2.5函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性、单调性、周期性
一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义
函数与方程的奇偶性与周期性分析
函数与方程的奇偶性与周期性分析在数学中，函数与方程的奇偶性与周期性是常见的性质，它们在解题和图像分析中起着重要的作用。
本文将从理论和实践两个方面来分析函数与方程的奇偶性与周期性。
一、函数的奇偶性分析函数的奇偶性是指函数在自变量取相对值时的响应，奇函数与偶函数是最常见的两种类型。
1. 奇函数奇函数的定义是，对于任意自变量x，都有f(-x) = -f(x)。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与取正值时的函数值相反。
典型的奇函数有正弦函数sin(x)和正切函数tan(x)等。
奇函数的特点是关于坐标原点对称，即图像关于坐标原点对称。
这可以通过观察函数图像来确认。
2. 偶函数偶函数的定义是，对于任意自变量x，都有f(-x) = f(x)。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与取正值时的函数值相等。
典型的偶函数有余弦函数cos(x)和正切函数cot(x)等。
偶函数的特点是关于y轴对称，即图像关于y轴对称。
同样，可以通过观察函数图像来确认。
二、方程的奇偶性分析方程的奇偶性是指方程的解在自变量取相对值时的性质，可以通过代入变量进行分析。
1. 奇方程奇方程的定义是，当方程中的自变量替换为相反数时，方程的解也会发生变化。
例如，方程f(x) = 0的解是x = a，那么方程f(-x) = 0的解就是x = -a。
所以，奇方程在自变量取相对值时的解具有对称性。
2. 偶方程偶方程的定义是，当方程中的自变量替换为相反数时，方程的解保持不变。
例如，方程f(x) = 0的解是x = a，那么方程f(-x) = 0的解也是x = a。
偶方程在自变量取相对值时的解不会发生变化。
三、函数与方程的周期性分析周期是函数与方程重复的规律性。
在函数图像中，它是指函数图像在横坐标上的重复出现。
1. 周期函数周期函数的定义是，存在一个正数T，使得对于任意自变量x，都有f(x+T) = f(x)。
周期函数以正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)最为代表。
函数的奇偶性和周期性
最小正周期
最小正周期的定义
如果存在一个正数T，使得对于函数 f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称T为函数f(x)的一个 周期。所有周期中最小的一个称为最 小正周期。
最小正周期的意义
最小正周期是描述函数重复性特征的 重要参数，它可以帮助我们更好地理 解函数的性质和行为。在数学和物理 中，最小正周期常常被用来研究函数 的变化规律和行为特征。
02 函数的周期性
周期函数的定义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，使得对于函 数f(x)的定义域内的每一个x，都有 f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期。
周期函数的性质
周期函数在其周期内的图像是重复的 。周期函数的图像是连续不断的，且 可以由一个周期内的图像平移得到整 个定义域上的图像。
偶函数的周期性
偶函数并不一定具有周期性，但如果一个偶函数具有周期性，那么它的周期一定是 $T=npi$（$n$为整数）。
04 奇偶性和周期性的应用
在数学领域的应用
奇偶性
在数学分析中，函数的奇偶性可以帮助我们研究函数的对称性质，进而简化函数的性质和图像。例如，偶函数关 于y轴对称，奇函数关于原点对称。
实例
$f(x)=x^3$是奇函数，因 为$f(-x)=-x^3=-f(x)$。
偶函数
定义
如果对于函数$f(x)$，对于所有 $x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$为偶函数。
图像特性
偶函数的图像关于y轴对称。
实例
$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$。
常见周期函数类型
正弦函数和余弦函数： y=sin(x)和y=cos(x)的最 小正周期为2π。
7.函数的奇偶性周期性
§2.5 函数的奇偶性、周期性【基础知识梳理】1.函数的奇偶性：对于函数f （x ），如果对于定义域内任意一个x ，都有f(-x)=_____,那么f(x)就叫做奇函数；如果对于定义域内任意一个x ，都有f(-x)=_____,那么f(x)就叫做偶函数.2.奇偶函数的性质：（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.（2）函数y=f(x)是偶函数⇔函数y=f(x)的图象关于 对称 ，函数y=f(x)是奇函数⇔函数y=f(x)的图象关于 对称. （3）两个奇函数之积（商）为 ____________函数；两个偶函数之积（商）为____________函数；一个奇函数与一个偶函数的积（商）为__________函数（取商时分母不为零）. （4）奇函数对称区间上的单调性_____________，偶函数对称区间上的单调性 ______________.（5）奇函数f(x)在x=0处有定义，必有 . （6）f(x)是偶函数，则有 .3.周期函数：对于函数f （x ），如果存在___________________使得当x 取_______________时， ________________________都成立，那么就把函数y=f （x ）叫做周期函数.对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做________________.4.周期函数的性质：若T 是函数f （x ）的一个周期，则nT 也是f(x)的________(Z n ∈).5.如果y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(0≠a )则f(x)的周期为 ,如果y=f(x)满足)0()(1)(≠=+a x f a x f 则f(x)的周期为 . 【基础知识检测】1. 下列命题中正确的是 （ ） A.4)()(x x f =是偶函数 B.f(x)=x 2是偶函数 C.41)(3+=xx f 是奇函数 D.f(x)=3x 2+kx 是非奇非偶函数 2.（06广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 （ ）A.R x ,x y 3∈-=B. R x ,sinx y ∈=C. R x ,x y ∈=D. R x ,)21(y x ∈= 3. 已知函数f(x))(R x ∈为偶函数，则下列各点中必在函数y=f(x)图象上的是 （ ）A.(-a,f(a))B.(-a,-f(a))C.(-a,-f(-a))D.(a,-f(a))4.设)x (f 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 （ ）A.)x (f )x (f -是奇函数B.|)x (f |)x (f -是奇函数C.)x (f )x (f --是偶函数D.)x (f )x (f -+是偶函数NO.7【典型例题探究】例1:判断下列函数的奇偶性（利用定义直接判断）x1x )x (f )1(3+=； （2）243x x )x (f -=（3）;1x 1x )1x ()x (f -+-= （4）22x 11x )x (f -+-=（5）⎩⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x ( x x )x (f 22 （6）3|3x |x 1)x (f 2-+-=例2:定义在实数集R 上的函数f （x ），对于任意的R y ,x ∈有)y x (f )y x (f -++()()y f x f 2⋅=0f(0)≠且（1）求证f （0）=1; （2）试判断函数f （x ）的奇偶性.例3:已知f （x ）是定义在实数集R 上的函数，且对任意的R x ∈，)1x (f )1x (f )x (f -++=恒成立.（1）求证：f （x ）是周期函数; （2）已知f （3）=2，求f(2004).例4:定义在R 上的奇函数f （x ）有最小正周期为2，且)1,0(x ∈时)0a (2ax x )x (f 2>-=.（1）证明：0f(1)f(-1) ,0)0(f ===； （2）求函数f （x ）在区间]0,1[-上的表达式.【巩固练习】A 组1.设f （x ），g （x ）是定义在R 上的函数，h （x ）=f （x ）+g （x ），则“f （x ），g （x ）均为偶函数”是“h （x ）为偶函数”的 （ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件2.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则f(2)的值为 （ ）(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)23.设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为 （ ）A ．51-B ．0C ．51 D ．5 4.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=f(x),当0<x<1时,f(x)=x,则f(7.5)等于 （ ）(A)0.5 (B)-0.5(C)1.5 (D)-1.55. （07天津）在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数6.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5] 时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解集是 .7. （1）已知奇函数f （x ）是定义在（-1，1）上的减函数，若f （1-a ）+f(1-a 2）<0，求实数a 的取值范围.（2）定义在R 上的偶函数)x (f 在区间()0,∞-上是增函数，且()()1a 2a 3f 1a a 2f 22+-<++，求实数a 的取值范围..B 组1.若存在常数0p >，使得函数R)x ( )2p px (f )px (f ∈-=，求函数f （x ）的周期.2. 设f(x)是定义在[-2，2]上的偶函数，当0≥x 时，f(x)单调递减，若f(1-m)<f(m)成立，求m 的取值范围.。
2023年高考数学一轮复习讲义——函数的奇偶性、周期性与对称性
§2.3 函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理 1．函数的奇偶性奇偶性 定义图象特点 偶函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数 关于y 轴对称奇函数 一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I ，且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数y ＝f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3)f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.( × )(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．( × ) (3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．( √ ) (4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．( √ ) 教材改编题1．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x | D ．y ＝2－x答案 B解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2－x ，则f (2 023)＝________. 答案 12解析 ∵f (x )的周期为2， ∴f (2 023)＝f (1)＝2－1＝12.3. 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0； 当2<x ≤5时，f (x )<0， 又f (x )是奇函数， ∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x ＜－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一 函数的奇偶性 命题点1 判断函数的奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， 所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0， 则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝log 2[－x ＋(－x )2＋1] ＝log 2(x 2＋1－x ) ＝log 2(x 2＋1＋x )－1＝－log 2(x 2＋1＋x )＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立． 命题点2 函数奇偶性的应用例2 (1)(2022·哈尔滨模拟)函数f (x )＝x (e x ＋e －x )＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M ＋N 的值为( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4 答案 C解析 依题意，令g (x )＝x (e x ＋e －x )， 显然函数g (x )的定义域为R ， 则g (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－g (x )， 即函数g (x )是奇函数，因此，函数g (x )在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f (x )＝g (x )＋1， 则有M ＝g (x )max ＋1，N ＝g (x )min ＋1， 于是得M ＋N ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2， 所以M ＋N 的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )是偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 方法一 (定义法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－x )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立，所以(－x )3(a ·2－x －2x )＝x 3(a ·2x －2－x )对任意的x ∈R 恒成立，所以x 3(a －1)(2x ＋2－x )＝0对任意的x ∈R 恒成立，所以a ＝1.方法二 (取特殊值检验法)因为f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以－⎝⎛⎭⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 方法三 (转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数， 所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1. 教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数 答案 C解析 由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0， 解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}， 关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x ，又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________.答案 －1解析 ∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1， ∴g (－1)＝1， ∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1 (1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 B解析 f (x )＝1－x 1＋x ＝2－(x ＋1)1＋x ＝21＋x －1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f (x －1)＋1.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝________. 答案 －1 －2－x －2x ＋1解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，即1＋a ＝0， ∴a ＝－1.∴当x ≥0时，f (x )＝2x －2x －1， 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝2－x －2(－x )－1＝2－x ＋2x －1， 又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x ＋2x －1， ∴f (x )＝－2－x －2x ＋1. 题型二 函数的周期性例3 (1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( ) A ．－94B ．－14C.14D.94答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫132＝f ⎝⎛⎭⎫8－32 ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________. 答案132解析 ∵f (x )f (x ＋2)＝13， ∴f (x ＋2)＝13f (x )，∵f (x ＋4)＝13f (x ＋2)＝1313f (x )＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 023)＝f (3)＝13f (1)＝132.教师备选若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________.答案 －1 解析 当x >0时， f (x )＝f (x －1)－f (x －2)， ① ∴f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，②①＋②得，f (x ＋1)＝－f (x －2)， ∴f (x )的周期为6，∴f (2 023)＝f (337×6＋1)＝f (1) ＝f (0)－f (－1)＝20－21＝－1.思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)等于() A．336 B．338C．337 D．339答案 B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2 021)＋f(2 022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)(多选)(2022·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称 B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称 C ．f (x )的周期为4 D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数 答案 ACD解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故A 正确，B 错误； ∵函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 则f (－x )＝f (x ＋4)，又f (－x )＝f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4，故C 正确；∵T ＝4且f (x )为偶函数，故y ＝f (x ＋4)为偶函数，故D 正确．(2)已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x ，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________. 答案 12解析 ∵函数y ＝f (x )－2为奇函数， ∴函数y ＝f (x )的图象关于点(0,2)对称，又g (x )＝2x ＋1x ＝1x ＋2，其图象也关于(0,2)对称，∴两函数图象交点关于(0,2)对称， 则y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×4＝12.延伸探究 在本例(2)中，把函数“y ＝f (x )－2”改为“y ＝f (x ＋1)－2”，把“g (x )＝2x ＋1x ”改为“g (x )＝2x －1x －1”，其他不变，求x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6的值．解 ∵y ＝f (x ＋1)－2为奇函数， ∴函数f (x )的图象关于点(1,2)对称， 又g (x )＝2x －1x －1＝1x －1＋2，∴g (x )的图象也关于点(1,2)对称，则x 1＋x 2＋…＋x 6＋y 1＋y 2＋…＋y 6＝3×2＋3×4＝18. 教师备选1．函数f (x )＝lg|2x －1|图象的对称轴方程为________． 答案 x ＝12解析 内层函数t ＝|2x －1|的对称轴是x ＝12，所以函数f (x )＝lg |2x －1|图象的对称轴方程是x＝12. 2．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )关于点(0,1)对称， 所以f (x )＋f (－x )＝2， 故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2， 解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1， 又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1， 所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题． 跟踪训练3 (1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则 f (2 025)＝________. 答案 1解析 ∵f (x )的周期为6，则f (2 025)＝f (3)， 又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2 025)＝1.(2)(多选)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是( )A ．f (x )的图象关于y 轴对称B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．f (x )的图象关于点(π，0)对称 答案 BCD解析 ∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称， 故A 错误，B 正确． ∵f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故C 正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故D 正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( ) A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5 答案 C解析 因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称， 所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5. 2．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析 f (x )＝32x ＋13x ＝3x ＋3－x ，f (－x )＝3－x ＋3x ，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称．3．已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．－4 答案 A解析 依题意，函数f (x )的图象关于原点对称，则函数f (x )是奇函数，又f (x )的周期为4，且f (3)＝－2，则有f (2 021)＝f (－3＋506×4)＝f (－3)＝－f (3)＝2，所以f (2 021)＝2.4．(2022·宁德模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( ) A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．2 答案 C解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数， 且x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ， 所以f (0)＝b ＝0，f (－x )＝－f (x )， 又对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以函数图象关于直线x ＝1对称，所以－a＝1，解得a＝－2，2所以a＋b＝－2.5．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x)C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案BD解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知BD正确．6．(多选)(2022·湖北新高考9＋N联盟模拟)已知f(x)为R上的偶函数，且f(x＋2)是奇函数，则()A．f(x)的图象关于点(2,0)对称B．f(x)的图象关于直线x＝2对称C．f(x)的周期为4D．f(x)的周期为8答案AD解析∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，f(－x)＝f(x)，又∵f(x＋2)是奇函数，∴f(－x＋2)＝－f(x＋2)，∴f(x－2)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，f(x)为周期函数且周期为8.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案 13解析 因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， 则有(a －1)＋2a ＝3a －1＝0，则a ＝13，同时f (－x )＝f (x )，即ax 2＋bx ＋1＝a (－x )2＋b (－x )＋1， 则有bx ＝0，必有b ＝0. 则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______. 答案 12解析 由f (1－x )＝f (1＋x )， f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4， ∴f ⎝⎛⎭⎫352＝f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12， ∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2) 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2 ＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于( ) A ．－7 B ．－3 C ．3 D ．7 答案 B解析 设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )， 即f (x )－2＝－f (－x )＋2， 故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a 2x －a －2x＋1(a >0，a ≠1)，则f (1)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 答案 C解析 由已知可得f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1， f (－1)＋g (－1)＝a －2－a 2＋1， 因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， 所以f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＋g (1)＝a 2－a －2＋1，f (1)－g (1)＝a －2－a 2＋1，解得f (1)＝1.13．(多选)(2022·本溪统考)已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( ) A ．f (x )是周期函数且周期为4 B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称 C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称 D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点 答案 ACD解析 对于A 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )] ＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，故A 项正确； 对于B 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 且f (－x )＝－f (x )， 所以f (x ＋2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故B 项错误；对于C 选项，因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (x )＝－f (x －2)， 又因为f (－x )＝－f (x )， 所以f (x －2)＝f (－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝－1对称， 故C 项正确；对于D 选项，因为f (x )为定义在R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，因为T ＝4， 所以f (4)＝f (－4)＝0， 因为f (x ＋2)＝－f (x )， 所以f (0＋2)＝－f (0)＝0， 所以f (2)＝0，因为T ＝4， 所以f (－2)＝0，故D 项正确．14．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝________. 答案 1 1 011解析 因为f (x )＝4x4x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝4x4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x4x ＋2＋44x44x＋2 ＝4x4x ＋2＋44x4＋2·4x4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝m ， ① 则f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫12 023＝m ，②①＋②得2 022＝2m ，即m ＝1 011，故f ⎝⎛⎭⎫12 023＋f ⎝⎛⎭⎫22 023＋f ⎝⎛⎭⎫32 023＋…＋f ⎝⎛⎭⎫2 0222 023＝1 011.15．(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( ) A ．f (－1.1)＝0.9 B ．函数f (x )为奇函数 C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1 D ．函数f (x )的值域为[0,1) 答案 AD解析 对于A ，f (－1.1)＝－1.1－[－1.1] ＝－1.1＋2＝0.9，故A 正确．对于B ，取x ＝－1.1，则f (－1.1)＝0.9， 而f (1.1)＝1.1－[1.1]＝1.1－1＝0.1， 故f (－1.1)≠－f (1.1)，所以函数f (x )不为奇函数，故B 错误．对于C ，f (x ＋1)＝x ＋1－[x ＋1]＝x ＋1－[x ]－1＝f (x )，故C 错误． 对于D ，由C 的判断可知，f (x )为周期函数，且周期为1， 当0≤x ≤1时，则当x ＝0时，f (0)＝0－[0]＝0，当0<x <1时，f (x )＝x －[x ]＝x －0＝x ， 当x ＝1时，f (x )＝1－[1]＝1－1＝0， 故当0≤x ≤1时，则有0≤f (x )<1， 故函数f (x )的值域为[0,1)，故D 正确．16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P . (1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值． 解 (1)因为函数y ＝x 是增函数， 所以函数y ＝x 不具有性质P ， 当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立， 所以y ＝cos x 具有性质P . (2)设x ∈(－π，0]， 则x ＋π∈(0，π]，由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)， 所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)， 得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝⎛⎭⎫－π2＝12.。
函数的奇偶性、对称性与周期性总结,史上最全
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。
高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。
本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。
需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。
1.奇偶函数：设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。
①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-()()()0,1()f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。
()()-()0,1()f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。
分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:),(x f y =[]a b T b a x -=∈,,。
把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量)()0,(x f y kT a ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。
[][]⎩⎨⎧++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x)()(kT x f x f x f函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3=7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4=9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6= 10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点对称；关于点与),()2,2(),(b a y b x a B y x A -- ②对称；关于与点),(),(),(b a y b x a B y b x a A ++--③成中心对称；关于点与函数),()2(2)(b a x a f y b x f y -=-= ④成中心对称；关于点与函数),()()(b a x a f y b x a f y b +=+-=- ⑤成中心对称。
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：2.5函数的奇偶性、周期性(第1课时)
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
18
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
19
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
题型二：利用函数的奇偶性求函数值 -1 3+bsinx+2(ab≠0)，若f(5)=5， 2. 已知f(x)=ax 则f(-5)= .
由f(x)=ax3+bsinx+2， 得f(x)-2=ax3+bsinx为奇函数， 又f(5)-2=3，
5
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
偶 3. 在定义域的公共部分，两奇函数的 偶 积(或商)为 函数；两偶函数的 奇 函数；一奇一偶 积(或商)为 奇 函数的积(或商)为 函数；两奇 偶 函数(或两偶函数)的和、差为 函 数(或 函数).
6
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
三、函数的周期性
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
第二章
第5讲
函数
函数的奇偶性、周期性 （第一课时）
1
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
●奇函数、偶函数的概念 考 ●周期函数
点
搜
●判断函数的奇偶性的一般方法
●函数奇偶性的应用
索
●奇偶性、周期性与单调性在不等式中的
运用高
2
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
8
x
·高中总复习（第1轮）·理科数学 ·全国版
2.若函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］
为偶函数，其中θ∈(0,π)，则α-θ的值
是
. 2
函数f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-
函数的周期性与奇偶性
函数的周期性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念之一，它描述了一种规律性的映射关系。
函数的周期性和奇偶性是函数性质中的两个重要方面。
本文将就函数的周期性和奇偶性展开论述。
一、函数的周期性周期性是函数在某个区间内具有相似性质的重复性。
若对于函数f(x)存在一个正数T，使得对于任意的x∈R，有f(x+T) = f(x)，则称函数f(x)是周期函数，T称为函数的周期。
周期函数是一类具有固定重复规律的函数。
常见的周期函数有三角函数和指数函数。
以三角函数为例，正弦函数和余弦函数就是周期为2π的函数。
它们的图像在每个周期内重复出现相同的形状。
在数学中，我们可以通过函数图像的观察或者计算来确定周期。
对于三角函数而言，周期往往是已知的，如正弦函数的周期为2π。
而对于其他函数，我们可以观察函数图像是否在一个特定区间内重复。
函数的周期性可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
很多实际问题中的规律性变化都可以用周期函数来描述，比如天体运动、电流的变化等。
二、函数的奇偶性奇偶性是函数在坐标系中对称性的一种表现。
若对于任意的x∈R，有f(-x) = f(x) 或者f(-x) = -f(x)，则称函数f(x)是偶函数或奇函数。
偶函数的图像关于y轴对称，即在y轴上的每个点关于原点有对应的相等点。
典型的偶函数有多项式中的偶次幂函数，如x²、x⁴等。
奇函数的图像关于坐标原点对称，即在原点关于x轴和y轴的每个点有对应的相等点。
典型的奇函数有多项式中的奇次幂函数，如x³、x⁵等。
在数学中，我们可以通过对函数进行代数计算来判断函数的奇偶性。
比如，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则可以判定f(x)是偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则可以判定f(x)是奇函数。
同时，我们也可以通过观察函数图像来确定函数的奇偶性。
函数的奇偶性是函数图像的一种对称性，它在数学运算和函数性质研究中有重要的应用。
函数的周期性与奇偶性的判定
函数的周期性与奇偶性的判定函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种数值之间的关系。
函数的周期性与奇偶性是函数的重要特征之一，对于函数的分析和应用具有重要的意义。
本文将介绍函数的周期性和奇偶性的概念，并讨论判定函数周期性和奇偶性的方法。
一、函数的周期性周期函数在数学中起到了重要的作用，它们具有重复出现的性质。
一个函数f(x)被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，都有f(x+T) = f(x)成立。
这个正数T被称为函数f(x)的周期。
周期函数具有重复出现的形式，可以描述各种重复现象，如正弦函数、余弦函数等。
判定函数周期性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否重复出现。
如果函数的图像在一个特定的间隔内重复出现，并且没有其他额外的变化，那么函数很可能是周期函数。
2. 分析函数公式：有些函数的周期性可以通过函数的公式来判断。
例如，正弦函数和余弦函数的周期为2π，而指数函数和对数函数则没有周期性。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的对称性质，反映了函数的特定规律。
一个函数f(x)被称为奇函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)成立；一个函数f(x)被称为偶函数，如果对于任意的x，都有f(-x) = f(x)成立。
奇函数和偶函数是两类特殊的函数，它们具有对称性的特征。
判定函数奇偶性的方法：1. 观察函数图像：通过观察函数的图像，可以发现函数是否具有对称性。
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
因此，通过观察函数的图像可以初步判定函数的奇偶性。
2. 分析函数公式：有些函数的奇偶性可以通过函数的公式来判断。
例如，幂函数的指数为奇数时，函数是奇函数；指数为偶数时，函数是偶函数。
综上所述，函数的周期性和奇偶性是函数的重要特征。
通过观察函数的图像和分析函数的公式，我们可以判定函数的周期性和奇偶性。
这些特征在函数的分析和应用中起着重要的作用，帮助我们理解和描述各种数值之间的关系。
函数的奇偶性与周期性(教师版)
预习讲义2.5函数的奇偶性和周期性知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.课前训练1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数. ( ×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称. ( √)(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称. ( √)(4)若函数f(x)＝xx－2 x＋a为奇函数，则a＝2. ( √)(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数. ( √)(6)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x)，则f(2 014)＝0. ( √)2.已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)等于________.答案－2解析f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________.答案1 3解析依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.4.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1). 又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 015)＝－2.5.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________. 答案 (－1,0)∪(1，＋∞)解析 画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为(－ 1,0)∪(1，＋∞).2.5函数的奇偶性和周期性例题精讲例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.思维启迪 判断函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称.若对称，再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0x 2－9≥0，得x ＝±3.∴f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称. 又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x ).∴f (x )既是奇函数，又是偶函数. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 1＋x≥01＋x ≠0，得－1<x ≤1.∵f (x )的定义域(－1,1]不关于原点对称. ∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称. ∴f (x )＝4－x 2x ＋3 －3＝4－x 2x .∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数.例2(1) f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________. 解析 (1)当x ＜0时， －x ＞0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 所以当x ＜0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧－2x 2＋3x ＋1，x ＞0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x ＜0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f x ＋2 ＝－1－1f x＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5). ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.例3 (1)已知奇函数f (x )在定义域(－1,1)内是减函数，则满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围为________. 答案 (0,1)解析 f (1－m )<－f (1－m 2)， 即f (1－m )<f (m 2－1)， 于是⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<1－m 2<1，1－m >m 2－1，解得0<m <1.(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴不等式f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)． 又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数．∴⎩⎨⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m ＜12课后提升1.已知f (x )＝px 2＋23x ＋q 是奇函数，且f (2)＝53，则f (x )的解析式为________.答案 f (x )＝2x 2＋23x解析 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0，得px 2＋2－3x ＋q ＋px 2＋23x ＋q＝0，得q ＝0， 由f (2)＝53得4p ＋26＝53，得p ＝2，则f (x )＝2x 2＋23x.2、若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )等于________. 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x ). ∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x. 又∵f (x )＋g (x )＝e x，∴g (x )＝e x－e－x 2.答案 12(e x －e －x)3.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称. (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式. (1)证明 由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2). 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f(－x)＝－f(x).故f(x＋2)＝－f(x).从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数.(2)解由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0. x∈[－1,0)时，－x∈(0,1]，f(x)＝－f(－x)＝－－x. 故x∈[－1,0]时，f(x)＝－－x.x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1,0]，f(x)＝f(x＋4)＝－－x－4.从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－－x－4.课后作业一、填空题1.下列函数中，所有奇函数的序号是________.①f (x )＝2x 4＋3x 2；②f (x )＝x 3－2x ；③f (x )＝x 2＋1x；④f (x )＝x 3＋1. 答案 ②③2.设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数.又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.3.定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝ a －b 2，则f (x )＝2 x 2－ x ⊗2 是________函数.(填“奇”或“偶”) 答案 奇解析 因为2 x ＝4－x 2，x ⊗2＝ x －2 2， 所以f (x )＝4－x22－ x －2 2＝4－x 22－ 2－x ＝4－x2x ， 该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]， 且满足f (－x )＝－f (x ). 故函数f (x )是奇函数.4.已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2(a >0，且a ≠1).若g (2)＝a ，则f (2)等于________. 答案154解析 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ， ∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，② 由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.5.若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)上递增，且f (－3)＝0，则xf (x )<0的解集是________.答案 (－3,0)∪(0,3) 解析 结合f (x )的草图即可.6.若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 答案 0解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.7.已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________. 答案 14解析 令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)， 解得f (0)＝12，令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)， 解得f (2)＝－14，令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)， 解得f (3)＝－12，依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝14，f (8)＝－14，f (9)＝－12，…可知f (x )是以6为周期的函数， ∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝14.二、解答题8.设f (x )是定义域为R 的周期函数，且最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )， ∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0， f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ∈[－1，0)，x ，x ∈[0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数.(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增.结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3].10.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围. 解 (1)因为f (x )是奇函数，且定义域为R ，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.经检验适合题意，∴a ＝2，b ＝1. (2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数.又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0. 从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.11.已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈[12，1]上恒成立，求实数a 的取值范围.解 由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f (ax ＋1)≤f (x －2)，则|ax ＋1|≤|x －2|. 又x ∈[12，1]，故|x －2|＝2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .∴1－3x ≤a ≤1x －1在[12，1]上恒成立.∴(1x －1)min ＝0，(1－3x)max ＝－2，∴－2≤a ≤0.12.函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋江苏省泰州中学校本教学案 一轮复习11 编者：余静 f (x 2).(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围.解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数.(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).又f (x )在(0，＋∞)上是增函数.∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}..。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、简单性质
1.奇函数的图象关于原点对称, 反之成立！ 偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.单调性: 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
3.奇函数: f(0)=0(0 在定义域中), 偶函数: f(x)=f(|x|).
三、函数奇偶性的判定方法
1.根据定义判定: 首先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称, 则函数 是非奇非偶函数;若对称, 再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=-f(x) 是否成立. 有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难, 可考虑判定 f(-x) f(x)=0 f(x) 或判定 f(-x) =1. 2.利用定理, 借助函数的图象判定: 3.性质法判定: 在公共定义域内, 两奇函数之积(商)为偶函数; 两偶函数之积(商)也为偶函数; 一奇一偶函数之积(商)为奇函数. (注意取商时分母不为零!)
四、函数的周期性
如果存在一个非零常数 T, 使得对于函数定义域内的任意 x, 都有 f(x+T)=f(x), 则称函数 f(x) 为周期函数, T 为函数的一个周 期. 若f(x)的周期中, 存在一个最小的正数, 则称它为函数的最小 正周期. 若周期函数 f(x) 的最小正周期为 T, 则 f(x)(0) 也为周 期函数, 且最小正周期为 T . ||
五、典型例题
Hale Waihona Puke 1.判断下列函数的奇偶性： (1+2x)2 (1) f(x)= 2x ; 偶函数
(2) f(x)=lg(x+ x2+1); 奇函数
1+x (3) f(x)=log2( 1-x2 + x2-1 +1); (4) f(x)=(1-x) 1-x ; 既奇又偶函数 非奇非偶函数
2.(1)设函数 f(x) 的定义域关于原点对称, 判断下列函数的奇 偶性: ①F(x)= 1 [f(x)+f(-x)]; ②G(x)= 1 [f(x)-f(-x)]; 2 2 偶函数 奇函数 (2)试将函数 y=2x 表示为一个奇函数与一个偶函数的和. y= 1 (2x-2-x)+ 1 (2x+2-x) 2 2 3.若对任意的 x∈R, 都有 f(a+x)=f(a-x), 且 f(b+x)=f(b-x), 其 中 b>a. 则 f(x) 是以 2(b-a) 为周期的周期函数.
一、函数的奇偶性
1.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 则 称 f(x) 为偶函数. 2.若对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=-f(x), 则 称 f(x) 为奇函数. 3.若函数 f(x) 不具有上述性质, 则称 f(x) 不具有奇偶性; 若 函数同时具有上述两条性质, 则 f(x) 既是奇函数, 又是偶函数. 例: 函数 f(x)=0(x∈D, D关于原点对称)是既奇又偶函数.