黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考数学(理)试题

大庆实验中学2020—2021学年度高二上学期10月月考

数学（理科）试题

一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1. 设命题

:p 2,2n n N n ?∈≤ ，则p ?为（ ）

22220000.,2.,2.,2.,2n n n

n A n N n B n N n C n N n D n N n ?∈>?∈≤?∈>??>

2．下面四个条件中，使a b <成立的充分不必要条件是（ ）

2233

...1.1A a b B a b C a b D a b <<<+<-

3. 某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,...,50随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4,,24,,44a b 号学生在样本中，则a b +=（ ）

.14.34.48.50A B C D

4. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设

椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为2

，面积为8π，则椭圆C 的标准方程为（ ）

2222.11164164x y y x A +=+=或 2222.1116121612x y y x B +=+=或 2222.11124124x y y x C +=+=或 2222.11169916

x y x y D +=+=或 5. 连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（ ）

1531.

.

.

.9

36

186

A B C D

6. 关于曲线22

:C x y x y +=+，给出下列五个命题：

①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于y x =对称；

④曲线C 关于原点对称；⑤曲线C 所围成的区域面积大于6 其中正确的命题个数为（ ） .2

.3.4.5A B C D

7. 某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min ），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )

.A .B

.C .D

8. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为:“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）

.A 甲地：总体平均值为3，中位数为4 .B 乙地：总体平均值为1，总体方差大于0 .C 丙地：中位数为2，众数为3 .D 丁地：总体均值为2，总体方差为2

9. 定义{},,min ,,.a a b a b b a b ≤?=?

>? ，在区域03

03

x y ≤≤??≤≤? 内任取一点(),P x y ，则点(),P x y 满足

{}min 21,11x y x y x y -++-=+- 的概率为（ ）1

751.

...

2

12

12

12

A B C D 10．已知点()1,0A -，()10

B ,，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足8MA MB ?= ，则实数a 的值不可以为（ ） .2

.1.0.3A B C D --

11. 若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1 ，且存在

12PF F ? ,则称此椭圆或双曲线存在Ω“点” ，下列曲线中存在Ω“点”

的是（ ）

22222222.1.1.1.1363216155415

x y x y x y y A B C D x +=+=-=-= 12.设点P 为椭圆:C ()22

2210x y a b a b

+=>> 上的动点（除左右顶点外），椭圆C 的焦点为12,F F ，

离心率为e ，I 为12PF F ?的内心，则直线1IF 和直线2IF 的斜率之积为（ ）

1111.

.

.

.

111

1e

e e e

A B C D e

e

e e

--++++-- 二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13.,αβ是两个平面，,,m n l 是三条直线，有下列四个命题： ①若//,//m n n l ，则//m l . ②若//,//,m n m α 则//n α .

③若//,m αβα? ，则//.m α ④若//,//,m n αβ 则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有__________.

14．已知双曲线:C

22

1416

x y -= ,则其渐近线方程为__________. 15.如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD = , 1

4

AE AC =

,双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.

16.已知椭圆:E ()22

2210x y a b a b

+=>> 内一点()2,1M ,过点M 的两条直线12,l l 分别与椭圆

E 交于,A C 和,B D 两点，且满足 ,AM MC BM MD λλ==（其中01λλ>≠且 ）,若λ变化

时直线AB 的斜率总为2

3

-

， 则椭圆的离心率为__________. 三、解答题（共6道题，第17题10分，其余5道题各12分，共70分） 17.设,t R ∈ 已知命题

:p 函数()21f x x tx =-+ 有零点；命题[):1,q x ?∈+∞ ，4t x x

≥+ .若

p q ∧为真命题，求实数t 的取值范围.

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y （单位：千元）的数据资料，算出

10

101010

21

1

1

1

80,20,184,720i

i i i i i i i i x

y x y x ========∑∑∑∑，

附：线性回归方程y bx a =+，12

2

1

n

i i

i n

i

i x y nx y

b x

nx

==-=

-∑∑，a y bx =-，其中,x y 为样本平均值.

（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程???y

bx a =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄.

19.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示：

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？

（2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率.

20.已知椭圆22

22:1x y E a b

+= ()0a b >> 的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的

距离为

1

2

c ,椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；

（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段

AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB

21.已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>> 的左右焦点分别是12,F F ，122F F = ,点P 为椭圆短轴的端

点，且12PF F ?. （1）求椭圆的方程；

（2）点31,

2B ??

???

是椭圆上的一点，12,B B 是椭圆上的两动点，且直线12,BB BB 关于 直线1x =对称，试证明：直线12B B 的斜率为定值.

22.设曲线()2

2

:10,0E mx ny m n +=>> 过()1,

,0,12M N ?

- ??

两点.O 为坐标原点. （1）求曲线E 的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与曲线E 恒有两个交点,A B ，且

OA OB ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围.若不存在，说明理由.

大庆实验中学2020—2021学年度高二上学期10月月考

数学试题

一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分） 1.设命题

:p 2,2n n N n ?∈≤ ，则p ? 为（ A ）

002200002

2

.,2.,2.,2

.,2

n n n

n

A n N n

B n N n

C n N n

D n N n ?∈>?∈≤?∈>??>

2．下面四个条件中，使a b <成立的充分不必要条件是（ D ）

2233

...1.1A a b B a b C a b D a b <<<+<-

3.某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,...,50 随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4,,24,,44a b 号学生在样本中，则a b +=（ C ）

.14.34.48.50A B C D

4.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C

的离心率为2

，面积为8π ，则椭圆的C 的标准方程为（ A ）

2222.11164164x y y x A +=+=或 2222.1116121612x y y x B +=+=或 2222.11124124x y y x C +=+=或 2222.11169916

x y x y D +=+=或 5.连续抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上点数之积为6的概率是（A ）

1531.

.

.

.9

36

186

A B C D 6.关于曲线2

2

:C x y x y +=+，给出下列五个命题：

①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 关于y 轴对称；③曲线C 关于y x =对称； ④曲线C 关于原点对称；⑤曲线C 所围成的区域面积大于6

其中正确的个数为（C ）

A B C D

.2.3.4.5

7.某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育锻炼的时间（单位：min），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( B )

.A.B

.C.D

8.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ D ）

.A甲地：总体平均值为3，中位数为4

.B乙地：总体平均值为1，总体方差大于0

.C丙地：中位数为2，众数为3

.D丁地：总体均值为2，总体方差为2

9.定义{},,min ,,.a a b a b b a b ≤?=?

>? ，在区域03

03

x y ≤≤??≤≤? 内任取一点(),P x y ，则点(),P x y 满足

{}min 21,11x y x y x y -++-=+- 的概率为（ B ）

1

751....

2

12

12

12

A B C D 10．已知点()1,0A -，()10

B ,，若圆22(1)(2)1x a y a -++--=上存在点M 满足8MA MB ?= ，则实数a 的值不可以为（ D ）

.2.1.0.3A B C D --

11. 若椭圆或双曲线上存在点P ,使得点P 到两个焦点12,F F 的距离之比为2:1 ，且存在

12PF F ? ,则称此椭圆或双曲线存在Ω“点” ，下列曲线中存在Ω“点”

的是（ C ） 22222222

.1.1.1.1363216155415

x y x y x y y A B C D x +=+=-=-= 12.设点P 为椭圆:C ()22

2210x y a b a b

+=>> 上的动点（除左右顶点外），为椭圆C 的焦点为12,F F ，

离心率为e ，I 为12PF F ?的内心，则直线1IF 和直线2IF 的斜率之积为（ B ）

1111.

.

.

.

111

1e

e e e

A B C D e

e

e e

--++++--

二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）

13.,αβ是两个平面，,,m n l 是三条直线，有下列四个命题： ①若//,//m n n l ，则//m l ； ②若//,//,m n m α 则//n α

③若//,m αβα? ，则//.m α

④若//,//,m n αβ 则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有__________. ①④

14．已知双曲线:C

22

1416

x y -= ,则其渐近线方程为：__________.2y x =± 15.如图，在梯形ABCD 中，已知2AB CD = , 1

4

AE AC =

,双曲线过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点，则双曲线的离心率为_____________.

10 16.已知椭圆:E ()22

2210x y a b a b

+=>> 内一点()2,1M ,过点M 的两条直线12,l l 分别与椭圆

E 交于,A C 和,B D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ== （其中01λλ>≠且 ）,若λ变化

时直线AB 的斜率总为2

3

-

， 则椭圆的离心率为__________.63

三、解答题（共6道题，第17题10分，其余5道题各12分，共70分） 17.设,t R ∈ 已知命题

:p 函数()21f x x tx =-+ 有零点；命题[):1,q x ?∈+∞ ，4

t x x

≥+ .若

p q ∧为真命题，求实数t 的取值范围.

解：

:p 240t ?=-≥ ，解得2 2.t t ≤-≥或

:q 令()4f x x x =+ ，则()4

24f x x x

≥?

= ，当2x =时取等号.则4t ≥ . 因为

p q ∧为真命题，所以,p q 均为真命题

即224t t t ≥≤-??≥?

或 得 4t ≥

所以t 的取值范围为[)4,.+∞

18．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位：千元）与月储蓄i y ，（单位：千元）的数据资料，算出

10

101010

21

1

1

1

80,20184,720i

i i i i i i i i x

y x y x ========∑∑∑∑，，附：线性回归方程

1

2

2

1

??????,,n

i i

i n

i

i x y nxy

y

bx a b a

y bx x

nx ==-=+==--∑∑，其中,x y 为样本平均值. （1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程???y

bx a =+ ； （2）若该居民区某家庭月收入为9千元，预测该家庭的月储蓄. 解：（1）由题意知，10

10

1

1

10,

80,20i

i i i n x

y =====∑∑ ，

8020

8,21010

x y ∴=

=== ∴2

1082160,1064640n x y n x ??=??=?=?=

1010

21

1

184,720i i i

i i x y x ====∑∑ 由122

1

184160

?0.3720640

n

i i

i n

i

i x y nxy

b

x

nx ==--==

=--∑∑.

??20.380.4a

y bx =-=-?=- 故所求回归方程为0.30.4y x =- （2）将9x = 代入回归方程

可以预测该家庭的月储蓄为0.390.4 2.3y =?-= （千元）.

19.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了普法知识竞赛.统计局调查队随机抽取了甲、乙两单位中各5名职工的成绩，成绩如下表所示：

（1）根据表中的数据，分别求出甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断对法律知识的掌握哪个单位更为稳定？

（2）用简单随机抽样的方法从乙单位5名职工中抽取2名，他们的成绩组成一个样本，求抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率. 解：（1）87+88+91+91+93=

=905x 甲 ，86+87+91+92+94

==908

x 乙

()()()()()22222

2124=87-90+88-90+91-90+91-90+93-90=55

s ????

?

甲

()()()()()22222

2146=86-90+87-90+91-90+92-90+94-90=55s ???

?乙 因为2

2s

s <甲

乙 ，所以甲单位更为稳定.

（2）从5名职工中任取2人，所有的取法有：

{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}

86,87,86,91,86,92,86,9487,91,87,92,87,94,

91,92,91,9492,94 共10种

设抽取的2名职工的分数差值至少是4分为时间M ,则M 中包含的基本结果有：

{}{}{}{}{}{}86,91,86,92,86,94,87,91,87,92,87,94 共6种

所以()63105

p M =

= 即抽取的2名职工的分数差值至少是4分的概率为3.5

20.已知椭圆22

22:1x y E a b

+= ()0a b >> 的半焦距为c ，原点O 到经过两点()(),0,0,c b 的直线的

距离为

1

2

c ,

椭圆的长轴长为 （1）求椭圆E 的方程；

（2）直线l 与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的中点为()2,1M -，求弦长.AB 解：（1）经过两点()(),0,0,c b 的直线为：

1x y

c b

+= 即0bx cy bc +-= .

由已知：原点到直线的距离12

bc d c a =

=

= 即12b a =

因为2a =

，所以b =

所以椭圆的标准方程为：

22

1123

x y += （2）当直线l 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上 ，不合题意.所以直线l 的斜率存在，设为k ，则直线()12y k x +=- 即为： 21y kx k =-- 设()()1122,,,A x y B x y

联立22

214120

y kx k x y =--??+-=? 得：()()22214821161680k x k k x k k +++++-= ()()2

2

214821161680k x

k k x k k +-+++-=

显然0?>

则()122821414k k x x k ++=

=+ ，解得1

2

k =

则2122

16168

214k k x x k +-?=

=+

所以

12AB x =-==

（注：用点差法求斜率也可）

21.已知椭圆()22

2210x y a b a b

+=>> 的左右焦点分别是12,F F ，122F F = ,点P 为椭圆短轴的端

点，且12PF

F ?. （1）求椭圆的方程；

（2）点31,

2B ??

???

是椭圆上的一点，12,B B 是椭圆上的两动点，

且直线12,BB BB 关于直线1x =对称，试证明：直线12B B 的斜率为定值.

解：（1）由已知122F F =得1c =

，又12PF F S ?=,

所以b =

所以椭圆的标准方程为22

143

x y += . （2）已知点31,

2B ??

???

,当直线1BB 斜率不存在时显然不满足题意，所以直线1BB 斜率存在. 设直线1BB :()312y k x -

=- ，即3

2

y kx k =+- ， 由于直线12,BB BB 关于直线1x =对称，则直线23

:y 2

BB kx k =-++ 设()111,B x y ，()22,B x y

联立：22

32

143y kx k x y ?

=+-????+=?? 得()()2223443241230k x k k x k k ++-+--= ()2

2

415

m k =+ 则2112412343B k k x x x k --==

+ ，同理222412343k k x k +-=+ 则21212121

33()22AB

kx k kx k y y k x x x x ??

-++-+- ?

-??==-- ()2212212862214324243

k k k k k x x k k x x k --?-++===-+

所以直线12B B 的斜率为定值.

22.设曲线()2

2

:10,0E mx ny m n +=>>

过()1,

,0,12M N ?- ??

两点.O 为坐标原点. （1）求曲线E 的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与曲线E 恒有两个交点,A B ，且

OA OB ⊥ ？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围.若不存在，说明理由.

解：（1）由已知得：3141m n n ?+=???=? 解得141m n ?

=???=?

.所以曲线方程为22

14x y += .

（2）当切线斜率存在时，设切线方程为y kx m =+

联立22

14

y kx m

x y =+???+=?? 得()222148440k x kmx m +++-=

()()()2

228414440km k m ?=-+-> ，得22410k m -+>

设()()1122,,,A x y B x y

则2121222

844

,1414km m x x x x k k -+=-=++

因为OA OB ⊥

所以1212OA OB x x y y ?=+

()()()()121222

12121x x kx m kx m k x x km x x m =+++=++++

()22

222448141414m km k km m k k -??=++-+ ?++?? 222

544014m k k

--==+ 即()2

2

415

m k =

+

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d r =

=

即22

2

4

15

m r k ==+ 所以圆的方程为：224

5

x y +=

特别地，当圆的切线斜率不存在时，也满足OA OB ⊥，所以这样的圆存在，方程为2245

x y +=. 此时

12

AB x =-=

==

=

所以()()

22222

16

11615541k k AB k ??++ ???=+ 42222

42161617151681

169151681k k k k k k k ++=?

++??=+ ?++??

将()2

2

415

m k =

+ 代入? 得：[)20,k ∈+∞ ①当20k =时，2

16

5

AB =

②当20k > 时，2221691515168AB k k ??

?=+≤ ?

?++??

当12

k =±时取等号 又2

165AB >

,所以216,55AB ??

∈ ???

③当斜率不存在时，2

165

AB =

综上可知： 2

16,55AB ??

∈???? ,所以弦AB 的取值范围是5??

? .