非齐次方程求解

合集下载

非齐次方程特解公式

非齐次方程特解公式

非齐次方程特解公式非齐次方程特解什么是非齐次方程非齐次方程是指含有非零常数项的方程,可以写为以下形式:[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + + a_1y’ + a_0y = g(x)]其中,[y^{(n)}]表示[y]的[n]阶导数,[g(x)]表示非零常数项。

非齐次方程的一般解和特解非齐次方程的一般解由其对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解的和构成。

求解非齐次方程特解的方法常见的求解非齐次方程特解的方法有:1.待定系数法:当[g(x)]为多项式函数、指数函数、三角函数等特定形式时,可根据其形式猜测特解,并通过代入求解待定系数,得到特解;2.常数变易法:当[g(x)]较复杂或难以猜测特解时,可以假设特解为形如[y^*(x) = u(x)v(x)]的解,其中[u(x)]和[v(x)]分别为未知函数;3.常数变易法的特例:当[g(x)]为[P(x)e{ax}]形式时,其中[P(x)]为多项式函数,常数变易法变为[y*(x) = x ke{ax}]的形式,其中[k]为[P(x)]的次数;grange方法:适用于[g(x)]为[n]次多项式函数的情况,可通过假设特解为[y^*(x) = x^mg(x)]的形式,其中[g(x)]为[n-m]次多项式函数,然后利用Lagrange方法计算出[m]的值。

例子解释以一个具体的非齐次方程为例,来解释上述方法的应用:[y’’ - 4y’ + 4y = e^{2x}]根据形式可知[g(x)]为[e{2x}],属于指数函数形式。

根据待定系数法,可猜测特解为[y*(x) = Ae^{2x}],其中[A]为待定系数。

将猜测的特解代入原方程:[[(22A)e{2x} - 4(2A)e^{2x} + 4Ae^{2x}] = e^{2x}]化简得到:[Ae^{2x} = e^{2x}]由于指数函数[e^{2x}]的系数相同,所以[A = 1]。

因此,特解[y^*(x) = e^{2x}]。

非齐次微分方程的两个特解,求通解

非齐次微分方程的两个特解,求通解

非齐次微分方程的两个特解,求通解非齐次微分方程的两个特解及其通解非齐次微分方程是微分方程中常见的一类问题,其形式为dy/dx = f(x) + g(x),其中f(x)和g(x)均为已知函数。

非齐次微分方程的解可以分为两部分:特解和通解。

特解是指满足非齐次微分方程的一个特定解,通解是指满足非齐次微分方程的所有解的集合。

现在,我们来找出一个非齐次微分方程的两个特解,并求出其通解。

假设我们有一个非齐次微分方程dy/dx = 2x + 3,我们可以通过变量分离的方法求解。

将dy和dx分离到等式的两边,得到dy = (2x + 3)dx。

然后,将等式两边积分,得到∫dy = ∫(2x + 3)dx。

对于左边的积分,由于dy是关于y的函数,我们可以得到y + C1,其中C1是积分常数。

对于右边的积分,我们可以使用线性积分法则,得到∫(2x + 3)dx = x^2 + 3x + C2,其中C2是积分常数。

将上述结果代入原方程,我们得到y + C1 = x^2 + 3x + C2。

现在,我们来找出两个特解。

假设我们取特解1为y1 = x^2 + 3x,特解2为y2 = x^2 + 3x + 1。

将上述两个特解代入原方程,我们可以得到dy1/dx = 2x + 3和dy2/dx = 2x + 3。

因此,y1和y2均为原方程的特解。

现在,我们来求解非齐次微分方程的通解。

由于特解1和特解2已经确定,我们可以将通解表示为y = yh + yp,其中yh是齐次微分方程的通解,yp是非齐次微分方程的特解。

对于齐次微分方程dy/dx = 2x,我们可以使用分离变量的方法求解。

将dy和dx分离到等式的两边,得到dy = 2xdx。

然后,将等式两边积分,得到∫dy = ∫2xdx。

对于左边的积分,我们可以得到y = C3,其中C3是积分常数。

对于右边的积分,我们可以使用线性积分法则,得到∫2xdx = x^2 + C4,其中C4是积分常数。

非齐次方程的通解

非齐次方程的通解

定理 3 设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函
数之和, 如 y p y q y f 1 ( x ) f 2 ( x )

y* 1

y* 2
分别是方程,
y p y q y f 1 ( x )
y p y q y f 2 ( x )
的特解,
那么
y* 1
y
* 2
就是原方程的特解.

注 意
设原方程的特解为 y* (a cos x bsin x) x,
将 y*, ( y* ) 代入原方程得
2bcos x 2a sin x cos x
2b 1
2a 0
a0 b 1
2
原方程的一个特解为 y* x sin x
2
故os x C2 sin x 2 sin x
对应的齐次方程的通解为 Y C1e4x C2e2x .
设原方程的特解为 y* k ,
代入原方程得:0-0-8 k =24
k=- 3
原方程的一个特解为 y* 3
故原方程的通解为 y C1e4x C2e2x 3.
例2.求通解 y 2 y 8 y x
解:特征方程 r2 2r 8 0, 特征根 r1 4, r2 2,
(6a x 2b)e x 12 x e x
6a 12
2b 0
a2
b0
原方程的一个特解为 y* 2 x 3 e x,
故原方程的通解为 y (C1 C2 x) e x 2 x 3e x 例6.求 y y cos x
解: 特征方程 r2 1 0,
特征根 r i,
对应的齐次方程的通解为 Y C1 cos x C2 sin x.
1 8

非齐次方程的求解问题

非齐次方程的求解问题

经济领域中的应用
经济增长模型
非齐次方程在经济学中用于构建经济增长模型,分析各种 经济因素对经济增长的影响。
01
金融数学
在金融数学中,非齐次方程用于描述金 融市场的动态变化,如股票价格、利率 等的预测和风险评估。
02
03
计量经济学
非齐次方程在计量经济学中用于分析 经济数据的统计特性,如回归分析、 时间序列分析等。
高阶非齐次线性方程的求解
高阶非齐次线性方程的形式
$y^{(n)} + p_1(x)y^{(n-1)} + cdots + p_n(x)y = f(x)$,其中$p_i(x)$和$f(x)$是已知函数。
求解方法
类似于一阶和二阶非齐次线性方程,需要找到一个特解$y_p$,然后将其与齐次方程的通解相加得到 非齐次方程的通解。
THANKS
感谢观看
二阶非齐次线性方程的求解
二阶非齐次线性方程的形式
$y''$,其中$p(x)$、$q(x)$和$f(x)$是已 知函数。
求解方法
与一阶非齐次线性方程类似,需要找到一个特解$y_p$,然后将其 与齐次方程的通解相加得到非齐次方程的通解。
特解的求法
可以使用待定系数法、比较系数法等来求解特解。
误差估计
03
可以通过重复抽样和计算置信区间来估计蒙特卡罗方
法的误差。
06
非齐次方程的应用领域及 前景展望
物理领域中的应用
振动问题
非齐次方程在描述物理振动现象 中起到重要作用,如弹簧振子、 单摆等系统的运动方程。
波动问题
在波动现象中,如电磁波、声波 等,非齐次方程用于描述波的传 播和干涉。
热传导和扩散

非齐次线性微分方程的几种解法

非齐次线性微分方程的几种解法

摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词:线性相关,通解,特解,朗斯基行列式,拉普拉斯变换,线性无关,目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。

非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。

这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。

下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= (1) ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= (2)定理1:设方程(2)有n 个线性无关的解,这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2:方程(2)的基本解组一定存在。

方程(2)的基本解组的个数不能超过n 个。

定理3:n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4:齐次方程(2)的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ,使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。

目前为止没有求方程(2)线性无关解的一般方法。

下面我们研究几个例子。

例:方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5:设12,,,n y y y 是方程(2)的任意n 个解。

怎么解非齐次方程得出基础解系

怎么解非齐次方程得出基础解系

怎么解非齐次方程得出基础解系
非齐次线性方程组的解法和齐次线性方程组的解法不同,需要求
出特解和基础解系,基础解系也称为齐次线性方程组的解。

非齐次线性方程组解法步骤如下:
1. 求出对应的齐次线性方程组的基础解系。

首先,要求出对应的齐次线性方程组的基础解系是必须的。

因为
非齐次线性方程组的解等于其对应的齐次线性方程组的解加上特解,
特解会在后面进行求解。

设对应的齐次方程为:
Ax = 0
其中,A 表示系数矩阵,x 表示未知向量,0 表示零向量。

2. 求出非齐次线性方程组的一组特解。

将非齐次线性方程组表示为:
Ax = b
其中,b 表示非零右端向量,即非齐次线性方程组。

设 x0 为 Ax0 = b 的一组特解。

可以使用高斯消元法或矩阵求
逆法求解。

3. 求出非齐次线性方程组的通解。

使用齐次线性方程组的基础解系,以及特解来求出非齐次线性方
程组的通解,即形如:
x = x0 + c1x1 +c2 x2+...+cnxn
其中,cx 表示常数。

通过上述步骤,我们就能得到非齐次线性方程组的通解。

在确定
了特解之后,基础解系的选择可以使用高斯消元法或矩阵求逆法进行。

本文主要介绍了非齐次线性方程组的解法,包括求对应齐次方程
的基础解系和求出非齐次方程的特解,最终得到非齐次线性方程组的
通解。

掌握这些知识可以更好地解决非齐次线性方程组问题。

非齐次线性微分方程

非齐次线性微分方程

非齐次线性微分方程在微积分学中,非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程形式。

本文将介绍非齐次线性微分方程的定义、求解方法以及实际应用。

一、定义非齐次线性微分方程是指形如以下形式的方程:$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = g(x)$$其中,$p(x), q(x), g(x)$是已知函数,$y(x)$是未知函数。

二、求解方法为了求解非齐次线性微分方程,我们首先要求解对应的齐次线性微分方程:$$y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0$$对于齐次线性微分方程的解法,我们可以使用特征方程的方法,找到其特征方程的根,并据此求解通解。

假设齐次线性微分方程的通解为$y_h(x)$,则非齐次线性微分方程的一般解为:$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$其中,$y_p(x)$是非齐次线性微分方程的特解。

求解非齐次线性微分方程的特解$y_p(x)$可以使用以下方法:1. 常数变易法:假设特解为常数函数$y_p(x) = C$,代入非齐次方程,求出$C$的值。

2. 叠加原理:对于非齐次方程的形式$g(x) = g_1(x) + g_2(x)$,可以分别求解$y_p(x) = y_{p1}(x)$和$y_p(x) = y_{p2}(x)$,再将两个特解相加得到非齐次方程的特解$y_p(x) = y_{p1}(x) + y_{p2}(x)$。

3. 变参数法:对于非齐次方程的形式$g(x) = Ae^{\lambda x}$,其中$A$和$\lambda$为常数,可假设特解为$y_p(x) = Ce^{\lambda x}$,代入非齐次方程,求出$C$和$\lambda$的值。

三、实际应用非齐次线性微分方程在科学和工程问题的建模和求解中具有广泛的应用。

以下列举几个实际应用的例子:1. 弹簧振动:非齐次线性微分方程可以用于描述弹簧振动的运动方程。

matlab 非齐次方程的通解

matlab 非齐次方程的通解

matlab 非齐次方程的通解非齐次方程是数学中常见的一种方程形式,与齐次方程相对应。

在解非齐次方程时,我们需要找到其通解。

本文将介绍如何求解非齐次方程并得到其通解。

一、什么是非齐次方程?非齐次方程是指形如y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)的方程,其中p(x)、q(x)和f(x)是已知函数,y(x)是未知函数。

这个方程中的f(x)项使得它与齐次方程不同,也使得解的求解变得更加复杂。

二、如何求解非齐次方程?对于非齐次方程,我们可以使用常数变易法来求解。

常数变易法的基本思想是,假设非齐次方程的解可以表示为齐次方程的通解和一个特解的和。

具体步骤如下:1. 求解齐次方程y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0的通解。

我们可以使用特征方程法或级数法来求解齐次方程,得到通解y_h(x)。

2. 假设非齐次方程的特解为y_p(x),代入非齐次方程,得到一个关于y_p(x)的方程。

3. 根据非齐次方程的形式,我们可以猜测特解的形式,并将其代入方程。

根据猜测的形式,我们可以确定特解的形式。

4. 将特解代入非齐次方程,并求解得到特解y_p(x)。

5. 非齐次方程的通解为y(x) = y_h(x) + y_p(x),其中y_h(x)为齐次方程的通解,y_p(x)为非齐次方程的特解。

三、非齐次方程的通解举例考虑一个具体的非齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 2x + 1。

我们可以按照上述步骤求解该方程。

1. 求解齐次方程y''(x) + 2y'(x) + y(x) = 0的通解。

该方程的特征方程为r^2 + 2r + 1 = 0,解得r = -1,重根。

因此齐次方程的通解为y_h(x) = (c1 + c2x)e^{-x},其中c1和c2为常数。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第四节 对非齐次边界条件和 非齐次方程的处理
• 对非齐次方程的处理 • 对非齐次边界条件的处理 • 叠加原理
1
• 对非齐次方程的处理
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = 0, ut ( x, 0) = 0, x ∈ [0, l ], ⎪u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, t≥0 ⎪ ⎪ ⎩
u ( x, t ) = G ( x, t ) + F ( x, t ).
12
齐次方程情形 (I) 首先找到所有具有变量分离形式的满足齐次方
程和齐次边界条件的非零特解。 令 G ( x, t ) = X ( x )T (t ) 代入方程和边界条件得到
X ′′ + λ X = 0, (0 < x < l )
⎧∂ v x ∂ v = a2 + f ( x , t ) − μ ′′ ( t ) − [ν ′′ ( t ) − μ ′′ ( t )], ⎪ ∂t 2 ∂x 2 l ⎪ ⎪ v (0, t ) = 0, v ( l , t ) = 0 , ⎪ ⎨ x v ( x , 0 ) = ϕ ( x ) − μ (0 ) − [ν (0 ) − μ (0 )], ⎪ l ⎪ ⎪ v ( x , 0 ) = ψ ( x ) − μ ′ (0 ) − x [ν ′ (0 ) − μ ′ (0 )] ⎪ t l ⎩
(2.1) (2.2) (2.3) (2.4)
注: 方程是非齐次的. 方法: 固有函数法.
寻找一组固有函数 { X n ( x)} (一般 { X n ( x)} 选取为相应齐次定解问题的固有函数), 将所求的解 和非齐次项按固有函数展开.再根据初始条件求出系数.
3
固有函数法: 令
kπ u ( x , t ) = ∑ C k (t)sin x l k =1
X (0) = X ( l ) = 0
T ′ + a λ T = 0 , (t > 0 )
2
13
(II) 固有值问题
X ′′ + λ X = 0, (0 < x < l )
X (0) = X (l ) = 0
k 2π 2 固有值 λ = λk = 2 , l
固有函数 X k ( x) = Ck sin
⎧ ∂ 2U ∂ 2U = a 2 2 + f ( x, t ) ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨U ( x, 0) = 0, U t ( x, 0) = 0 ⎪U (0, t ) = 0, U (l , t ) = 0 ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ∂2 F ∂2 F = a2 2 ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨ F ( x, 0) = ϕ ( x), Ft ( x, 0) = ψ ( x) ⎪ F (0, t ) = 0, F (l , t ) = 0 ⎪ ⎪ ⎩
2
(k = 1, 2,
)
C k (0 ) = 0
′ C k (0) = 0
2 l kπ x f k (t ) = ∫ f ( x, t )sin dx l 0 l
kπ a ∫

C k (t ) =
l
t
0
k π a (t − τ ) f k (τ ) sin dτ (k = 1, 2, l
t
)
u ( x, t ) = ∑ [
3.把分别得到的解和 w(x,t), 加起来就得到原方程的解.
11
第4.2节 有热源的有限细杆的热传导方程
⎧ ∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), t > 0, 0 < x < l ⎪ ∂t ∂x ⎪ ⎨ u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ u ( x , 0) = ϕ ( x ), ⎩
(2.3) (2.4)
kπ u ( x , 0) = ∑ C k ( 0 )sin x =0 l k =1 ∞ kπ ′ ut ( x , 0) = ∑ C k ( 0 )sin x =0 l k =1

(2.7) (2.8)
4
(2.6), (2.7), (2.8)
⎛ kπ a ⎞ ′′ C k (t) + ⎜ ⎟ C k (t) = f k (t ) ⎝ l ⎠
u ( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )
6
对于边界条件 u (0, t ) = g1 (t ), u (l , t ) = g 2 (t ), w可以取
x w ( x , t ) = [ g 2 ( t ) − g 1 ( t ) ] + g 1 ( t ). l
对于边界条件 u (0, t ) = g1 (t ), u x (l , t ) = g 2 (t ), w可以取
k =1 ⎛ kπ a ⎞ −⎜ ⎟ t ⎝ l ⎠
2
使得
ϕ ( x ) = G ( x , 0) = ∑ Ak sin
k =1
kπ sin x, Ak = C k Bk . l ∞ kπ
l x
其中
2 l kπ Ak = ∫ ϕ (ξ ) sin ξ dξ l 0 l
15
非齐次方程情形
⎧ ∂F 2 ∂ F ⎪ ∂t = a ∂x 2 + f ( x , t ), ⎪ ⎨ F (0, t ) = 0, F (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ F ( x , 0) = 0 ⎩
g 2 ( t )- g 1 ( t ) 2 w( x, t) = x + g1 (t ) x. 2l
8
非齐次边界条件非齐次方程的定解问题
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x , t ), t > 0, 0 < x < l ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎨u (0, t ) = μ (t ), u (l , t ) = ν (t ), ⎪ ⎪u ( x , 0) = ϕ ( x ), ut ( x , 0) = ψ ( x ) ⎩
⎧ ∂G ∂ 2G = a2 2 , ⎪ ∂t ∂x ⎪ ⎨G (0, t ) = 0, G (l , t ) = 0, ⎪ ⎪G ( x , 0) = ϕ ( x ) ⎩
⎧ ∂F ∂2F = a 2 2 + f ( x , t ), ⎪ ∂t ∂x ⎪ ⎨ F (0, t ) = 0, F (l , t ) = 0, ⎪ ⎪ F ( x , 0) = 0. ⎩
其中 u ( x, t ) = U ( x, t ) + F ( x, t ).
10
求解一般情形的定解问题的基本步骤: 1. 选择适当的函数w(x,t), 把非齐次边界条件齐次化. 2. 把非齐次泛定方程的定解问题分解为两个定解问题求解: 齐次泛定方程 齐次边界条件 非齐次初始条件 和
非齐次泛定方程 齐次边界条件 齐次初始条件
k =1
k π a ∫0
l
k π a (t − τ ) kπ f k (τ ) sin dτ ]sin x l l
5
• 对非齐次边界条件的处理
⎧ ∂ 2u ∂ 2u 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 + f ( x, t ), ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ], ⎪u (0, t ) = g (t ), u (l , t ) = g (t ), t ≥ 0 1 2 ⎪ ⎪ ⎩ 将非齐次边界条件化为齐次边界条件
(k = 1,2 ,3, ).
kπ x, (k = 1, 2, ) l ⎛ kπ a 2 ⎞ ) t ⎟, (k = 1, 2, Tk (t ) = Bk exp ⎜ − ( l ⎝ ⎠
)
14
(III)
特解的叠加
∞ k =1 ∞
G ( x , t ) = ∑ X k ( x )Tk (t ) = ∑ Ak e
我们注意到齐次的边界条件是分离变量法所必需的, 为此作函数变换 u ( x, t ) = v( x, t ) + ω ( x, t ), 其中 ω ( x, t ) = μ (t ) + x [ν (t ) − μ (t )]. l 2 2 边界 齐次化
9
• 叠加原理(把复杂定解问题)
⎧ ∂ 2u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 ∂x ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ], ⎪u (0, t ) = 0, u (l , t ) = 0, t≥0 ⎪ ⎪ ⎩

(4.6)
17
(4.5) (4.6)
⎛ kπ a ⎞ ′ C k (t) + ⎜ ⎟ C k (t) = f k (t ) ⎝ l ⎠
2
C k (0 ) = 0
2 l kπ x f k (t ) = ∫ f ( x, t )sin dx 0 l l
t −( kπ a 2 ) ( t −τ ) l

(2.5)
是定解问题的解。 显见上述函数满足(2.2)。 (2.1)

2 ⎡ kπ kπ ⎛ kπ ⎞ 2 ′′ C k (t)sin x+⎜ a C k (t)sin ∑⎢ ⎟ l l ⎝ l ⎠ k =1 ⎢ ⎣ ∞
⎤ x ⎥ = f ( x, t ) ⎥ ⎦
2 ∞ ⎡ ⎤ kπ kπ ⎛ kπ a ⎞ ′′ C k (t) + ⎜ C k (t)⎥ sin x = ∑ f k (t )sin x (2.6) ∑⎢ ⎟ l l ⎝ l ⎠ k =1 ⎢ k =1 ⎥ ⎣ ⎦
相关文档
最新文档