高二月考数学(理科)试题

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河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析

河北省邯郸市第二十四中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB的中点，则点C到平面A1DM的距离为（）A． a B． a C． a D． a参考答案：A【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】计算题．【分析】连接A1C、MC，三棱锥A1﹣DMC就是三棱锥C﹣A1MD，利用三棱锥的体积公式进行转换，即可求出点C到平面A1DM的距离．【解答】解：连接A1C、MC可得=△A1DM中，A1D=，A1M=MD=∴=三棱锥的体积：所以 d（设d是点C到平面A1DM的距离）∴=故选A．【点评】本题以正方体为载体，考查了立体几何中点、线、面的距离的计算，属于中档题．运用体积计算公式，进行等体积转换来求点到平面的距离，是解决本题的关键．2. 如果函数的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程是（）A． B． C． D．参考答案：A试题分析：，因为函数的导数是偶函数，所以满足，即，，，所以在原点处的切线方程为，即，故选A.考点：导数的几何意义3. 若集合，，则是A．B．C．D．参考答案：B略4. 设，记，若则（）A． B．- C． D．参考答案：B5. 下列命题正确的是( )A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：C6. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度 B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至少有一个大于60度D．假设三内角至多有二个大于60度参考答案：B略7. 椭圆上的点到直线的最大距离是（）A．3 B．C．D．参考答案：D8. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于60°，反证假设正确的是( )A. 假设三内角都大于60°B. 假设三内角都不大于60°C. 假设三内角至多有一个大于60°D. 假设三内角至多有两个大于60°参考答案：B【分析】反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于60°不成立，即假设三内角都不大于60°，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9. 对于幂函数，若，则，大小关系是（）A． B．C． D．无法确定参考答案：A10. 若f(x)是偶函数且在(0,+∞)上减函数，又，则不等式的解集为（）A. 或B. 或C. 或D. 或参考答案：C∵是偶函数，，∴，∵，∴∵在上减函数，∴，∴或∴不等式的解集为或，故选C.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率为＿＿＿＿.参考答案：12. 若x 2dx=9，则常数T的值为．参考答案：3【考点】定积分．【分析】利用微积分基本定理即可求得．【解答】解： ==9，解得T=3，故答案为：3．13. 给出下列3个命题：①若，则；②若，则；③若且，则，其中真命题的序号为 ▲ ．参考答案：14. 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答）．参考答案： 336 略15. 设变量满足约束条件则的最大值为________参考答案：4 16. 若在展开式中x 3的系数为－80，则a = ．参考答案：－2；17. 已知，且是第二象限角，则____________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

四川省凉山州宁南中学2022-2023学年高二下学期第二次月考理科数学试题

【详解】解：∵ A = {x 1 < x < 2}， B = {x 1 £ x £ 2} ，
∴ A Ç B = {x 1 < x < 2} ，
故选：D． 2．C 【分析】由复数运算法则可得 z 代数形式，后可得其虚部.
【详解】
z
=
3 + 2i 1+ i
=
(3 + 2i)(1- i) (1+ i)(1- i)
=
5
2
i
=
5 2
-
1 2
i
，则
z
的虚部是
-
1 2
.
故选：C 3．B
【分析】根据点 P ( x, y) 在椭圆上得
x2 a2
+
y2 b2
= 1，且 -a
£
x
£ a ，再利用两点距离求得
PF1
=
c a
x + a ，从而可确定
PF1
a, c 的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率
e
=
c a
的值.
【详解】设椭圆的半焦距为 c ，若椭圆上一点 P ( x,
为圆柱下底面圆
O
的直径，C
是下底面圆周上一点，已知
ÐAOC
=
π 3
，
OA
=
2
，圆柱的高为
5．若点
D
在圆柱表面上运动，且满足
uuur BC
×
uuur CD
=
0
，则点
D
的轨
迹所围成图形的面积为________．
试卷第31 页，共33 页
16．已知函数 f ( x) = aln2x +1- x (a Î R) 有且仅有一条切线经过点 (0, 0) .若"x Î[1, +¥) ， f ( x) + mlnx £ 0 恒成立，则实数 m 的最大值是______.

高二第二学期月考数学试卷(理科)及答案

.高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（）A.-36B.36C.-84D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-b x a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（） A.103B.4C.163D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e x f （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ．15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34， ②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34， ③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分).17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列 {b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明；（Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可．本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限．故选：D ．.利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7，故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0．故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可．本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点，又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2．故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5，根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60．故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}，则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0， ∴不等式的解为0＜x ＜2，故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°．故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2，所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得．本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x−x+2)dx=(23x32−12x2+2x)|04=163．故选C．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y=√x，直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．.解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=34.17.解：（1）∵√3sinCcosC −cos 2C =12， ∴√32sin2C −1+cos2C2=12∴sin （2C-30°）=1∵0°＜C ＜180° ∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120° ∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1，两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2），（1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0，由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分）（Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3，又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710；（II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0．∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)． ∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×22=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k -32k 21+4k +4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，.. 当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0．∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数．∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立所以f （x ）在R 上单调递减；（Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax -e x =0有两个根x 1，x 2，又因为x =0显然不是该方程的根，所以方程2a =e x x 有两个根，设ℎ(x)=e x x ，得ℎ′(x)=e x (x−1)x 2．若x ＜0时，h （x ）＜0且h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减．若x ＞0时，h （x ）＞0．当0＜x ＜1时h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，当x ＞1时h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增．要使方程2a =e x x 有两个根，需2a ＞h （1）=e ，故a ＞e 2且0＜x 1＜1＜x 2．故a 的取值范围为(e 2，+∞)．（ii ）证明：由f ′（x 1）=0，得：2ax 1−e x 1=0，故a =e x 12x 1，x 1∈（0，1） f(x 1)=ax 12−e x 1=e x 12x 1⋅x 12−e x 1=e x 1(x 12−1)，x 1∈（0，1）设s （t ）=e t (t 2−1)（0＜t ＜1），则s ′(t)=e t (t−12)＜0，s （t ）在（0，1）上单调递减故s （1）＜s （t ）＜s （0），即−e 2＜f(x 1)＜−1．。

高中数学高二下学期数学试卷月考卷子(理)有答案

高中数学高二下学期数学试卷月考卷子(理)有答案一、选择题(共12小题，每小题5分，满分60分)1．若a ＜b ＜0，则下列结论不正确的是( )A.1a ＞1bB.a －b a ＞0 C ．a 2＜b 2D ．a 3＜b 32．下列结论正确的是( )A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°4．不等式lg(x 2－3x )＜1的解集为( )A ．(－2,5)B ．(－5,2)C ．(3,5)D ．(－2,0)∪(3,5)5．下列结论正确的是( )A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ＋1，则{a n }为的等差数列B ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n －2，则{a n }为等比数列C ．非零实数a ，b ，c 不全相等，若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c可能构成等差数列 D ．非零实数a ，b ，c 不全相等，若a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c一定构成等比数列 6．在等比数列{a n } 中，a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q 等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3 7．设集合A ＝{x |－2≤x ＜4}，B ＝{x |x 2－ax －4≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,2)C ．[0,3)D ．[0,3]8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 的形状一定是( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1且a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0，S 2m －1＝39，则m 等于( )A ．10B ．19C ．20D ．3910．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)，通项公式是( ) A ．a n ＝12nB ．a n ＝12n －1C ．a n ＝12nD ．a n ＝12n ＋1 11．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．212．设a n ＝|sin 1|1＋|sin 2|22＋…＋|sin n |2n ，则对任意正整数m ，n (m ＞n )都成立的是( ) A ．a m －a n ＜12n B ．a m －a n ＞12n C ．a m －a n ＜12m D ．a m －a n ＞m －n 2二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)13．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y ≥2，x ≤1，则2x ＋y 的最大值为______．14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，则a n ＝__________.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan A ＝12，tan B ＝13，且最长边的长为1，则△ABC 最短边的长为______．16．若x 、y 、z 均为正实数，则xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2的最大值为____．三、解答题(共6小题，满分70分)17．(10分)(1)已知正数a ，b 满足a ＋4b ＝4，求1a ＋1b的最小值． (2)求函数f (k )＝k 2＋2k 2＋6的最大值．18.(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＋c 2＝b 2＋ac .(1)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求c 的值；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．19．(12分)解关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)．20．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值范围．21．(12分)设数列{a n }是首项为a 1(a 1＞0)，公差为2的等差数列，其前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 2n 的前n 项和为T n ，求T n .22．(12分)数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }中，b n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，数列{1b n}的前n 项和为T n ，求证：T n ＜2.参考答案1．C [∵a ＜b ＜0，且y ＝x 2在(－∞，0)上单调递增减，故a 2＞b 2，C 错误．]2．C [对于A ，当0＜x ＜1时，lg x ＜0，不等式不成立；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x ∈(0,1)，sin x ＋4sin x的最小值4取不到，由于sin x ＝2不成立；对于C ，当x ＞0时，x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0＜x ≤2时，x －1x 递增，当x ＝2时，取得最大值32. 综合可得C 正确．]3．A [∵a ＝1，b ＝2，B ＝45°，∴由正弦定理可得：sin A ＝a sin B b ＝1×222＝12， ∵a ＝1＜b ＝2，由大边对大角可得：A ∈(0,45°)，∴解得A ＝30°.]4．D [∵lg(x 2－3x )＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＞0，x 2－3x ＜10，解得－2＜x ＜0或3＜x ＜5，∴不等式lg(x 2－3x )＜1的解集为(－2,0)∪(3,5)．]5．D [在A 中，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ＋1，∴a 1＝S 1＝1＋1＋1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n ＋1)－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，n ＝1时，a n ＝2≠a 1，故{a n }不为等差数列，故A 错误；在B 中，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n －2，∴a 1＝S 1＝2－2＝0，∴{a n }不为等比数列，故B 错误；在C 中，若1a ，1b ，1c 构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ＝2b ac， ∴b 2＝ac ，∴ac ＝(a ＋c 2)2＝a 2＋c 2＋2ac 4，∴a ＝c ，继而a ＝c ＝b ，与非零实数a ，b ，c 不全相等矛盾，∴1a ，1b ，1c不可能构成等差数列，故C 错误；在D 中，∵非零实数a ，b ，c 不全相等，a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴1b 2＝1ac ＝1a ×1c， ∴1a ，1b ，1c一定成等比数列，故D 正确．] 6．C [由题意可得q ≠1，由数列{S n ＋2}也是等比数列可得S 1＋2，S 2＋2，S 3＋2成等比数列，则(S 2＋2)2＝(S 1＋2)(S 3＋2)．代入等比数列的前n 项和公式整理可得：(6＋4q )2＝24(1＋q ＋q 2)＋12，解得q ＝3.]7．C [∵Δ＝a 2＋16＞0，∴设方程x 2－ax －4＝0的两个根为x 1，x 2，(x 1＜x 2)，即函数f (x )＝x 2－ax －4的两个零点为x 1，x 2，(x 1＜x 2)，则B ＝[x 1，x 2]．若B ⊆A ，则函数f (x )＝x 2－ax －4的两个零点在[－2,4)之间．注意到函数f (x )的图象过点(0，－4)，∴只需⎩⎪⎨⎪⎧f －2 ＝4＋2a －4≥0，f 4 ＝16－4a －4＞0，解得0≤a ＜3.]8．B [在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝sin B ＋sin C 2sin C ＝12·sin B sin C ＋12∴1＋cos A ＝sin B sin C ＋1，即cos A ＝sin B sin C， ∴cos A sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴sin A cos C ＝0，sin A ≠0，∴cos C ＝0，∴C 为直角．]9．C [∵数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1，又∵S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.]10．C [设{2n －1·a n }的前n 项和为T n ， ∵数列{a n }满足a 1＋2a 2＋22a 3…＋2n －1a n ＝n 2(n ∈N *)， ∴T n ＝n 2， ∴2n －1a n ＝T n －T n －1＝n 2－n －12＝12， a n ＝122n －1＝12n ，经验证，n ＝1时也成立，故a n ＝12n .] 11．C [先根据约束条件画出可行域，设z ＝x ＋y ，将最大值转化为y 轴上的截距，当直线z ＝x ＋y 经过直线x ＋y ＝9与直线2x －y －3＝0的交点A (4,5)时，z 最大，将m 等价为斜率的倒数，数形结合，将点A 的坐标代入x －my ＋1＝0得m ＝1.]12．A [a m －a n ＝|sin n ＋1 |2n ＋1＋|sin n ＋2 |2n ＋1＋…＋sin m 2m ≤12n ＋1＋12n ＋2＋…＋12m ＝12n .12[1－12m －n ]1－12＜12n .] 13．4 [满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y ≥2，x ≤1的平面区域如下图所示：由图可知：当x ＝1，y ＝2时，2x ＋y 取最大值4.]14．n 2－2n ＋2解析 ∵a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －3)＋(2n －5)＋…＋1＋1＝ n －1 2n －3＋1 2＋1 ＝n 2－2n ＋2.15.55解析由题意可得tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B ＝－12＋131－12×13＝－1， ∴∠C ＝135°，c 为最长边，故c ＝1，又∵0＜tan B ＝13＜12＝tan A ， ∴B 为最小角，b 为最短边，∵tan B ＝13，∴sin B ＝1010，由正弦定理可得b ＝c sin B sin C ＝55. 16.22解析 ∵x 2＋12y 2≥2xy ，12y 2＋z 2≥2yz ， ∴xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2＝xy ＋yz ⎝⎛⎭⎫x 2＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫12y 2＋z 2≤xy ＋yz 2 xy ＋yz ＝22，当且仅当x ＝z ＝22y 时，等号成立． 17．解 (1)由a ，b ＞0，且a ＋4b ＝4，即有1a ＋1b ＝14(a ＋4b )(1a ＋1b )＝14(5＋a b ＋4b a) ≥14(5＋2a b ·4b a )＝94. 当且仅当a ＝2b ＝43时取得最小值，则1a ＋1b 的最小值为94. (2)令t ＝2＋k 2(t ≥2)，则g (t )＝t t 2＋4＝1t ＋4t ≤12t ·4t＝14，当且仅当t ＝2，即k ＝±2时，取得等号，即有f (k )的最大值为14. 18．解 (1)∵sin C ＝2sin A ，∴由正弦定理可得c ＝2a ，又∵a 2＋c 2＝b 2＋ac .b ＝3，∴a 2＋4a 2＝3＋2a 2，解得a ＝1，c ＝2.(2)由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∴sin B ＝32，又∵b ＝2，a 2＋c 2＝b 2＋ac .∴4＋ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，即ac ≤4，∴S △ABC ＝12ac sin B ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．故△ABC 面积的最大值为 3.19．解 (1)当a ＝0时，有－2x －2＜0，∴x ＞－1.(2)a ＞0时，∵Δ＝4－4a (－2－a )＝4a 2＋8a ＋4＝4(a ＋1)2＞0，方程ax 2－2x －2－a ＝0的两根为2±2 a ＋1 2a，即x 1＝－1，x 2＝a ＋2a， ∴不等式的解集为{x |－1＜x ＜a ＋2a}． (3)当－1＜a ＜0时，Δ＝4－4a (－2－a )＝4a 2＋8a ＋4＝4(a ＋1)2＞0，不等式ax 2－2x －2－a ＜0的解集为{x |x ＜a ＋2a或x ＞－1}．综上，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为：当－1＜a ＜0时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为{x |x ＜a ＋2a或x ＞－1}．当a ＝0时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为{x |x ＞－1}；当a ＞0时，关于x 的不等式ax 2－2x －2－a ＜0(a ＞－1)的解集为{x |－1＜x ＜a ＋2a}． 20．解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ，则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin A sin B，所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin A sin B. 即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin C sin A＝3. (2)由sin C sin A＝3得c ＝3a . 由题意⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＞b ，a 2＋c 2＜b 2， ∴52＜a ＜10. 21．解 (1)∵S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋6，由S 1，S 2，S 3成等差数列得，2S 2＝S 1＋S 3，即22a 1＋2＝a 1＋3a 1＋6，解得a 1＝1，故a n ＝2n －1.(2)b n ＝a n 2n ＝2n －12n ＝(2n －1)(12)n ， T n ＝1×12＋3×14＋5×18＋…＋(2n －1)·(12)n ，① ①×12得，12T n ＝1×(12)2＋3×(12)3＋5×(12)4＋…＋(2n －3)×(12)n ＋(2n －1)×(12)n ＋1，② ①－②得，12T n ＝12＋2×(12)2＋2×(12)3＋…＋2×(12)n －(2n －1)×(12)n ＋1＝2×12 1－12n 1－12－12－(2n －1)×(12)n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，∴T n ＝3－42n －2n －12n ＝3－2n ＋32n . 22．(1)解 ∵对于任意n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，∴2S n ＝a n ＋a 2n ，∴当n ≥1时，2S n －1＝a n －1＋a 2n －1，相减可得，2a n ＝a n ＋a 2n －(a n －1＋a 2n －1)，化为(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n －a n －1－1＝0，当n ＝1时，2a 1＝a 1＋a 21，a 1＞0，解得a 1＝1.∴数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为1.∴a n ＝1＋(n －1)＝n .(2)证明 b n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n ！.∴数列{1b n }的前n 项和为T n ＝11＋12！＋13！＋…＋1n ！≤1＋11×2＋12×3＋…＋1 n －1 n ＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n)＝2－1n ＜2.。

高二第二学期月考数学试卷理科及答案

高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3．（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明；（Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可．本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限．故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7，故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0．故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可．本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点，又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2．故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5，根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60．故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}，则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2，故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°．故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2，所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得．本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1，两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2），（1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0，由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分）（Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3，又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710；（II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立所以f （x ）在R 上单调递减；（Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。

高二理科数学月考试题及答案

试卷20200424时间：0分钟满分：152分命卷人：陆大勇审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 已知复数z =(1−a)+(a 2−1)i (i 为虚数单位,a >1),则z 在复平面内的对应点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】当a >1时,1−a <0,a 2−1>0,所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限.2. 曲线f(x)=x 3+x −2在点P 0处的切线平行于直线y =4x −1，则P 0点的坐标为（）A. (1,0)或(−1,−4)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,4)【答案】A【解析】由已知条件，点P 0的切线斜率为4，即3x 2+1=4，∴x =±1.3. 观察以下等式：13=1,13+23=9,13+23+33=36,13+23+33+43=100,13+23+33+43+53=225⋯由此可以推测13+23+33+⋯+n 3=( )A. n (n+1)2 B. (2n −1)2 C.n 2(n−1)4D.n 2(n+1)24【答案】D【解析】由12=1,9=32=(1+2)2,36=62= (1+ 2+ 3)2,100=(1=2+3+4)2,225= (1+ 2+ 3+ 4+ 5)2,… ,可推测13+23+33+...+n 3=(1+2+3+4+5+...+n )2=[n (n+1)2]2=14n 2(n +1)2, 故选D.4. 已知函数y =x 2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy)，则ΔyΔx 等于（）A. 2B. 2xC. 2+ΔxD. 2+(Δx)2【答案】C 【解析】Δy Δx=f(1+Δx)−f(1)Δx=[(1+Δx)2+1]−2Δx=2+Δx5. 用数学归纳法证明“2n+1+2n+2+2n+3+...+23n+1>2512(n ∈N ∗)”的过程中,在第二步证明从n =k 到n =k +1成立时,左边增加的项为( )A. 23k+2+23k+3+23k+4 B.23k+2+23k+3+23k+4−2k+1C. 23k+4 D.23k+3+23k+4−2k+1【答案】B【解析】当n =k 时,左边=2k+1+2k+2+2k+3+...+23k+1,当n =k +1时, 左边=2k+2+2k+3+2k+4+...+23k+1+23k+2+23k+3+23k+4, 所以左边增加的项为23k+2+23k+3+23k+4−2k+1.6. 以下说法中正确个数是( ) ①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”; ②欲证不等式√3−√5<√6−√8成立,只需证(√3−√5)2<(√6−√8)2; ③用数学归纳法证明1+a +a 2+a 3+⋯+a n+1=1−a n+21−a (a ≠1,n ∈N +,在验证n =1成立时,左边所得项为1+a +a 2; ④命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是使用了“三段论”,但小前提使用错误.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”;①错欲证不等式√3−√5<√6−√8成立,因为√3−√5<√6−√8<0,故只需证(√3−√5)2>(√6−√8)2,②错1+a +a 2+a 3+⋯+a n+1=1−a n+21−a(a ≠1,n ∈N +,当n =1时,左边所得项为1+a +a 2;③正确命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是使用了“三段论”,小前提使用错误.④正确综上所述:①②错③④正确故选B7. 如图为函数y =f(x)的导函数y =f′(x)的图象，那么函数y =f(x)的图象可能为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由导函数y =f′(x)的图象，可知当−1<x <3时，f′(x)<0，所以y =f(x)在(−1,3)上单调递减；当x >3或x <−1时，f′(x)>0，所以y =f(x)在(−∞,−1)和(3,+∞)上单调递增.综上，函数y =f(x)的图象的大致形状如A 中图所示.8. 已知函数f(x)=sin(2x −π3),则f′(π3)等于( )A. √3B. √32C. 12D. 1【答案】D【解析】∵函数f(x)=sin(2x −π3),∴f′(x)=2cos(2x −π3),将x =π3代入,得f′(π3)=2cos(2π3−π3)=2cosπ3=1.9. 已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y 1=1x (x >0),y 2=x ,y 3=14x ,则阴影部分的面积为( )A. 1+ln2B. ln2C. 1D. 2【答案】B【解析】由{y =1x y =x 得x =1,由{y =1x y =x 4得x =2,阴影部分的面积S =∫01(x −x 4)dx +∫12(1x −x 4)dx =∫013x 4dx +∫121x dx −∫12x 4dx =34×x 22|01+lnx|12−14×x 22|12=ln2.10. 已知函数f(x)=a x +e x −xlna(a >0,a ≠1),对任意x 1,x 2∈[0,1],不等式|f(x 2)−f(x 1)|⩽a −2恒成立,则a 的取值范围为( )A. [12,e 2]B. [e e ,+∞)C. [12,+∞)D. [e 2,e e ]【答案】B【解析】因为f(x)=a x +e x −xlna ,所以f′(x)=a x lna +e x −lna =(a x −1)lna +e x . 当a >1时,对任意的x ∈[0,1],a x −1⩾0,lna >0,恒有f′(x)>0, 当0<a <1时,a x −1⩽0,lna <0,恒有f′(x)>0, 所以f(x)在x ∈[0,1]是单调递增的.那么对任意的x 1,x 2∈[0,1], 不等式|f(x 2)−f(x 1)|⩽a −2恒成立,只要f(x)max −f(x)min ⩽a −2,f(x)max =f(1)=a +e −lna ,f(x)min =f(0)=1+1=2, 所以a −2⩾a +e −lna −2,即lna ⩾e,a ⩾e e .选B.11. 已知函数f(x)={ln(x +1),x >012x +1,x ⩽0若m <n ,且f(m)=f(n),则n −m 的取值范围是( )A. [3−2ln2,2)B. [3−2ln2,2]C. [e −1,2]D. [e −1,2)【答案】A【解析】如图,作出函数f(x)的图像,不妨设f(m)=f(n)=t , 由f(m)=f(n)可知函数f(x)的图像与直线y =t 有两个交点, 而x ⩽0时,函数f(x)单调递增,其图像与y 轴交于点(0,1),所以0<t ⩽1. 又m <n ,所以m ⩽0,n >0. 由f(m)=t ,即12m +1=t ,解得m =2t −2; 由f(n)=t ,即ln(n +1)=t ,解得n =e t −1. 记g(t)=n −m =e t −1−(2t −2)=e t −2t +1(0<t ⩽1),∴g′(t)=e t −2, 所以当0<t <ln2时,g′(t)<0,函数g(t)单调递减; 当ln2<t ⩽1时,g′(t)>0,函数g(t)单调递增. 所以函数g(t)的最小值为g(ln2)=e ln2−2ln2+1=3−2ln2. 而g(0)=e 0+1=2,g(1)=e −2+1=e −1<2,所以3−2ln2⩽g(t)<2.12. 由y =−x ,x =1及x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积是( )A. 52B. π2C. 23D. π3【答案】D【解析】数形结合得V =∫01πx 2dx =π3x 3|01=π3.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 若直线y =kx +b 是曲线y =lnx +1的切线，也是曲线y =ln(x +2)的切线，则b =__________．【答案】ll2【解析】设y =kx +b 与y =lnx +1和y =ln(x +2)的切点分别为(x 1,lnx 1+1)、(x 2,ln(x 2+1))； ∵y=lnx +1，y =ln(x +2)， ∴y′=1x，y′=1x+2， ∴k =1x 1=1x 2+2， ∴x 1−x 2=2，切线方程分别为y −(lnx 1+1)=1x 1(x −x 1)，即为y =x x 1+lnx 1，或y −ln(x 2+2)=1x 2+2(x −x 2)，即为y =xx 1+2−x 1x 1+lnx 1， ∴2−x 1x 1=0，解得x 1=2，∴b =ln2，故答案为：ln2.14. 函数f(x)={2−x,x ⩽0√4−x 2,0<x ⩽2,则∫−22f(x)dx 的值为__________.【答案】l +6【解析】由题意,函数f(x)={2−x,x ⩽0√4−x 2,0<x ⩽2, ∴∫−22f(x)dx =∫−20(2−x)dx +∫02√4−x 2dx =(2x −12x 2)|0−2+14×π×22=6+π.15. 设复数z 满足|z −3−4i |=1,则|z|的最大值是__________．【答案】6【解析】设z =x +yi ,复数z 满足|z −3−4i |=1, 所以(x −3)2+(y −4)2=1,表示以(3,4)为圆心,以1为半径的圆, 又|z|表示圆上点(x,y )到原点的距离,所以|z|max =√32+42+1=6．16. 已知函数f(x)=2e x +1+sinx ,其函数记为f′(x),则f(2016)+f(−2016)+f′(2016)−f′(−2016)的值为__________.【答案】2【解析】由题意得,因为f(x)=2e x +1+sinx ,所以f′(x)=−e x (e x +1)2+cosx ,所以f(x)+f(−x)=2e x +1+sinx +2e −x +1+sin(−x)=2,f′(x)+f′(−x)=−e x (e x +1)2+cosx +e −x (e −x +1)2−cos(−x)=0,所以f(2016)+f(−2016)+f′(2016)−f′(−2016)=2.三、解答题（每小题12分，共6小题72分） 17. 已知函数f (x )=13x 3−32x 2−4x +1. (1)求函数f (x )的单调区间; (2)当x ∈[−25]时,求函数f (x )的最大值和最小值.【答案】见解析;【解析】(1)f′(x )=x 2−3x −4=(x −4)(x +1), 当x <−1或x >4时,f′(x )>0,当−1<x <4时,f′(x )<0, 所以函数f (x )单调递增区间是(−∞,−1)和(4,+∞), 函数f (x )单调递减区间是(−1,4). (2)由(1)知,当x ∈[−2,−1]时,f′(x )⩾0, 当x ∈[−1,4]时,f′(x )⩽0,当x ∈[4,5]时,f′(x )⩾0, 所以f (−2)=13,f (−1)=196,f (4)=−533,f (5)=−896, 当x =−1时,函数f (x )的最大值为196,当x =4时,函数f (x )的最小值为−533.18. 观察下列等式：√13=1；√13+23=3；√13+23+33=6；√13+23+33+43=10；√13+23+33+43+53=15, ………… (1)猜想第n (n ∈N ∗)个等式； (2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1)3+23+33+…+n 3=n (n+1)2. (2)答案见解答. 【解析】(1)√13+23+33+…+n 3=n (n+1)2. (2)证明： (i)当n =1时,等式显然成立. (ii)假设n =k 时等式成立,即√13+23+33+…+k 3=k (k+1)2, 即13+23+33+…+k 3=k 2(k+1)24. 那么当n =k +1时,左边=√13+23+33+…+(k +1)3=√k 2(k+1)24+(k +1)3=√(k+1)2(k2+4k+4)4=√(k+1)2(k+2)24=(k+1)[(k+1)+1]2, 右边=(k+1)[(k+1)+1]2. 所以当n =k +1时,等式也成立. 综上所述,等式对任意n ∈N ∗都成立.19. (1)已知a >0,求证:√a +5−√a +3>√a +6−√a +4(2)证明:若a,b,c 均为实数,且a =x 2−2y +π2,b =y 2−2z +π3,c =z 2−2x +π6,则a,b,c 中至少有一个大于0.【答案】见解析【解析】(1)证明:要证:√a +5−√a +3>√a +6−√a +4,只需证:√a +5+√a +4>√a +6+√a +3只需证:2a +9+2√(a +5)(a +4)>2a +9+2√(a +6)(a +3)即证:√(a +5)(a +4)>√(a +6)(a +3)只需证:(a +5)(a +4)>(a +6)(a +3),即证:20>18,∵上式显然成立, ∴原不等式成立. (2)设a,b,c 都不大于0,即a ⩽0,b ⩽0,c ⩽0,∴a +b +c ⩽0而=(x 2−2x)+(y 2−2y)+(z 2−2z)+π=(x −1)2+(y −1)2+(z −1)2+π−3∴a +b +c >0,这与a +b +c ⩽0矛盾,故假设是错误的故a,b,c 中至少有一个大于0.20. 已知函数f (x )=2x +alnx −2(a0)． (Ⅰ)若曲线y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f(x)的单调区间； (Ⅱ)若对于任意∀x ∈(0,+∞)都有f (x )2(a −1)成立，试求a 的取值范围．【答案】详见解析【解析】(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞)求导函数可得f′(x)=−2x 2+ax ，∴f′(1)=−2+a ∵曲线y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y =x +2垂直， ∴−2+a =−1，∴a =1，∴f′(x)=−2x 2+1x =x−2x2，令f′(x)>0，可得x >2；令f′(x)<0，x >0，可得0<x <2， ∴函数y =f(x)的单调增区间为(2,+∞)，单调减区间为(0,2)； (Ⅱ)对于任意∀x ∈(0,+∞)都有f(x)>2(a −1)成立，即f(x)min >2(a −1)成立，f′(x)=−2x 2+a x =ax−2x 2(a >0)，令f′(x)>0，可得x >2a ；令f′(x)<0，x >0，可得0<x <2a ，∴函数y =f(x)的单调增区间为(2a ,+∞)，单调减区间为(0,2a )；∴x =2a 时，函数取得极小值且为最小值，∴f(2a )>2(a −1)，∴ln 2a >1，∴0<a <2e ，∴a 的取值范围为(0,2e)．21. 已知函数f(x)=∫0xt(t −4)dt . （1）若不等式f′(x)+2x +2<m 在[0,2]内有解，求实数m 的取值范围；（2）若函数g(x)=f(x)+a −13在区间[0,5]上没有零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[1,+∞)；（2）(11,+∞)∪(−∞,13). 【解析】（1）因为f(x)=∫0xt(t −4)dt =(13t 3−2t 2)|x 0=13x 3−2x 2，所以f′(x )=x 2−4x . 则不等式f′(x)+2x +2<m 可化为m >x 2−2x +2. 因为不等式f′(x)+2x +2<m 在[0,2]内有解，所以m >(x 2−2x +2)min (x ∈[0,2]). 因为x 2−2x +2=(x −1)2+1，所以当x ∈[0,2]时，(x 2−2x +2)min =1，所以m >1，即实数m 的取值范围是[1,+∞)；（2）由（1）得g(x)=13x 3−2x 2+a −13，所以g′(x)=x2−4x=x(x−4). 则当0≤x≤4时，g′(x)≤0；当4<x≤5时，g′(x)>0，所以当x=4，g(x)的最小值为g(4)=a−11. 因为函数g(x)=f(x)+a−13在区间[0,5]上没有零点，所以a−11>0或{g(0)=a−13<0g(5)=−263+a<0，解得a>11或a<13. 所以实数a的取值范围是(11,+∞)∪(−∞,13).22. 设函数f(x)=e mx+x2−mx.(1)证明：f(x)在(−∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增； (2)若对于任意x1,x2∈[−1,1],都有|f(x1)−f(x2)|≤e−1,求m的取值范围．【答案】(1)见解析. (2)m的取值范围是[−1,1 ]．【解析】(1)证明f′(x)=m(e mx−1 )+2 x.若m≥0,则当x∈(−∞,0)时,e mx−1≤0,f′(x)<0；当x∈(0,+∞)时,e mx−1≥0,f′(x)>0.若m<0,则当x∈(−∞,0)时,e mx−1>0,f′(x)<0；当x∈(0, +∞)时,e mx−1<0,f′(x)>0.所以f(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增．(2 )由(1)知,对任意的m,f(x)在[−1,0]上单调递减,在[0,1 ]上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值．所以对于任意x1,x2∈[−1,1 ],|f(x1)−f(x2)|≤e−1的充要条件是{f(1)−f(0)≤e−1f(−1)−f(0)≤e−1即{e m−m≤e−1e−m+m≤e−1①设函数g(t)=e t−t−e+1,则g′(t)=e t−1 .当t<0时,g′(t)<0；当t>0时,g′(t)>0.故g(t)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增．又g(1)=0,g(−1 )=e−1+2−e< 0,故当t∈[−1,1]时,g(t)≤0,故当m∈[−1,1]时,g(m)≤0,g(−m)≤0,即①式成立；当m>1 时,由g(t)的单调性,知g(m)>0,即e m−m>e−1;当m<−1时,g(−m)>0,即e−m+m>e−1;综上,m的取值范围是[−1,1 ]．。

高二数学下学期第二次月考试题理含解析试题

智才艺州攀枝花市创界学校二中二零二零—二零二壹高二下学期第二次月考数学试卷(理科)一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕1.，且，那么实数的值是〔〕A.0B.1C. D.【答案】C【解析】【分析】先计算，再求得，利用模的计算公式求得a.【详解】∵，∴∴＝3,得，那么，∴a=，应选：C．【点睛】此题主要考察复数模的运算、虚数i的周期，属于根底题．2.①是三角形一边的边长，是该边上的高，那么三角形的面积是，假设把扇形的弧长，半径分别看出三角形的底边长和高，可得到扇形的面积；②由，可得到，那么①、②两个推理依次是A.类比推理、归纳推理B.类比推理、演绎推理C.归纳推理、类比推理D.归纳推理、演绎推理【答案】A【解析】试题分析：根据类比推理、归纳推理的定义及特征，即可得出结论．详解：①由三角形性质得到圆的性质有相似之处，故推理为类比推理；②由特殊到一般，故推理为归纳推理．应选：A．点睛：此题考察的知识点是类比推理，归纳推理和演绎推理，纯熟掌握三种推理方式的定义及特征是解答此题的关键．满足,那么〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由求得，利用复数的除法运算法那么化简即可.【详解】由得，所以=，应选A．【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考察复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、一共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考察除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.=(i是虚数单位),那么复数的虚部为〔〕A.iB.-iC.1D.-1【答案】C【解析】故答案为C的导数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将f〔x〕＝sin2x看成外函数和内函数，分别求导即可．【详解】将y＝sin2x写成，y＝u2，u＝sinx的形式．对外函数求导为y′＝2u，对内函数求导为u′＝cosx，故可以得到y＝sin2x的导数为y′＝2ucosx＝2sinxcosx＝sin2x应选：D．【点睛】此题考察复合函数的求导，熟记简单复合函数求导,准确计算是关键,是根底题=的极值点为()A. B.C.或者D.【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】==，函数在上是增函数，在上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，应选B.【点睛】该题考察的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.()A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】时，时，应选D．与直线及所围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】曲线与直线及所围成的封闭图形如下列图，图形的面积为，选.考点：定积分的简单应用.9.某校高二(2)班每周都会选出两位“进步之星〞,期中考试之后一周“进步之星〞人选揭晓之前,小马说:“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞,小赵说:“一定没有我,肯定有小宋〞,小宋说:“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞,小谭说:“小赵说的对〞.这四人中有且只有两人的说法是正确的,那么“进步之星〞是()A.小马、小谭B.小马、小宋C.小赵、小谭D.小赵、小宋【答案】C【解析】【分析】根据题意，得出四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，“进步之星〞是小赵和小谭．【详解】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生〞，假设小马说假话，那么小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋〞是假话，否那么，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星〞，是真话；小谭说：“小赵说的对〞，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“进步之星〞是小赵和小谭．应选：C．【点睛】此题考察了逻辑推理的应用问题，分情况讨论是关键,是根底题目．,直线过点且与曲线相切,那么切点的横坐标为()A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点〔0，﹣e〕代入，利用函数零点的断定求得切点横坐标．【详解】由f〔x〕＝e2x﹣1，得f′〔x〕＝2e2x﹣1，设切点为〔〕，那么f′〔x0〕，∴曲线y＝f〔x〕在切点处的切线方程为y〔x﹣〕．把点〔0，﹣e〕代入，得﹣e，即，两边取对数，得〔〕+ln〔〕﹣1＝0．令g〔x〕＝〔2x﹣1〕+ln〔2x﹣1〕﹣1，显然函数g〔x〕为〔，+∞〕上的增函数，又g〔1〕＝0，∴x＝1，即＝1．应选：B．【点睛】此题考察利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考察函数零点的断定及应用，是中档题．f(x)的导函数f'(x)的图象如下列图,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),那么不等式g(x)≥3x-3的解集是() A.[-1,1]∪[2,+∞) B.(-∞,-1]∪[1,2]C.(-∞,-1]∪[2,+∞)D.[-1,2]【答案】A【解析】【分析】根据图象得到函数f〔x〕的单调区间，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集．【详解】由题意得：f〔x〕在〔﹣∞，1〕递减，在〔1，+∞〕递增，解不等式g〔x〕≥3x﹣3，即解不等式〔x﹣1〕f〔x〕≥3〔x﹣1〕，①x﹣1≥0时，上式可化为：f〔x〕≥3＝f〔2〕，解得：x≥2，②x﹣1≤0时，不等式可化为：f〔x〕≤3＝f〔﹣1〕，解得：﹣1≤x≤1，综上：不等式的解集是[﹣1，1]∪[2，+∞〕，应选：A．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，分类讨论思想,准确判断f(x)的单调性是关键，是一道中档题．在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，.假设，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：∵，设，那么，∴为奇函数，又，∴在上是减函数，从而在上是减函数，又等价于，即，∴，解得．考点：导数在函数单调性中的应用.【思路点睛】因为，设，那么，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性可得，由此即可求出结果.二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分〕为纯虚数，那么实数的值等于__________．【答案】0【解析】试题分析：由题意得，复数为纯虚数，那么，解得或者，当时，〔舍去〕，所以.考点：复数的概念.，，那么__________〔填入“〞或者“〞〕．【答案】.【解析】分析：利用分析法，逐步分析，即可得到与的大小关系.详解：由题意可知，那么比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，所以，即，即.点睛：此题主要考察了利用分析法比较大小，其中解答中合理利用分析法，逐步分析，得出大小关系是解答的关键，着重考察了推理与论证才能.15.．【答案】．【解析】试题分析：根据定积分性质：，根据定积分的几何意义可知，表示以为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以，而，所以．考点：定积分．，假设对任意实数都有，那么实数的取值范围是____________.【答案】【解析】构造函数，函数为奇函数且在上递减，即，即，即，所以即恒成立，所以，所以，故实数的取值范围是．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕〔i为虚数单位〕．〔1〕当时，求复数的值；〔2〕假设复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．【答案】〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕【解析】【分析】〔Ⅰ〕将代入，利用复数运算公式计算即可。

高二数学(理)下学期第二次月考试题(含答案)

上学期第二次月考高二数学卷（理）考试时间：120分钟满分：150一、选择题（每小题5分，共12题）1、已知全集{,,,,}U a b c d e =，{,,}M a c d =，{,,}N b d e =，则N M C U ⋂)( = （）A ．{}bB ．{}dC ．{,}b eD ．{,,}b d e2、 5()a x x +（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（）A ．-1B ．12 C ．1 D ．23、某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有（）A. 24种B. 36种C. 38种D. 108种4、计算888281808242C C C C ++++ ＝（）A 、62B 、82C 、83 D 、63 5、一个盒子里有6只好晶体管,4只坏晶体管,任取两次,每次取一只,每次取后不放回,则若已知第一只是好的,则第二只也是好的概率为( ) A.23 B.512 C.59 D.796、已知△ABC 的重心为P ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=，则λ的值为A ．2B ．23C ．3D ．67、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B 和C 在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）A ．34种B ．48种C ．96种D ．144种8、35(1(1+的展开式中x 的系数是（A ）4- （B ）2- （C ）2 （D ）49、某体育彩票规定: 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( )A.1050元B. 1052元C. 2100元D. 2102元10、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（）A.2524C C ⋅ B.443424C C C ++ C.2524C C + D.054415342524C C C C C C ⋅+⋅+⋅11、已知,)(为偶函数x f x x f x x f x f 2)(,02),2()2(=≤≤--=+时当，若*,(),n n N a f n ∈=则2011a = ( )A ．1B ．21C ． 14D ．1812、如图，在A 、B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，而可能导致电路不通，如今发现A 、B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）A ．10B ．13C ．12D ．15二、填空题（每小题5分，共4小题）13、已知(1-2x)n的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第_____________项.14、乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_.15、同时投掷三颗骰子，至少有一颗骰子掷出6点的概率是_____________ (结果要求写成既约分数）.16、用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_______种不同的涂色方案。

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高二月考理科数学试题 2012.6
选择题（每题5分，共60分）
1. 已知2log (x 1)1+=，则x 等于（）
A.0
B.1
C.2
D.3
2. 命题“x R,sin x 1∀∈≤”的否定形式为（）
A.x R,sin x 1∃∈≥
B.x R,sin x 1∀∈≥
C.x R,sin x 1∃∈>
D.x R,sin x 1∀∈>
3. 下列命题是真命题的是（）
A.2x R,(x 1)0∀∈+>
B.x {3,5,7},3x 1∀∈+为偶数
C.2x Q,x 3∃∈=
D. 2x R,x x 10∃∈-+= 4. “a 1>”是 “a log 20>”的（）条件
A.充分不必要
B.必要不充分
C.充分必要
D.即不充分也不必要
5. 函数x y a b 1=+-的图象经过第二、三、四象限，则一定有（）
A.0a 1<<且b 0>
B.a 1>且b 0>
C.0a 1<<且b 0<
D.a 1>且b 0<
6. 若253a ()5=、352b ()5=、25
2c ()5
=，则a 、b 、c 的大小关系是（）
A.a c b >>
B.a b c >>
C.c a b >>
D.b c a >>
7. 函数()lg sin f x x x =-的零点个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
8. 下列函数中,值域为(,0)-∞的函数是( )
A.2=-y x
B.31=-y x
C. =y
D. 2=-x y
9. 在同一坐标系下，函数x
y e -=与函数ln y x =-的图象大致是（）
10. 设函数()f x 定义域为R ,且(2)()f x f x -=，当1≥x 时,()ln =f x x ，则 ( )
A.11()(2)()32<<f f f
B.11
()(2)()23
<<f f f
C.11
()()(2)23
<<f f f
D.11
(2)()()23
<<f f f
11. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且(2)()f x f x +=,若()f x 在[1,0]-上是减函数,那
么()f x 在[1,3]上是( ) A.增函数
B.先增后减的函数
C.减函数
D.先减后增的函数
12. 若()f x 为偶函数,当[0,)∈+∞x 时,()1=-f x x ,则不等式2(1)0-<f x 的解集为( )
A.(1,0)-
B.(U
C.(0,2)
D.(1,2)
填空题（每题5分，共30分）
13. 函数2y x mx 1=++为偶函数，则m 的值为。

14. 函数2
y lg(
a)1x
=+-为奇函数，则实数a 的值为。

15. 函数x f (x)a =在区间(,0)-∞上的单调递减，则函数a g(x)log |x |=在区间(,0)-∞上的
单调性为。

16. 已知函数)(x f y =是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，,1)(2-=x x f 则)2
7(f 的
值。

17. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2
1
=x 对称，则
(1)(2)f f += 。

18. 下列函数在定义域内能够满足“f (x y)f (x)f (y)+=”的是。

（1）y ln x =；（2）y =（3）x y e =；（4）2y x = 解答题（每题12分，共60分） 19. 求下列函数的定义域：
（1）y =（2）1ln()1x y x -=+；（3）x x
x x e e y e e
--+=-
20. 已知函数22(2)4,0()0,0,0(2)4⎧-->⎪
==⎨⎪<-++⎩
x x f x x x x ，（1）画函数()=y f x 的图象；（2）写出函数
()=y f x 的单调区间；（3）求不等式()0≤f x 的解集。

21. 二次函数2(),(0)f x a x b x c a =++≠的图象与x 轴有且只有一个公共点，且
()22'=+f x x ，（1）求()f x 解析式；（2）若()=y f x 在区间[3,]-m 上的值域为[0,4]，
求实数m 的取值范围。

22. 设函数)(x f 是定义在[1,0)-U (0,1]上的奇函数，当[1,0)∈-x 时，)(x f =21
2x
ax +
.(1) 求当(0,1]∈x 时，)(x f 的表达式；(2) 若1>-a ，判断)(x f 在(0,1]上的单调性，并证明你的结论.
23. 设函数|x 1||x 1|f (x)2+--=
，求使f (x)≥的x 的取值范围。

高二月考理科数学试题答题纸
班级姓名得分
选择题
填空题
13. ；14. ；15. ；
16. ；17. ；18. ；解答题
19.。