河北科技大学2014—2015高数上册试卷A
河北省廊坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
河北省廊坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁U A）∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}2．（4分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，+∞）B．4．（4分）tan（﹣570°）+sin240°=（）A．B．C．D．5．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3从大到小的顺序是（）A．70.3，ln0.3，0.37B．70.3，0.37，ln0.3C．l n0.3，70.3，0.37D．0.37，70.3，ln0.36．（4分）已知向量=（1，1），=（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．0C．1D．27．（4分）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8．（4分）函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=9．（4分）若，则f（﹣1）的值为（）A．1B．2C．3D．410．（4分）将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）A．115元B．105元C．95元D．85元11．（4分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．12．（4分）设D、E、F分别是△A BC的三边BC、C A、A B上的点，且=2，=2，=2，则++与（）A．互相垂直B．既不平行也不垂直C．同向平行D．反向平行二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知tanα=3，则的值．14．（4分）已知f（x）=ax5+bx3+cx+1（a，b，c都不为零），若f（3）=11，则f（﹣3）=．15．（4分）若log a≥1，则a的取值范围是．16．（4分）下面有五个命题：①函数y=﹣sin4x+cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}}；③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；④函数y=sin（x﹣）在上是单调递减的；⑤直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是．其中真命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣1}，B={x|2a＜x＜a+3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．18．（8分）已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=，cos（2α+β）=，求cosα的值．19．（10分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求|+t|的最小值及相应的t值．20．（10分）已知定义在R+上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=﹣1；②对任意x、y∈R+都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（9）、的值；（2）证明：函数f（x）在R+上为减函数；（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x﹣1）﹣2．21．（10分）廊坊市某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知A B=a（a＞2），BC=2，且A E=A H=CF=CG，设 A E=x，花坛面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当A E为何值时，花坛面积y最大？22．（10分）已知=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（Ⅰ）若当x∈（，）时，•+=﹣，求cos4x的值；（Ⅱ）cosx≥，x∈（0，π），若关于x的方程•+=m有且仅有一个实根，求实数m的值．河北省廊坊市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）设全集U=R，集合A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，则集合（∁U A）∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：根据全集U=R，集合A={x|x≥2}，易知C U A={x|x＜2}再根据交集定义即可求解解答：解：∵全集U=R，集合A={x|x≥2}∴C U A={x|x＜2}∵B={x|0≤x＜5}∴（C U A）∩B={x|0≤x＜2}故选B点评：本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题．2．（4分）函数f（x）=的定义域为（）A．（1，+∞）B．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=tan（﹣540°﹣30°）+sin（180°+60°）=﹣tan30°﹣sin60°=﹣﹣=﹣，故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．5．（4分）三个数70.3，0.37，ln0.3从大到小的顺序是（）A．70.3，ln0.3，0.37B．70.3，0.37，ln0.3C．l n0.3，70.3，0.37D．0.37，70.3，ln0.3考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵70.3＞1，0＜0.37＜1，ln0.3＜0．∴三个数70.3，0.37，ln0.3从大到小的顺序是：70.3，0.37，ln0.3．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．6．（4分）已知向量=（1，1），=（2，x），若+与4﹣2平行，则实数x的值是（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．分析：写出要用的两个向量的坐标，由+与4﹣2平行，根据向量共线的坐标形式的充要条件可得关于X的方程，解方程可得结果．解答：解：∵=（1，1），=（2，x），∴+=（3，x+1），4﹣2=（6，4x﹣2），由于+与4﹣2平行，得6（x+1）﹣3（4x﹣2）=0，解得x=2．故选D点评：本题也可以这样解：因为+与4﹣2平行，则存在常数λ，使+=λ（4﹣2），即（2λ+1）=（4λ﹣1），根据向量共线的条件知，向量与共线，故x=2．7．（4分）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）x ﹣1 0 1 2 3e x0.37 1 2.72 7.39 20.08x+2 1 2 3 4 5A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．解答：解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．点评：考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．8．（4分）函数y=sin（ωx+φ）的部分图象如图，则φ、ω可以取的一组值是（）A．ω=，φ=B．ω=，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由图象观察可知周期的值，由周期公式即可求ω的值．又因为图象过点（1，1），即可解得φ的值，从而得解．解答：解：由图象观察可知：3﹣1=，可解得：T=8=，从而有ω=．又因为图象过点（1，1），所以有：sin（φ）=1，故可得：φ=2k，k∈Z，可解得：φ=2kπ，k∈Z当k=0时，有φ=．故选：B．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于基础题．9．（4分）若，则f（﹣1）的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题；分类法．分析：根据题意，﹣1∈（﹣∞，6），代入f（x）=f（x+3），求得f（﹣1）=f（2）=f（5）=f（8），8＞6，由此f（﹣1）的值求出．解答：解：当x＜6时，f（x）=f（x+3），则f（﹣1）=f（2）=f（5）=f（8）当x≥6时，f（x）=log2x，所以，f（﹣1）=f（8）=log28=3故选C．点评：本题考查分段函数求值，对于分段函数求值问题关键是找准不同范围的自变量对应着不同的函数解析式．代入相应的解析式求值，10．（4分）将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个（）A．115元B．105元C．95元D．85元考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：根据题意，设售价定为（90+x）元，由利润函数=（售价﹣进价）×销售量可得关于x的函数方程，由二次函数的性质可得答案．解答：解：设售价定为（90+x）元，卖出商品后获得利润为：y=（90+x﹣80）（400﹣20x）=20（10+x）=20（﹣x2+10x+200）；∴当x=5时，y取得最大值；即售价应定为：90+5=95（元）；故应选：C．点评：本题考查了商品销售中的利润关系，是二次函数模型，属于基础题．11．（4分）函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．专题：数形结合．分析：根据函数f（x）=1+log2x与g（x）=2﹣x+1解析式，分析他们与同底的指数函数、对数函数的图象之间的关系，（即如何变换得到），分析其经过的特殊点，即可用排除法得到答案．解答：解：∵f（x）=1+log2x的图象是由y=log2x的图象上移1而得，∴其图象必过点（1，1）．故排除A、B，又∵g（x）=2﹣x+1=2﹣（x﹣1）的图象是由y=2﹣x的图象右移1而得故其图象也必过（1，1）点，及（0，2）点，故排除D故选C点评：本题主要考查对数函数和指数函数图象的平移问题，属于容易题．12．（4分）设D、E、F分别是△A BC的三边BC、C A、A B上的点，且=2，=2，=2，则++与（）A．互相垂直B．既不平行也不垂直C．同向平行D．反向平行考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则、共线定理即可得出．解答：解：∵=2，=2，=2，∴++=++=，因此++与反向共线．故选：D．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线定理，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知tanα=3，则的值．考点：弦切互化．专题：计算题．分析：把分子分母同时除以cosα，把弦转化成切，进而把tanα的值代入即可求得答案．解答：解：===故答案为：点评：本题主要考查了弦切互化的问题．解题的时候注意把所求问题转化成与题设条件有关的问题．14．（4分）已知f（x）=ax5+bx3+cx+1（a，b，c都不为零），若f（3）=11，则f（﹣3）=﹣9．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知条件可求出a•35+b•33+3c=10，所以便可求出f（﹣3）=﹣（a•35+b•33+3c）+1=﹣9．解答：解：由f（3）=11得：a•35+b•33+3c=10；∴f（﹣3）=﹣（a•35+b•33+3c）+1=﹣9．故答案为：﹣9．点评：考查奇函数的定义，知道要求f（﹣3）需求a•35+b•33+c•3．15．（4分）若log a≥1，则a的取值范围是≤a＜1．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数的运算性质进行求解即可．解答：解：log a≥1等价为log a≥log a a，若a＞1，则等价为≥a，此时不成立，若0＜a＜1，则等价为≤a，即≤a＜1，故答案为：≤a＜1点评：本题主要考查对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．16．（4分）下面有五个命题：①函数y=﹣sin4x+cos4x的最小正周期是π；②终边在y轴上的角的集合是{α|α=，k∈Z}}；③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin2x的图象；④函数y=sin（x﹣）在上是单调递减的；⑤直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是．其中真命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：①，利用三角函数间的关系式与二倍角的余弦，化简可得函数y=cos2x，可知其最小正周期是π，可判断①；②，写出终边在y轴上的角的集合，可判断②；③，利用三角恒等变换把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移，求得其解析式，可判断③；④，利用诱导公式化简得y=﹣cosx，再利用复合函数的单调性质，可判断④；⑤，利用正切函数的周期性质，可知直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是，可判断⑤．解答：解：对于①，因为y=﹣sin4x+cos4x=（sin2x+cos2x）（﹣sin2x+cos2x）=cos2x，其最小正周期是π，所以①正确；对于②，终边在y轴上的角的集合是{α|α=kπ+，k∈Z}，故②错误；对于③，把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移得到y=3sin=3sin2x的图象，故③正确；对于④，函数y=sin（x﹣）=﹣cosx在上是单调递增的，故④错误；对于⑤，直线y=a（a为常数）与正切曲线y=tanωx（ω＞0）相交的相邻两点间的距离是，故⑤错误．综上所述，以上5个选项中，只有①③正确，故答案为：①③．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查三角函数的恒等变换与图象变换，考查正弦函数、正切函数的周期性、余弦函数的单调性的应用，熟练掌握三角函数的图象与性质是关键，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（8分）已知全集U=R，集合A={x|x＜﹣1}，B={x|2a＜x＜a+3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；补集及其运算．专题：计算题；集合．分析：先求出∁R A，再由题意讨论集合B是否是空集，从而求a的取值范围．解答：解：由题意得∁R A={x|x≥﹣1}．∵B⊆∁R A．（1）若B=∅，即a+3≤2a，a≥3时，满足B⊆∁R A．（2）若B≠∅，则2a≥﹣1且2a＜a+3，即﹣≤a＜3．综上可得a≥﹣．点评：本题考查了集合的运算及集合之间的包含关系，注意讨论B是否是空集，属于基础题．18．（8分）已知α、β均为锐角，且cos（α+β）=，cos（2α+β）=，求cosα的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α=（2α+β）﹣（α+β），利用两角和的余弦公式可求cosα的值．解答：解：∵α、β均为锐角，∴0＜α+β＜π，0＜2α+β＜∵cos（α+β）=，cos（2α+β）=，∴sin（α+β）=，sin（2α+β）=，∴cosα=cos=cos（2α+β）cos（α+β）+sin（2α+β）sin（α+β）==．点评：把“待求角”用“已知角”的和、差、倍、补、余表示出来是常用角的变换，也是本题解题的关键，属于基本知识的考查．19．（10分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．（1）求向量与夹角的余弦值；（2）求|+t|的最小值及相应的t值．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用向量的数量积变形公式解答；（2）将|+t|表示为t的式子，利用二次函数求最值．解答：解：（1）设向量与夹角为θ，则cosθ=；（2）|+t|=，当t=﹣时，|+t|的最小值为．点评：本题考查了向量的数量积的坐标运算以及模的最值的求法，关键是熟练运用数量积公式解答．20．（10分）已知定义在R+上的函数f（x）同时满足下列三个条件：①f（3）=﹣1；②对任意x、y∈R+都有f（xy）=f（x）+f（y）；③x＞1时，f（x）＜0．（1）求f（9）、的值；（2）证明：函数f（x）在R+上为减函数；（3）解关于x的不等式f（6x）＜f（x﹣1）﹣2．考点：抽象函数及其应用．专题：综合题；转化思想．分析：（1）给已知中的等式中的x，y都赋值3求出f（9）；给x，y都赋值求出f（3）．（2）利用函数单调性的定义证明，只要将，利用已知中的等式及x＞1时，函数值的符号证出．（3）将不等式中的﹣2用f（9）代替；利用已知等式将f（x﹣1）+f（9）用一个函数值f（9x﹣9）代替，利用函数的单调性脱去f，求出不等式的解集．解答：（1）解：令x=y=3得f（9）=f（3×3）=f（3）+f（3）=﹣2令x=y=得（2）证明：设0＜x1＜x2，x1，x2∈R+∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在R+上为减函数．（3）不等式等价于，解得1＜x＜3．点评：本题考查求抽象函数的函数值常用的方法是赋值法、判断抽象函数的单调性常用的方法是函数单调性的定义、利用函数单调性解抽象不等式首先要将不等式写出f（m）＞f（n）的形式．21．（10分）廊坊市某所中学有一块矩形空地，学校要在这块空地上修建一个内接四边形的花坛（如图所示），该花坛的四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知A B=a（a＞2），BC=2，且A E=A H=CF=CG，设 A E=x，花坛面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当A E为何值时，花坛面积y最大？考点：函数最值的应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）先求得四边形ABCD，△AHE的面积，再分割法求得四边形EFGH的面积，即建立y关于x的函数关系式；（2）由（1）知y是关于x的二次函数，用二次函数求最值的方法求解．解答：解：（1）S△AEH=S△CFG=x2，（1分）S△BEF=S△DGH=（a﹣x）（2﹣x）．（2分）∴y=S ABCD﹣2S△AEH﹣2S△BEF=2a﹣x2﹣（a﹣x）（2﹣x）=﹣2x2+（a+2）x．（5分）由，得0＜x≤2（6分）∴y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2（7分）（2）当＜2，即a＜6时，则x=时，y取最大值．（9分）当≥2，即a≥6时，y=﹣2x2+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，则x=2时，y取最大值2a﹣4（11分）综上所述：当a＜6时，AE=时，绿地面积取最大值；当a≥6时，AE=2时，绿地面积取最大值2a﹣4（12分）．点评：本题主要考查实际问题中的建模和解模能力，注意二次函数求最值的方法．22．（10分）已知=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（Ⅰ）若当x∈（，）时，•+=﹣，求cos4x的值；（Ⅱ）cosx≥，x∈（0，π），若关于x的方程•+=m有且仅有一个实根，求实数m的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）首先根据向量的数量积，进一步对三角函数进行恒等变换，结合题中的定义域，求出cos4x 的值．（2）根据函数的单调性和函数的交点情况，利用函数的图象求出参数m的值．解答：解：（1）∵已知=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．∴===sin（4x﹣），∵•+=﹣，∴sin（4x﹣）=﹣，∵x∈（，），∴4x﹣∈（π，），∴cos（4x﹣）=﹣，∴cos4x=cos=cos（4x﹣）cos﹣sin（4x﹣）sin）=．（2）∵x∈（0，π），cosx在（0，π）上是单调递减函数．∴0＜x≤令f（x）=•+=sin（4x﹣）g（x）=m根据在同一坐标系中函数的图象求得：m=1或m=﹣．故答案为：（1）cos4x=；（2）m=1或m=﹣．点评：本题考查的知识点：向量的数量积，三角函数式的恒等变换，三角函数的求值，函数的单调性，三角函数的图象，以及参数的取值问题．。
河北科技大学2017—2018高数上册试卷A
河北科技大学2017-2018学年《高等数学》（上册）期末考试A 卷一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若函数21,,()1,x x f x x ax b ≤⎧=⎨>+⎩在1x =处连续且可导，则【 】 A. 0,1a b == B. 2,1a b ==- C. 1,1a b =-= D. 3,2a b ==2. 曲线2y x =与直线1x =及0y =所围成的图形绕着y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为【 】 A. π2 B. π5 C. 3π2 D. 5π43. 当0x →时，sin e e x x -与n x 是同阶的无穷小量，则n 的值为【 】A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数2ln(1)y x =+图形的凹区间是【 】A. []2,2-B. []1,4C. []1,1-D. []0,15. 方程510x x +-=【 】A. 只有一个正实根B. 无实根C. 有两个实根D. 有五个实根二、 填空题（每小题3分，共15分）1. 极限20lim ln x x x +→= . 2. 曲线1e y y x =+在点(0,1)处的切线的斜率k = .3. π42π2(cos sin )d x x x x --=⎰ .4. 若1ln cos y x=，则d y = . 5. 若()f x 的一个原函数是2ln x x ，则(e )d x f x =⎰ .三、 计算题（每小题7分，共21分）1. 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩，求π2d d t y x =与22d d y x . 2.求x ⎰.3.设21()d t f x t -=，求10x ⎰. 四、 解答题（每小题8分，共24分）1. 讨论函数11ln(1),10,()e ,0,1x x x f x x x -+-<<⎧⎪=⎨⎪≥≠⎩的连续性，若有间断点，指出其类型. 2. 求函数543121540y x x x =+-的极值.3. 求圆3cos r θ=与心形线1cos r θ=+所围的公共部分的面积.五、 解答题（每小题8分，共16分）1. 设()f x 在0x =的某邻域内有定义且(0)0f =，若20sin ()1lim 2e 1x x xf x →⋅=-，求(0)f '. 2. 已知函数()f x 在区间(,)-∞∞内可导，且lim ()e x f x →∞'=，又lim x x x c x c →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭[]lim ()(1)x f x f x →∞=--，试利用拉格朗日中值定理求常数c 的值. 六、 证明题（9分） 设函数0()cos d xS x t t =⎰.（1）当n 为正整数，且π(1)πn x n ≤<+时，利用定积分的几何意义和性质证明2()2(1)n S x n ≤<+；（2）证明()2lim πx S x x →+∞=.。
河北省保定市2015届高三数学上学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版
2014—2015学年度第一学期高三期末考研考试数学试题（理科）第Ⅰ卷【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、函数的性质及图象、三角函数、解三角形、数列、平面向量、立体几何、导数的应用、圆锥曲线、复数、集合、程序框图、二项式定理等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.【题文】一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、若复数z=，则z=（）A．12B．2C．1 D．2【知识点】复数的运算L4【答案】【解析】C解析：()211422z===-，,所以1z==，则选C. 【思路点拨】掌握复数的除法运算是解答的关键.【题文】2、若集合2{0,1},{1,}A B a==-，则“{}1A B =”是“1a=”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【知识点】充分、必要条件A2【答案】【解析】B解析：若{}1A B =，则21,1a a==±，所以充分性不满足，必要性满足,则选B.【思路点拨】判断充分必要条件时，可先分清条件与结论，若由条件能推出结论，则充分性满足，若由结论能推出条件，则必要性满足.【题文】3、已知函数()sin()(0)4f x wx wπ=+>的最小正周期为π，则()8fπ=（）A．1 B．12C．-1 D．12-【知识点】三角函数的性质C3解析：因为函数()sin()(0)4f x wx w π=+>的最小正周期为π，所以22πωπ==，则sin 2sin 18842f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以选A.【思路点拨】可先由最小正周期求函数解析式，再代入求所求函数值.【题文】4、在区间[]5,5-内随机取出一个实数a ，则()0,1a ∈的概率为（ ） A ．0.5 B ．0.3 C ．0.2 D ．0.1 【知识点】几何概型K3【答案】【解析】D解析：因为所求事件对应的区间长度为1，所以()0,1a ∈的概率为10.110=，则选D. 【思路点拨】由已知条件可知所求概率为几何概型，分别求出所求事件对应的长度区间与总体对应的长度区间，代入公式求值即可.【题文】5、运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A ．2014 B ．2013 C ．1008 D ．1007【知识点】程序框图L1 【答案】【解析】D解析：由程序框图可知12320131110061007S =-+-+=+⨯=，所以选D.【思路点拨】遇到循环结构程序框图问题，可依次执行循环体发现所求值的规律，再进行解答.【题文】6、已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．0C ．-10D ．-1 5 【知识点】简单的线性规划E5解析：实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图为ABO 对应的三角形区域，当动直线24z x y =+经过原点时，目标函数取得最大值为z=0，所以选 B..【思路点拨】由x,y 满足的约束条件求最值问题，通常结合目标函数的几何意义数形结合寻求取得最值的点，再代入目标函数求最值.【题文】7、如图12,e e 为互相垂直的两个单位向量，则a b +=（ ） A ．20 B ．10 C ．25 D ．15【知识点】向量的坐标运算F2 【答案】【解析】C解析：分别以12,e e 的方向为x,y 轴方向建立直角坐标系，则1731,,,2222a b ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2,4,41625a b a b +=--+=+= C.【思路点拨】遇到向量的运算时，若直接计算不方便，可建立直角坐标系转化为坐标运算进行解答.【题文】8、湖面上飘着一个小球，湖水结冰后讲球取出，冰面上留下一个半径为6cm ，深2cm 的空穴，则取出该球前，球面上的点到冰面的最大距离为（ ）A ．20cmB ．18cmC ．10cmD ．8cm 【知识点】球的截面性质G8 【答案】【解析】B解析：设球半径为R ，则有()22236R R =-+,解得R=10，所以球面上的点到冰面的最大距离为R+R －2=18cm ，则选B. 【思路点拨】一般遇到球的截面问题，通常利用球的截面性质寻求截面圆的半径与球半径的关系进行解答.【题文】9、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则21a a 等于（ ） A ．1 B ．1或2 C ．1或3 D ．3 【知识点】等差数列 等比数列D2 D3 【答案】【解析】C解析：设等差数列的公差为d ，则有()()2111246a d a a d +=+，得d=0或d=12a ，若d=0,则211a a =，若d=12a ，则211133a aa a ==，所以选C. 【思路点拨】可结合等差数列的求和公式得到公差与首项关系，再求所求的比值即可. 【题文】10、已知函数()()322,2,03a f x x ax cx g x ax ax c a =++=++≠，则它们的图象可能是（ ）【知识点】函数与导数的关系B11 【答案】【解析】B解析：因为二次函数g(x)的对称轴为x=－1,所以排除A,D ，又因为函数g(x)为函数f(x)的导数，由函数单调性与其导数的关系可排除C ，所以选B.【思路点拨】发现函数g(x)与f(x)的导数关系是本题解题的关键.【题文】11、已知0,2b a ab >>=，则22a b a b+-的取值范围是（ ）A ．(],4-∞-B ．(),4-∞-C ．(],2-∞-D ．(),2-∞- 【知识点】基本不等式E6 【答案】【解析】A解析：因为()2222444a b ab a b a b b a a b a b a b b a -++⎛⎫==-+=--+≤- ⎪----⎝⎭，当且仅当b －a=4b a-时等号成立，所以选A. 【思路点拨】可结合已知条件把所求的式子进行转化，再利用基本不等式求范围.【题文】12、在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且BC 边上的高为6，则c bb c+取得最大值时，内角A 的值为（ ） A ．2π B ．6π C ．23π D ．3π【知识点】解三角形C8【答案】【解析】D解析：因为11sin 262a a bc A ⨯⨯=，得2sin a A =，则2222cos2cos 4sin 6c b c b a bc A A A A b c bc bc π++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭，所以当,623A A πππ+==时c bb c+取得最大值，则选D. 【思路点拨】结合已知条件利用三角形面积公式及余弦定理把c bb c+转化为关于角A 的三角函数问题，再进行解答即可.第Ⅱ卷【题文】二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
历年真题答案
即得.
0
2.C
解析：考查导数的定义. lim h0
f x0
2h
h
f x0
h 3 f x0 3 .
3.B 解析：考查上限无穷的广义积分.
0
4
1 x
2
dx
1 2
arctan
x 2
0
lim
x
1 2
arctan
x 2
1 2
arctan
0
π 4
.
1
1
4.A 解析：考查曲线的渐近线.由 lim e x1 1 得水平渐近线为 y 1；由 lim e x1 得
1 x
x2
dx
2 1
x2
1 x
dx
ln
x
x3 3
1 1
x3 3
ln
x
2 1
2
ln 2 7 7 ln 2 49
24 3
24
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18.
dy
解：微分方程可化为
xe x
，即 xexdx tan ydy ，
dx tan y
两端积分可得 x 1ex C1 ln cos y ，将 y x0 0 代入，得 1 C1 0 ，即
e
.
17. 解：令 F x, y, z yz zx xy 1 Fx z y, Fy z x, Fz x y,
z x
Fx Fz
z x
y y
2z
，
x 2
z x
y y
x
z x y z
x
x y2
y
2z y x y2
y
18. 解：
1
dx
1 cos ydy
河北科技大学2010—2011高数试卷A
河北科技大学2010——2011学年《高等数学》（下册）期末考试A卷一. 填空题（每小题3分，共15分）1. 微分方程3251y y y x '''--=+的特解形式应设为 .2. 已知32a i j k =--，2b i j k =+-，则a ，b 夹角的余弦为 .3. 设函数2()()f x x x x πππ=+-≤<的傅里叶级数为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则系数3b 的值为 .4. 设方程cos cos cos 1x y y z z x ++=确定了函数(,)z z x y =，则dz = .5. 过点(0,2,4)且与两平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程为 .二.选择题（每小题3分，共15分）1. 级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑ 【 】 A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不确定2. 设函数(,)f x y 在点(0,0)的某邻域内有定义，且(0,0)3x f =，(0,0)1y f =-，则【 】 A.(0,0)3dz dx dy =-；B.曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的一个法向量为(3,1,1)-；C.曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(1,0,3)；D.曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的一个切向量为(3,0,1).3. 设L 为221x y +=一周，则曲线积分2Lx ds =⎰ 【 】 A.π B.2π C.2π D.04. 设21sin(),0,(,)0,0x y xy xy f x y xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则(0,1)x f 等于 【 】A.0B.1125. 设2232(8)(812)y ax y xy dx x x y ye dy ++++在xoy 坐标面上是某个二元函数的全微分，则a = 【 】A.0B.2C.1-D.3三. 计算下列各题（每小题6分，共30分）1. 设∑是锥面222x y z +=被平面0z =和1z =所截下的部分，计算曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰2. 设连续函数()f x 满足20()ln 22x t f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x . 3. 设22(,)x z f e x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求z x∂∂，2z x y ∂∂∂. 4. 将函数()ln (0)f x x x =>展开成(2)x -的幂级数.5. 设D是由2x y ≤≤-，0y ≥所确定的闭区域，(,)f x y 是D 上的连续函数，试写出用两种不同次序的二次积分来计算(,)DI f x y dxdy =⎰⎰的公式.四.计算题（每小题8分，共32分）1. 求级数1211(1)21n n n x n -∞-=--∑的收敛区间，并求其和函数. 2. 求原点到曲面24z xy x y =+-+的最短距离.3. 计算曲线积分(sin )(cos 1)x x LI e y y dx e y dy =-+-⎰，其中L 为从点(,0)A a 沿曲线222(2)(0)x a y a a -+=>的上半圆周到点(3,0)B a 的半圆弧.4. 利用高斯公式计算对坐标的曲线积分24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰，其中∑是平面0x =，0y =，0z =，2x =，2y =，2z =所围成的立方体的全表面的外侧.五.综合题（8分）求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个特解()y y x =，使得由曲线()=与直线1y y xx=以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最x=，2小.。
2014-2015年河北省廊坊市高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
10． （5 分）已知三棱锥 P﹣ABC，PA⊥面 ABC，∠ABC=90°，PA=2，AB= 则该三棱锥的外接球体积为（ A．8π B． π ） C． π D．12 π
11． （5 分）动点 A（x，y）在圆 x2+y2=1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转， 12 秒旋转一周，已知时间 t=0 时，点 A 的坐标为（ ， 时，动点 A 的纵坐标 y 的取值范围是（ A．[﹣ ，1] B．[﹣1，1] ） C．[﹣ ， ] D．[﹣ ，1] ） ，则当 0≤t≤6
16． （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
三、解答题（共 5 小题，满分 60 分） 17． （12 分）已知等差数列{an2}满足首项 a12=1，且公差 d=1，an＞0，n∈N+． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）记 bn= ，求数列{bn}的前项和 Tn，并求 lg（Tn+1）的取值范围．
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D．135°
7． （5 分）已知函数 f（x）=5x﹣3sinx，x∈（﹣2，2） ，如果 f（1﹣a）+f（1﹣a2） ＜0 成立，则实数 a 的取值范围为（ A． （1 ， ） ） B． （1，3） D． （﹣2，1） }， 平面点集 B={ （x， y） | }，
C． （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） 8． （5 分） 已知平面点集 A={ （x， y） |
20． （12 分）在高中数学课本中我们见过许多的“信息技术应用”，我们可以利用 几何画板软件的拖动、动画及计算等功能来研究许多数学问题，比如：在平 面内做一条线段 KL，以定点 A 为圆心，以|KL|为半径作一圆，在圆内取一定 点 F，在圆上取动点 B，作线段 BF 的中垂线与圆 A 的半径 AB 交于点 P．当点 B 在圆上运动时，就会发现点 P 的运动轨迹． （Ⅰ）你能猜出点 P 的轨迹是什么曲线吗？请说明理由；若|KL|=6，|AF|=4，以 线段 AF 的中点 O 为原点，以直线 AF 为 x 轴，建立平面直角坐标系，试求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过点 A 作直线 l 与点 P 的轨迹交于两点 M、N，试求 线段 MN 的中点 Q 的轨迹方程； （Ⅲ）拖动改变线段 KL 的长度，会发现点 P 的轨迹 C 的形状在发生变化，请问 在保持（Ⅰ）中轨迹 C 类型不变的前提下，当 C 的离心率 e 在什么范围变化 时，C 上总存在点 R，使得 AR⊥FR？
2014-2015学年河北省邯郸市高一(上)期末数学试卷
2014-2015学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷一、选择题1. 已知集合U =R ，M ={0, 1, 2}，P ={x|−2≤x ≤2, x ∈Z}，则M ∩P =( ) A.{0, 1} B.M C.P D.{1, 2}2. 幂函数y =x−2的图象大致是（ ）A. B. C. D.3. 直线l:2x +3y +6=0的斜率和在y 轴上的截距分别为（ ） A.−23，−2 B.−23，2C.−32，−2D.−32，24. 已知f(3x)=2xlog 2x ，那么f(3)的值是（ ） A.2 B.8log 23C.0D.−25. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为假命题的是（ ） A.若α // β，β // γ，m ⊥α，则m ⊥γ B.若m ⊥α，n // α，则m ⊥n C.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β D.若m ⊥α，n ⊥β，m // n ，则α // β6. 设a =20.3，b =log √23，c =ln (ln 2)则（ ） A.a >c >b B.a >b >cC.b >c >aD.b >a >c7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A.≥B.2C.3D.∞8. 函数f(x)=x 2+mx +9在区间(−3, 3)上具有单调性，则实数m 的取值范围是( ) A.[6, +∞) B.(−∞, −6]C.[−6, 6]D.(−∞, −6]∪[6, +∞)9.根据表格中的数据，可以判定方程e x −x −6=0的一个根所在的区间为( )A.(0, 1)B.(−1, 0)C.(2, 3)D.(1, 2)10. 在三棱锥S −ABC 中，底面是边长为2的正三角形且SA =SB =2，SC =√3，则二面角S −AB −C 的大小是（ ） A.60∘ B.90∘ C.45∘ D.30∘11. 已知点M(a, b)在圆O:x 2+y 2=1内，则直线l:ax +by =1与圆O 的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.不确定 D.相离12. 已知函数f(x)={|log 2x|，0<x ≤2−x 2+4x −3，x >2，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是（ ） A.(2, 3) B.[2, 3] C.(2, 3] D.[2, 3)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分；共20分．函数f(x)=√4−xx−1的定义域为________．在空间直角坐标系Oxyz 中点(1, −2, 3)关于y 轴的对称点是________．已知正四棱锥O −ABCD （底面是正方形且顶点在顶面的射影是底面正方形的中心的棱锥叫做正四棱锥）的体积为12，底面边长为2√3，则正四棱锥O −ABCD 内切球的表面积为________．已知点P(x, y)是直线kx +y +4=0上一动点，PA ，PB 是圆C:x 2+y 2−2y =0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________．三、解答题：本大题共6个小题．共70分．解答要写出文字说明、证明过程或推演步骤．集合A={x|x2−6x−7≤0}，B={x|2−m<x<3m+1}，C={x|2x<8}．（1）求A∩C；（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD=60∘，PA⊥面ABCD，E是AB的中点．（1）求证：面PDE⊥面PAB；（2）若PA=AB=2，求PC与面PAD所成角的正弦值．已知△ABC的顶点C(4, 3)，AC边上的中线BM所在直线方程为2x−y−4=0，BC边上的高AH所在直线方程为3x+5y−11=0，求顶点A，B的坐标．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．（1）求证：EF // 平面ABC1D1；（2）求三棱锥E−FCB1的体积．已知点N(4, 0)，点M(x0, y0)在圆x2+y2=4上运动，点P(x, y)为线段MN的中点．（1）求点P(x, y)的轨迹方程；（2）求点P到直线3x+4y−56=0的距离的最大值和最小值．函数f(x)=a x−(m−2)a−x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．（1）求m的值；（2）若f(1)=32，且g(x)=2x[f(x)−k](k∈R)在[0, 1]上的最大值为5，求k的值．参考答案与试题解析2014-2015学年河北省邯郸市高一（上）期末数学试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】幂函都特图像【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】直体的氯率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】函使的以值函数于析式偏速站及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】空间使如得与平度之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】对数值于小的侧较【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】二次明数织性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】二分法求明程月近似解【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】直线与都连位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】函数表图层变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分；共20分．【答案】此题暂无答案【考点】函数的定较域熔其求法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线常椭圆至合业侧值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】圆的水射方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：本大题共6个小题．共70分．解答要写出文字说明、证明过程或推演步骤．【答案】此题暂无答案【考点】交集根助运算集合体包某关峡纯断及应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与正键所成的角平面与平明垂钾的判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线的较般式划程皮直校的垂直关系待定系数因求滤线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】柱体三锥州、台到的体建计算直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线和圆体方硫的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】函数奇明性研性质函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2014-2015学年第一学期《高等数学》试卷(A卷)
2014-2015学年第一学期《高等数学》试卷（A 卷）一．填空题（每小题4分，20分）1．设0x →2与kx 是同阶无穷小，则k = 12．由方程()2cos 1x y e xy e +-=-确定()y y x =，则()0y '2-3．设y 1x =处对应的微分dy =24．已知()()()011,13f f f '===，则()1xf x dx ''⎰1-5.曲线(1y x =-的拐点处的横坐标x =15-二．计算下列各题（每小题5分，共20分）6、求极限()()sin 230lim ln 1x xx e e x x x →-++解 原式=()()()sin sin 034342300001sin 1lim lim lim lim x x x x x x x x x x e e x x e e e x x x x x x x--→→→→----==+++ ()3423200000sin sin 1cos sin 11limlim lim lim lim 346126126x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====++++ 7、求极限1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解 由于14344002sin 2sin lim lim 01111x x xx x x x e x e e x x x e e --→+→+-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1144002sin 2sin 20lim lim 111011x x x x x x e x e x x x e e →-→-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，从而左右极限存在且相等，故原式极限存在且1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭=18、用泰勒公式求极限()30sin 1lim x x e x x x x→-+ 解 因为()()23231,sin 2!3!xx x e x o x x x o x =+++=-+，所以 原式=()()()232330112!3!lim x x x x o x x o x x x x→⎡⎤⎡⎤+++-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()33232333001131126lim lim2663x x x x x x o x x x o x x x →→++-+---==-+== 9、设()2,111,1x f x x x ≠⎪=⎨-⎪-=⎩在1x =处连续，求,a b 的值 解 因为()2,111,1x f x x x ≠=⎨-⎪-=⎩在1x =处连续，所以()111x f →==-，从而)()()112lim2lim 10101x x x x →→=-=⋅-=- ，即)1lim220,4,4x a b b a →==+==-进而21114221lim 1x x a x x →→-+--==-14x a→===，即()4,448a b =-=--=三．计算下列各题（每小题5分，共15分）10、设1124y =，求y '解 令t =11111arctan ln arctan ln 1ln 124124t y t t t t t +=+=+⎡+--⎤⎣⎦- 从而()14421111111121411x dy dt y x dt dx t t t '⎡⎤⎧⎫⎡⎤'=⋅=+⋅-⋅⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++-⎣⎦⎩⎭⎣⎦()()()114342211111110421414t t x x t t -⎧⎫--+⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⋅++⎨⎬⎢⎥⎢⎥+-⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭()()()22333434442241111111121121t t x x x x t t t ----+⎡⎤=-⋅+=⋅+⎢⎥+--⎣⎦ ()()()()223333434344444441111111121111t t x x x x x x t t x -----+--=⋅+=⋅+=⋅+--+-=dy dt 和dtdx，再作乘积得出结果，切记别忘作乘积！） 11、设()f x 连续，在0x =的某个邻域内有()()()1sin 31sin 8f x f x x o x +--=+，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程。
2014-2015年河北省保定市高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）2．（5.00分）设，则tan（π+x）等于（）A．0 B．C．1 D．3．（5.00分）函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2]B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）4．（5.00分）已知函数y=f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表x123456y124.435﹣7414.5﹣56.7﹣123.6则函数y=f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（5.00分）角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（5.00分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是（）①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）③的长度恰为长度的倍④与不共线．A．4 B．3 C．1 D．07．（5.00分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x﹣1 B．﹣x+1 C．x+1 D．x﹣18．（5.00分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．D．π9．（5.00分）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B． C．D．10．（5.00分）已知函数f（x）=，若对任意x x≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（，1）C．（1，2） D．（﹣1，2）二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4.00分）已知函数f（x）=，则f（0）+f（1）=．12．（4.00分）如果角α的终边过点（2sin30°，﹣2cos30°），则sinα的值等于．13．（4.00分）设a=log33，b=log43，c=，则a，b，c之间的大小关系是．14．（4.00分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，则﹣表示“”15．（4.00分）当0＜x＜时，函数f（x）=的最大值是．三、解答题16．（8.00分）已知集合A={x |﹣2≤x ≤5}，B={x |m ﹣1≤x ≤m +1} （1）若m=5，求A ∩B（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 17．（8.00分）已知=（6，1），=（x ，8），=（﹣2，﹣3）（1）若，求x 的值（2）若x=﹣5，求证：．18．（10.00分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示： 销售价格/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶480440400360320280240（1）设经营部在进价基础上增加x 元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶？ （2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y 元，试求y 的最大值及其对应的销售单价． 19．（10.00分）设=（1，），=（cos2x ，sin2x ），f （x ）=2（1）求函数f （x ）的单调递增区间 （2）若x，求函数f （x ）的最大值、最小值及其对应的x 的值．20．（14.00分）若函数f （x ）在定义域D 内某区间1上是增函数，而F （x ）=在1上是减函数，则称寒素y=f （x ）在1上是“弱增函数”（1）请分析判断函数f （x ）=x ﹣4，g （x ）=﹣x 2+4x 在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）若函数h （x ）=x 2﹣（sinθ﹣）x ﹣b （θ，b 是常数），在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及b 应满足的条件．2014-2015学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5.00分）设集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B=（）A．（﹣4，3）B．（﹣4，2]C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，3）【解答】解：集合A={x|﹣4＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∪B={x|﹣4＜x＜3}∪{x|x≤2}={x|x＜3}，故选：D．2．（5.00分）设，则tan（π+x）等于（）A．0 B．C．1 D．【解答】解：∵tan（π+x）=tanx∴时，tan（π+x）=tan=故选：B．3．（5.00分）函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（）A．（1，2]B．（1，+∞）C．（2，+∞）D．（﹣∞，0）【解答】解：由，解得：1＜x≤2．∴函数y=log3（x﹣1）+的定义域为（1，2]．故选：A．4．（5.00分）已知函数y=f（x）的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表x123456y124.435﹣7414.5﹣56.7﹣123.6则函数y=f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：依题意，∵f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，∴根据根的存在性定理可知，在区间（2，3）和（3，4）及（4，5）内至少含有一个零点，故函数在区间[1，6]上的零点至少有3个，故选：B．5．（5.00分）角α满足条件sinα•cosα＞0，sinα+cosα＜0，则α在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为sinα•cosα＞0∴sinα和cosα同号．又∵sinα+cosα＜0∴sinα＜0，cosα＜0．即α的正弦和余弦值均为负值．故α的终边在第三象限．故选：C．6．（5.00分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，则下列说法中错误说法的个数是（）①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个（不含本身）②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个（不含本身）③的长度恰为长度的倍④与不共线．A．4 B．3 C．1 D．0【解答】解：①图中所标出的向量中与相等的向量只有1个，（不含本身），正确；②图中所标出的向量与的模相等的向量有4个，，，（不含本身），正确；③利用菱形的性质、直角三角形的边角关系可得：的长度恰为长度的倍，正确．④与共线，因此不正确．因此说法中错误说法的个数是1．故选：C．7．（5.00分）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x+1，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x﹣1 B．﹣x+1 C．x+1 D．x﹣1【解答】解：∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，且x＞0时，f（x）=﹣x+1，∴当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）+1=x+1；又f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=x+1，∴f（x）=﹣x﹣1．故选：A．8．（5.00分）把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象正好关于y轴对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．D．π【解答】解：把函数y=cos（x+π）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，所得到的函数图象对应的函数的解析式为y=cos（x﹣φ+），由于所得图象正好关于y轴对称，则﹣φ+=kπ，k∈z，即φ=﹣kπ，故φ的最小值为，故选：C．9．（5.00分）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B． C．D．【解答】解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选：C．10．（5.00分）已知函数f（x）=，若对任意x x≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是（）A．（0，]B．（，1）C．（1，2） D．（﹣1，2）【解答】解：由于对任意x1≠x2，都有＜0成立，则f（x）在R上是单调递减函数，当x＜0时，y=a x为减，则0＜a＜1；①当x≥0时，y=（a﹣2）x+5a为减，则a﹣2＜0，即a＜2；②由于f（x）在R上是单调递减函数，则a0≥（a﹣2）×0+2a，解得a≤．③由①②③得，0＜a≤．故选：A．二、填空题（每小题4分，共20分）11．（4.00分）已知函数f（x）=，则f（0）+f（1）=1．【解答】解：函数f（x）=，则f（0）+f（1）=（0﹣1）+（1+1）=1；故答案为：1．12．（4.00分）如果角α的终边过点（2sin30°，﹣2cos30°），则sinα的值等于．【解答】解：依题意可知tanα==﹣∵，﹣2cos30°＜0，2sin30°＞0∴α属于第四象限角∴sinα=﹣=﹣故答案为：﹣13．（4.00分）设a=log33，b=log43，c=，则a，b，c之间的大小关系是c＜b ＜a．【解答】解：∵=＜＜1=；∴c＜b＜a，故答案为：c＜b＜a．14．（4.00分）已知表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，则﹣表示“向东北方向航行km；”【解答】解：∵表示“向东方向航行1km”，表示“向南方向航行1km”，∴﹣表示“向北方向航行1km”，∴﹣表示“向东北方向航行km”如图所示．故答案为：向东北方向航行km．15．（4.00分）当0＜x＜时，函数f（x）=的最大值是﹣．【解答】解：f（x）===tanx﹣（tanx）2﹣1，设t=tanx，∵0＜x＜，∴0＜tanx＜1，即0＜t＜1，则函数f（x）等价为y=﹣t2+t﹣1=﹣（t﹣）2﹣，∴当t=时，函数取得最大﹣，故答案为：﹣三、解答题16．（8.00分）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m﹣1≤x≤m+1}（1）若m=5，求A∩B（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为m=5，所以B={x|4≤x≤6}．…（1分）所以A∩B={x|4≤x≤6}…（3分）（2）易知B≠∅，…（4分）所以由B⊆A得…（7分）得﹣1≤m≤4…（8分）17．（8.00分）已知=（6，1），=（x，8），=（﹣2，﹣3）（1）若，求x的值（2）若x=﹣5，求证：．【解答】解：（1）∵=（x，8），=（﹣2，﹣3）又∵，∴﹣3x=﹣2×8，解得x=（2）当x=﹣5时，=++=（4+x，6）=（﹣1，6），∵=（6，1），∴=﹣1×6+6×1=0∴．18．（10.00分）某桶装水经营部每天的房租、员工工资等固定成本为200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售价格/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240（1）设经营部在进价基础上增加x元进行销售，则此时的日均销售量为多少桶？（2）在（1）中，设日均销售净利润（除去固定成本）为y元，试求y的最大值及其对应的销售单价．【解答】解：（1）由表可以看出，当销售单价每增加1元时，日均销售量将减少40桶．…（2分）当经营部在进价基础上增加x元进行销售时，此时的日均销售量为：480﹣40（x﹣1）=520﹣40x（桶）…（5分）（2）因为x＞0，且520﹣40x＞0，所以0＜x＜13…（6分）所以y=（520﹣40x）x﹣200=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．…（8分）易知，当x=6.5时，y有最大值1490元．即只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大净利润1490元．…（10分）（本题改编自教科书104页例5）19．（10.00分）设=（1，），=（cos2x，sin2x），f（x）=2（1）求函数f（x）的单调递增区间（2）若x，求函数f（x）的最大值、最小值及其对应的x的值．【解答】解：（1）f（x）=2（cos2x+sin2x）=4（cos2x+sin2x）=4sin（2x+）…（3分）由2k≤2x+≤2k（k∈Z）可解得：kπ﹣≤x≤kπ（k∈Z）故函数f（x）的单调递增区间是：[kπ﹣，kπ]（k∈Z）…（5分）（2）∵x，∴2x+∈[，]，…（6分）∴当x=时，函数f（x）的最大值为4…（8分）当x=时，函数f（x）的最大值为﹣2…（10分）20．（14.00分）若函数f（x）在定义域D内某区间1上是增函数，而F（x）=在1上是减函数，则称寒素y=f（x）在1上是“弱增函数”（1）请分析判断函数f（x）=x﹣4，g（x）=﹣x2+4x在区间（1，2）上是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）若函数h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ，b是常数），在（0，1]上是“弱增函数”，请求出θ及b应满足的条件．【解答】解：（1）由于f（x）=x﹣4在（1，2）上是增函数，且F（x）==1﹣在（1，2）上也是增函数，所以f（x）=x﹣4在（1，2）上不是“弱增函数”…（2分）g（x）=﹣x2+4x在（1，2）上是增函数，但=﹣x+4在（1，2）上是减函数，所以g（x）=﹣x2+4x在（1，2）上是“弱增函数”…（4分）（2）设h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b（θ、b是常数）在（0，1）上是“弱增函数”，则①h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0，1）上是增函数，由h（x）=x2﹣（sinθ﹣）x﹣b在（0，1）上是增函数得≤0，…（6分）∴sinθ≤，θ∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）；…（8分）②H（x）==x﹣+﹣sinθ在（0，1）上是减函数，记G（x）=x﹣，在（0，1）上任取0＜x1＜x2≤1，则G（x1）﹣G（x2）=（x1x2+b）＞0恒成立，…（11分）又∵＜0，∴x1x2+b＜0恒成立，而当0＜x1＜x2≤1时，0＜x1x2＜1，∴b≤﹣1；（如果直接利用双沟函数的结论扣2分）∴b≤﹣1；且θ∈[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）时，h （x）在（0，1]上是“弱增函数”．…赠送—高中数学知识点【 1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x．1．< ．x．2．时，都有f(x．．．1．)<f(x．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．x1x2y=f(X)xyf(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函．．数．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．（14分）。
2014-2015学年高一数学上学期期末考试试题含解析
2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题说明：1．本卷共有三个大题，21个小题，全卷满分150分,考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A ∪B ）=（ ） A ．{1，3，4}, B ．{3，4}, C ．{3}, D ．{4} 2．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ） A ．球, B ．三棱锥, C ．正方体, D ．圆柱 3．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（ ） A ．1：2, B ．1：4, C ．1：8, D ．1：164．已知点M （a ，b ）在圆O ：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切, B ．相交, C ．相离, D ．不确定 5．在下列命题中，不是公理的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线6．由表格中的数据可以判定方程20x e x --=的一个零点所在的区间是(,1)()k k k Z +∈， 则k 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．27．若函数11()2xy m -=+的图像与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．1m ≤-B ．10m -≤<C ．1m ≥D ．01m <≤8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增．若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(0,2]C ．[1,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．若定义在区间[-2015，2015]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[-2015，2015]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2014，且x ＞0时，有f （x ）＞2014，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ）A ．2014B ．2015C ．4028D ．403010．一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如下，M 、N 分别为1A B 、11B C 的中点．下列结论中正确的个数有①直线MN 与1A C 相交． ② MN BC ⊥． ③MN //平面11ACC A ． ④三棱锥1N A BC -的体积为1316N A BC V a -=． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共计25分．请将正确答案填在答题卷相应位置．） 11．函数22log (1)y x x =--的定义域为___________．12．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为 ．13．已知集合2{(,)49}A x y y x ==-，{(,)}B x y y x m ==+，且A B φ⋂≠，则实数m 的取值范围是_______________．14．已知函数1333,1()log ,01x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<<⎪⎩，则满足不等式1()()9f m f ≤的实数m 的取值范围为 ．15．下列四个命题：其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）设全集为U R =，集合(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，{}2|log (2)4B x x =+<． （1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知{}|21C x x a x a =><+且，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．17．（本小题满分12分）已知直线1l ：10ax by ++=，（,a b 不同时为0），2l ：(2)0a x y a -++=， （1）若0b =且12l l ⊥，求实数a 的值；（2）当3b =且12//l l 时，求直线1l 与2l 之间的距离．18．（本小题满分12分）已知幂函数21()(22)m f x m m x +=-++为偶函数．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()2(1)1y f x a x =--+在区间（2，3）上为单调函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分12分）20．（本小题满分13分）已知圆C 的方程:04222=+--+m y x y x ,其中5m <．（1）若圆C 与直线042:=-+y x l 相交于M ,N 两点，且MN =,求m 的值；（2）在（1）条件下，是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l ，若存在，求出c 的范围，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1axg x x -=-．（1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[)0,+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．2014-2015学年第一学期高一期末考试数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个符合要求．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D C B A C D D C B2、答案D分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等解答：球的三视图均为圆，且大小均等；正四面体的三视图可以形状都相同，大小均等；正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形；圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱故选D点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题3、4、6、7、8、9、10、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11．(]2,1 12．14 (0,0,)913．[7,72]-14．31[,log 5]915．①④⑤三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分12分）．解：（1）由0216,x <+<得(2,14)B =-， ……………………………2分又(,3][6,)A =-∞-⋃+∞，故阴影部分表示的集合为()(,3][14,)R A C B ⋂=-∞-⋃+∞ ； ……………………5分（2）① 21a a ≥+，即1a ≥时，C =∅，成立； ………………………9分② 21a a <+，即1a <时，(2,1)(2,14)C a a =+⊆-，114,22,a a +≤⎧⎨≥-⎩得11a -≤<， ………………………11分综上所述，a 的取值范围为[1,)-+∞． …………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）当0b =时，1l ：10ax +=，由12l l ⊥知(2)0a -=，…………4分解得2a =；……………6分（2）当3b =时，1l ：310ax y ++=，当12//l l 时，有3(2)0,310,a a a --=⎧⎨-≠⎩…………8分解得3a =， …………………9分此时，1l 的方程为：3310x y ++=，2l 的方程为：30x y ++=即3390x y ++=，…………11分则它们之间的距离为229142333d -==+分 18．（本小题满分12分）解：（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得 1m =或12m =-……3分 当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去． ∴2()f x x =． ……………………6分（2）由（1）得22(1)1y x a x =--+，即函数的对称轴为1x a =-， …………8分由题意知22(1)1y x a x =--+在（2，3）上为单调函数，所以12a -≤或13a -≥， ………11分即3a ≤或4a ≥． …………12分19．（本小题满分12分）解：20．（本小题满分13分）．解：（1）圆的方程化为 m y x -=-+-5)2()1(22，圆心 C （1，2），半径 m r -=5，则圆心C （1，2）到直线:240l x y +-=的距离为 5121422122=+-⨯+=d ………3分 由于5MN =125MN =，有2221()2r d MN =+， ,)52()51(522+=-∴m 得4=m ． …………………………6分（2）假设存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l 的距离为55， ……7分 由于圆心 C （1，2），半径1=r ， 则圆心C （1，2）到直线02:=+-c y x l 的距离为 511532122122-<-=++⨯-=c c d ， …………10分 解得5254+<<-c ． …………13分21．（本小题满分14分）解：（1）因为函数)(x g 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即11log 11log 2121---=--+x ax x ax ， 即axx x ax --=--+1111，得1±=a ，而当1=a 时不合题意，故1-=a ． ……4分 （2）由（1）得：11log )(21-+=x x x g ， 下面证明函数11log )(21-+=x x x g 在区间(1,)+∞上单调递增， 证明略． ………6分所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上单调递增， 所以函数11log )(21-+=x x x g 在区间]3,35[上的值域为]1,2[--， 所以2)(≤x g ，故函数)(x g 在区间]3,35[上的所有上界构成集合为),2[+∞．……8分（3）由题意知，3)(≤x f 在),0[+∞上恒成立．3)(3≤≤-x f ，x x x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--41221414． xx x xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴21222124在),0[+∞上恒成立． min max 21222124⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≤≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-∴x x x x a ……………………10分设t x =2，t t t h 14)(--=，t t t p 12)(-=，由),0[+∞∈x 得1≥t ,设121t t ≤<，21121212()(41)()()0t t t t h t h t t t ---=>， ()()1212121221()()0t t t t p t p t t t -+-=<, 所以)(t h 在),1[+∞上递减，)(t p 在),1[+∞上递增， ………………12分 )(t h 在),1[+∞上的最大值为5)1(-=h ，)(t p 在),1[+∞上的最小值为1)1(=p ．所以实数a 的取值范围为]1,5[-． …………………14分。
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河北科技大学2014—2015学年《高等数学》（上册）期末考试A 卷
一. 单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 若()f x 的一个原函数是x ，则()cos d f x x x =⎰ 【 】
A. sin x C +
B. sin x x C +
C. sin x C -+
D. cos x C +
2. 函数()f x 在点0x x =处导数存在的充要条件是 【 】
A.()f x 在0x 处连续
B.()f x 在0x 处可微分
C.()f x 在0x 处有界
D.0
lim ()x x f x →'存在 3. 函数()y f x =在点0x 处取得最小值，则必有 【 】
A. 0()0f x '=
B. 0()0f x ''<
C. 0()0f x '=且0()0f x ''<
D. 0()0f x '=或0()f x '不存在
4. 由曲线cos y x =和sin y x =及直线0x =，πx =所围成的图形的面积为 【 】
A. π0(cos sin )d x x x -⎰
B. π
0(sin cos )d x x x -⎰ C. π0cos sin d x x x -⎰ D. ππ
2π02(cos sin )d (sin cos )d x x x x x x -+-⎰⎰ 5. 设曲线sin ,cos 2,x t y t =⎧⎨=⎩则
d d y x
= 【 】 A. 4sin t - B. 4sin t C. cos t D. 2cos t -
二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 极限csc 0
lim(13)x x x →+= . 2. π352π2(cos sin )d x x x -+=⎰ .
3. 设函数1
()e x x f x +=，则点0x =是函数的第 类间断点.
4. 函数3
223
y x =相应于01x ≤≤的一段弧的长度为 .
5. 已知sin y x =，则(6)π2y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 三. 计算下列各题（每小题7分，共28分）
1. 计算不定积分221d (1)x x x +⎰
. 2.
求定积分1.
3. 求极限2200
202sin d lim ln(1)d x x x t t t t t
→⎡⎤+⎣⎦⎰⎰的值. 4. 计算不定积分arcsin d x x ⎰.
四． 解答题（每小题9分，共36分）
1. 求曲线x y x xy =+在点2x =处的切线方程.
2. 由3y x =，2x =，0y =所围成的图形，分别绕着x 轴及y 轴旋转一周，计算所得两个旋转体的体积.
3. 已知()cos ,0,(),
0,g x x x f x x a x -⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数，且(0)1g =.（1）确定a 的值，使得()f x 在点0x =处连续；（2）求(0)f '.
4. 求曲线43341y x x =-+的凹凸区间与拐点.
五、证明题（6分）
设函数()f x 在闭区间[0,1]上可导，且1
12(0)2e ()d x f f x x -=⎰，证明：在(0,1)内至少存在一
点ξ使得()()f f ξξ'=.。