求解含参数的两个集合的关系常用五法
集合含参问题的归纳及解法
集合含参问题的归纳及解法1. 什么是集合含参问题？好嘞，咱们今天聊聊集合含参问题，别担心，听起来复杂，其实就是个“调皮的小问题”。
首先，集合含参问题，顾名思义，就是在某个集合里，咱们要处理带参数的元素。
这就像是你在买衣服时，不仅要考虑款式，还得看看尺寸，颜色，这些都是参数，对吧？在数学里也是如此，咱们得考虑元素的各种属性。
就拿学校的班级来说，班级里的每一个小朋友都是集合里的元素，而他们的年龄、性别、爱好等等，就是那些让他们各具特色的参数。
想象一下，你去参加一个聚会，聚会里有各种各样的人。
有的爱唱歌，有的爱跳舞，还有的喜欢讲笑话。
这些“爱好”就是他们的参数，决定了他们在聚会中的角色。
集合含参问题就是要找到这些角色，了解它们是怎么工作的。
简而言之，就是把“人”放到“集合”里，然后分析他们的参数，看看能碰撞出怎样的火花。
2. 集合含参问题的特点2.1 多样性说到集合含参问题，首先映入脑海的就是多样性。
就像春天的花园，五颜六色的花朵争奇斗艳。
不同的集合有不同的特点，参数也是各式各样，真是让人眼花缭乱！比如说，你有一个水果集合：苹果、香蕉、橙子。
它们的颜色、味道、营养价值都不一样，这些都是参数。
处理这些问题时，咱们得考虑到各种因素，才能找到最合适的解决方案。
2.2 复杂性其次，复杂性也是个重要的特点。
说实话，集合含参问题就像做大菜一样，越复杂的菜，步骤越多，调料越杂。
想要把所有参数都考虑进去，简直是难上加难！有时候，咱们可能需要借助一些数学工具，比如集合论、概率论，甚至是图论，来帮助我们理清头绪。
可别怕，慢慢来，总能找到头绪的。
3. 如何解决集合含参问题3.1 确定目标那么，解决这些问题的第一步是什么呢？那就是确定目标！就像你去旅行前，得先决定去哪里，不然到时候就成了“东跑西颠”，毫无头绪。
明确你要解决的问题，或者说，想要找出哪些参数之间的关系，这样才能有的放矢，事半功倍。
3.2 选择工具接下来，咱们得选择合适的工具。
集合关系中的参数取值问题-高中数学知识点讲解
集合关系中的参数取值问题
1．集合关系中的参数取值问题
【知识点的认识】
两个或两个以上的集合中，元素含有待确定的变量，需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题．
【解题方法点拨】
求参数的取值或取值范围的关健，是转化条件得到相应参数的方程或不等式．本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程，然后通过解方程求解．求解中需注意两个方面：一是考虑集合元素的无序性，由此按分类讨论解答，二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想，函数的零点，恒成立问题等等．
【命题方向】
集合中的参数取值范围问题，一般难度比较大，几乎与高中数学的所以知识相联系，特别是与函数问题结合的题目，涉及恒成立，函数的导数等知识命题，值得重视．
2．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A 或属于集合B 的元素的组成的集合叫做A 与B 的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．
图形语言：．
A∪B 实际理解为：①x 仅是A 中元素；②x 仅是B 中的元素；③x 是A 且是B 中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁U A）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．。
集合运算求解题技巧和方法
集合运算求解题技巧和方法集合运算是数学中非常重要的概念和方法，它用来解决各种问题，特别是在概率论、数论、逻辑等领域中。
下面我将介绍一些集合运算求解题的技巧和方法。
1. 并集：并集表示将两个或多个集合中的所有元素合并在一起的操作。
记为A∪B。
求解并集问题时，需要先分别列出两个集合的所有元素，然后将它们合并在一起，去除重复的元素。
例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后将它们合并在一起，去除重复的元素，得到并集A ∪B={1, 2, 3, 4}。
2. 交集：交集表示两个或多个集合中共有的元素的集合。
记为A∩B。
求解交集问题时，需要先分别列出两个集合的所有元素，然后找出它们共有的元素。
例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的交集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后找出它们共有的元素，得到交集A∩B={2, 3}。
3. 差集：差集表示一个集合中去除与另一个集合中共有的元素后的剩余元素的集合。
记为A－B。
求解差集问题时，需要先列出两个集合的所有元素，然后找出第一个集合中与第二个集合中共有的元素，再从第一个集合中去除这些共有的元素，得到差集。
例如，求解集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的差集，可以先列出A和B的元素，得到{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，然后找出A和B共有的元素，即{2, 3}，然后从A中去除这些共有的元素，得到差集A－B={1}。
4. 互斥：互斥表示两个集合没有共有的元素。
如果两个集合A和B之间没有共有的元素，即A∩B=∅，则称A 和B是互斥的。
求解互斥问题时，需要先列出两个集合的所有元素，然后判断它们是否有共有的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={4, 5, 6}是互斥的，因为它们之间没有共有的元素；而集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}不是互斥的，因为它们有共有的元素。
集合中含参数问题的解题策略
ʏ黄冠品集合中的含参数问题是同学们学习的一个难点,也是一个易错点㊂其学习要点在于正确判断端点值能否取到,注意考虑空集的情况㊂高考关于集合中含参数问题的考查,往往与集合元素的性质㊁函数㊁解不等式等相结合,考查的题型主要以小题形式出现,有时渗透于解答题之中㊂类型一:元素与集合关系中的含参数问题例1已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2ɪM,求x的值㊂解:当3x2+3x-4=2时,3x2+3x-6=0,即x2+x-2=0,解得x=-2或x= 1,经检验知,x=-2或x=1均不合题意㊂当x2+x-4=2时,x2+x-6=0,解得x=-3或x=2,经检验知,x=-3或x=2均符合题意㊂故所求的x=-3或x=2㊂感悟:已知某元素属于或不属于集合,求参数的取值范围要注意两点:一是合理确定分类标准,做到不重不漏;二是要将所求得的参数值代入集合进行检验㊂变式1:已知集合A={(x,y)|2x-y+ m>0},B={(x,y)|x+y-nɤ0},若点P(2,3)ɪA,且P(2,3)∉B,求m,n的取值范围㊂提示:将点(2,3)代入集合A中的不等式,可得4-3+m>0,解得m>-1㊂因为点(2,3)不在集合B中,所以将点(2,3)代入B中得到2+3-nɤ0不成立,即2+3-n>0成立,解得n<5㊂故所求的mɪ(-1,+ɕ),nɪ(-ɕ,5)㊂类型二:集合中元素个数的含参数问题例2已知集合A={x|k x2-8x+16= 0},若集合A中只有一个元素,则实数k组成的集合为㊂解:当k=0时,方程k x2-8x+16=0可化为-8x+16=0,解得x=2,此时集合A={2},满足题意;当kʂ0时,要使集合A=x|k x2-8x+16=0{}中只有一个元素,需满足方程k x2-8x+16=0有两个相等的实数根,可得Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意㊂综上所述,k=0或k=1,即实数k组成的集合为{0,1}㊂感悟:解答本题要注意两点:一是解集是否可能为空集;二是二次项系数是否为0㊂变式2:已知集合{x|(x-2)(x2-2x+ a)=0,xɪR}中的所有元素之和为2,则实数a的取值集合为㊂提示:由集合{x|(x-2)(x2-2x+a)= 0,xɪR}中的所有元素之和为2,可知2是其中的一个元素,所以x2-2x+a=0的解为x=0或无解,所以a=0或Δ=4-4a<0㊂由4-4a<0,解得a>1㊂故实数a的取值集合为{a|a=0或a>1}㊂类型三:集合基本关系中的含参数问题例3集合A={x|x<-1或xȡ3}, B={x|a x+1ɤ0},若B⊆A,则实数a的取值范围是()㊂A.-13,1[)B.-13,1[]C.(-ɕ,-1)ɣ[0,+ɕ)D.-13,0[)ɣ(0,1)解:根据B⊆A,分B=⌀和Bʂ⌀两种情况讨论,建立不等关系,求出实数a的取值范围㊂①当B=⌀时,即a x+1ɤ0无解,此时a=0,满足题意㊂②当Bʂ⌀时,即a x+1ɤ0有解,当a>0时,可得xɤ-1a,要使B⊆A,需满足a>0,-1a<-1, {解得0<a<1;当a<3知识结构与拓展高一数学2022年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.0时,可得x ȡ-1a ,要使B ⊆A ,需满足a <0,-1aȡ3,{解得-13ɤa <0㊂综上可知,实数a 的取值范围是-13,1[)㊂应选A ㊂感悟:由两个集合间的包含关系求参数的取值范围,常利用子集将问题转化为方程(组)或不等式(组)求解㊂变式3:若集合A ={x |2a +1ɤx ɤ3a -5},B ={x |5ɤx ɤ16},则能使A ⊆B 成立的所有实数a 组成的集合为( )㊂A .{a |2ɤa ɤ7} B .{a |6ɤa ɤ7}C .{a |ɤ7}D .⌀提示:要使A ⊆B 成立,可分集合A =⌀和A ʂ⌀两种情况讨论求解㊂当A =⌀时,由2a +1>3a -5,可得a <6;当A ʂ⌀时,由2a +1ɤ3a -5,3a -5ɤ16,2a +1ȡ5,ìîíïïï解得6ɤa ɤ7㊂综上所述,a ɤ7㊂应选C ㊂类型四:集合基本运算中的含参数问题例4 已知集合A ,B 满足A ɣB ={x |1<x ɤ3},A ɘB ={x |a ɤx ɤa +1},则实数a 的取值范围为( )㊂A .[1,2]B .(1,2)C .(1,2]D .⌀解:由题意知A ɘB ⊆A ɣB ,所以a >1,a +1ɤ3,{解得a ɪ(1,2]㊂应选C ㊂感悟:集合基本运算中的含参数问题,一般通过观察得到两个集合间元素之间的关系,再列方程或不等式求解㊂变式4:已知集合S ={x ɪN |x ɤ5},T ={x ɪR |x 2=a 2},且S ɘT ={1},则S ɣT =( )㊂A.{1,2}B .{0,1,2}C .{-1,0,1,2}D .{-1,0,1,2,3}提示:集合S ={x ɪN |x ɤ5}={0,1,2}㊂因为S ɘT ={1},所以1ɪT ,所以a 2=1,所以T ={x ɪR |x 2=a 2}={-1,1}㊂由此可得,S ɣT ={-1,0,1,2}㊂应选C ㊂1.已知集合M ={a ,2a -1,2a 2-1},若1ɪM ,则M 中所有元素之和为( )㊂A.3B .1C .-3D .-1提示:若a =1,则2a -1=1,这时与集合中元素的互异性矛盾;若2a -1=1,则a =1,这时与集合中元素的互异性矛盾㊂故2a 2-1=1,解得a =1(舍去)或a =-1,所以M ={-1,-3,1},可得元素之和为-3㊂应选C ㊂2.已知集合A ={x |x 2>2x },B ={x |a <x <a +1},若A ɘB =⌀,则a 的取值范围是( )㊂A.[0,1]B .[-1,0]C .(0,1)D .(-1,1)提示:因为A ={x |x 2>2x }={x |x >2或x <0},B ={x |a <x <a +1},又A ɘB =⌀,所以a ȡ0且a +1ɤ2,解得0ɤa ɤ1㊂应选A ㊂3.已知集合A ={a ,b ,2},B ={2,b2,2a },若A =B ,则a +b =㊂提示:利用A =B 求解㊂由a =b2,b =2a ,{解得a =0,b =0{或a =14,b =12㊂ìîíïïïï当a =b =0时,集合A ,B中的元素均不满足互异性;当a =14,b =12时,A =B =14,12,2{},符合题意,这时a +b =14+12=34㊂同理,由a =2a ,b =b2,{解得a =0,b =0{或a =0,b =1,{所以a =0,b =1{满足题意,这时a +b =1㊂综上所述,a +b =1或a +b =34㊂作者单位:江苏省郑梁梅高级中学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
集合的五种基本运算
集合的五种基本运算集合的五种基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。
下面将对这五种运算进行详细介绍。
1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A∪B"，表示集合A和集合B的并集。
并集操作将去除重复元素，只保留一个。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：交集是指取两个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A∩B"，表示集合A和集合B的交集。
交集操作将保留两个集合中共有的元素，去除不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集：差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A-B"，表示集合A和集合B的差集。
差集操作将保留集合A中与集合B不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集：补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素形成的集合。
符号表示为"A'"或"A^c"，表示集合A的补集。
补集操作将保留集合A中不在另一个集合中的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A'={1,2}。
5. 笛卡尔积：笛卡尔积是指将两个集合中的所有元素按照一定规律组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A×B"，表示集合A和集合B的笛卡尔积。
笛卡尔积操作将取两个集合中的元素进行组合，形成一个新的集合。
例如，如果集合A={1,2}，集合B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
这五种基本的集合运算在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来解决集合之间的关系、求解问题和进行数据分析。
集合问题的常用解题方法
集合问题的常用解题方法
集合问题是指用数学的方法来解决涉及集合的问题。
集合问题在许多数学领域中都有广泛的应用，例如组合数学、概率论、信息论等。
以下是常用的解决集合问题的方法：
1.通过枚举法求解：枚举法是将集合中的所有元素进行枚举，并统
计满足条件的元素个数。
这种方法适用于集合中元素个数较少的情况。
2.利用数学归纳法：数学归纳法是通过证明一个性质在某一类条件
下成立，然后由此推广到所有情况的方法。
这种方法常用于证明某一类集合中的某种性质。
3.利用递推法：递推法是通过对一个问题的答案按照某种递推关系
进行转化，从而求解问题的方法。
这种方法常用于解决一些递推关系的问题。
4.利用构造法：构造法是通过设计特定的构造方法来求解问题的方
法。
这种方法常用于解决构造性问题，例如找出满足某些性质的集合。
5.利用排列组合法：排列组合法是通过统计不同的排列或组合方式
来求解问题的方法。
这种方法常用于解决排列组合问题。
6.利用生成函数法：生成函数法是通过构造特定的生成函数来求解
问题的方法。
这种方法常用于解决组合数学问题。
7.利用计数法：计数法是通过对集合中元素的特征进行计数，从而
求解问题的方法。
这种方法常用于解决计数问题。
上述方法并不是绝对的，在解决集合问题时可能需要结合多种方法，并综合考虑问题的性质、数据规模等因素来选择最适合的方法。
由集合间的关系求参数问题
由集合间的关系求参数问题一、问题提出在数学中，我们经常遇到这样一类问题：给定两个集合A和B，以及它们之间的某些关系，要求我们求出集合B中满足给定关系的元素参数。
这类问题在各类数学模型中有着广泛的应用，因此，掌握好解决这类问题的思路和方法是非常重要的。
二、解题思路解决这类问题的关键在于理清集合间的关系，并根据关系式求出参数。
具体的解题思路如下：1. 认真审题，理解题意，找出已知条件和所求问题。
2. 分析两个集合之间的关系，找出关系式，并求出参数。
3. 验证结果是否符合题意，并进行调整和优化。
三、方法应用根据解题思路，我们可以使用以下几种方法来解决这类问题：1. 列举法：对于简单的问题，可以直接列举出符合条件的元素。
2. 公式法：对于有明确关系式的题目，可以使用相应的数学公式来求解参数。
3. 代数法：通过建立方程或方程组，利用代数方法求解参数。
4. 图形法：对于与图形有关的题目，可以使用图形法来求解参数。
四、实例分析下面通过一个具体的实例来演示如何应用上述方法解决实际问题。
假设有集合A={1, 2, 3, 4}和B={x|x^2 - 4x < 0}，已知A是B 的真子集，求参数x的值。
解题思路：1. 认真审题，理解题意：已知集合A是集合B的真子集，求参数x的值。
2. 分析两个集合之间的关系，得到关系式：B是A的真子集 =>B中所有元素均在A中，且B中可能没有元素。
3. 根据关系式得到参数x的限制条件：x^2 - 4x < 0 => x < 0且 x > 4。
4. 将限制条件代入已知条件中得到方程：{1, 2, 3} - {x|x < 0} = {1, 2}，求解得到x = -2。
5. 验证结果：将x = -2代入集合B中得到{x|x^2 - 4x < 0}={-2, -1, 0, 1, 2}，符合集合的定义和性质。
答案：参数x的值为-2。
五、总结通过上述解题过程可以看出，解决由集合间的关系求参数问题需要认真审题、分析关系、建立方程或方程组并求解参数。
集合中参数问题的解答方法(部分答案)
集合中参数问题的解答方法集合中的参数问题主要包括：①集合与集合关系中的参数问题；②集合运算过程中的参数问题；每类问题又涉及到求参数的值和求参数的取值范围两种情况。
那么在实际解答这类问题时，到底应该怎样展开思路，寻求解答方法呢？下面通过对典型例题的解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：1、含有三个元素的集合可以表示为｛a,b a ,1｝,也可以表示为｛2a ,a+b,0｝. 求：20092010a b +的值。
2、设A=｛x|2x -3x+2=0｝，B=｛x|x+2＞a ｝,如果A ⊆ B,求实数a 的取值范围；3、已知集合A=｛x|0＜ax+1≤5｝,B=｛x|-12＜x ≤2｝. ①若A ⊆ B, 求实数a 的取值范围；②若B ⊆ A, 求实数a 的取值范围；③A 、B 能否相等？若能求出实数a 的值；若不能说明理由。
4、已知集合A=｛x|a 2x -3x+2=0,a ∈R ｝.①若A 是空集，求实数a 的取值范围；②若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素求出来；③若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值 【解析】1、【知识点】①集合相等的定义与性质；②集合元素的定义与特性；③参数值的求法；④代数式的值的意义与求法；【解答思路】根据集合相等的定义与性质，结合结合元素的特性求出参数a ，b 的值，再把求得的值代入代数式通过计算得出结果；【详细解答】Q ｛a,b a ,1｝=｛2a ,a+b,0｝，0∈｛a,b a ,1｝，a ≠0，∴b a=0，⇒b=0，2a =1， ⇒a=±1，Q a ≠1，∴a=-1，∴20092010a b +=2009(1)-+20100=-1+0=-1。
2、【知识点】①集合的表示方法；②一元二次方程的定义与解法；③一元一次不等式的定义与解法；④数轴的定义与运用；⑤子集的定义与性质；【解答思路】根据一元二次方程的定义与解法把集合A 用列举法表示出来，由一元一次不等式的定义与解法把集合B 用描述法表示出来，运用A B 结合数轴得到关于a 的不等式，求解不等式就可得出结果；【详细解答】如图，Q A ⊆B ，∴a-2≤1，⇒a ≤3 0 1 2∴当A ⊆B ，实数a 的取值范围是（-∞，3］。
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求解含参数的两个集合的关系常用五法
判断两个集合之间的关系是集合中的重要题型，且是高考热点内容之一。
其中，含参数的两个集合的关系更是许多同学解题的难点。
怎样求解含参数的两个集合的关系题呢？本文将结合例题介绍五种破解术，供大家参考：
法一：借助数轴或韦恩图寻找关系
例1：已知全集+
=N U ，集合},3{+∈==N n n x x P ，},6{+∈==N n n x x Q , 则=U ( )
A Q P ⋃
B Q P
C U ⋃ C Q C P U ⋃
D Q C P C U U ⋃ 解：依题意得，P Q ⊂,则其韦恩图如下：
由韦恩图可知，=U Q C P U ⋃，即选C
法二：列举对比法
例2：数集},)12{(Z m m M ∈+=π与数集},)14{(Z n n N ∈±=π之间的关系是（ ） A N M ⊂ B N M = C M N ⊂ D N M ≠ 解：取 ,2,1,0,1,-=m ，则},5,3,,,{ ππππ-=M ;取 ,1,0,=n ，则},5,3,,,{ ππππ-=N . N M =∴即选B
法三：合理分类讨论，利用集合有关定义准确判断
例3：已知集合}),12(51{Z k k x x M ∈+==，},5
154{Z k k x x N ∈±==,则集合N M ,之间的关系为（ ）
A N M ⊂
B M N ⊂
C N M =
D N M ≠
解：设M x ∈1，则有Z k k x ∈+=111),12(5
1 当Z n n k ∈=,21时，5
154)14(511+=+=n n x N x ∈∴1 当Z n n k ∈-=,121时，5
154)124(511-=+-=n n x N x ∈∴1 从而有N M ⊂
又设N x ∈2,则Z k k k x ∈±=±=2222),14(5
15154 )(1422Z k k ∈± 表示奇数，)(12Z n n ∈+也表示奇数
Z n n k x ∈+=±=∴),12(5
1)14(5122 M x ∈∴2从而有M N ⊂ 综上可得，N M =
法四：挖掘元素的限制条件，利用它们的差异特征解题
例4（2002年全国高考题）设集合},4
12{Z k k x x M ∈+=
=，},214{Z k k x x N ∈+==,则( ) A N M = B N M ⊂
C N M ⊃
D Φ=⋂N M
解：集合M 的元素为)(,4
12412Z k k k x ∈+=+=， 集合N 的元素为)(,4
2214Z k k k x ∈+=+= 12+k 为奇数，2+k 为整数 }{}{整数奇数⊂∴则N M ⊂故选B
法五：类比不等式的传递性速判断
例5：已知集合B A ⊆，},)412(
{Z k k x x B ∈+==π,},)214({Z k k x x C ∈+==π,那么集合A 与C 的关系为_____
解：将B ，C 分别变形得},412{Z k k x x B ∈+==π，},4
2{Z k k x x C ∈+==π 在集合B 中，x 为
π4
12+k ，分子为π的奇数倍； 在集合C 中，x 为π4
2+k ，分子为π的整数倍 C B ⊂∴ 又B A ⊆ C B A ⊂⊆∴则有C A ⊂ 综上可见，求解含参数的两个集合关系题的策略是多种多样的。
只要我们结合题设条件，选择合理的解题策略，含参数的两个集合关系题则迎刃而解。