6.8 余角和补角
余角、补角的概念和性质 (3)
一、教材分析本节课是在学生学习了角的定义、角的种类、角平分线的定义、角的比较、角的和差以及利用以上知识进行简单的角的计算后来进行教学的。
本节课是在上述知识的基础上进行拓展和延伸，本节课的知识不难但由于知识负迁移的影响，学生很容易把余角和补角也理解成一个角，因此正确理解余角和补角的概念是本节课的难点；学以致用是学习的目的所在，因此利用余角和补角的定义、性质进行简单的计算是本节课的重点。
二、教学目标1.了解余角、补角的概念2.理解余角和补角的性质3.会利用余角、补角的概念和性质进行简单的计算三、教学重点余角和补角的定义、性质进行简单的计算四、教学难点正确理解余角和补角的概念五、教学方法启发式六、教学过程1.复习提问前面我们已经学过有关角的哪些知识？2.创设情景导入新课出示有关比萨斜塔的图片，引导学生找到倾斜角以及塔身与地面的夹角并探究这两个角之间的数量关系及其原因。
并追问比萨斜塔每年仍然在倾斜，倾斜角以及塔身与地面的夹角自身的度数在怎么变化？但这两个角之间的数量关系是否发生变化？抓住余角概念的本质，从而得出余角的概念并通过相关练习巩固这个概念。
用类比学习余角的方法来进行补角相关知识的学习。
⑴ 填表：同一个锐角的补角比它的余角大 ⑵ 若一个角的补角等于它的余角的4 倍，求这个角的度数. 4.学生练习⑴如图，点A ，O ，B 在同一直线上，射线OD 和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ，图中哪些角互为余角？⑵如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD ，则与∠AOC 互余的角有OEDCBA6.布置作业教材140页第11、12、13题。
浙教版数学七年级上册6.8《余角和补角》教学设计
浙教版数学七年级上册6.8《余角和补角》教学设计一. 教材分析《余角和补角》是浙教版数学七年级上册第六章第八节的内容，主要介绍了余角和补角的概念、性质及其运用。
本节内容是在学生已经掌握了角的分类、垂线的性质等知识的基础上进行学习的，是进一步研究三角形的重要基础。
通过本节内容的学习，学生能够理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，并能运用余角和补角解决一些实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，但对于余角和补角这类抽象的概念，仍需要通过具体的实例和操作来加深理解。
学生在学习过程中，可能对余角和补角的求解方法容易混淆，需要在实践中不断巩固。
此外，学生对于实际问题的解决，还需要教师的引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能：理解余角和补角的概念，掌握求解余角和补角的方法，能够运用余角和补角解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：余角和补角的概念，求解余角和补角的方法。
2.难点：余角和补角的运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入余角和补角的概念，让学生在具体的情境中感受和理解。
2.合作学习法：引导学生进行小组讨论和合作，共同探究余角和补角的求解方法。
3.实践操作法：让学生通过实际的操作，加深对余角和补角的理解。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：三角板、直尺、铅笔。
3.教学素材：生活实例、练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活实例，如在教室里的学生在座位上的角度关系，引导学生观察和思考。
提问：这些角度之间有什么关系？学生通过观察和思考，得出余角和补角的概念。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，呈现余角和补角的概念及其性质。
新浙教版6.8余角和补角
表示（1）、（2）方向的两条射线所成 的角是多少度？ 140º
表示（2）、（3）方向的两条射线所成 的角呢？ 105º
在日常生活中，我们什么时候
会用到这样的表示法？
20º北
表示目标方位
西
O
东
第二十四页，共24页。
A45º30º南 60º
3、若 ＝60°32′，则 的余角____2_9_°_2_8，′ 的补角是__1_1_9_°_2_8_′_，
4、若一个角的度数是x°，
则它的余角的度数是______9_0___x__0
补角的度数是___1_8_0___x_0
第八页，共24页。
余、补角的性质应用例举
例1:如图，已知∠AOC= ∠BOD=Rt ∠。指出图中
OD是∠ BOC内的一条射线。图中哪些角互为补 角?哪些角互为余角?并说明理由。
解: BOD DOC BOC=AOC Rt
BOD与DOC互余
C
AOC BOC 1800
D
AOD BOD 1800
A
O
B
AOC与BOC
AOD与BOD分别互补
第五页，共24页。
填空题： 1、若 1与 2互补，则 1＋ 2＝__1_8_0°
第六页，共24页。
同角或等角的余角相等
若∠+∠b=90°∠b+∠γ =90°
则∠ =∠γ
同角或等角的补角相等 若∠+∠b=180°∠b+∠γ=180° 则∠=∠γ
第七页，共24页。
算一算
1、若 1与 2互补，则 1＋ 2＝____180°
2、30°的余角是___60_°___，补角是____1_5_0_°__
一定比这个角的补角小。
余角和补角PPT课件(华师大版)
3 (中考·厦门)如图，在三角形ABC中，∠C＝90°，点 D，E分别在边AC，AB上．若∠B＝∠ADE，则下列 结论正确的是( ) A．∠A和∠B互为补角 B．∠B和∠ADE互为补角 C．∠A和∠ADE互为余角 D．∠AED和∠DEB互为余角
4 (中考·绥化)将一副三角尺按下列方式进行摆放，∠1， ∠2不一定互补的是( )
总结
“同角(或等角)的余角相等”“同角(或 等角)的补角相等”的实质是等量代换，只不 过在特定的背景下使用起来更便利罢了．
1 如图，有两堵围墙，有人想测量地面上所形成的 ∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在 墙外，请问该如何测量？
中∠1与∠2的 关系是( ) A．互补 B．互余 C．相等 D．无法确定
导引：因为∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠3＝∠1＝50°.故选A.
总结
由∠1、∠3都与∠2互补，应想到用补角 的性质，即同角的补角相等来解题．
1 若∠α＋∠β＝90°，∠β＋∠γ＝90°，则∠α与∠γ的关 系是( )
A．互余 B．互补 C．相等 D．∠α＝90°＋∠γ 2 如图，直线AB，CD交于点O，因为
1.余角的性质：同角的余角相等，即：若∠A＋∠B＝ 90°，∠A＋∠C＝90°，则∠B＝∠C.等角的余角相 等，即：若∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝90°，∠A ＝∠D，则∠B＝∠C.
知识点
2．补角的性质：同角的补角相等，即：若∠A＋∠B＝ 180°，∠A＋∠C＝180°，则∠B＝∠C.等角的补角 相等，即：若∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝ 180°，∠A＝∠D，则∠B＝∠C.
∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°， 所以∠1＝∠2的根据是( ) A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
《余角和补角》 知识清单
《余角和补角》知识清单一、余角的定义如果两个角的和是一个直角（90°），那么这两个角互为余角，简称互余。
其中一个角叫做另一个角的余角。
例如，如果∠A ＋∠B ＝ 90°，那么∠A 是∠B 的余角，∠B 也是∠A 的余角。
二、余角的性质1、同角的余角相等如果∠A ＋∠B ＝ 90°，∠A ＋∠C ＝ 90°，那么∠B ＝∠C。
2、等角的余角相等如果∠A ＋∠B ＝ 90°，∠D ＋∠E ＝ 90°，且∠A ＝∠D，那么∠B ＝∠E。
三、补角的定义如果两个角的和是一个平角（180°），那么这两个角互为补角，简称互补。
其中一个角叫做另一个角的补角。
比如，若∠M ＋∠N ＝ 180°，则∠M 是∠N 的补角，∠N 也是∠M 的补角。
四、补角的性质1、同角的补角相等若∠P ＋∠Q ＝ 180°，∠P ＋∠R ＝ 180°，则∠Q ＝∠R。
2、等角的补角相等若∠S ＋∠T ＝ 180°，∠U ＋∠V ＝ 180°，且∠S ＝∠U，那么∠T ＝∠V。
五、余角和补角的应用1、计算角度已知一个角的度数，求它的余角或补角的度数。
例如，已知∠α ＝ 30°，则它的余角为 90° 30°＝ 60°，补角为 180°30°＝ 150°。
2、证明角的关系在几何证明中，利用余角和补角的性质来证明角相等或互补。
3、解决实际问题在生活和工程中，通过余角和补角的知识来测量角度、设计图形等。
比如在建筑设计中，确定建筑物某些角度之间的关系。
六、余角和补角的常见误区1、混淆余角和补角的概念把和为 90°的角当成补角，或者把和为 180°的角当成余角。
2、错误运用性质在证明角的关系时，没有正确判断角是否为同角或等角，就盲目使用余角或补角的性质。
浙教版数学七年级上册《6.8 余角和补角》教学设计2
浙教版数学七年级上册《6.8 余角和补角》教学设计2一. 教材分析《6.8 余角和补角》这一节主要让学生了解余角和补角的概念，掌握求一个角的余角和补角的方法，以及能够运用余角和补角解决一些实际问题。
内容分为两个部分，一部分是余角，另一部分是补角。
通过引入余角和补角的概念，让学生更好地理解角度的概念，并为后续学习三角形的全等和相似打下基础。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了角的概念，平行线的性质，垂线的性质等知识。
对于这些知识，学生可能掌握程度不同。
学生的思维方式也各有不同，有的可能更偏向于直观形象思维，有的可能更偏向于逻辑推理思维。
因此，在教学过程中，要根据学生的实际情况，采用适当的教学方法，引导学生理解和掌握余角和补角的概念。
三. 教学目标1.了解余角和补角的概念，掌握求一个角的余角和补角的方法。
2.能够运用余角和补角解决一些实际问题。
3.培养学生的观察能力，推理能力，以及解决问题的能力。
四. 教学重难点1.余角和补角的概念。
2.求一个角的余角和补角的方法。
3.运用余角和补角解决实际问题。
五. 教学方法1.采用直观形象的教学方法，如实物演示，图示等，帮助学生理解余角和补角的概念。
2.采用推理教学方法，引导学生通过观察，思考，推理，得出求一个角的余角和补角的方法。
3.采用实践教学方法，让学生通过解决实际问题，运用余角和补角的知识。
六. 教学准备1.准备相关实物，如直尺，量角器等。
2.准备图示，如角的图示，余角和补角的图示等。
3.准备一些实际问题，如几何题目，生活中的问题等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实物演示，让学生观察并回答以下问题：（1）这个角是多少度？（2）如果在这个角的旁边再画一个角，使得这两个角的度数之和为90度，这个角是多少度？通过回答这些问题，引导学生思考余角的概念。
2.呈现（10分钟）通过图示，向学生介绍余角和补角的概念，并解释求一个角的余角和补角的方法。
3.操练（10分钟）让学生通过使用量角器，在纸上画出给定角度的角，并求出它的余角和补角。
数学课件余角和补角
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
余角补角的概念及应用教案设计
余角补角的概念及应用教案设计概述余角和补角是初中数学中常见的概念。
在初中阶段，学生需要掌握该概念的定义及应用，特别是在解题时灵活应用。
因此，本教案设计旨在帮助初中数学教师更好地教授余角和补角的相关知识。
二、知识点1.余角和补角的定义余角和补角是三角函数中常见的同角关系。
余角定义：对于角度a，它的余角为90度减去它本身的角度a。
余角的数学表示式如下：sin(a)的余角为cos(a)cos(a)的余角为sin(a)tan(a)的余角为cot(a)cot(a)的余角为tan(a)sec(a)的余角为csc(a)csc(a)的余角为sec(a)补角定义：对于角度a，它的补角为90度减去它本身的角度a。
补角的数学表示式如下：sin(a)的补角为cos(90-a)cos(a)的补角为sin(90-a)tan(a)的补角为cot(90-a)cot(a)的补角为tan(90-a)sec(a)的补角为csc(90-a)csc(a)的补角为sec(90-a)2.余角和补角的应用余角和补角的应用在初中数学中相当广泛。
在学习三角函数的过程中，学生将会接触到大量的余角和补角式子，同时这些式子也被广泛应用于解题过程中。
下面列举一些经典的应用：(1) 用补角计算一些三角函数的值，例如：sin30度。
(2) 利用余角关系化简一些三角函数的式子，例如：sin2a。
(3) 利用余角或补角关系求一些三角函数的值或比值，例如：sin75度。
(4) 利用余角和补角的关系求两个角度之间的差或和的余弦或正弦值，例如：cos20度+cos70度。
(5) 利用余角和补角的关系求三角函数余角或补角的正弦、余弦、正切值，例如：sin(cos(π/6))。
三、教学设计1.教学目标了解余角和补角的定义及应用。
掌握余角和补角的转换方法和求解方法。
培养学生运用余角和补角知识解决实际问题的能力。
2.教学方法理论讲解与实例分析相结合讨论、合作解题和展示3.教学程序（1）教师简要介绍本课内容，让学生对本节课的内容有一个初步的了解。
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补角。
（ ×）
理一理 : 今天学习的知识
互为余角
互为补角
对应图形
1 2
21
数量关系 ∠1+ ∠2 = 90 ° ∠1+ ∠2 = 180 °
性
质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的 补角相等
强化概念
（1）互余与互补是指几个角的关系？
答 互余与互补是指两个角之间的关系。
（2）两个角是否互余或互补由它们的位置决定吗？
答 两个角是否互余或互补只与这两个角的 大小有关，与它们的位置无关。
（3）互余或互补的两个角有怎样的数量关系？ 答 互余：∠1+∠2 ＝90°；互补： ∠1+∠2 ＝180°
例2 已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，
求这个角的度数。
做一做
1.已知∠α的余角是∠α的2倍, 求 ∠α的度数。 2 .若∠1的补角是∠1的3倍, 求∠1的度数。 3 .已知一个角的补角是它的2.5倍, 求这个角的余角。
准备一长方形纸片，按如图所示沿虚线折叠， 并标出∠1与∠2.
思考问题：∠1与∠2之间的角度有什么关系?
2
∠1 + ∠2 = 90 °
1
如果两个角的和是直角,那么这两个角互为余角。 简称互余。
找朋友:图中给出的各角中,哪些互为余角?
10°
30°
60°
80°
° 100
° 120
° 150
° 170
1、60°的余角是__3_0_°___. 2、若 ＝60°32′，则 的余角是 ___2_9_°__2_8′.
DC B
O
A
准备一长方形纸片，按如图所示沿虚线折叠， 并标出∠3与∠4. 思考问题：∠3与∠4之间的角度有什么关系?
∠3+ ∠4 = 180 °
34
如果两个角的和是平角,那么这两个角互为补角。 简称互补。
A
C
21
O
3
B
β
D
3
2
α
同角 或等角 的补角相等 。
(1)互余的两个角必定都是锐角。 (2) ＝90°，那么它是余角。
(3)一个角的补角必定是钝角。
( ) ( ) ( )
(4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，
另一个是钝角。 （ ） (5)一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( )
(6)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直线
上。 互补或者互余只和角的大小有关，和
角的位置无关
(×)
⑺若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为
能说出你这节课的收获和体验 让大家与你分享吗？
布置作业
பைடு நூலகம்1、作业本 2、《40分钟》 3、预习6.9第一课时
3、若一个角的度数是x°，则它的余角的度数是 ____9__0_－___x______ . 4、 的余角表示为 __9_0_-____ .
A
B
∠2=∠3 ，∠3和∠α 互余，
C 31 2
∠2和∠β互余
O
D
同角或等角的余角相等 。
3α
∠α =∠β
β
2
例1 如图，已知∠AOC= ∠BOD=Rt∠。指出图 中还有哪些角相等, 并说明理由。