2019-2020年高二月考试题(数学理)

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2019-2020年高二6月月考数学(理)试题含解析

2019-2020年高二6月月考数学（理）试题含解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知复数，则在复平面内复数对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数乘除和乘方【试题解析】所以在复平面内复数对应的点为（-1,1）。

位于第二象限。

故答案为：B【答案】B2.已知随机变量X服从正态分布，且，则＝( )A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【考点】正态分布【试题解析】已知随机变量X服从正态分布，所以正态曲线关于x=3对称。

所以所以故答案为：A【答案】A3.设则等于( )A．B．C．D．不存在【考点】积分【试题解析】。

故答案为：C【答案】C4. 用数学归纳法证明:xx x x x x n n --=+++++++1113232Λ成立时，验证的过程中左边的式子是( )A.1B.C.D.【考点】数学归纳法【试题解析】的过程中左边的式子是：。

故答案为：D 【答案】D5. 如果展开式中，第四项与第六项的系数相等。

则其展开式中的常数项的值是( ) A ．70 B ．80 C ．252 D ．126【考点】二项式定理与性质【试题解析】由题知：所以的通项公式为：令8-2r=0，r=4，所以常数项为故答案为：A 【答案】A6.有5位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知5位同学之间共进行了8次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( )A ．1或2B ．1或3C ．2或3D ．2或4 【考点】排列组合综合应用【试题解析】由题意：少两次交换。

若甲与乙、丙没交换，则收到4份纪念品的同学人数为2；若甲与乙、丙与丁没交换，收到4份纪念品的同学人数为1．所以收到4份纪念品的同学人数为1或2。

故答案为：A【答案】A7. 在的展开式中，的系数为( )A． B． C．D．【考点】二项式定理与性质【试题解析】出现的项为：又的通项公式为：令6-r=4，r=2．所以的系数为：【答案】B8. 现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为A．81 B．162 C．189 D．261【考点】排列组合综合应用【试题解析】若这3张卡片是同一种颜色，则取法的种数为若这3张卡片不是同一种颜色，但红色卡片有2张，则取法的种数为所以满足条件的不同取法的种数为故答案为：C【答案】C9.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取1个球，记下颜色后放回。

2019-2020下学期高二阶段月考数学(理)试卷 Word版含答案

姓名，年级：时间：数学(理科）试题第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(每小题5分，共60分） 1、iiz ++=13,则z =( ) A. 1+2i B 。

1−2i C. 2+iD. 2−i2、下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是( )① 2018能被2整除；②一切偶数都能被2整除；③ 2018是偶数； A. ①②③ B. ②①③ C. ②③①D. ③②① 3、不等式的解集是（） A. 或B.C 。

或D.4、用反证法证明“已知x ，y ∈R ，x 2+y 2=0，求证：x =y =0.”时，应假设( )A. x ≠y ≠0B. x =y ≠0 C 。

x ≠0且y ≠0 D. x ≠0或 y ≠05、把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A:“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是（） A.不可能事件 B.必然事件C 。

对立事件 D.互斥且不对立事件 6、下列函数求导运算正确的个数为( )①,②，③（，且）,④A 。

0个 B.1个 C 。

2个 D.3个 7、不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ． 8、我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为'1(2)2x x x -=⋅'(sin 2)cos2x x ='(log )ln x a x a a =0a >1a ≠'1(ln 2)2=2112x x -++>2(,0)(,)3-∞+∞2(,)3+∞2(,1)(,)3-∞-+∞(,0)-∞两个素数(注：素数又叫质数)的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A. 112 B. 114 C.115D. 1189、若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．10、若P =√a +√a +5，Q =√a +2+√a +3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( )A 。

2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷(理科) 含解析

2019-2020年高二上学期第三次月考数学试卷（理科）含解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=02．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．23．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．46．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+48．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．（1）证明：直线MN∥平面OCD．（2）求三棱锥N﹣CDM的体积．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．xx重庆市杨家坪中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（）A．x﹣2y+7=0 B．2x﹣y+5=0 C．x﹣2y﹣5=0 D．2x+y﹣5=0【考点】待定系数法求直线方程．【分析】过点（m，n）且与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为B（x﹣m）﹣A （y﹣n）=0，代入可得答案．【解答】解：过点（﹣1，3）且与直线2x+y+3=0垂直的直线方程为（x+1）﹣2（y﹣3）=0，即x﹣2y+7=0，故选：A．2．双曲线﹣=1的焦点到其渐近线距离为（）A．1 B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程求出焦点坐标及一条渐近线方程，在由点到直线的距离公式求得答案．【解答】解：由双曲线﹣=1，得a2=2，b2=3，c2=a2+b2=5，∴双曲线的右焦点F（，0），一条渐近线方程为y=x=x，即2y﹣x=0．由点到直线的距离公式得，焦点到其渐近线的距离d==．故选C．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．当a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件【考点】特称命题．【分析】A根据复合命题的真假性，即可判断命题是否正确；B根据特称命题的否定是全称命，写出它的全称命题即可；C根据幂函数的图象与性质即可得出正确的结论；D说明充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：对于A，当“p且q”为假时，p、q至少有一个是假命题，是正确的；对于B，命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，是正确的；对于C，a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上是减函数，命题正确；对于D，φ=时，y=sin（2x+φ）=cos2x是偶函数，充分性成立，y=sin（2x+φ）为偶函数时，φ=kπ+，k∈Z，必要性不成立；∴是充分不必要条件，命题错误．故选：D．4．在空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，则等于（）A．﹣+B．﹣++C． D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】由题意结合图形，直接利用，求出，然后即可解答．【解答】解：因为空间四边形OABC如图，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，所以=．所以=．故选B．5．下列命题中正确命题的个数是（）①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面的基本性质及推论．【分析】为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中的线面即可．【解答】解：考察正方体中互相垂直的线和平面．对于①：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知平面垂直；如图中平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故错；对于②：过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直；这是正确的，如图中，已知平面A1D和平面A1B与平面AC垂直；故正确；对于③：过空间任意一点不是有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行；如图中：过C1的与A1B1与AD都平行的平面就不存在；故错；对于④：过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直是正确的．故选B．6．P为抛物线y2=﹣4x上一点，A（0，1），则P到此抛物线的准线的距离与P 到点A的距离之和的最小值为（）A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】通过抛物线方程可知焦点F（﹣1，0），利用两点间距离公式可知|AF|=，通过抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣4x，∴焦点F（﹣1，0），又∵A（0，1），∴|AF|==，由抛物线定义可知点P到准线的距离d与|PF|相等，∴d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=，故选：D．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π+B．4π+C．4π+4 D．2π+4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，即可求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体的直观图是三棱锥与圆柱的的组合体，三棱锥的底面是直角边长为2的等腰三角形，高为2，圆柱的底面半径是2，高为2，所以体积为+=2π+，故选：A．8．已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25，圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P==故选A．9．正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SB的中点，且SO=OD，则直线BC与AP所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出直线BC与AP所成的角的余弦值．【解答】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），S（0，0，a），C（﹣a，0，0），P（0，，）．则=（﹣a，﹣a，0），=（﹣a，，），C=（a，a，0）．设直线BC与AP所成的角为θ，则cosθ===．∴直线BC与AP所成的角的余弦值为．故选：C．10．已知两定点A（﹣1，0）和B（1，0），动点P（x，y）在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．【解答】解：A（﹣1，0）关于直线l：y=x+3的对称点为A′（﹣3，2），连接A′B 交直线l于点P，则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2，所以椭圆C的离心率的最大值为：==．故选：A．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线AC1上任取一点P，以A为球心，AP为半径作一个球．设AP=x，记该球面与正方体表面的交线的长度和为f（x），则函数f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征；函数的图象与图象变化．【分析】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．其中①③两种情形所得弧长相等且为函数f（x）的最大值，根据图形的相似，②中弧长为①中弧长的一半．对照选项，即可得出答案．【解答】解：如图，球面与正方体的表面都相交，根据选项的特点，我们考虑三个特殊情形：①当x=1；②当x=；③当x=．①当x=1时，以A为球心，1为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；②当x=时，以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的兰色的弧线，根据图形的相似，其弧长为①中弧长的一半；③当x=．以A为球心，为半径作一个球，该球面与正方体表面的交线分别是图中的粉红色的弧线，其弧长为：3××2π×1=，且为函数f（x）的最大值；对照选项，B正确．故选B．12．已知点P为椭圆+=1上的动点，EF为圆N：x2+（y﹣1）2=1的任一直径，求最大值和最小值是（）A．16，12﹣4 B．17，13﹣4 C．19，12﹣4 D．20，13﹣4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，得|NE|=|NF|=1且，由此化简得=﹣1，根据椭圆方程与两点的距离公式，求出当P的纵坐标为﹣3时，取得最大值20，由此即得=﹣1的最大值，当P的纵坐标为时，取得最小值，由此即得=﹣1的最小值．【解答】解：∵EF为圆N的直径，∴|NE|=|NF|=1，且，则=（+）•（+）=（+）•（）==﹣1，设P（x0，y0），则有即x02=16﹣y02又N（0，1），∴=，而y0∈[﹣2，2]，∴当y0=﹣3时，取得最大值20，则=﹣1=20﹣1=19，当y0=时，取得最小值，则=﹣1=﹣1=．∴最大值和最小值是：19，．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．）13．长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为50π．【考点】球内接多面体．【分析】设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线的长，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．R2=50π．∴S球=4π×故答案为：50π．14．直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=﹣7．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】根据两直线平行的条件可知，（3+a）（5+a）﹣4×2=0，且5﹣3a≠8．进而可求出a的值．【解答】解：直线l1：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则（3+a）（5+a）﹣4×2=0，即a2+8a+7=0．解得，a=﹣1或a=﹣7．又∵5﹣3a≠8，∴a≠﹣1．∴a=﹣7．故答案为：﹣7．15．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为．【考点】直线与平面所成的角．【分析】取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，由此能求出结果．【解答】解：如图，取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，设正四面体ABCD的棱长为2，则CO===，∴cos∠BCO==，∴sin∠BCO==．故答案为：．16．圆x2+y2=9的切线MT过双曲线﹣=1的左焦点F，其中T为切点，M为切线与双曲线右支的交点，P为MF的中点，则|PO|﹣|PT|=2﹣3．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】由双曲线方程，求得c=，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，可知|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，并结合双曲线的定义可得|PO|﹣|PT|=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3．【解答】解：设双曲线的右焦点为F′，则PO是△PFF′的中位线，∴|PO|=|PF′|，|PT|=|MF|﹣|FT|，根据双曲线的方程得：a=3，b=2，c=，∴|OF|=，∵MF是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF中，|FT|==2，∴|PO|﹣|PT|=|PF′|﹣（|MF|﹣|FT|）=|FT|﹣（|PF|﹣|PF′|）=2﹣3，故答案为：2﹣3．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知命题p：“+=1是焦点在x轴上的椭圆的标准方程”，命题q：∃x1∈R，8x12﹣8mx1+7m﹣6=0．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：如果p为真命题，则有，即1＜m＜2；若果q为真命题，则64m2﹣32（7m﹣6）≥0，解得m≤或m≥2．因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，若p真q假，则＜m＜2，若p假q真，则m≤1或m≥2．所以实数m的取值范围为（∞，1]∪（，+∞）．18．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（1）证明：直线MN ∥平面OCD ．（2）求三棱锥N ﹣CDM 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，推导出平面MNE ∥平面CDO ，由此能证明直线MN ∥平面OCD ．（2）三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ，由此能求出结果．【解答】证明：（1）取AD 中点E ，连结ME ，NE ，∵M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，∴ME ∥OD ，NE ∥CD ，∵ME ∩NE=E ，OD ∩CD=D ，ME ，NE ⊂平面MNE ，OD ，CD ⊂平面CDO ， ∴平面MNE ∥平面CDO ，∵MN ⊂平面MNE ，∴直线MN ∥平面OCD ．解：（2）∵OA ⊥底面ABCD ，OA=2，M 为OA 的中点，∴AM ⊥平面CDN ，且AM=1，∵底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=，∴=，∴三棱锥N ﹣CDM 的体积V N ﹣CDM =V M ﹣CDN ===．19．已知抛物线x2=4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|=2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB 面积的最大值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）当|PF|=2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则y+1=2，∴y=1，∴x=±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y=x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1=0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|=•|2+2﹣2+2|=8．平行于直线l：x﹣y+1=0的直线设为x﹣y+c=0，与抛物线C：x2=4y联立，可得x2﹣4x﹣4c=0，∴△=16+16c=0，∴c=﹣1，两条平行线间的距离为=，∴△PAB的面积的最大值为=4．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可；（2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±，从而切线方程为y=（2±）x．…②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0，由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）xx+y+1=0或x+y﹣3=0．…（2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2⇒2x1﹣4y1+3=0..…即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…解方程组得P点坐标为（﹣，）．…21．如图所示，在矩形ABCD中，AD=2，AB=1，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由已知得BE⊥EC．从而BE⊥面D'EC，由此能证明BE⊥CD'．（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，则∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．由此能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角D'﹣BC﹣E的余弦值．【解答】证明：（1）∵AD=2，AB=1，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∵AB=AE=DE=CD，∠BAE=∠CDE=90°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥EC．又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC，∴BE⊥面D'EC，又CD'⊂面D'EC，∴BE⊥CD'．…解：（2）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC垂足为F，连接D'M，D'F，则D'M⊥EC，∵平面D'EC⊥平面BEC，∴D'M⊥平面BEC，∴D'M⊥BC，∴BC⊥平面D′MF，∴D'F⊥BC，∴∠D'FM是二面角D'﹣BC﹣E的平面角．在Rt△D'MF中，D'M=，，∴，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…法二：分别以EB，EC所在的直线为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系．则，，，．设平面BEC的法向量为，平面D'BC的法向量为，则，取x2=1，得=（1，1，1），cos＜＞==，∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为．…22．已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）已知圆M的方程是x2+y2=R2（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）依题意可设椭圆G的方程，利用抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率，求得几何量，即可求椭圆G的方程；（II）直线方程与椭圆方程联立，利用直线与圆、椭圆相切，确定参数之间的关系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．【解答】解：（I）依题意可设椭圆G的方程为，则因为抛物线的焦点坐标为，所以，又因为，所以，所以，故椭圆G的方程为．…（II）由题意知直线l的斜率存在，所以可设直线l：y=kx+m，即kx﹣y+m=0∵直线l和圆M相切，∴，即m2=R2（k2+1）①联立方程组消去y整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∵直线l和椭圆G相切，∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=0，即m2=4k2+1②由①②可得设点B的坐标为（x0，y0），则有，，所以，所以等号仅当，即取得故当时，|AB|取得最大值，最大值为1．…xx2月7日。

2019-2020年高二9月月考(第一次月考)数学(理)试题含答案

2019-2020年高二9月月考（第一次月考）数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“若1a >，则0a >”的逆命题是（）A ．若0a >，则1a >B ．若0a ≤，则1a >C ．若0a >，则1a ≤D ．若0a ≤，则1a ≤2.命题：“若21x >，则11x x <->或”的逆命题是（）A ．若21x >，则11x -≤≤B ．若11x -≤≤，则21x ≤C ．若11x -<<，则21x <D ．若11x x <->或，则21x >3.已知命题2:,210P x R x ∀∈+>，则命题P 的否定是（）A ．2,210x R x ∀∈+≤ B ．200,210x R x ∃∈+≤ C ．2,210x R x ∀∈+< D ．200,210x R x ∃∈+<4.已知()2:,10,:0,,sin 1p x R x x q x x ∀∈-+>∃∈+∞>，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ∨⌝D ．p q ⌝∧⌝ 5.实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．22221,1416416x y y x -=-=或 D ．22221144y x x y -=-=或 6.已知椭圆()2221025x y m m+=>的左焦点为()14,0F -，则m =（） A ．9 B ．4 C ．3 D ．27.“点P 的轨迹方程为y x =”是“点P 到两条坐标轴距离相等”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分件C ．充要条件D ．不充分不必要条件8.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（）A ．223144x y -=B ．223144x y -=C ．22144x y -=D ．224143x y -=9. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> ）A ．y =B ．y x =C ．12y x =±D ．2y x =±10.椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12F F 、，则椭圆上满足12PF PF ⊥的点P （） A ．有2个 B ．有4个 C ．不一定存在 D ．一定不存在11.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12F F 、，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ 12.已知集合()22,|143x y D x y ⎧⎫=+=⎨⎬⎩⎭，有下列四个命题：()1:,3p x y D ∃∈；()2:,1p x y D ∃∈；()3:,4p x x y D ∀∈；()4:,2p x y D ∀∈．其中的真命题是（）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.椭圆22110064x y +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为7，则点P 到右焦点的距离为___________．14.双曲线22221124x y m m -=+-的焦距为___________． 15.椭圆2211612x y +=上的点到直线2120x y --=的距离的最大值为___________． 16.设:p 关于x 的方程2420x x a -+=在区间[]0,5上有两相异实根；:q “至少存在一个实数[]01,2x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”．若“p q ⌝∧”为真命题，参数a 的取值范围为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）设:p 实数x 满足22430x ax a -+<（其中0a >），:q 实数x 满足302x x -<-．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）已知“若q ，则p ”是真命题，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程．（1）与椭圆221259x y +=有公共焦点，且离心率为2的双曲线；（2）中心在坐标原点，经过点()2,3A ，且点()2,0F 为其右焦点的椭圆． 19.（本小题满分12分）已知:p 方程22192x y m m +=-表示焦点在x 轴上的椭圆，:q 双曲线2215x y m -=的离心率e ∈⎝.（1）若椭圆22192x y m m +=-的焦点和双曲线2215x y m-=的顶点重合，求实数m 的值；（2）若“p q ∧”是真命题，求实数m 的取值范围． 20.（本小题满分12分）点P 在圆22:8O x y +=上运动，PD x ⊥轴，D 为垂足，点M 在线段PD 上，满足PM MD =．（1）求点M 的轨迹方程；（2）过点11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与点M 的轨迹相交于A B 、两点，使点Q 为弦AB 的中点，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的短轴长为2l 过点()1,0-交椭圆E 于A B 、两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）求OAB ∆面积的最大值． 22.（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为3为（1）求椭圆的方程；（2）斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，过线段AB 的中点与AB 垂直的直线交直线3x =于P 点，若ABP ∆为等边三角形，求直线l 的方程．参考答案一、选择题： ABBCD CAAAD BA二、填空题： 13. 13； 14. 8； 15. 16. [)3,02,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭三、解答题：17.解：因为:3,:23p a x a q x <<<<，（1）若1,a p q =∧为真，因此：1323x x <<⎧⎨<<⎩ 则x 的取值范围是：{}|23x x <<；即所求双曲线的方程221412x y -=；（2）解法一：依题意，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，且可知左焦点为()2,0F '-，从而有22358c a AF AF =⎧⎨'=+=+=⎩，解得24c a =⎧⎨=⎩，又222a b c =+，所以212b =，故椭圆C 的方程为2211612x y +=．解法二：依题意，可设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，且有：22224914a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得22123b b ==-或（舍去），从而216a =，所以椭圆C 的方程为2211612x y +=． 19.解：（1）由925m m --=，得43m =；（2）据题意有，p 与q 同时为真，若p 真，则920m m ->>，解得03m <<，若q 真时，则350,225m m +><<，解得2.55m <<，当p 真、q 真时，032.55m m <<⎧⎨<<⎩，∴实数m 的取值范围是2.53m <<．20.解：（1）∵点M 在线段PD 上，满足PM MD =，∴点M 是线段PD 的中点，设(),M x y ，则(),2P x y ，∵点P 在圆22:8O x y +=上运动，则()2228x y +=，即22182x y +=，∴点M 的轨迹方程为22182x y +=．（2）方法一：当直线l x ⊥轴时，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是点Q ，这种情况不满足题意．设直线l 的方程为()112y k x -=-，由221248y kx k x y ⎧⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+=⎩可得()2221114848022k x k k k ⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由韦达定理可得12218214k k x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=-+，由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得2182214k k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=+，解得12k =-，即直线l 的方程为()11122y x -=--，∴直线l 的方程为220x y +-=．方法二：当直线l x ⊥轴，由椭圆的对称性可得弦AB 的中点在x 轴上，不可能是点Q ，这种情况不满足题意．设()()1122,,A x y B x y 、，A B 、两点在椭圆上，满足()()2211222211821282x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由（1）-（2）可得22221212082x x y y --+=，则1212121214y y y y x x x x -+=--+，由AB 的中点为11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12122,1x x y y +=+=，代入上式121212AB y y k x x -==--，即直线l 的方程为()11122y x -=--，即220x y +-=，经检验直线l 与椭圆相交，∴直线l 的方程为220x y +-=.21.解：（1）由题意得1b =，由221c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴椭圆E 的方程为2213x y +=；（2）依题意设直线l 的方程为1x my =-，由22131x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()223220m y my +--=， ()224830m m ∆=++>，设()()1122,,A x y B x y 、，则1221222323m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，12112OABS y y ∆=⨯⨯-==设()233m t t +=≥，则OAB S ∆===，∵3t ≥，∴103t <≤， ∴当113t =，即3t =时，OAB∆0m =． 22.解：（1）依题意c a ==，可得222222,123a b a b a -==，得226,2a b ==，所以所求椭圆的方程为22162x y +=；（2）直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程组()222162y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()222231121260k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，得2212122212126,3131k k x x x x k k -+==++，所以)2122131kAB xk+=-=+，设AB的中点()00,M x y，得2002262,3131k kx yk k==-++，得直线MP的斜率为1k-，又3Px=，所以()()2023131PkMP xk+=-=+，当ABP∆为正三角形时，MP AB=()()()22223126133131k kkk++=++，解得1k=±，即直线l的方程为20x y--=或20x y+-=．。

2019-2020年高二下学期第一次月考数学(理)试题含答案

2019-2020年高二下学期第一次月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列事件中，不是随机事件的是（）A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴2．i是虚数单位,等于A.1+iB.－1－iC.1+3iD.－1－3i3．若,则等于（）A B C D4．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．种B．种C．种D．种5．一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…，若依此规律继续下去，得到一系列的圆，则在前2 012个圆中共有●的个数是（）A．61 B．62 C．63 D．646．曲线在处的切线倾斜角是（）A. B. C. D.7．用数学归纳法证明（n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n·1·3…（2n－1）（n∈N*）时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为（）A．2k＋1 B．2（2k＋1）C．D．8．设随机变量~，又，则和的值分别是（）A.和B.和C.和D.和9．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁．在某天的某个时段，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印材料．若下面4个说法都是正确的：①甲不在查资料，也不在写教案；②乙不在打印材料，也不在查资料；③丙不在批改作业，也不在打印材料；④丁不在写教案，也不在查资料．此外还可确定：如果甲不在打印材料，那么丙不在查资料．根据以上信息可以判断A．甲在打印材料B．乙在批改作业C．丙在写教案D．丁在打印材料10．今有某种产品50个，其中一级品45个，二级品5个，从中取3个，出现二级品的概率是A ．B ．C ．D ．11．在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为（）A. B. C.D.无法确定 12．已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2019-2020学年高二上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含解析

2019～2020学年度第一学期第三次检测高二年级数学（理科）试题注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；条形码粘贴在指定位置.2.每小题选出★答案★后，用铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★答案★标号.在试卷纸上作答无效.如需作图先用铅笔定型，再用黑色签字笔描绘.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题： 1. 椭圆24251xy+=的一个焦点坐标是（） A. （3，0） B. （0，3） C. （1，0） D. （0，1）【★答案★】D 【解析】试题分析：由椭圆方程24251xy+=可知其焦点在y 轴，且25,24a b ==，2221c a b ∴=-=，1c ∴=．所以焦点为(0,1),(0,1)-．故D 正确．考点：椭圆的焦点．2. 直线x ﹣y+2＝0与圆x 2+（y ﹣1）2＝4的位置关系是（） A. 相交 B. 相切C. 相离D. 不确定【★答案★】A 【解析】【分析】求得圆心到直线的距离，然后和圆的半径比较大小，从而判定两者位置关系，得到★答案★．【详解】由题意，可得圆心(0,1) 到直线的距离为|012|2222d -+==<，所以直线与圆相交．故选A ．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系判定，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 3. “1x >”是“21x >”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【★答案★】A 【解析】【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然1x >能推出21x >，但是21x >不一定能推出1x >，有可能1x <-，所以可以判断“1x >”是“21x >”的充分不必要条件.【详解】因为由1x >⇒21x >，由21x >推不出1x >，有可能1x <-，所以“1x >”是“21x >”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.4. 总体由编号01，,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 7816 6572 0802 631407024369972801983204 9234493582003623486969387481A. 08B. 07C. 02D. 01【★答案★】D从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08,02,14,07,01，所以第5个个体是01，选D.考点：此题主要考查抽样方法的概念、抽样方法中随机数表法，考查学习能力和运用能力. 5. 阅读如图所示的程序框图，该程序输出的结果是（）A. 25B. 50C. 125D. 250【★答案★】A 【解析】【分析】列举出算法的每一步，由此可得出输出的s 的值.【详解】第一次循环，13a =≥不成立，155s =⨯=，112a =+=；第二次循环，23a =≥不成立，5525s =⨯=，213a =+=；33a =≥成立，跳出循环体，输出s 的值为25.故选：A.【点睛】本题考查利用算法框图计算输出结果，一般将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.6. 某协会有200名会员，现要从中抽取40名会员作样本，采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按1-200编号，并按编号顺序平均分为40组（1-5号，6-10号，…，196-200号），若第5组抽出的号码为23，则第1组至第3组抽出的号码依次是（） A. 3，8，13 B. 2，7，12 C. 3，9，15 D. 2，6，12【★答案★】A【分析】根据系统抽样原理求出抽样间距，再根据第5组抽出的号码求出第1组抽出的号码，即可得出第2组，第三组抽出的号码.【详解】解：根据系统抽样原理知，抽样间距为200405÷=，当第五组抽出的号码为23时，即23453=⨯+，所以第1组至第3组抽出的号码依次是3，8，13. 故选：A.【点睛】本题考查了系统抽样方法的应用问题，属于基础题. 7. 下列有关命题的说法正确的是（）A. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =则1x ≠”B. 若p 为真命题，q 为假命题，则,p q p q ∨∧均为假命题C. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题D. 命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题【★答案★】D 【解析】【分析】分别写出命题的否命题，可判定A 不正确；根据复合命题的真假判定，可判定B 不正确；根据等比数列的定义，即可判定C 不正确；根据四种命题的关系，可判定D 正确，得到★答案★.【详解】对于A 中，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠则1x ≠”，所以不正确；对于B 中，由p 为真命题，q 为假命题，则p q ∨为真命题，p q ∧均为假命题，所以不正确；对于C 中，命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =，则,,a b c 成等比数列”为假命题，所以不正确；对于D 中，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，所以命题的逆否命题也是真命题，故选D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用为载体考查了四种命题的概念，及其四种命题的真假关系，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8. 已知双曲线2212x y -=与不过原点O 且不平行于坐标轴的直线l 相交于,M N 两点，线段MN的中点为P ，设直线l 的斜率为1k ，直线OP 的斜率为2k ，则12k k = A.12B. 12-C. 2D. 2-【★答案★】A 【解析】【分析】本道题目先联立直线方程和双曲线方程，得到12x x +，然后用这个表示2k ，即可．【详解】设直线l 的方程为1y k x b =+，代入双曲线方程2212x y -=得到2221112102k x bk x b ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，得到11221212k bx x k +=-设()()111212,,,M x k x b N x k x b ++，则()11212,22k x x x x N b ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭则21121212b k k x x k =+=+，故1212k k ⋅=，故选A ．【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常的做法是联解直线方程和双曲线然后找出规律，即可得出★答案★．9. 若圆()22:418C x y +-=与圆()()222:11D x y R -+-=的公共弦长为62，则圆D 的半径为（） A. 5B. 25C. 26D. 27【★答案★】D 【解析】【分析】先由题，求出两圆的公共弦，再求得圆C 的直径等于公共弦长为62，可得公共弦过圆C 的圆心，可得★答案★.【详解】联立()()()2222241811x yx y R ⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，得2264x y R-=-，因为圆C 的直径为62，且圆C与曲线D 的公共弦长为62，所以直线2264x y R-=-经过圆C的圆心()0,4，则2220644,28R R⨯-⨯=-=，所以圆D的半径为27.故选D【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，两圆的公共弦的求法是解题的关键，属于中档题.10. 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时同时通电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A. B. C. D.【★答案★】C【解析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：=11. 已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA=，()2,1,2OB=，()1,1,2OP=，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q的坐标为（）A. 131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B. 133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C. 448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D. 447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【★答案★】C 【解析】【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12. 抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，,A B 是抛物线上的两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则||||MN AB 的最大值是（） A.12B. 1C.22 D.32【★答案★】B 【解析】【分析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ．由抛物线定义得2|MN |＝a +b ，由余弦定理可得|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ，进而根据基本不等式，求得|AB |的取值范围，从而得到本题★答案★．【详解】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ．由余弦定理得，|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos60°＝a 2+b 2﹣ab ，配方得，|AB |2＝（a +b ）2﹣3ab ，又∵ab 2()2a b +≤， ∴（a +b ）2﹣3ab ≥（a +b ）234-（a +b ）214=（a +b ）2 得到|AB |12≥（a +b ）． ∴MN AB ≤1，即MN AB的最大值为1．故选B ．【点睛】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求MN AB的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题13. 已知F 是抛物线24x y=焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||5AF BF +=，则线段AB的中点到x 轴的距离为__________．【★答案★】32【解析】【分析】由抛物线方程求出准线方程，利用抛物线的定义将AF 和BF 转化为A ，B 到准线的距离，进而可以求出AB 的中点的纵坐标，即可求出★答案★．【详解】抛物线24x y =的焦点01F （，），准线方程1y =-，设11,A x y （），22,B x y （）, 所以12115AF BF y y +=+++=，解得123y y +=，所以线段AB 的中点的纵坐标为32，故线段AB 的中点到x 轴的距离为32.【点睛】本题考查了抛物线定义的运用，属于基础题．14. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大小是【★答案★】90︒【解析】试题分析：取1A B 的中点N ，因为正三棱柱111ABC A BC-的各条棱长都相等，M是侧棱1C C 的中点，易证11ACM B CM∆≅∆，因为N是1A B 的中点，所以1A B MN ⊥,又11ABA B⊥，所以11A B ABM⊥平面，所以1,ABBM ⊥所以异面直线1A B BM和所成的角的大小是.考点：本小题主要考查异面直线所成的角的求解，考查学生的空间想象能力和推理论证能力. 点评：求异面直线所成的角关键是先做出两条异面直线所成的角. 15. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 3 4 5 6销售额y (万元) 25 30 40 45根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为7，据此模型预测广告费用为10万元时销售额为______万元.【★答案★】73.5 【解析】【分析】根据题意求出x ，y ，代入求出回归方程，再将10x =代入，即可得出结果. 【详解】解：由题意可知3456 4.54x +++==，25304045354y +++==.因为回归方程y bx a =+中的b 为7，所以357 4.5a =⨯+，则 3.5a =. 所以回归方程为7 3.5y x =+.当10x =时，710 3.573.5y =⨯+=.所以广告费用为10万元时销售额为73.5万元. 故★答案★为：73.5.【点睛】本题考查回归方程，考查利用回归方程进行预测，考查运算求解能力，属于基础题.16. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点，若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【★答案★】26[,]23【解析】【详解】∵B 和A 关于原点对称，∴B 也在椭圆上．设左焦点为1F ，根据椭圆定义：|AF|+|A 1F |=2a 又∵|BF|=|A 1F | ∴|AF|+|BF|=2a ……① O 是Rt△ABF 的斜边中点，∴|AB|=2c 又|AF|=2csinα ……② |BF|=2ccosα ……③将②③代入① 2csinα+2ccosα=2a∴c 1sin cos a αα=+，即11e sin cos 2sin()4πααα==++，∵,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，342πππα≤+≤∴32≤2sin()4πα+)≤1，故椭圆离心率的取值范围为26,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 已知关于x 的二次函数()221f x ax bx =-+，设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[)2,+∞上是增函数的概率. 【★答案★】1315【解析】【分析】由二次函数的性质，得到2b a ≤，分类讨论求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，函数()221f x ax bx =-+的图像的对称轴为b x a=，要使()221f x ax bx =-+在区间[)2,+∞上为增函数，当且仅当0a >且2ba≤，即2b a ≤. 若1a =，则1b =-，1，2；若2a =，则1b =-，1，2，3，4；若3a =，则1b =-，1，2，3，4，所以该事件包含基本事件的个数是13，总的基本事件个数为3515⨯=. 所以所求事件的概率为1315p =. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及二次函数的性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.18. 如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD∥QA，QA ＝AB ＝12PD. (1)证明：平面PQC⊥平面DCQ ； (2)求直线D Q 与面PQC 成角的正弦值【★答案★】（1）见解析（2）33【解析】【分析】根据题意得以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP,DC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ；（1）根据坐标系，求出,,DQ DC PQ 的坐标，由向量积的运算易得•PQ DQ =0， •PQ DC =0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；（2）先求平面的PQC 的法向量n ，再求出cos ＜DQ ，n ＞，直线D Q 与面PQC 成角的正弦值等于cos ＜DQ ，n ＞即可. 【详解】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA ，DP,DC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D ﹣xyz ；（1）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0），D(0,0,0)；则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），所以•=0，•=0；即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，故PQ⊥平面DCQ ，又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC⊥平面DCQ ；（2）依题意，=（1，﹣1，0），()0,2,1PC =-设=（x ，y ，z ）是平面的PQC 法向量，则n ?0n ?0PQ PC ⎧=⎨=⎩ 即x-y=0-2y+z=0⎧⎨⎩ ，可取=（1，1，2）；=（1，1，0），所以cos ＜DQ ，n ＞=2222211112336211211⨯+⨯==⨯++⨯+ 设直线D Q 与面PQC 所成的角为α ， sin α =cos ＜DQ ，n ＞=33.【点睛】本题考查的是面面垂直的判定和求线面角的正弦值，建立空间坐标系用向量法解决面面垂直的判定与线面角的求法要容易，注意准确写出点的坐标，也考查了计算，属于中档题. 19. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出40名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60…[]90,100后画出如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，并补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分. 【★答案★】（1）0.3，直方图见解析；（2）及格率为0.75，平均分为71 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可得除第四小组外各小组频率，再根据所有频率和为1求第4小组的频率，计算第4小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；（2）计算60分及以上各小组对应频率和即得及格率，利用组中值计算平均分.【详解】解（1）由频率分布直方图可知第1、2、3、5、6小组的频率分别为：0.1、0.15、0.15、0.25、0.05，所以第4小组的频率为：10.10.150.150.250.050.3-----=. ∴在频率分布直方图中第4小组的对应的矩形的高为0.30.0310=，对应图形如图所示：（2）考试的及格率即60分及以上的频率∴及格率为0.150.30.250.050.75+++= 又由频率分布直方图有平均分为：0.1450.15550.15650.3750.25850.059571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 20. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1:{cos ,sin ,Cx t y t αα== （t为参数,且t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin ,3:23cos .CCρθρθ==（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C与3C相交于点B,求||AB最大值.【★答案★】（Ⅰ）(0,0),(32,32)；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C的直角坐标方程为2220x yy +-=，曲线3C的直角坐标方程为2223xy x +-=．联立{2220,22230,xyy xyx +-=+-=解得{0,0,x y ==或{32,32,x y ==所以2C与1C 交点的直角坐标为(0,0)和(32,32)．（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以|||2sin 23cos |ABαα=-4|(3)|sin απ=-，当56απ=时，||AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．21. 如图，四棱锥P ABCD -底面ABCD 为菱形，平面PAD ⊥平面ABCD ，5PA PD ==，6AD =，60DAB ∠=︒，E 为AB 的中点.（1）证明：AC PE ⊥；（2）二面角D PA B --的余弦值. 【★答案★】（1）见解析；（2）49191. 【解析】试题分析：（1）取AD 的中点O ，连接,,OP OE BD ，根据条件可得BD AC ⊥，AC OE ⊥，,PO AC ⊥进而AC ⊥面,POE AC PE ⊥所以；（2）先证OP OA OB 、、两两垂直，以OA OB OP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直接坐标系O xyz -，OB 为面PAD 的法向量，再求出面PAB 的法向量n ，根据cos ,OB n OB n OB n⋅=求二面角的余弦值即可.试题解析：（1）取AD 的中点O ，连接,,,OP OE BD ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，O E 、分别为,AD AB 的中点，//,OE BD AC OE ∴∴⊥.,PA PD O =为AD 的中点，PO AD ∴⊥，又面PAD ⊥面ABCD ，面PAD ⋂面,ABCD AD PO =∴⊥面ABCD ，,PO AC OE OP O ∴⊥⋂=，AC∴⊥面,POE AC PE∴⊥.（2）连接,OB ABCD∴为菱形，,60AD AB DAB DAB∴=∠=∴∆，为等边三角形，O为AD的中点，BO AD∴⊥，PO⊥面,,ABCD PO OA OP OA OB∴⊥∴、、两两垂直.以OA OB OP、、分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直接坐标系O xyz-，则()()()()3,0,0,0,33,0,0,0,4,0,33,0A B P OB=为面PAD的法向量，设面PAB的法向量()()(),,,3,0,4,3,33,0n x y z AP AB==-=-，则AP nAB n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即3403330x zx y-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x=，则13334xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，331,,34n⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，3491cos,9119331316OB nOB nOB n⋅===⋅++，结合图形可知二面角D PA B--的余弦值为49191.22. 已知抛物线C：22y px=的焦点为F，准线为l，三个点(2,22)P，(2,22)Q-，(3,25)R中恰有两个点在C上．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过F的直线交C于A，B两点，点M为l上任意一点，证明：直线MA，MF，MB的斜率成等差数列．【★答案★】(1) 24y x = (2)见解析【解析】【详解】（I ）因为抛物线C ：22y px =关于x 轴对称，所以()()()2,22,2,22,3,25P Q R -中只能是()()2,22,2,22P Q -两点在C 上，带入坐标易得2p =，所以抛物线C 的标准方程为24y x =（II ）证明：抛物线的焦点F 的坐标为()1,0，准线l 的方程为1x =-. 设直线AB 的方程为1x ty =+，()()()1122,,,,1,A x y B x y M m -.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2440y ty --=，所以12124,4y y t y y +==-，于是()21212242x x t y y t +=++=+，()()()2121212121111x x ty ty t y y t y y =++=+++=设直线,,MA MF MB 的斜率分别为,,MA MF MB k k k ，一方面，()()()()2112121212121221111MA MB x y x y y y m x x my m y m k k x x x x +++-+---+=+=++++ ()()()()()()211212*********ty y ty y y y mt y y mty ty +++++-+-=++()()()12122121222224ty y mt y y mt y y t y y +-+-=+++ ()()224141m t m t -+==-+.另一方面，2MF m k =-. 所以2MA MB MF k k k +=，即直线,,MA MF MB 的斜率成等差数列感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

2019-2020年高二9月月考数学(理)试题含答案

2019-2020年高二9月月考数学（理）试题含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“若A ⊆B ，则A ＝B ”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．42．已知向量a ，b ，则“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．¬p 是真命题D ．¬q 是真命题4．命题“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是( )A ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1B ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1C ．∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1D ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －15．设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 6．“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．给出下列命题，其中真命题为( ) A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x ＞1是1x＜1的充要条件8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c 则“a ≤b ”是 “sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 9．已知p ：1x ＋1＞0；q ：lg(x ＋1＋1－x 2)有意义，则¬p 是¬q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ：命题q ：若x >y ，则x 2>y 2，在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(¬q )；④(¬p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④11．已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x >1，则¬p 为 ( )A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0≤1C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x ≤1D ．∀x ≤0，总有(x ＋1)e x ≤112．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．命题“到圆心的距离不等于半径的直线不是圆的切线”的逆否命题是____________．14．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1>0，则¬p 是____________．15．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 16．已知命题p ：|x 2－x |≠6，q ：x ∈N ，且“p ∧q ”与“¬q ”都是假命题，则x 的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(1)写出命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(2)已知集合P ＝{x |－1<x <3}，S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}，且x ∈P 的充要条件是x ∈S ，求实数a 的值．18．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除． (2) ∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2.(3)∃ x 0∈{x |x ∈Z }，log 2x 0>2.19．设p：关于x的不等式a x＞1(a＞0且a≠1)的解集为{x|x＜0}，q：函数y＝lg(ax2－x ＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围．20．已知命题p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－m2>0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．21．已知命题p：方程x2－2mx＋m＝0没有实数根；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0.(1)写出命题q的否定“¬q”．(2)如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．22．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式．(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．参考答案：一、选择题1．B2.B3.D4．C5．D6.B7．C8．A9．A10．C11．B12．C 二、填空题13．圆的切线到圆心的距离等于半径 14．∃x 0∈R ，x 20＋1≤0 15．(－2,2] 16．3 三、解答题17．逆命题：若x ＝1或x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0，是真命题；否命题：若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠1且x ≠2，是真命题；逆否命题：若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0，是真命题．(2)因为S ＝{x |x 2＋(a ＋1)x ＋a <0}＝{x |(x ＋1)(x ＋a )<0}，P ＝{x |－1<x <3}＝{x |(x ＋1)(x －3)<0}，因为x ∈P 的充要条件是x ∈S ，所以a ＝－3.18．(1)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题． (2)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题． (3)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题． 19．a ∈⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)． 20．m 的取值范围是(0,3]． 21．(1)¬q ：∃x 0∈R ，x 20＋mx 0＋1<0. (2)－2≤m ≤0或1≤m ≤2.22．p ，q 有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，＋∞.。

2019-2020年高二下学期第三次月考数学（理）含答案

2019-2020年⾼⼆下学期第三次⽉考数学（理）含答案2019-2020年⾼⼆下学期第三次⽉考数学（理）含答案★友情提⽰：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案⽆效。

⼀、选择题（本题共10个⼩题，每⼩题5分，共50分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

）1．计算ii +3的值为（） A ．i 31+ B ．i 31-- C ．i 31- D ．i 31+－2．下表是降耗技术改造后⽣产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的⽣产能耗y （吨标准煤）的⼏组对应数据，根据表中提供的数据，可求出y 关于x 的线性回归⽅程?y=0.7x+0.35，那么表中m 的值为（）A.4B.3.15C.4.5D.33. 5位同学报名参加两个课外活动⼩组，每位同学限报其中的⼀个⼩组，则不同的报名⽅法共有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种4．⼆项式12)2(x x +展开式中的常数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项5.如图，由函数()x f x e e =-的图象，直线2x =及x 轴所围成的阴影部分⾯积等于（）A ．221e e --B ．22e e -C ．22e e - D ．221e e -+6.已知===，。

，若= , （,a b ∈R) , 则（）A.a =5,b =24B.a =6,b =24C.a =6,b =35D.a =5,b =357．袋中装有6个不同的红球和4个不同的⽩球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（）A ．59B ．49C ．29D ．238．函数)(x f y =的图像如图所⽰，下列数值排序正确的是（）A. )2()3()3()2(0f f f f -<'<'<B. )2()2()3()3(0f f f f '<-<'<C. )2()3()2()3(0f f f f -<'<'<D. )3()2()2()3(0f f f f '<'<-<9. 箱⼦⾥有５个⿊球，４个⽩球，每次随机取出⼀个球，若取出⿊球，则放回箱中，重新取球；若取出⽩球，则停⽌取球，那么在第４次取球之后停⽌的概率为（）A ．315445C C C B ．354()99? C ．5194?D ．13454()99C ?? 10. 如图所⽰，()f x 是定义在区间[, ]c c -（0c >）上的奇函数，令()()g x a f x b =+，并有关于函数()g x 的四个论断：①若0a >，对于[1, 1]-内的任意实数, m n （m n <），()()0g n g m n m->-恒成⽴；②函数()g x 是奇函数的充要条件是0b =；③若1a ≥，0b <，则⽅程()0g x =必有3个实数根；④a R ?∈，()g x 的导函数)(x g '有两个零点；其中所有正确结论的序号是( )．A. ①②B. ①②③C. ①④D. ②③④⼆、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分)11．设随机变量ξ服从正态分布(,9)N u ，若 (3)(1)p p ξξ>=<，则u =12. 若X ～B (20,p)，当p=21且P(X=k)取得最⼤值时，k=________. 13. 现有⼀个关于平⾯图形的命题,如图所⽰,同⼀个平⾯内有两个边长都是a 的正⽅形,其中⼀个的某顶点在另⼀个的中⼼,则这两个正⽅形重叠部分的⾯积恒为42a .类⽐到空间,有两个棱长均为 a 的正⽅体,其中⼀个的某顶点在另⼀个的中⼼,则这两个正⽅体重叠部分的体积恒为.14. 设复数z=cos θ+i sin θ，0θπ≤≤，则1+z 的最⼤值为 .15. 已知数组：1()1，12(,)21，123(,,)321，1234(,,,)4321，，1231(,,,,,),1221n n n n n --- 记该数组为：123456(),(,),(,,),,a a a a a a 则2012a = ．三、解答题:本⼤题共6⼩题,共80分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤.16. (本题满分13分)已知甲袋装有1个红球，4个⽩球；⼄袋装有2个红球，3个⽩球，所有球⼤⼩都相同，现从甲袋中任取2个球，⼄袋中任取2个球.(1)求取到的4个球全是⽩球的概率；(2)求取到的4个球中红球个数不少于⽩球个数的概率.17．(本题满分13分)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题.竞赛规则规定：答对第⼀、⼆、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第⼀、⼆、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.(1)求这名同学得300分的概率;(2)求这名同学⾄少得300分的概率.18．(本题满分13分)设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =处取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当2c =-时，求函数()f x 在区间[03]，上的最⼤值．19．（本⼩题满分13分）当*n N ∈时，111111234212n S n n=-+-++-- ， 11111232n T n n n n =+++++++．（Ⅰ）求1S ，2S ，1T ，2T ；（Ⅱ）猜想n S 与n T 的⼤⼩关系，并⽤数学归纳法证明．20．（本题满分14分）张先⽣家住H ⼩区，他在C 科技园区⼯作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路⼝，各路⼝遇到红灯的概率均为21；L 2路线上有B 1，B 2两个路⼝，各路⼝遇到红灯的概率依次为43，53．（1）若⾛L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率；（2）若⾛L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先⽣从上述两条路线中选择⼀条最好的上班路线，并说明理由．21. (本⼩题满分14分)已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．“华安、连城、永安、漳平⼀中、龙海⼆中、泉港⼀中”六校联考 2011-2012学年下学期第三次⽉考⾼⼆数学（理科）试题参考答案题号 12 3 4 5 6 7 8 9 10 答案C D D C B C A B BA⼆、填空题(本题共5⼩题，每⼩题4分，共20分)11. 2 12. 10 13. 38a 1４. 2 15．559三、解答题:本⼤题共6⼩题,共80分.解答应写出⽂字说明,证明过程或演算步骤.16.(本题满分13分)解：基本事件为“从甲袋中任取2个球，⼄袋中任取2个球”，故基本事件的总数N =2255C C ?;………………2分(1)设“取到的4个球全是⽩球”为事件A ，则事件A 中包含的基本事件数为n 1=2243C C ?；………………4分∴P(A)=1n 9N 50=. ………………6分(2)设“取到的4个球中红球个数不少于⽩球个数”为事件B ，则事件B 中包含的基本事件数为：1111221122142342142n C C C C C C C C C 34,=++=………………10分∴P(B)=2n 17N 50= ………………13分.17（本⼩题满分13分）解：17.设事件A 为“答对第⼀题”，事件B 为“答对第⼆题”，事件C 为“答对第三题”，则P(A)=0.8，P(B)=0.7,P(C)=0.6. ………………2分(1)这名同学得300分可表⽰为(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C).所以P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C))， =P(A ∩B ∩C)+P(A ∩B ∩C)=P(A )·P(B)·P(C)+P(A)·P(B )·P(C)=(1-0.8)×0.7×0.6+0.8×(1-0.7)×0.6=0.228. ………………7分(2)这名同学⾄少得300分包括得300分或400分.该事件表⽰为(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)，所以P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C)) =P((A ∩B ∩C)∪(A ∩B ∩C))+P(A ∩B ∩C)=0.228+0.8×0.7×0.6=0.564.………13分18. （本⼩题满分13分）解：①解： 2()663f x x ax b '=++，………………1分因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．………………3分即6630241230a b a b ++=??++=?，．………………4分解得3a =-，4b =．………………6分②由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．………………7分当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．………………9分所以，当1x =时，()f x 取得极⼤值(1)58f c =+，⼜(0)8f c =，(3)98f c =+．………………11分则当[]03x ∈，时，()f x 的最⼤值为(3)987f c =+=-．…13分19. （本⼩题满分13分）解：(1) 1112S T ==，22712S T ==；………………2分（2）猜想：n n S T =（*n N ∈）………………4分证明：(1)当1n =时，11S T =；（2）假设当n k =时，k k S T =，即11111111112342121232k k k k k k -+-++-=++++-+++，………………6分当1n k =+时 111111112342122122k k k k -+-++-+--++111111()12322122k k k k k k =+++++-+++++………………8分 111111()()12223221k k k k k k =-++++++++++………………10分 111112322122k k k k k =+++++++++，即11k k S T ++=，………………12分结合（1）（2），可知*n N ∈，n n S T =成⽴.………………………13分20. （本⼩题满分14分）解: （Ⅰ）设⾛L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则0312331111()=()()2222P A C C ?+??=． ………………3分所以⾛L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为21．………4分（II ）依题意，X 的可能取值为0，1，2………………5分)0(=X p =(1-43))531(-?=101 )531(43)1(-?==X P +20953)431(=?- 2095343)2(=?==X P ………………7分随机变量X 的分布列为： 1. X2.3. 4. 5.P6. 1017. 2098. 209 2027220912090101=?+?+?=EX …………9分（Ⅲ）设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从⼆项分布，1(3,)2Y B ，…11分所以13322EY =?=． ………………13分因为EX EY <，所以选择L 2路线上班最好． ………………14分21. （本⼤题满分14分）解：（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，21()a f x x x '=+．⼜曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，所以(1)12f a '=+=，即1a =．--------- 4分（2）由于21()ax f x x +'=．--------- 5分当0a ≥时，对于(0,)x ∈+∞，有()0f x '>在定义域上恒成⽴，即()f x 在(0,)+∞上是增函数．--------- 7分当0a <时，由()0f x '=，得1(0,)x a=-∈+∞．当1(0,)x a∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(,)x a ∈-+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．------- 10分（3）当1a =时，1(1)ln(1)1f x x x -=---，[)2,x ∈+∞．令1()ln(1)251g x x x x =---+-．2211(21)(2)()21(1)(1)x x g x x x x --'=+-=----．当2x >时，()0g x '<，()g x 在(2,)+∞单调递减．⼜(2)0g =，所以()g x 在(2,)+∞恒为负． ------- 12分所以当[2,)x ∈+∞时，()0g x ≤．即1ln(1)2501x x x ---+-≤．故当1a =，且2x ≥时，(1)25f x x --≤成⽴．----- 14分。

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2019-2020年高二月考试题（数学理）一、选择题1. 求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是（）A ．120()S x x dx =-⎰B ．120()S x x dx =-⎰C ．12()S yy dy =-⎰D ．10(S y dy =⎰答案 B2.右图是函数b ax x x f ++=2)(的部分图象，则函数()ln ()g x x f x '=+的零点所在的区间是（）A 11(,)42B (1,2)C 1(,1)2 D (2,3) 答案 B3. 直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于M,N 两点，若MN ≥k 的取值范围是（）A. 304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B. []304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C. ⎡⎢⎣⎦ D. 203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，答案 A.4. 函数xx y 142+=单调递增区间是（） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞ 答案 C. 5函数xxy ln =的最大值为（） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310答案 A.6 曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是( ) A.4 B. 52C.3D.2答案 C.7. 设a ∈R ，若函数()3ax y e x x R =+∈有大于零的极值点，则（）.3A a >-.3B a <-1.3C a >-1.3D a <-答案 B.8.已知实数d c b a ,,,成等比数列，且对函数x x y -+=)2ln(，当b x =时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 答案 A.9. 对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（） A 、f （0）＋f （2）<2f （1） B 、f （0）＋f （2）≥2f （1） C 、f （0）＋f （2）>2f （1） D 、f （0）＋f （2）≥2f （1）答案 C.10. 给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0答案 B11. 以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（）A ．23x y =或23x y -= B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y = D ．23x y -=或x y 92= 答案 D.12.双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（） A ．28 B ．24 C ．22 D ．8．答案 A 二、填空题：13．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为14．曲线S ：y=3x-x 3的过点A （2，-2）的切线的方程是 y=-9x+16或y=-2.15.计算定积分：dx x x ⎰+20)sin (π＝ 218π+16. 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为__4,11-_____.17. 已知(0,4),(3,2)A B -，抛物线28y x =上的点到直线AB 的最短距离为___5__ 18. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于4-设函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 22k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是 13k ≤三、解答题19.( 本小题10分)已知椭圆22143x y +=，试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点A 、B 关于直线4y x m =+对称.解：设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点00(,)M x y ，21211,4AB y y k x x -==--而22113412,x y +=22223412,x y +=相减得222221213()4()0,x x y y -+-= 即1212003(),3y y x x y x +=+∴=，000034,,3x x m x m y m =+=-=-而00(,)M x y 在椭圆内部，则2291,43m m +<即1313m -<<. 20.（本小题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . （1）求证：M 点的坐标为)0,1(；（2）求证：OB OA ⊥；（3）求AOB ∆的面积的最小值.A(1) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根, ∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ 121-=y y∴ 0)1(21212122212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x∴ OB OA ⊥.（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM ,于是=-=∆||||2121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ∆的面积取最小值1.21．（本小题满分12分）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，，故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，，列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>．从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加．所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>．故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．22.（本小题满分12分）已知函数ax ax x f 313)(23-+-= （I ）若函数)(x f 在1-=x 时取到极值，求实数a 的值；（II ）试讨论函数)(x f 的单调性；（III ）当1>a 时，在曲线)(x f y =上是否存在这样的两点A ，B ，使得在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，若存在，试求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.答案 7、x ax x f 63)(2-=' （0≠a ） ……………1分（I ）∵函数)(x f 在1-=x 时取到极值 ∴063)1(=+=-'a f 解得2-=a经检验2-=a 函数)(x f 在1-=x 时取到极小值（不检验扣1分） ∴实数a 的值－2 …………………………3分（II ）由0)(='x f 得0=x 或ax 2= …………………………4分 ①当0<a 时，02<a 由0)(>'x f 得02<<x a由0)(<'x f 得02><x ax 或∴函数)(x f 得单调增区间为)0,2(a ，单调减区间为),0()2,(+∞-∞和a…………6分②当0>a 时，02>a ，同理可得函数)(x f 得单调增区间为),0()2,(+∞-∞和a，单调减区间为)0,2(a………………………………8分（II ）假设存在满足要求的两点A ，B ，即在点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，则0==B A k k 即063)(2=-='x ax x f 解得0=x 或ax 2=∴A )31,0(a -,B )314,2(2aa a -+- 又线段AB 与x 轴有公共点，∴0≤⋅B A y y ， …………………………10分即0)314)(312≤-+--a aa （又1>a ，解得43≤≤a 所以当43≤≤a 时，存在满足要求的点A 、B. …………………………12分23.（本小题满分12分）设函数21()ln .2f x x ax bx =-- （1）当12a b ==时，求)(x f 的最大值；（2）令21()()2aF x f x ax bx x=+++，（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率k ≤21恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0a =，1b =-，方程22()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．【分析】（1）函数的定义域是(0,)+∞，把12a b ==代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（2）即函数()F x 的导数在(0,3]小于或者等于12恒成立，分类参数后转化为函数的最值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程22()mf x x =有唯一实数解，得到m 所满足的方程，解方程求解m 。

【解析】（1）依题意，知)(x f 的定义域为（0，+∞），当21==b a 时，x x x x f 2141ln )(2--=，xx x x x x f 2)1)(2(21211)('-+-=--=（2′）令)('x f =0，解得1=x ．（∵0>x ）因为0)(=x g 有唯一解，所以0)(2=x g ，当10<<x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增；当1>x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减。