圆孔孔边应力集中

4.8 半无限平面边界上受法向集中力作用的问题一
弗拉芒一布辛涅斯克问题
没有边界的无限大物体称为无限体。

将它用平面分成两半，每一半就称半无限体。

本节分析的是半无限的弹性平面体在边界上受一法向集中力作用的问题(图4-8)。

这一问题在实际工程问题中会经常遇到，如建筑物地基的应力和沉陷问题等。

最近发展起来的边界元数值计算法也利用这问题的解答。

假定在边界面上沿半无限平面厚度上分布有均匀压力P。

这样，半无限体就处于平面应变状态，单位厚度上分布的压力就可视为集中力P，其量纲为[力×长度-1]
解题:如图4-8所示，估计应力呈扇形分布，因此采用极坐标。

为解题方便，取X轴方向向下，y轴方向向右，相应地极坐标r方向向外，θ方向由x轴逆时针旋转。

图4-8半无限平面边界受法间集中力
（1）初定应力函数：根据应力的函数形式决定应力函数的形式，而应力的函数形式是根据估计的应力分布情况面定。

本题中估计σr的
分布与P ，r ，θ都有关系，与P 成正比，与r 成反比。

故σr 的函数形式估计为
)(θσF r
P
r =
（a ） 式中σr 与P ，r 都是一次幂关系，这是因为只有这样，等式两边的量纲才能相等(皆为[力×长度-2])。

列出应力函数与应力分量的关系式，即(4.18)式的第一式
22211θϕϕσ∂∂+∂∂=r r r r
由此式可见，为使等式两边r 的幂次相等，应力函数中的r 的幂次应当比应力分量中r 的幂次高两次，所以初选应力函数的形式为
)(θϕrf = （b ）
式中f （θ）可通过双调和方程得到。

将（b ）式代入双调和方程（4.17）式得
)(1)(11122
22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂+∂∂θθθθf r f r r r r r ）（
即
0)]()(2)([122443=++θθθθθf d f d d f d r （c ）
删去因子3
1r
，（c ）式为常系数线性微分方程，其通解为
)
sin cos (sin cos )(θθθθθθD C B A f +++= （d ）
代入（b ）得
)]
sin cos (sin cos [θθθθθϕD C B A r +++= （e ）
式中A ，B ，C ，D ——待定系数，由边界条件决定。

（2）初定应力分量：将（e ）式代入（4.18）式得
)1(110
sin cos 2112
2222
22r =∂∂∂∂-=∂∂∂-∂∂==∂∂=-=∂∂+∂∂=θ
ϕθϕθϕτϕσθθθϕϕσθθr r r r r r
C D r r r r r ）（ （f ） 由式（f ）可见，应力分量均与待定系数A 、B 无关，故在应力函数式中这两项是多余的，可以删去。

（3）由边界条件定待定常数C 、D ：
自由边界条件为：θ=±π/2，r ≠0时，
r ==θθτσ，边界条件代
入（f ）式解不出D ，C 来，需要寻求其他边界条件。

在外力作用点上（r=0），σr 为∞，仍解不出D ，C 。

但围绕力的
作用点取一半圆柱面如 ，则此圆柱面上的径向应力σr 必然与集
中力P 相平衡，因而由应力边界条件得出两个平衡条件，即
∑⎰==22
-cos 0ππ，P rd F
r x
θθσ （g ）
∑⎰==22
-y
sin 0π
π，θθστrd F
（h ）
将（f ）式代入（h ）式得
0)cos sin 2121(22cos 210sin )sin cos (2
2
2
22
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--⎰
ππ
ππθθθθθθθθC D d r C D r
⋂
mn
故 C=0 （i ） （f ）、（i ）代入（g ），有
P D P
d D =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-⎰
2
2
22
-2)cos sin 2121(2cos 2ππ
π
πθθθθθ 故 D=P/π （j ） （4）决定应力分量：将（i ）、（j ）式代入（f ）式，即得
r
P r P r
P r xy r y r x θ
θθθστθθθσσθθσσ2
22
22
cos sin 2cos sin cos sin 2sin cos 2cos πππ=
==
==
= （4.48）
把（4.1）式代入（4.48）式，得到
2
2222222
2
223
)(2)(2)(2y x y x P y x xy P y x x P xy y x +=
+=
+=
πππτσσ （4.49） 将（4.49）式所得的应力分布绘在图4—9上。

图4—9 直角坐标系应力分布
一 圆孔应力集中 杨桂通 P 109
孔壁周向应力
当ρ=a 时，ρσ=0，0=ρϕτ，
)
2cos 21(ϕσθ-=q
1.1 左右方向的拉力
W=20m ，H=10m ，r=0.25，0.5，1，2，2.5m ；q =500000Pa ，设图中x 轴正方向为圆周的0°，y 轴的正方向为圆周的90°。

与按公式计算值相比较，从图中可以看出当r=0.5m 的时候圆孔受力与计算值重合度最高，误差在±2.5%以内，所以可以得到d/H 的比值即圆孔的直径与孔板的高度比值在接近0.1的时候所做的模拟是最可靠的。

1.2 上下方向的拉力
W=20m，H=10m，r=0.5，1，2，2.5m；q=500000Pa，设图中y轴的正方向作为圆周的0°，x轴的负方向作为圆周的90°。

当改变孔板的受力方向后，孔板的依然是沿拉力的方向的孔壁上受压，与拉力方向垂直的方向上孔壁收到拉伸。

但是通过比较几组不同半径模型的最终模拟误差，发现当d/W=0.2时，受压部分的模拟数据与计算值拟合的比较好，误差相对较小（10%以内），但受拉部分的模拟数据与计算值误差比较大（20%左右）：而当d/W=0.05时，受压部分的误差比较大（50%左右），受拉部分的误差比较小（5%以内）。

综上分析，所做模型的模拟值误差比较大，初步推测是模型的长和高的比例造成了误差，所做模型不适合研究上下方向的拉力导致的圆孔应力集中。

1.3 双向受力
W=20m，H=10m，r=0.5m；q=500000Pa
W=20m，H=10m，r=0.5m；q=500000Pa，设图中x轴正方向作为圆周的0°，y轴正方向作为圆周的90°。

双向受力的时候模拟得到孔壁上都受到拉伸，没有压缩。

1.5 y 轴方向的应力
当2
π
±=ϕ时，ϕσ随ρ的变化关系为
）
（44
2223a 2a 1q ρ
ρσϕ++=
ρ越大，孔板2
π
±
方向所受的力越小，且最终基本稳定在q 的大小。

二 椭圆孔应力集中
当2b 与受拉方向一致的时候，则另一主轴（2a ）端部产生的应力为
）（）（b
2a
1q max
+=ϕσ
由图中可以得出当a/b 的值越大，2a 端部产生的应力越大，且增辐比较大。