21.2.1 配方法-公开课-优质课(人教版教学设计精品)

21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法(第1课时)一、内容和内容解析1．内容降次——解一元二次方程，用开平方法及配方法解一元二次方程．2．内容解析二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广，通过消元，将它们转化为一元一次方程；一元二次方程可以看成是对一元一次方程在“次”上的推广，把它转化为一次方程，这就是“降次”．开平方法是根据平方根的概念，将形如x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的方程通过开平方，把二次方程转化为一次方程求解，它是配方法的基础．用配方法解方程是通过把原方程配成(x＋n)2＝p的形式，再利用开平方法来解一元二次方程的方法．它体现了创造条件实现化归的思想．配方是将一个代数式转化为含有完全平方式子的变形方法．配方法是解一元二次方程的通法之一．本节课内容是结合具体方程，对比可用开平方法解的方程，通过将方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)配方化为能运用开平方法求解的方程的形式，进行求解，从而达到降次的目的．配方法不仅为下节课推导一元二次方程的求根公式做好了知识上准备，而且这种利用配方对代数式进行变形的方法在初中代数以及高中的后续学习中经常用到．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解配方法及用配方法解一元二次方程．二、目标与目标解析1．目标(1)会用直接开平方法解一元二次方程，理解配方的基本过程，会用配方法解一元二次方程．(2)在探究如何对比完全平方公式进行配方的过程中，进一步加深对化归的数学思想的理解．2．目标解析达到目标(1)的标志是学生知道方程的形式符合x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)时，能通过开平方，将二次方程转化为一次方程求解．知道配方的基本过程：当二次项系数为1时，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，可以把方程一边化为含有完全平方的式子，并知道解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤．达到目标(2)的标志是学生能在探究用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程时，观察已经转化为一般形式的一元二次方程的二次项和一次项，对比完全平方公式，分析出配成完全平方式的关键是将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，从而将一元二次方程的一边化为完全平方式，再用直接开平方法实现降次的目标，求出方程的解．三、教学问题诊断分析学生在之前的学习中，已经掌握了完全平方公式的结构特征，已经具有了一定的转化思想．本节课首先研究的方程具备直接开平方法的结构特点，可以根据平方根的意义降次解一元二次方程，而后续研究的方程不具备直接开平方法的结构特点，需要合理变形进行转化，即“配方”，而学生在以前的学习中没有类似经验．在教学中可能出现的思维障碍：怎样想到将方程进行配方、如何进行配方和配方变形技能的掌握．学生易错点：(1)配方时，只在方程一边加一次项系数一半的平方，而另一边不加；(2)二次项系数为1时，不知道所加常数和一次项系数之间的关系等．本节课的教学难点是：如何配方．四、教学支持条件分析利用幻灯片，提供丰富的学习内容，如：人体雕像问题引例，用框图形式表示配方法解方程的全过程．五、教学过程设计1．引入人体雕像问题问题1在设计人体雕像时，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部(全身)的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高？师生活动：教师展示章前引言问题，学生回忆思路：设雕像下部高x m，可得方程x2＝2(2－x)，整理得x2＋2x－4＝0．教师追问：这个方程如何来解?学生观察方程，发现与我们以前学过的方程不同，解方程有困难．设计意图：以人体雕像问题为本节课的开端，不仅培养应用意识，而且提出了本节课要解决的问题，使学生目标明确，并激发探究意识．追问1：你会解哪些方程，如何解的？师生活动：学生回顾以前学习过的方程，其中二元、三元一次方程组转化为一元一次方程来进行求解，主要思想是“消元”．设计意图：让学生再次体会已有方程知识之间的联系，为类比提出解一元二次方程的思路做铺垫．追问2：如何解一元二次方程？师生活动：教师引导学生思考得出，解一元二次方程需要将它降次转化为一元一次方程．利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本节课学习的主要内容．设计意图：引出解一元二次方程的基本思路——降次．明确学习内容——降次的方法．2．直接开平方法解一元二次方程问题2解方程x2＝25，依据是什么？师生活动：教师先引导学生判断方程x2＝25是一元二次方程，并指出系数．再根据平方根的意义解方程x2＝25．追问：请同学们尝试解下列方程：x2＝3，2x2－8＝0，x2＝0，x2＝－2…．这些方程有什么共同的特征？师生活动：学生口答解方程的过程，归纳出以上方程可化为一般形式：x2＝p，并根据p的取值范围得到根的三种情况．教师板书．设计意图：根据平方根的意义解一元二次方程，是学生目前容易掌握的方法，也是这节课探求配方法的基础．让学生在口答解方程的基础上，从特殊到一般，归纳方程的特征及根的三种情况．问题3请同学们尝试解方程：(x＋3)2＝5．师生活动：学生尝试解方程(x＋3)2＝5，学生不难想到，先把(x＋3)看成一个整体，根据平方根的意义，将方程(x＋3)2＝5“降次”转化为两个一元一次方程x＋3＝5，或x＋3＝－5进行求解．设计意图：让学生体会方程结构的特征，为后续实现化归奠定基础．3．探索配方法问题4(1)试一试：怎样解方程x2＋6x＋4＝0 ①？师生活动：教师提出“试一试”，学生观察、尝试后，有困难．教师追问：“我们会解什么类型的方程？能将这个方程转化为会解的形式吗？学生自主活动，发现已会解的方程(x＋3)2＝5可转化为x2＋6x＋9＝5②．比较方程①、②，找到联系与区别，请同学回答，教师引导其得出：方程①、②左边的二次三项式中二次项和一次项是相同的；不同的是：方程②左边常数项是9，可以和二次项x2、一次项6x构成完全平方形式，而方程①左边常数项是＋4，不能和二次项、一次项构成完全平方式．设计意图：怎样解这个方程①，促使学生利用已有的知识去观察、思考、发现问题，激发学生的求知欲．显示了继续学习解法的必要性．追问1：怎么样把方程①化成具有方程②那种形式的方程呢？师生活动：学生思考、讨论，发表意见；教师组织学生讨论，并引导学生发现解决问题的关键：把方程①左边的常数项＋4移项，使方程左边只有二次项和一次项，得到新方程：x2＋6x＝－4③．要在方程③左边加9，就和方程②左边的形式一样了．追问2：怎样保证变形的正确性呢？师生活动：学生思考后回答：要在方程两边同时加9．教师演示过程，给出教科书中的结构框图．两边加9，得x2＋6x＋9＝－4＋9，即(x＋3)2＝5．接下来师生共同解出方程．设计意图：学生经历观察—发现—再观察—再发现—解决问题的过程．体会如何将一个不是完全平方式的二次式，化为完全平方式的过程．(2)想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加9？加其它数可以吗？如果不可以，说明理由．师生活动：教师提出问题，学生思考、讨论、发表意见，教师组织学生讨论，并引导学生发现：要想使方程左边成为完全平方式，对照完全平方式中一次项系数的特征，可知：当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，即262⎛⎫⎪⎝⎭＋＝32＝9，二次式就可以写成平方的形式．而加其它数不能把方程左边的式子化成完全平方式，所以不行．设计意图：学生通过思考、讨论自主得出将上述方程转化为含有完全平方式的关键是常数项的选择．(3)议一议：结合方程①的解答过程，说出解一般二次项系数为1的一元二次方程的基本思路是什么？具体步骤是什么？师生活动：教师提出“议一议”，学生独立思考，组内交流，归纳总结，明确活动目的，发表观点．教师适时引导，得出：配成完全平方形式即配方，通过配方来解一元二次方程的方法，叫做配方法．具体步骤：(1)移项；(2)在方程两边加上一次项系数一半的平方．设计意图：引导学生在合作交流活动中，理解配方在解方程中的具体操作步骤．4．解决人体雕塑问题解方程x2＋2x－4＝0．师生活动：教师板书解此方程的步骤：移项、配方、开平方、求解，给出规范格式，完成引例．设计意图：学生细化解题步骤，明确解题过程中每一步的目的，做到“按步操作、环环落实”．问题 5 通过解方程(x＋3)2＝5，x2＋6x＋4＝0，及引例中的方程，请归纳这些方程是怎样解的？师生活动：归纳出以上方程可化为一般形式：(x＋n)2＝p，并根据p的取值范围得到根的三种情况．设计意图：归纳方程的特征体现化归思想，及让学生了解根的三种情况，并为下节课一般式的推导奠定基础．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：（1）用配方法解一元二次方程的基本思路是什么？（2）配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些?（3）在配方法解一元二次方程的过程中应该注意哪些问题?师生活动：教师提出小结问题，学生思考、交流后发表观点，教师引导并简化结果，使学生回答的问题完善：(1)把方程转化为(x＋n)2＝p的形式，运用开平方法，降次求解；(2)解一元二次方程的一般步骤：(3)重点关注：配方时，要在方程两边都加上一次项系数一半的平方．设计意图：通过思考、交流让学生对本节课内容进行回顾，培养学生归纳概括能力．6．布置作业(1)教科书第6页练习；第9页练习1，2．(2)思考：利用本节课的知识，试解关于x的方程x2＋px＋q＝0．师生活动：教师布置作业，学生按要求完成．设计意图：学生再次明确解题思路，规范解题过程．思考作业是提高学生对配方法的理解，并为公式法解方程作铺垫．六、目标检测设计1．在括号中填上适当的数，使等式成立：x2＋4x＋()＝(x＋)2．设计意图：了解配方的依据．2．用配方法解下列方程：(1)x2＝5；(2)(x－2)2－3＝0；（3）x2－4x－5＝0．设计意图：会用开平方法及配方法解一元二次方程．。