：集合A 的元素为121()244k k x k +=+=∈Z ，集合B 的元素为12()424k k x k +=+=∈Z ，而21k +为奇数，2k +为整数，A B ∴.点拨 判断两个集合的关系要先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合间的关系. 题型2 根据集合间的包含关系求参数的值范围 类型（一）有限集的问题例2 已知{}2230,{10}A x x x B x ax =--==-=∣∣，若BA ，试求a 的值.解析： 首先将集合A ，B 具体化，在对集合B 具体化时，要注意对参数a 进行讨论，然后再由BA 求a 的值.答案 {}2230{1,3}A x x x =--==-∣，且BA ，（1）当B =∅时，方程10ax -=无解，故0a =；（2）当B ≠∅时，则1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭.若11a =-,即1a =-时，B A ； 若13a =，即13a =时，B A . 综上可知，a 的值为：10,1,3-.易错提示 特别要注意子集与真子集的区别，审清题意，由题目的具体条件确定真子集是否有可能为∅，这是个易错点.变式训练2 已知集合{}2320,{05,}A x x x B x x x =-+==<<∈N ∣∣，那么满足A C B 的集合C 的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 答案 B点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{123}，，，{124}，，.本题考查对元素个数及真子集的理解，一定要弄清子集和真子集的区别.变式训练3 把上题改为：已知集合{2320}A x x x =-+=∣,{05,}B xx x =<<∈N ∣，则满足A C B ⊆⊆的集合C 的个数是___________.答案 4点拨 {}2320{1,2},{05,}{1,2,3,4}A x x x B x x x =-+===<<∈=N ∣∣，由题意集合C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}，故答案为4.类型（二） 无限集的问题例 3 已知集合{04},{}A x x B x x a =<=<∣∣，若A B ，求实数a 的取值集合.解析 将数集A 在数轴上表示出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可求出a 的取值范围.答案 将数集A 表示在数轴上（如图），要满足AB ，表示数a 的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边.所以所求a 的集合为{4}aa ∣.易错提示 在解决取值范围问题时，一般借助数轴比较直观，但一定要注意端点的取舍问题，能取的用实心点，不能取的用空心点，此题易漏掉端点4，显然4a =符合题意.变式训练 4 已知集合{25},{121}A xx B x a x a =-=+-∣∣. （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若AB ，求a 的取值范围.答案 （1）,B A D ⊆∴=∅①时，满足要求. 则121a a +>-即2a <；②B ≠∅时，则121,12,23215a a a a a +-⎧⎪+-⇒⎨⎪-⎩.综上可知：3a ≤. （2）121,,12215a a AB a a +-⎧⎪∴+-⎨⎪-⎩，，且12215a a +≤--≥与中的等号不能同时成立. 解这个不等式组，无解，a ∴∈∅，即不存在这样的a 使A B .题型3 集合的全集与补集问题例4 已知全集U ，集合 {1,3,5,7},{2,46},{1,4,6}UU A A B ===，，则集合B =____________.解析 因为{1,3,5,7},{2,4,6}UA A ==，所以{1,2,3,4,5,6,7}U =.又由已知{1,4,6}UB =，所以{2,3,5,7}B =.答案 27}3{5，，，变式训练5 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,2,3},{3,4,5}U M N ===，则集合UM 和UN 共有的元素组成的集合为（ ）A.{2,3,4,5}B.{1,2,4,5,6}C.{1,2,6}D.{6} 答案 D点拨 由题意 {4,5,6},{1,2,6}U UM N ==，所以集合U M 和UN 共有的元素为6，组成的集合为{6}.例5 已知集合{}21A x a x a =<<+∣，集合{}15B x x =<<∣. （1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若RAB ，求实数a 的取值范围.解析 （1）可借助数轴求解；（2）先根据集合B 求出共补集RB ，再根据RAB 列出不等式求解.注意要考虑A 为空集的情况.答案（1）若A =∅，则21a a +≤，解得1a ≤-，满足题意； 若A ≠∅，则21a a <+，解得1a >-.由A B ⊆，可得2151a a +≤≥且，解得12a ≤≤.综上，实数a 的取值范围为{1, 12}aa a -∣或. （2）R {1, 5}B xx x =∣或. 若A ≠∅，则211a a a +≤≤-，则，此时RAB ，满足题意；若A ≠∅，则1a >-. 又RAB ，所以5211a a ≥+≤或，所以510a a ≥-<≤或.综上，实数a 的取值范围为{0, 5}aa a ∣或. 变式训练6 已知集合{12},{}A xx B x x a =<<=<∣∣，若RA B ⊆，求实数a 的取值范围.答案由{}B xx a =<∣，得R {}B x x a =∣.又RA B ⊆，所以1a ≤，故a 的取值范围是1a ≤.规律方法总结1.判断集合间关系的常用方法. （1）列举观察法.当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系. （2）集合元素特征法.首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.一般地，设{()},{()}A xp x B x q x ==∣∣，①若由()p x 可推出()q x ，则A B ⊆；②若由()q x 可推出()p x ，则B A ⊆；③若()p x ，()q x 可互相推出，则A B =；④若由力()p x 推不出()q x ，由()q x 也推不出()p x ，则集合A ，B 无包含关系.（3）数形结合法.利用venn 图、数轴等直观地判断集合间的关系，一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合用画数轴法.2.根据集合间的包含关系求参数的值或范围的方法.已知两个集合之间的包含关系求参数的值或范围时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.一般地，若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程（组）求解，此时要注意集合中元素的互异性；若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式（组）求解，此时需注意端点值能否取到.3.求补集的策略.（1）若所给集合是有限集，则先把集合中的元素列举出来，然后结合补集的定义来求解另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn 图来求解，这样处理比较直观、形象，且解答时不易出错.（2）若所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解.核心素养园地目的 以一元二次方程和两个集合的关系为知识载体，求参数的范围为任务，借助根与系数的关系、解方程分类讨论思想等一系列数学思维活动，加强逻辑推理和数学运算核心素养水平一、水平二的练习.情境 已知集合{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=∣∣，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.分析 易知集合{0,4}A =-，由B A ⊆的具体含义可知 {0}B B =∅=或或{}{}404B B =-=-或，，进而得解.答案 {}240{0,4}A x x x =+==-∣.,B A B ⊆∴=∅或{}{}0404}{B B B ==-=-或或，. 当B =∅时，()22[2(1)]410,1a a a ∆=+--<∴<-；当{}0B =时，由根与系数的关系知202(1)01a a =-+⎧⎨=-⎩，，解得1a =-. 当{}4B =-时，由根与系数的关系知2442(1),161,a a --=-+⎧⎨=-⎩无解； 当{0,4}B =-时，由根与系数的关系知2402(1),0 1.a a -+=-+⎧⎨=-⎩解得1a =. 综上可知，实数a 的取值范围为{1, 1}aa a -=∣或.。
浅谈集合中参数取值范围问题
185神州教育浅谈集合中参数取值范围问题董佳辽宁省实验中学东戴河分校随着新课改进程的加快，教材在内容及结构上也日益变化，以达到素质教育的要求。
高中数学应注重提高学生的数学思维能力，同时也是新课改中重要组成部分。
可是无论怎样变更，对于数学问题而言，解题方法永远是重要的一点，而众多问题中，含参问题的讨论则是高中数学的重中之重，它也是历年考试中的必考内容，并且对最近几年的试题分析情况来看，分值略有上升趋势。
纵观整个中学数学，参数问题是一条贯穿其中的脉络，参数与函数的定义域，值域(最值)相结合；与单调性结合；与方程问题相结合；与恒成立问题相结合。
可谓参数问题在高中数学中无处不在。
含参数问题的讨论，是训练和检查学生逻辑推理能力和分析问题能力的一种综合题型.求解这类问题的方法不复杂，但在一定程度上反映了学生数学素养的高低，因此，一直为人们所重视。
作为中学数学的重要内容，参数问题在课程教学中占有重要地位。
按照高中数学的教学脉络，这部分知识与集合、简易逻辑、函数思想、微积分应用、立体几何、数列等都有紧密的联系。
其中新课改之后，更是把导数中的参数问题的讨论和解决，变为重中之重。
学生们学习中的思维和视野角度都变宽泛了。
代数方法中关于参数问题解析和讨论，大多运用分离参数方法，多和分类讨论思想相结合。
在运用分类讨论思想的时候，少有著作详细分析常规的步骤。
在代数分析的时候，大多要注意导函数图象的大致形状，导函数对应方程的根，以及要注重根的大小的比较。
教者们在讲解时也因为知识点多，方法多，与其他知识交汇点众多，从而使得学生接受起来困难重重。
关于参数讨论，多和函数思想结合，这方的著作例如白建华[3]的《函数与方程思想在解题中的运用》提出了可以把函数中参数问题转换成方程有解问题来解决。
集合是高中数学的重要基础知识，它贯穿于整个中学数学教学之中，并且作为一种数学语言和工具在其他数学问题中有广泛的运用。
在高考中，它也是年年必考内容之一。
高中数学教师备课必备(集合)：专题10 集合中的参数问题 Word版含解析
【知识回顾】根据集合关系求参数取值范围的步骤：（1）化简：将给定的集合加以化简，若有不确定因素则需分类讨论； （2）画轴：画出数轴以便明确集合之间的关系； （3）列式：根据数轴及所给集合关系列出不等式（组）； （4）求解：对所列出的不等式（组）进行求解。
【例1】已知集合A={y|y>a 2+1或y<a},B={y|2≤y ≤4}，若A ∩B ≠φ，求实数a 的取值范围。
点评：应用集合关系求解参数范围的关键及注意点：（1）关键：解答此类问题的关键是利用两集合关系，列出所求参数满足的不等式（组）。
（2)注意点：当题目中含有条件B B A A B A ==Y I ,，注意将关系等价转化，如A B A =I B A ⊆⇔。
【例2】已知集合}3{+≤≤=a x a x A ,1{-<=x x B 或}5>x 。
（1）若∅=B A I ，求实数a 的取值范围；（2）若B B A =Y ，求实数a 的取值范围。
解析：∅≠+≤≤=}3{a x a x A Θ,1{-<=x x B 或}5>x ， （1）若∅=B A I ,如图4，则有⎩⎨⎧≤+-≥531a a ，解得21≤≤-a 。
（2）若B B A =Y ，如图，则B A ⊆，∴5,45,13>-<-⇒>-<+a a a a 或或 【例3】已知{|||},{||2}43|A x x a B x x <>＝－＝－．若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围． 解：4{|}4A x a x a =<<Q －＋，B ＝{x|x<－1或x>5}，且A B R U ＝， ∴4145a a -<-⎧⎨+>⎩，13a ∴<<，∴实数a 的取值范围是(1,3)．针对训练：1．已知集合{}21P x x =≤，{}M a =．若P M P =U ，则a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞-B ．[)1,+∞C ．[]1,1-D ．(][),11,-∞-+∞U 【答案】C考点：集合的运算.2．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（ ） A.0 B. C.2 D.0或2 【答案】D【解析】试题分析：因为集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，所以方程2mx 420x -+=只有一个根，当0m =时显然符合题意，当0m ≠时，由0∆=得2m =，因此实数m 的值为0或2，故选D.考点：1、集合的表示；2、方程的根与系数之间的关系.3．已知集合{}{}2|30,1,A x x x B a =-<=，且A B I 有4个子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,3)B ．(0,1)(1,3)UC ．(0,1)D ．(,1)(3,)-∞+∞U 【答案】B.【考点】本题主要考查集合的关系．4．已知集合{}{}{}2310,9140,52A x x B x x x C x m x m =<<=-+<=-<<． （1）求(),A B C A B R IU ；（2）()x C x A B ∈∈⋂若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）{}|37A B x x ⋂=<<，(){}710C A B x x x =<≥R U 或 （2）(],2-∞ 【解析】试题分析：（1） 由题问题为求集合的交并补运算，可先解出集合B ，再由集合运算的定义求解，注意求解中可借助数轴进行（数形结合）。
用由集合关系求参数范围
y＝ y＝
x x
22 a
x
,
消去y，得 x2+x-a=0，
∴△=1+4a≥0
a1, 4
∴实数a的取值范围是 [ 1 , ). 4
练习
7.已知M={(x,y)|x2+2x+y=0},N={(x,y)|y=x+a},且M∩N ∅,求实数a的取值范围. （ ，9 ] 4
练 习
8.已知集合A={x|x2-a2≤0，a＞0}，B={x|x2-3x-4＞0} （1）若A∪B=R，求实数a的取值范围；
解得：a≤-3或a≥6，
∴实数a的取值范围（-∞，-3]∪[6，+∞）．
题型三、由集合关系求参数的取值(范围).
已知集合A={x||x-a|≤4，x∈R，a∈R}，集合 B{x| 6 ＜1}．
（1）若A∩B=（5，7]，求实数a的值；
x1
（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．
解：由|x-a|≤4有-4≤x-a≤4， 解得a-4≤x≤a+4， 即A={x|a-4≤x≤a+4}．
当a<1时， B={x|a<x<1}，
当a>1时，B={x|1<x<a}，
此时B⊆A不成立.
A∩B≠∅, 合题意，
综上，a的范围为{a|0≤a≤1}.
题型三、由集合关系求参数的取值(范围). 已知全集U=R,集合A={x|x≤a-1},集合B={x|x＞a+2},集合C={x|x＜0或x≥4}.
若∁U(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围． 解：显然a-1＜a+2， ∴∁U(A∪B)=(a-1，a+2]， ∵∁U(A∪B)⊆C，
x
6
由集合间的关系求参数问题
由集合间的关系求参数问题一、问题提出在数学中，我们经常遇到这样一类问题：给定两个集合A和B，以及它们之间的某些关系，要求我们求出集合B中满足给定关系的元素参数。
这类问题在各类数学模型中有着广泛的应用，因此，掌握好解决这类问题的思路和方法是非常重要的。
二、解题思路解决这类问题的关键在于理清集合间的关系，并根据关系式求出参数。
具体的解题思路如下：1. 认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。
2. 分析两个集合之间的关系，找出关系式，并求出参数。
3. 验证结果是否符合题意，并进行调整和优化。
三、方法应用根据解题思路，我们可以使用以下几种方法来解决这类问题：1. 列举法：对于简单的问题，可以直接列举出符合条件的元素。
2. 公式法：对于有明确关系式的题目，可以使用相应的数学公式来求解参数。
3. 代数法：通过建立方程或方程组，利用代数方法求解参数。
4. 图形法：对于与图形有关的题目，可以使用图形法来求解参数。
四、实例分析下面通过一个具体的实例来演示如何应用上述方法解决实际问题。
假设有集合A={1, 2, 3, 4}和B={x|x^2 - 4x < 0}，已知A是B 的真子集，求参数x的值。
解题思路：1. 认真审题，理解题意：已知集合A是集合B的真子集，求参数x的值。
2. 分析两个集合之间的关系，得到关系式：B是A的真子集 =>B中所有元素均在A中，且B中可能没有元素。
3. 根据关系式得到参数x的限制条件：x^2 - 4x < 0 => x < 0且 x > 4。
4. 将限制条件代入已知条件中得到方程：{1, 2, 3} - {x|x < 0} = {1, 2}，求解得到x = -2。
5. 验证结果：将x = -2代入集合B中得到{x|x^2 - 4x < 0}={-2, -1, 0, 1, 2}，符合集合的定义和性质。
答案：参数x的值为-2。
五、总结通过上述解题过程可以看出，解决由集合间的关系求参数问题需要认真审题、分析关系、建立方程或方程组并求解参数。
集合的基本运算(精讲)(原卷版)--2023届初升高数学衔接专题讲义
2023年初高中衔接素养提升专题讲义第八讲集合的基本运算（精讲）（原卷版）【知识点透析】一、交集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”2、符号语言：A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }3、图形语言：阴影部分为A ∩B4、性质：A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集画数轴，不同集合高度画不同。
二、并集1、文字语言：对于两个给定的集合A ，B ，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”2、符号语言：A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }3、符号语言：阴影部分为A ∪B4、性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A ，如果A ⊆B ，则A ∪B ＝B .5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U .2、补集（1）文字语言：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作A C U .（2）符号语言：}|{A x U x x A C U ∉∈=且（3）符号语言：（4）性质：A ∪∁U A ＝U ；A ∩∁U A ＝∅；∁U (∁U A )＝A .【注意】并不是所有的全集都是用字母U 表示，也不是都是R，要看题目的。
四、利用交并补求参数范围的解题思路1、根据并集求参数范围：=⇒⊆ A B B A B ，若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 2、根据交集求参数范围：=⇒⊆ A B A A B若A 有参数，则需要讨论A 是否为空集；若B 有参数，则≠∅B 【知识点精讲】题型一并集、交集、补集的运算【例题1】（2022·浙江·杭十四中高一期中）设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}1,3,5,2,3,4,5S T ==，则S T ⋃=（）A ．{}3,5B ．{}2,4C ．{}1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5,6【例题2】（2021春•山西大同期中）设集合{|1}A x x =<，{|22}B x x =-<<，则(A B = )A ．{|21}x x -<<B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|1}x x <【例题3】．（2022·江苏·高二期末）已知集合{}1,2A =，{}21,2B a a =-+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【例题4】．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））已知集合{}21A x x =-<≤，{}0B x x a =<≤，若{|23}A B x x =-<≤ ，A B = （）A ．{|20}x x -<<B ．{|01}x x <≤C ．{|13}x x <≤D ．{|23}x x -<≤【例题5】．（2021·北京昌平区·高二期末）已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3}A =，{3,4}B =，则()U A B = ð___________.【例题6】．（2022·四川南充高一课时检测）已知全集{}16A x x =≤≤，集合{}15B x x =<<，则A B =ð（）．A ．{}5x x ≥B ．{1x x ≤或}5x ≥C ．{1x x =或}56x <≤D ．{1x x =或}56x ≤≤【例题7】．41．（2021·陕西商洛市·镇安中学高一期中）已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）若4m =，求A B ；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．【变式1】．（2022·河北邢台高二期末）若集合{}|24M x x =-<≤，{}|46N x x =≤≤，则A ．M N ⊆B ．{}4M N =C ．M N ⊇D ．{}26|M N x x =-<< 【变式2】．（2022·江苏常州高三开学考试）设集合{}11A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B ⋃=（）A ．(]1,2-B ．()1,2-C ．[)0,1D ．(]0,1【变式3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x =∈=R ，则M N ⋃=（）A ．{}1B ．{}1,0-C ．{}1,0,1,2-D ．{}1,0,2-【变式4】．（2022·浙江·三模）已知集合{}{}25,36P x x Q x x =≤<=≤<，则P Q = （）A ．{}25x x ≤<B ．{}26x x ≤<C ．{}35x x ≤<D ．{}36x x ≤<题型二并集、交集、补集综合运算及性质的应用【例题8】．（2022·河南洛阳高一课时检测）已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8U C A =，{}1,4,6,8,9U C B =，则集合B =（）A ．{}1,5,7B ．{}3,5,7,9C ．{}2,3,5,7,9D ．{}2,3,5,7【例题9】．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）已知集合{}|10A x ax =-=，{}*|14B x x =∈≤<N ，且A B B ⋃=，则实数a 的所有值构成的集合是（）A ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．111,,23⎧⎫⎬⎭D ．110,1,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭【例题10】．（湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试）已知集合(,1][2,)A =-∞⋃+∞，{|11}B x a x a =-<<+，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【例题11】．（2022·云南昆明一中高一检测）已知A ，B 都是非空集合，(){}&A B x x A B =∈⋃且()x A B ∉ ．若{}02A x x =<<，{}0B x x =≥，则&A B =（）A ．{}0x x ≥B ．{}02x x <<C ．{0x x =或}2x <-D ．{0x x =或}2x ≥【例题12】．（2021·江苏高一专题练习）已知集合{}42A x x =-<<，{}110B x m x m m =--<<->，．（1）若A B B ⋃=，求实数m 的取值范围；（2）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．【变式1】（2022·辽宁沈阳高一课前预习）集合{}2320A x x x =-+=，{}2220B x x ax =-+=，若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.【变式2】．（2023·浙江高二开学考试）已知R a ∈，设集合{}22210A x x ax a =-+-<，{}2B x x =>，（1）当2a =时，求集合A ．（2）若R A B ⊆ð，求实数a 的取值范围．【变式3】．（2022·四川乐山市高一单元测试）已知集合{}211A x a x a =-<<+，{}01B x x =≤≤．(1)在①1a =-，②0a =，③1a =这三个条件中任选一个作为已知条件，求A B ；(2)若R A B A ⋂=ð，求实数a 的取值范围．题型三Venn 图的应用【例题13】．（2021·贵州省思南中学高三月考（理））已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【例题14】．（2021·全国高三其他模拟）已知全集U x y ⎧⎫=∈=⎨⎩Z ，集合{}13M x x =∈-<Z ，{}4,2,0,1,5N =--，则下列Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}0,1B ．{}3,1,4-C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-【例题15】．（2021·山东济南·高一期中）国庆期间，高一某班35名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有23人观看了《长津湖》，有20人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（）A ．8B ．10C ．12D ．15【变式】．（2021·广东·广州外国语学校高一检测）某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加A 项公益活动的有28人，参加B 项公益活动的有33人，且A ，B 两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加A 项不参加B 项的有（）A ．7人B ．8人C ．9人D ．10人。
集合间的基本关系例题讲解
集合间的基本关系例题讲解说明 所选例题题型、难易程度顺序不分先后题型一 根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合A 与B ,A 或B 中含有待定的参数（字母）,若已知集合A 与B 的关系,求参数的值或取值范围时,常采用分类讨论和数形结合的方法.（1）分类讨论:若,在未指明集合A 非空时,应分为和两种情况B A ⊆∅=A ∅≠A 进行讨论.（2）数形结合:在对这种情况进行参数的确定时,要借助于数轴来完成.将∅≠A 两个集合在数轴上画出来,注意分清端点处的实心和空心,根据两个集合之间的基本关系,列不等式（组）求解.例1. 已知集合,,若,求实数的{}43≤≤-=x x A {}112+≤≤-=m x m x B A B ⊆m 取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围. 本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合,则;{}∅=≤≤=n x m x A n m >（2）若集合,则≥;{}∅=<<=n x m x A m n （3）若集合或,则≥. {}∅=<≤=n x m x A {}∅=≤<=n x m x A m n 最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.m 解:∵,A B ⊆{}112+≤≤-=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 112+>-m m 2>m ②当时,则有:,解之得:≤≤2.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m 1-m 综上,实数的取值范围为. m {}1-≥m m例2. 已知集合,,若,求实数⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧<->+=0102063x x x A {}121-≤≤+=m x m x B A B ⊆m 的取值范围.解:解不等式组得: ⎩⎨⎧<->+0102063x x 52<<-x ∴{}52<<-=x x A ∵,∴分为两种情况:A B ⊆①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:,解之得:2≤.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m 3<m 综上,实数的取值范围是. m {}3<m m 例3. 设集合,,若,则实数{}042=+=x x x A (){}011222=-+++=a x a x x B A B ⊆的值取值范围为__________.a 分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解∅=B 决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:{}{}4,0042-==+=x x x A ∵,A B ⊆(){}011222=-+++=a x a x x B ∴分为两种情况:（1）当时,方程没有实数根∅=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得:; ()[]()0141222<--+=∆a a 1-<a （2）当时,则有或或∅≠B {}0=B {}4-=B {}4,0-=B ①当或时,方程有两个相等的实数根 {}0=B {}4-=B ()011222=-+++a x a x ∴,解之得: ()[]()0141222=--+=∆a a 1-=a ∴符合题意;{}0=B②当时,由根与系数的关系定理可得: {}4,0-=B ()⎩⎨⎧=--=+-014122a a 解之得:.1=a 综上,实数的值取值范围为. a {}11-≤=a a a 或★例4. 已知集合,.{}52≤≤-=x x A {}121-≤≤+=m x m x B （1）若,求实数的取值范围;A B ≠⊂m （2）若,求实数的取值范围.B A ⊆m 分析:（1）本题中集合A 为非空集合,因为空集是任何非空集合的真子集,所以要对含参集合B 进行分类讨论;（2）由可知集合B 为非空集合.B A ⊆解:（1）∵,A B ≠⊂{}121-≤≤+=m x m x B ∴分为两种情况:①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:或∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m 解之得:2≤≤3.m 综上所述,实数的取值范围为; m {}3≤m m （2）∵,且B A ⊆∅≠A ∴,则有:解之得:实数不存在.∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤+-<+51221121m m m m m ∴不存在实数,使得.m B A ⊆注意:在第（1）问中,当时,结果是不正确的.如下图的数轴∅≠B ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-≤+51221121m m m m所示,应有:或.这一点雅慧你要特别注意了.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+-≤+51221121m m m m ⎪⎩⎪⎨⎧≤-->+-≤+51221121m m m m m m + 1 22m 1在第（2）问中,虽然得出,但不是,应是,见∅≠B 121-≤+m m 121-<+m m 如下图所示的数轴,应从整体上把握题目.鉴于此题的重要性和代表性,雅慧,建议你整理此题,并尝试独立解决.例5. 已知集合,,若,求实数的取{}51<<=x x A {}3423-<<-=a x a x C A C ⊆a 值范围.解:∵,∴分为两种情况:A C ⊆①当时,≥,解之得:≤1;∅=C 23-a 34-a a ②当时,则有:,解之得:≤2.∅≠C ⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥--<-5341233423a a a a a <1综上所述,实数的取值范围是.a {}2≤a a 例6. 已知集合.{}52≤≤-=x x A （1）若,,求实数的取值范围;A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B m （2）若,,求实数的取值范围;B A ⊆{}126-≤≤-=m x m x B m （3）若,,求实数的取值范围.B A ={}126-≤≤-=m x m x B m 解:（1）∵,,∴分为两种情况:A B ⊆{}121-≤≤+=m x m x B ①当时,,解之得:;∅=B 121->+m m 2<m ②当时,则有:∅≠B,解之得:2≤≤3. ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m m 综上所述,实数的取值范围是; m {}3≤m m （2）∵,,∴B A ⊆{}52≤≤-=x x A ∅≠B 则有:,解之得:3≤≤4⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--<-51226126m m m m m ∴实数的取值范围是; m {}43≤≤m m （3）∵B A =∴,无解,即不存在实数,使得. ⎩⎨⎧=--=-51226m m m B A =题型二 集合间关系的判断判断集合间关系的常用方法（1）列举观察法当集合中元素较少时,可以列出两个集合中的全部元素,然后通过定义得出两个集合之间的关系.（2）集合元素特征法首先确定集合的代表元素是什么,弄清集合代表元素的特征,再利用集合元素的特征判断关系.一般地,设,: (){}x p x A =(){}x q x B =①若由可推出,则；()x p ()x q B A ⊆②若由可推出,则;()x q ()x p A B ⊆③若与可互相推出,则。
1.1.2集合间的基本关系
常见题型二:求字母参数值或取值范围 (例3)设集合A {x | x 3}, B {x | x - a 0} (1)当A B时，则实数a的取值范围是___
(2)当A B时，则实数a的取值范围是___
方法:数形结合 (结合数轴)
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练自习学：检测3:(8分钟) 1.A {x1 x 2},B {x x a}, 若A B，
5.设集合A = {x | x2 + 4x = 0},
B = {x | x2 + 2(a + 1)x + a2 - 1 = 0,a R}, 若B A，求实数a的值.
解：∵A = {0，- 4}，B A，于是可分类处理. (1)当A = B时，B = {0，- 4}. 由此知：0，- 4是方程x2 + 2(a + 1)x + a2 - 1 = 0的两根， 所以将0，- 4代入方程得： a2 - 8a + 7 = 0 a2 - 1 = 0
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2
-
1x
x
a
2m0},
若若BBAA，（求1）a求 的取 m的值取范值围范。围
（2.2A）当{xx-1 Nx, 求 6A}的，子B注集意{的 x空m个-集1数！。x 2m 1}
若B A（1）求m的取值范围 第23页，共27页。
4.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}， ＝{x|m＋1≤x≤2m－1},若B⊆A, 数m的取值范围.
③Ø 是不含任何元素的集合; ④{Ø }是指以Ø 为元素的集合.
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自学检测:(8分钟)
1.下列关系式中错误的个数有( )
①1∈{(1,2)}； ②{1}∈{0,1,2,3}；