10.1 随机事件与概率(精练)(解析版)

10.1 随机事件与概率（精练）【题组一 有限样本空间与随机事件】1．（2020·全国高一课时练习）下列事件是必然事件的是（ ） A ．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上 B ．异性电荷相互吸引C ．在标准大气压下，水在1℃时结冰D ．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数 【答案】B【解析】四个选项都是随机事件，根据定义只有B 选项是一定会发生的，是必然事件.故选：B . 2．（2020·全国高一课时练习）下列事件中，是必然事件的是（ ） A ．对任意实数x ，有x 2≥0 B ．某人练习射击，击中10环C ．从装有1号，2号，3号球的不透明的袋子中取一球是1号球D ．某人购买彩票中奖 【答案】A【解析】选项B C D ，，中的事件都不确定发生，因此都不是必然事件； A 选项，当x R ∈时，总有20x ≥发生，是必然事件.故选：A.3．（2021·全国高一课时练习）关于样本点、样本空间，下列说法错误的是（ ） A ．样本点是构成样本空间的元素 B ．样本点是构成随机事件的元素 C ．随机事件是样本空间的子集D ．随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多 【答案】D【解析】由定义知A ，B ，C 均正确.因为随机事件是样本空间的子集，所以由子集的定义可知D 错.故选：D 4．（2020·全国高一课时练习）一个家庭有两个小孩，把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的样本点有（ ） A ．（男，女），（男，男），（女，女） B ．（男，女），（女，男）C ．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）D ．（男，男），（女，女） 【答案】C【解析】由题知所有的样本点是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）.故选：C. 5．（2021·全国高一课时练习）指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： （1）某人购买福利彩票一注，中奖500万元； （2）三角形的内角和为180；（3）没有空气和水，人类可以生存下去； （4）同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；（5）从分别标有1、2、3、4的四张标签中任取一张，抽到1号标签； （6）科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．【答案】（1）随机事件；（2）必然事件；（3）不可能事件；（4）随机事件；（5）随机事件；（6）不可能事件.【解析】（1）购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件； （2）所有三角形的内角和均为180，所以是必然事件；（3）空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件； （4）同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件； （5）任意抽取，可能得到1、2、3、4号标签中的任一张，所以是随机事件； （6）由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．6．（2020·全国高一课时练习）在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，随机抽取一次考试的成绩，记录小明同学的语文，数学，英语这三科成绩的情况. （1）写出该试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：A =“至少有两科成绩为优秀”；B =“三科成绩不都相同” 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】解：分别用123,,x x x 表示语文，数学，英语的成绩，则样本点表示为{}123,,x x x .用1表示优秀，用0表示良好，则{}123,,0,1x x x ∈. （1）该试验的样本空间可表示为(){}{}123123,,,,0,1x x x x x x Ω=∈，用列举法表示为()()()()()()()(){}0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1,1,1Ω=.（2）()()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1,1,1,1A =；()()()()()(){}1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1B =.7．（2020·全国高一课时练习）如图，一个电路中有A ，B ，C 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：M =“恰好两个元件正常”；N =“电路是通路”；T =“电路是断路” 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】分别用12,x x 和3x 表示元件A ，B 和C 的可能状态，则这个电路的工作状态可用()123,,x x x 表示，进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态。

（1）则样本空间()()()()()()()(){}0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,1,1,1,1Ω=如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果（2）“恰好两个元件正常”等价于()123,,x x x ∈Ω，且123,,x x x 中恰有两个为1，所以()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1M =.“电路是通路”等价于()123,,x x x ∈Ω，11x =，且23,x x 中至少有一个是1，所以()()(){}1,1,0,1,0,1,1,1,1N =.同理，“电路是断路”等价于()123,,x x x ∈Ω，10x =，或1231,0x x x ===.所以()()()()(){}0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,1,0,0N =.8．（2020·全国高一课时练习）如图，由A ，B 两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.（1）写出试验的样本空间；（2）对串联电路，写出事件M =“电路是通路”包含的样本点； （3）对并联电路，写出事件N =“电路是断路”包含的样本点. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析【解析】 A ，B 两个元件中每个元件都有正常（用1表示）或失效（用0表示）两种可能结果：（1）故该试验的样本空间可以表示为()()()(){}0,0,0,1,1,0,1,1Ω=；（2）对串联电路，只有当A ，B 都正常时电路才是通路，故M 包含的样本点为()1,1； （3）对并联电路，只有当A ，B 都失效时电路才是断路，故N 包含的样本点为()0,0.9．（2020·全国高一课时练习）连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面.（与先后顺序有关）（1）写出这个试验的样本空间及样本点的个数； （2）写出事件“恰有两枚正面向上”的集合表示.【答案】（1）8个，见解析（2）{（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}.【解析】（1）这个试验的样本空间Ω={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）}，样本点的个数是8.（2）记事件“恰有两枚正面向上”为事件A ，则A ={（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正）}. 10．（2020·全国高一课时练习）从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对(),x y ，其中x 为第1次取到的数字，y 为第2次取到的数字.（1）写出样本空间；（2）写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示.【答案】（1）()()()()()(){}0,1,1,0,0,2,2,0,1,2,2,1Ω=；（2）()(){}2,0,2,1. 【解析】（1）用有序数对(),x y 表示事件，所以()()()()()(){}0,1,1,0,0,2,2,0,1,2,2,1Ω=．（2）根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出的数字是2”这一事件为：()(){}2,0,2,1．11．（2021·全国高一课时练习）从含有两件正品12,a a 和一件次品1b 的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次. （1）写出这个试验的样本空间；（2）下列随机事件由哪些样本点构成：事件A ：取出的两件产品都是正品；事件B ：取出的两件产品恰有1件次品. 【答案】（1）()()()()()(){}121121211112,,,,,,,,,,,a a a b a a a b b a b a Ω=（2）()(){}1221,,,A a a a a =；()()()(){}11112112,,,,,,,B a b b a a b b a =【解析】1）该试验的样本空间()()()()()(){}121121211112,,,,,,,,,,,a a a b a a a b b a b a Ω=（2）事件()(){}1221,,,A a a a a =，包含2个样本点.事件()()()(){}11112112,,,,,,,B a b b a a b b a =，包含4个样本点.【题组二 事件的关系和运算】1．（2020·全国高一课时练习）在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A 表示随机事件“第一次出现正面”，事件B 表示随机事件“3次出现同一面”，事件C 表示随机事件“至少1次出现正面”. （1）试用样本点表示事件A B ，A B ，A C ，A C ；（2）试用样本点表示事件AB ，AB ，AC ，A C ；（3）试判断事件A 与B ，A 与C ，B 与C 是否为互斥事件.【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）A 与B 不互斥，A 与C 不互斥，B 与C 不互斥 【解析】用H 代表“出现正面”,用T 代表“出现反面”.{},,,,,,,HHH HHT HTT HTH THH THT TTH TTT Ω=, {},,,A HHH HHT HTT HTH =,{},B HHH TTT =,{},,,,,,C HHH HHT HTT HTH THH THT TTH =.（1）{},,,,AB HHH HHT HTT HTH TTT =,{}A B HHH =,{},,,,,,A C HHH HHT HTT HTH THH THT TTH =, {},,,A C HHH HHT HTT HTH =.（2）{},,,,AB THH THT TTH TTT HHH =,{}A B TTT =,{},,,,A C HHH HHT HTT HTH TTT =,A C =∅.（3）{}A B HHH =≠∅,{},,,A C HHH HHT HTT HTH =≠∅,{}B C HHH =≠∅,∴A 与B 不互斥,A 与C 不互斥,B 与C 不互斥.2．（2020·全国高一课时练习）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：i C =“点数为i ”，其中1,2,3,4,5,6i =；1D =“点数不大于2”，2D =“点数大于2”，3D =“点数大于4”；E =“点数为奇数”，F =“点数为偶数”.判断下列结论是否正确.（1）1C 与2C 互斥；（2）2C ，3C 为对立事件；（3）32C D ⊆；（4）32D D ⊆；（5）12D D =Ω，12D D =∅；（6）356D C C =；（7）135E C C C =；（8）E ，F 为对立事件；（9）232D D D =；（10）233D D D =【答案】（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）正确；（7）正确；（8）正确；（9）正确；（10）正确.【解析】该试验的样本空间可表示为{}1,2,3,4,5,6Ω=,由题意知{}i C i =,{}11,2D =,{}23,4,5,6D =,{}35,6D =,{}1,3,5E =,{}2,4,6F =. （1）{}11C =,{}22C =,满足12C C =∅,所以1C 与2C 互斥,故正确；（2）{}22C =,{}33C =,满足23C C =∅但不满足23C C ⋃=Ω.所以为互斥事件,但不是对立事件,故错误；根据对应的集合易得,（3）正确；（4）正确；（5）正确；（6）{}565,6C C =,所以356D C C =,故正确；（7）{}1351,2,3C C C =,故135E C C C =正确；（8）因为E F ⋂=∅, E F ⋃=Ω,所以E ,F 为对立事件,故正确；（9）正确；（10）正确.3．（2020·全国高一课时练习）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件1R =“第一次摸到红球”，2R =“第二次摸到红球”，R =“两次都摸到红球”，G =“两次都摸到绿球”，M =“两个球颜色相同”，N =“两个球颜色不同”.（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件； （2）事件R 与1R ，R 与G ，M 与N 之间各有什么关系？（3）事件R 与事件G 的并事件与事件M 有什么关系？事件1R 与事件2R 的交事件与事件R 有什么关系？ 【答案】（1）详见解析（2）事件1R 包含事件R ；事件R 与事件G 互斥；事件M 与事件N 互为对立事件（3）事件M 是事件R 与事件G 的并事件；事件R 是事件1R 与事件2R 的交事件. 【解析】（1）所有的试验结果如图所示,用数组()12,x x 表示可能的结果,1x 是第一次摸到的球的标号,2x 是第二次摸到的球的标号,则试验的样本空间()()()()()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4,3,1,3,2,3,4,4,1,4,2,4,3Ω=事件1R =“第一次摸到红球”,即11x =或2,于是()()()()()(){}11,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4R =；事件2R =“第二次摸到红球”,即21x =或2,于是()()()()()(){}22,1,3,1,4,1,1,2,3,2,4,2R =.同理,有()(){}1,2,2,1R =, ()(){}3,4,4,3G =,()()()(){}1,2,2,1,3,4,4,3M =,()()()()()()()(){}1,3,1,4,2,3,2,4,3,1,3,2,4,1,4,2N =.（2）因为1R R ⊆,所以事件1R 包含事件R ； 因为R G =∅,所以事件R 与事件G 互斥；因为MN =Ω,M N ⋂=∅,所以事件M 与事件N 互为对立事件.（3）因为R G M =,所以事件M 是事件R 与事件G 的并事件；因为12R R R =,所以事件R 是事件1R 与事件2R 的交事件.4．（2020·全国高一课时练习）抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数是1或2”，事件B =“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为（ ） A ．AB B ．A BC ．A B ⊆D ．A B =【答案】B【解析】由题意可得：{}1,2A =，{}3,4B =，{}1,2,3,4A B ∴=，{}2A B ⋂=.故选B.5．（2020·全国高一课时练习）打靶3次，事件i A =“击中i 发”，其中0,1,2,3i =.那么123A A A A =表示（ ） A ．全部击中B ．至少击中1发C ．至少击中2发D ．全部未击中【答案】B 【解析】123A A A 表示的是123,,A A A 这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发.故选：B.6．（2020·全国高一课时练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A ：恰有一件次品； 事件B ：至少有两件次品； 事件C ：至少有一件次品； 事件D ：至多有一件次品. 并给出以下结论： ①A B C =；②BD 是必然事件；③A B C =；④A D C =.其中正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②③【答案】A【解析】解析：事件A B：至少有一件次品,即事件C,所以①正确；事件A B=∅,③不正确；事件B D：至少有两件次品或至多有一件次品,包括了所有情况,所以②正确；事件A D：恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故选：A【题组三互斥与对立】1．（2020·全国高一课时练习）袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红､黑球各一个【答案】D【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，故选：D2．（2020·全国高一课时练习）一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．两次都不中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．至多有一次中靶【答案】A【解析】对A,“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生,故A正确.对B,“至少有一次中靶”包含“两次都中靶”的情况.故B错误.对C, “至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”的情况.故C错误.对D, “至少有一次中靶”和“至多有一次中靶”均包含“一次中靶”的情况.故D错误.故选：A3（2021·全国高一课时练习）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件【答案】D【解析】事件A 包含1，3，5，共3个基本事件. 事件B 包含1，2，3，共3个基本事件. 事件C 包含4，5，6，共3个基本事件. 因为{AB =出现点数1或3}，所以A 与B 不互斥也不对立. 因为BC =∅，{1,2,3,4,5,6}B C =，所以B 与C 是对立事件. 故选：D4．（2020·全国高一课时练习）一袋中装有除颜色外完全相同的5个白球,3个黄球,从中有放回地摸球,用1A 表示第一次摸得黄球,2A 表示第二次摸得白球,则事件1A 与2A ( ) A ．是相互独立事件 B ．不是相互独立事件 C ．是互斥事件 D ．是对立事件【答案】A【解析】由于采用有放回地摸球,因此1A 与2A 相互独立,于是事件1A 与2A 是相互独立事件.故选：A 5．（2021·全国高一课时练习）从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（ ）A ．“至少一个红球”与“至少一个黄球”B ．“至多一个红球”与“都是红球”C ．“都是红球”与“都是黄球”D ．“至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球， 各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件； “至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件； “都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B6．（2020·全国高一课时练习）如果事件A，B互斥，记A，B分别为事件A，B的对立事件，那么（）. A．A B是必然事件B．A B⋃是必然事件C．A与B一定互斥D．A与B一定不互斥【答案】B【解析】用集合的Venn图解决此类问题较为直观，如图所示，A B⋃是必然事件.故选：B.7．（2020·全国高一课时练习）把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A．对立事件B．互斥但不对立事件C．不可能事件D．以上都不对【答案】B【解析】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件，因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B．8．（2021·全国高一课时练习）一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A．两次都中靶 B．至少有一次中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶【答案】A【解析】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．9．（2020·全国高一课时练习）从装有3个红球和3个白球的口袋里任取3个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A．至少2个白球，都是红球B．至少1个白球，至少1个红球C．至少2个白球，至多1个白球D．恰好1个白球，恰好2个红球【答案】A【解析】选项A中，“至少2个白球”包括“2个白球”和“2个白球和个红球”两种情况，“都是红球”即为“3个红球”．故这两个事件不可能同时发生，而这两个事件的和事件不是必然事件，故A正确．选项B中，“至少1个白球”包括“1个白球2个红球”、“2个白球和1个红球”、“3个白球”三种情况；“至少1个红球”包括“1个红球2个白球”、“2个红球和1个白球”、“3个红球”三种情况．所以这两个事件不互斥，所以B不正确．选项C中，“至少2个白球”包括“2个白球1个红球”、“3个白球”两种情况；“至多1个白球”包括“1个白球和2个红球”、“3个红球”两种情况，所以这两个事件为对立事件，故C不正确．选项D中，“恰好1个白球”和“恰好2个红球”为同一事件，所以D不正确．故选A．10．（2020·全国高一课时练习）将一枚质地均匀的骰子向上抛掷1次.设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则（）A．A与B是互斥而非对立事件B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件D．B与C是对立事件【答案】D【解析】对于A、B中，当向上的一面出现点数1时，事件,A B同时发生了，所以事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件；对于事件B与C不能同时发生且一定有一个发生，所以事件B与C是对立事件，故选D．【题组四古典概型】1．（2020·全国高一课时练习）某袋中有编号为1，2，3， 4，5，6的6个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（）A．56B．16C．15D．3536【答案】A【解析】甲先从袋中摸出一个球，有6种可能的结果，乙再从袋中摸出一个球，有6种可能的结果如果按（甲，乙）方法得出总共的结果为：36个甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个∴甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是305 366=，故选：A．2．（2020·全国高一课时练习）在长分别为1cm、2cm、3cm、4cm的四条线段中，任取三条，这三条线段能构成三角形的概率为（）A ．12B ．13C ．14D ．0【答案】C【解析】从四条线段中任意取三条，共有：()1,2,3cm cm cm ，()1,2,4cm cm cm ，()1,3,4cm cm cm ，()2,3,4cm cm cm ，四种情况，三条线段能构成三角形共有：()2,3,4cm cm cm 一种情况，故能构成三角形的概率为14.故选：C 3．（2021·全国高一课时练习）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照[)[)[)[)[]27.5,32.5,32.5,37.5,37.5,42.5,42.5,47.5,47.5,52.5分为5组，其频率分布直方图如图所示．（1）求图中a 的值；（2）估计这种植物果实重量的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （3）已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量40n =，从该样本分布在[)27.5,32.5和[]47.5,52.5的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．【答案】（1）0.050a =；（2）40，28.75；（3）17. 【解析】（1）组距5d =，由()50.0200.0400.0750.0151a ⨯++++=，得0.050a =． （2）各组中点值和相应的频率依次为：所以300.1350.2400.375450.25500.07540x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()222222100.150.200.37550.25100.07528.75s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=．（3）由已知，果实重量在[)27.5,32.5和[]47.5,52.5内的分别有4个和3个，分别记为1234,,,A A A A 和123,,,B B B 从中任取2个的取法有： 12131411121323,,,,,,A A A A A A A B A B A B A A ， 24212223343132,,,,,,A A A B A B A B A A A B A B ， 33414243121323,,,,,,A B A B A B A B B B B B B B ，共21种取法，其中都是优质果实的取法有121323,,B B B B B B ，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率31217P ==． 4．（2020·全国高一课时练习）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分.整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[)40,50，[]50,60，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（1）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（2）从对B 餐厅评分在[)0,20范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[)0,10范围内的概率； （3）求学生对A 餐厅评分的平均数. 【答案】（1）20；（2）35；（3）41.9. 【解析】（1）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为()0.0030.0050.012100.2++⨯=， 所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=. （2）对B 餐厅评分在[)0,10范围内的有2人，设为12,M M ， 对B 餐厅评分在[)10,20范围内的有3人，设为123,,N N N 从这5人中随机选出2人的选法为：()12,M M ，()11,M N ，()12,M N ，()13,M N ，()21,M N ，()22,M N ，()23,M N ，()12,N N ，()13,N N ，()23,N N 共10种其中，恰有1人评分在[)0,10范围内的选法为：()11,M N ，()12,M N ，()13,M N ，()21,M N ，()22,M N ，()23,M N .共6种.故2人中恰有1人评分在[)0,10范围内的概率为63105P ==. （3）平均数为：0.0350.05150.12250.2350.2450.455⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.150.753792241.9=+++++=.5．（2020·全国高一课时练习）由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(20，40]的有20人.（1）估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数； （2）用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；（3）若此次核酸检测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率 【答案】（1）50；（2）5；（3）910. 【解析】(1)由频率直方图可知()0.00750.01200.35+⨯=，()0.00750.010.015200.65++⨯=因0.350.50.65<<，所以所求中位数在(40,60],不妨设中位数为x ，则()0.35400.0150.5x +-⨯=,得50x =. 所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50；(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在(20,40]有20人， 设样本中核酸检测呈阴性的人数为n ,则200.0120n =⨯，即100n =，用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为505(505100)=5101-⨯, 即该小区此次核酸检测呈阳性的人数为5；（3）由（2）可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3：2， 所以其中男性为3人，女性为2人，将其3名男性分别记为1，2，3，2名女性记为a,b ，从中任选两人的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a ），（1，b ），（2，3），（2，a ），（2，b ），（3，a ），（3，b ），（a ，b ），共10种，其中至少有一名男性的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a ），（1，b ），（2，3），（2，a ），（2，b ），（3，a ），（3，b ），共9种.所以至少选到一名男性的概率910P =. 6．（2020·全国高一课时练习）海关对同时从,,A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．（1）求这6件样品中来自A ，B ，C 三个地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率． 【答案】（1）1，3，2；（2）415. 【解析】（1）由题意，样品中来自A 地区商品的数量为650150150100⨯=++，来自B 地区商品的数量为6150350150100⨯=++，来自C 地区商品的数量为6100250150100⨯=++； （2）设来自A 地区的样品编号为a ，来自B 地区的样品编号为1b ,2b ,3b ， 来自C 地区的样品编号为1c ,2c ，则从6件样品中抽取2件产品的所有基本事件为:()1,a b ,()2,a b ,()3,a b ,()1,a c ,()2,a c ,()12,b b ,()13,b b ,()11,b c ,()12,b c ,()23,b b ,()21,b c ,()22,b c ,()31,b c ,()32,b c ,()12,c c ,共15个；抽取的这2件产品来自相同地区的基本事件有:()12,b b ,()13,b b ,()23,b b ,()12,c c ,共4个；故所求概率415P =. 【题组五 概率的基本性质】1．（2020·吴起高级中学）气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（ ） A ．本市明天将有70%的地区降雨 B ．本市有天将有70%的时间降雨 C ．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D ．明天出行不带雨具肯定要淋雨【答案】C【解析】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.故选:C.2．（2021·全国高一课时练习）某种彩票中奖的概率为110000，这是指A．买10000张彩票一定能中奖B．买10000张彩票只能中奖1次C．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖D．买一张彩票中奖的可能性是1 10000【答案】D【解析】彩票中奖的概率为110000，只是指中奖的可能性为110000，不是买10000张彩票一定能中奖，概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.3．（2020·全国高一课时练习）抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（）A．23B．13C．12D．56【答案】A【解析】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，∴P(A)2163==，P(B)2163==，又小于5的偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（A∪B）＝P(A)+P(B)112 333 =+=，故选：A．4（2020·全国高一课时练习）柜子里有3双不同的鞋，分别用121212,,,,,a a b b c c 表示6只鞋,如果从中随机地取出2只，那么 （1）写出试验的样本空间;（2）求下列事件的概率，并说明它们的关系; ①A=“取出的鞋不成双” ②B=“取出的鞋都是左脚的”； ③C=“取出的鞋都是一只脚的”；④D=“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”. 【答案】（1）见解析；（2）①4()5P A =；②1()5P B =；③2()5P C =；④2()5P D =.,B C A D A ⊆⊆⊆，B 与D 互斥，C 与D 互斥，C D A ⋃=. 【解析】1）该试验的样本空间可表示为()()({)()()()()()()()()()()()()}121112111221222122121112212212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a b a b a c a c a b a b a c a c b b b c b c b c b c c c Ω=，（2）由（1）得()15n Ω=. ①()()(){}()121212,,,,,,3A a a b b c c n A =∴=.()()12415312,155n A P A ∴⋅=-=∴==. ②()()(){}()111111,,,,,,3B a b a c b c n B =∴=，()31155P B ∴==. ③()()()()()({)}111111222222,,,,,,,,,,,C a b a c b c a b a c b c =()()626,155n C P C ∴=∴==. ④()()()()()({)}121221211221,,,,,,,,,,,D a b a c a b a c b c b c =，()()626,155n D P D ∴=∴== A ，B ，C ，D 之间有如下关系：,B C A D A ⊆⊆⊆，B 与D 互斥，C 与D 互斥，C D A ⋃=.5．（2020·全国高一课时练习）有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：（1）为进行某项研究，从所用时间为12h 的60辆汽车中随机抽取6辆.（ⅰ）若用分层随机抽样的方法抽取，求从通公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；（ⅱ）若从（ⅰ）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率.（2）假设汽车A 只能在约定时间的前11h 出发，汽车B 只能在约定时间的前12h 出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车A 和汽车B 应如何选择各自的道路？ 【答案】（1）（i ）通过公路1的汽车中抽取2（辆），从通过公路2的汽车中抽取4（辆）.（ii ）35（2）汽车A 应选择公路1；汽车B 应选择公路2 【解析】（1）（ⅰ）由分层随机抽样的特点，易得从通过公路1的汽车中抽取20622040⨯=+（辆），从通过公路2的汽车中抽取40642040⨯=+（辆）.（ⅱ）记通过公路1的2辆汽车分别为12,A A ，通过公路2的4辆汽车分别为1234,,,B B B B ，从6辆汽车中任意抽取2辆汽车共有15种可能的情况：()()()()()()()()()()()1211121314212223241213,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B A B B B B B ()()()()14232434,,,,,,,B B B B B B B B .其中至少有1辆通过公路1的情况有9种，所以至少有1辆通过公路1的概率为93155=. （2）作出频率分布表，如下：。