数学实验4-曲线拟合
四参数拟合曲线标准
四参数拟合曲线标准===========四参数拟合曲线是一种广泛应用于各种科学和工程领域的曲线拟合方法。
这种方法通过四个参数来描述数据的分布和趋势，具有较高的灵活性和适用性。
本篇文档将详细介绍四参数拟合曲线的标准，包括参数定义、参数约束、拟合度评估、误差分析、曲线形状和应用场景等方面。
1. 参数定义-------四参数拟合曲线由四个参数定义，它们分别是：* a：曲线的垂直偏移量，决定了曲线在y轴上的位置；* b：曲线的水平宽度，决定了曲线在x轴上的分布范围；* c：曲线的斜率，反映了曲线在某一特定x值上y值的增加或减少速率；* d：曲线的形状因子，决定了曲线的弯曲程度。
这四个参数可以通过最小二乘法等数学方法进行求解，使得拟合曲线与实际数据之间达到最佳的匹配效果。
2. 参数约束-------在四参数拟合曲线的求解过程中，需要对参数进行一些约束。
这些约束条件可以保证求解的参数值具有物理意义和实际应用价值。
常见的参数约束包括：* a, b, c, d均为非负值；* a, b, c, d的取值应保证拟合曲线的平滑性和连续性；* 对称性：对于某些特定的数据集，拟合曲线可能呈现出对称性，此时应约束c和d的取值。
这些约束条件的设立可以帮助我们更好地理解数据集的本质特征，避免不合理的参数值组合对拟合结果产生负面影响。
3. 拟合度评估-------为了衡量四参数拟合曲线的效果，需要对拟合度进行评估。
常用的评估方法包括：均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)、R-squared值等。
这些评估指标可以定量地描述拟合曲线与实际数据之间的差异程度，从而判断四参数拟合曲线的拟合效果。
一般来说，RMSE值越小，MAE值越小，R-squared值越接近1，说明拟合效果越好。
4. 误差分析-------除了对拟合度进行评估外，还需要对误差进行分析。
误差主要包括系统误差和随机误差。
系统误差是由模型本身的不完善、测量设备误差等因素引起的；随机误差是由偶然的、难以控制的因素引起的。
在线曲线拟合 四参数
在线曲线拟合四参数通常指的是使用四个参数来拟合一条曲线。
这四个参数通常包括：
1.斜率（Slope）：表示曲线在X轴上的变化速率。
2.截距（Intercept）：表示曲线在Y轴上的截距。
3.最大值（Max Value）：表示曲线在某个点上的最大值。
4.最小值（Min Value）：表示曲线在某个点上的最小值。
这四个参数可以根据实验数据或测量数据来拟合得到。
在线曲线拟合四参数的方法通常包括以下步骤：
1.收集实验数据或测量数据，并确定X轴和Y轴的范围。
2.根据数据分布情况，选择合适的拟合函数，例如指数函数、对数函数、幂函数等。
3.将拟合函数与数据相对应，确定四个参数的初值。
4.使用优化算法，如梯度下降法、牛顿法等，对四个参数进行迭代优化，使得拟合函
数与数据之间的误差最小。
5.重复步骤4，直到达到预设的迭代次数或误差阈值。
6.输出最终的四个参数值，以及拟合曲线和原始数据之间的误差。
需要注意的是，在线曲线拟合四参数的方法可能受到多种因素的影响，如数据的分布情况、噪声、异常值等。
因此，在使用该方法时，需要根据实际情况进行适当的选择和调整。
四参数拟合需求及详细算法
四参数拟合需求及详细算法四参数拟合是一种常用的曲线拟合方法，用于拟合一个具有四个未知参数的数学函数到已知的数据点上。
这种拟合方法通常用于解决一些实际问题，比如物理实验数据的拟合、经济学模型的拟合等。
下面将详细介绍四参数拟合的需求和算法。
1.准确性：四参数拟合的目标是尽可能准确地通过已知的数据点来拟合一个具有四个未知参数的数学函数。
因此，在进行拟合时需要选择合适的数学函数模型，并且调整参数使得该模型能够最优地拟合已知数据。
2.稳定性：拟合结果应该对输入数据的变化具有一定的稳定性，即输入数据的微小扰动不应该对拟合结果产生较大的影响。
3.可靠性：拟合算法应该在足够短的时间内得到可靠的结果，并且应该能够处理不同规模和数量级的数据。
1.选择数学函数模型：首先需要根据已知数据的特点选择合适的数学函数模型。
通常情况下，可以选择一个具有四个未知参数的函数模型作为目标函数。
2.构建目标函数：构建一个包含四个未知参数的目标函数，并将其表示为一个关于未知参数的方程。
3.拟合参数：使用最小二乘法或其他优化方法，将目标函数中的未知参数调整为最优值。
最小二乘法是一种常见的参数拟合方法，其基本思想是通过最小化目标函数与已知数据的残差平方和来确定最优参数值。
4.参数优化：根据最小二乘法的思想，可以通过对目标函数进行偏导数运算，将其转化为一个带有未知参数的线性方程组。
然后，可以使用数值方法（如矩阵计算或梯度下降法）来求解该线性方程组，进而得到最优的未知参数值。
5.拟合结果评估：拟合参数后，需要对拟合结果进行评估，包括残差分析、R方值(决定系数)、均方根误差等。
通过这些指标可以评估拟合结果的准确性和稳定性，从而判断拟合模型的合理性。
6.结果优化：如果拟合结果不满足要求，可以尝试优化算法参数，或者改变模型函数，进一步优化拟合结果。
总结：四参数拟合是一种常用的曲线拟合方法，通过选择合适的数学函数模型，并使用最小二乘法或其他优化方法来拟合数据，从而得到最优的未知参数值。
曲线拟合算法研究及分析
曲线拟合算法研究及分析作者姓名郭腾腾专业信息与计算科学指导教师姓名田霞专业技术职务副教授作者姓名郭腾腾专业信息与计算科学指导教师姓名田霞专业技术职务副教授摘要 (1)第一章曲线拟合算法的简介 (2)什么是曲线拟合算法 (2)1.1.1曲线拟合的大体思想 (2)1.1.2曲线拟合的概念 (2)可化为线性拟合的非线性拟合 (3)第二章曲线拟合算法的研究 (4)曲线拟合的国内外研究现状 (4)2.1.1曲线拟合的目的及意义 (4)2.1.2曲线拟合的国内外研究现状 (5)2.1.3曲线拟合研究设计内容 (5)曲线拟合的最小二乘法 (6)2.2.1最小二乘法的大体原理和多项式拟合 (6)2.2.2一般最小二乘拟合 (11)2.2.3最小二乘拟合多项式的存在唯一性 (13)2.2.4多项式拟合中克服正规方程组的病态 (14)第三章曲线拟合算法的评价 (16)参考文献 (18)致谢 (19)附录 (20)判断最佳拟合那个数据的曲线的一个方式是通过找到误差的平均值分析绝对误差。
平均误差越小方程拟合的越好。
分析这条曲线的另一个办法是找到均方误差。
咱们用均方误差代替平均误差。
一样，均方误差越小，方程拟合的越好。
平均误差和均方误差之间最主要的不同是均方误差考虑那些远离预测值的数据值。
换句话说，远离预测值的数据对均方误差的影响要比平均误差更大。
这是因为当一个两位数取平方时，若是他们没有被平方，他们的差会变大。
统计学家们一般在分析顶用均方误差，所以咱们也用均方误差。
在这里，通过对曲线拟合算法的进一步研究，咱们对这一算法有了更深刻地熟悉，并运用最小二乘法的原理，用列主元消去法编程实现了用改良的平方根法求正规方程组。
关键词：曲线拟合最小二乘法列主元消去法平方根法ABSTRACTOne way to judge how well the curve fits the data is to analyze the absolute error by finding the mean of the error. The smaller the mean error, the better the fit of equation. Another way to analyze the curve is to find the mean square error. Instead of finding the mean of the error, we find the mean of squaring the error. Again, the smaller the mean square error, the better the fit of equation. The main difference between mean error and mean square error is that the mean square error takes care more of an account for data values that are farther away from the prediction values. In other words, data that falls far from its predictor has a larger effect on the mean square error than the mean error. Because two numbers’ difference s become greater when two numbers are squared. Generally Statisticians use the square mean error in analyses, so we will too. Here, We have a better comprehension for the algorithm by taking deeply research，and take the Least square method and Column principle elimination method to solve the normal equations by using improved Square Root Method.Key words: Curve fitting; Least square method; Column principle elimination method; Square Root Method第一章 曲线拟合算法的简介什么是曲线拟合算法1.1.1曲线拟合的大体思想曲线拟合用持续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处置方式。
曲线拟合方法及程序设计
摘要随着现代社会的发展，大量的统计数据和科学实验数据变得容易获得，数据变得越来越复杂，甚至还会有噪声等干扰信息。
曲线拟合就是找到一组数据点的内在规律，使用曲线近似的拟合这些数据，形成数学模型，对事务进行有效的预测和规划，来获得更大的效益，被广泛应用于社会各个领域，具有重要的实际应用价值。
本文旨在了解一些常用的曲线拟合方法及其原理，根据理解，设计并完成相应的曲线拟合程序，方便使用。
首先，对于有函数解析模型的曲线拟合，都是运用的最小二乘思想进行求解，根据模型种类分为三类：1，线性函数模型，举例一元线性函数的运算过程，通过正规方程求解得到拟合系数，最后根据这些原理，设计并完成了：从1阶到9阶的多项式拟合，幂函数拟合的线性最小二乘拟合程序；2，可线性化的非线性函数：通过变量变换将模型线性化，再进行线性最小二乘拟合；3，不可线性化的非线性函数，求解方法是将目标函数泰勒级数展开，迭代求解的方法有很多，本文实现的方法有3种：高斯牛顿法，信赖域—Dogleg法，LMF法。
最后通过五个实例计算，进行线性最小二乘拟合和非线性拟合，对比分析对于同一组数据，应用不同拟合方法或者不同模型所产生的结果，分析结果并结合实际发现，线性最小二乘拟合对于现实中的很多数据并不适用，将非线性函数线性化之后，有时会放大噪声，使得矩阵奇异，拟合不收敛或者没有非线性拟合准确。
进行非线性拟合时，对比三种方法，发现LMF法可以有效的避免矩阵为奇异值。
初始值只影响LMF法迭代的次数，对结果的影响并不大，而对于高斯牛顿法和信赖域—Dogleg法，很差的初始值会使得矩阵为奇异值或者接近奇异值，从而无法收敛，得不到拟合结果或者得到的结果拟合精度太差。
而当初始值良好的时候，高斯牛顿法的迭代求解速度最快。
而信赖域—Dogleg法，相较于另外两种方法，拟合精度和拟合速度都差了一些。
关键词：曲线拟合；最小二乘；高斯牛顿法；信赖域—Dogleg法；LMF法；对比分析1.绪论1.1.毕业论文研究的目的意义随着现代社会的发展，获取大量的数据将变得更加容易，在实际生活中，收集到的数据的复杂性将逐渐增加，并且会生成噪声，背景和其他干扰信息。
origin曲线拟合
多因素回归分析
总结词
多因素回归分析是一种处理多个自变量对因变量影响的曲线拟合方法。
详细描述
多因素回归分析通过引入多个自变量，并使用统计方法来分析它们对因变量的影响。这种方法可以帮助理解不同 因素之间的相互作用，并预测因变量的变化趋势。多因素回归分析在科学研究、经济预测等领域应用广泛。
04 Origin曲线拟合的优缺点
模型检验
残差分析
检查残差是否符合模型假设，如正态分布、同方差等。
诊断检验
进行诊断检验以评估模型的拟合效果，如Jarque-Bera检验、 Durbin Watson检验等。
模型比较
使用AIC、BIC等准则比较不同模型的拟合效果，选择最优模型。
03 Origin曲线拟合实例
一元线性回归
总结词
一元线性回归是一种简单而常用的曲线拟合方法，适用于两个变量之间存在线 性关系的情况。
由于Origin是一款商业软件，用户需要将 数据上传到Origin的服务器上进行拟合， 这可能会引起数据安全问题。
虽然Origin提供了用户手册和在线帮助文 档，但对于一些复杂的问题，用户可能需 要寻求专业技术支持。
05 Origin曲线拟合的未来发 展
算法改进
优化算法
01
提高算法的稳定性和准确性，减少计算时间和资源消耗。
易于使用
Origin的用户界面友好，操作 简单，无需复杂的编程技巧即
可完成曲线拟合。
缺点
依赖性
可定制性
由于Origin是一款商业软件，用户需要购 买许可证才能使用，这会增加使用成本。
虽然Origin提供了多种拟合函数和图表类 型，但用户无法根据自己的需求定制拟合 函数或图表类型。
数据安全性
python 四参数曲线拟合反函数
Python是一种强大的编程语言，广泛用于科学计算、数据分析、人工智能等领域。
在Python中，有很多强大的数学库，可以帮助我们进行各种数学运算和数据分析。
其中，有一项非常常见的数学问题是曲线拟合，即根据给定的数据点，找到一个函数，使得这个函数与给定数据点最为接近。
曲线拟合在各种科学研究和工程项目中都有广泛的应用，比如用来拟合实验数据，预测未来的趋势等。
1. 参数曲线拟合反函数的概念参数曲线拟合反函数是指在给定一组数据点时，需要找到一个函数，使这个函数与数据点的反函数最为接近。
反函数在数学上指的是将自变量和因变量的角色互换后得到的函数。
参数曲线拟合反函数主要用于分析一些非线性关系的数据。
在实际的科学研究和工程项目中，很多数据并不是简单的线性关系，而是非线性的关系，这时候就需要用参数曲线拟合反函数的方法来分析这些数据。
生物学研究中的酶反应速率与底物浓度的关系、经济学中的需求曲线和供给曲线等都可以通过参数曲线拟合反函数来进行分析。
2. Python中的参数曲线拟合反函数工具Python中有很多强大的数学库，可以帮助我们进行参数曲线拟合反函数的计算。
其中，最常用的库包括scipy, numpy和matplotlib。
这些库提供了丰富的数学函数和绘图功能，可以帮助我们完成参数曲线拟合反函数的计算和可视化。
3. 使用scipy进行参数曲线拟合反函数scipy是一个开源的科学计算库，其中包含了许多数学函数和工具，可以帮助我们进行各种科学计算和数据分析。
在scipy中，有一个专门用于参数曲线拟合反函数的模块scipy.optimize，它提供了curve_fit 函数，可以帮助我们进行参数曲线拟合反函数的计算。
4. 使用numpy进行参数曲线拟合反函数numpy是一个开源的数学库，提供了丰富的数学函数和工具，可以帮助我们进行各种数学运算。
在numpy中，有一个polyfit函数，可以帮助我们进行参数曲线拟合反函数的计算。
曲线拟合的意义
曲线拟合的意义曲线拟合是数据分析领域中的一项重要技术，它的意义远远不止于对数据进行精确的预测和估计。
曲线拟合是通过建立数学模型，将散乱的数据点用一条线或曲线去表示。
这能够帮助我们更好地理解数据的趋势、关系和规律。
曲线拟合在各个领域都有着广泛的应用。
在自然科学研究中，曲线拟合可以帮助我们分析实验数据，找到变量之间的关系，并在此基础上做出科学解释。
例如，物理学家利用曲线拟合的方法，研究物质的热膨胀性质，得到了具有实用价值的方程，从而在工程领域有了广泛的应用。
在经济领域，曲线拟合可以用来预测市场走势，分析供需关系，进行金融风险评估等。
通过对历史数据的曲线拟合，可以得到一条合理的曲线，从而预测未来可能的趋势。
这对企业的决策和投资非常有指导意义。
在医学研究中，曲线拟合被广泛应用于药物动力学的研究。
通过对实验数据进行曲线拟合，可以确定药物的半衰期、生物利用度等参数，从而指导合理的药物治疗方案。
此外，曲线拟合也可以用来分析临床试验数据，判断药物疗效和副作用。
除了以上几个领域，曲线拟合还可以在环境科学、社会科学、天文学等学科中得到广泛应用。
例如，利用气象观测数据进行曲线拟合，可以预测气温、降雨量等气象要素的变化趋势，对灾害预警和农业生产有重要意义；在社会科学研究中，曲线拟合可以帮助我们分析人口统计数据、经济指标、社会关系等，为政府决策提供参考依据。
曲线拟合不仅能够帮助我们理解和预测数据，还能提供一种简洁、直观的方式来表达复杂的信息。
通过绘制曲线图，我们可以一目了然地看到数据的趋势和规律，更容易向他人传递信息和展示研究成果。
然而，曲线拟合也存在一些局限性和挑战。
首先，曲线拟合的结果受到数据的质量和数量的限制。
如果数据点过少或者存在较大的误差，那么曲线拟合的结果可能并不准确。
其次，选择合适的数学模型和拟合方法也是一个关键的问题。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择不同的拟合方法，以获得最佳的结果。
总之，曲线拟合在数据分析中具有极其重要的意义。
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y = 15x − 27754 线性预测模型
把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）＝12.52亿
1999年实际人口数量为１２.６亿。
三、人口预测的Malthus模型
英国人口学家Malthus根据百余年的人口统计资
料，于1798年提出了著名的人口自然增长的指数增
长模型。
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数
x(t) ~时刻t 的人口, t=0时人口数为x0
⎪⎧dx ⎨ dt
=
rx,
⎪⎩ x(0) = x0
⇒ x(t) = x0ert
指数增长模型
实际中，常用 ⇔ x(t ) = ea+bt ⇔ ln x(t ) = a + bt
例１
美国1790年－1980年每隔10年的人口记录
解：
设 x(t ) = ea+bt
ln( x) = a + bt
问题转化为求参数 a,b 使得
10
∑ J (a,b) = (a + bti − ln xi )2 i =1
取得最小值.其中,ti 表示年份,xi = x(ti ) 表示人口数量。
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 解方程组:
⎧1 ⎪⎪ 2 ⎪⎨1 ⎪⎩ 2
x2=[62.9;76.0;92.0;106.5;123.2;131.7;150.7;179. 3;204.0;226.5];
lnx1=log(x1); lnx2=log(x2);
a12=sum(t1);a11=10;a21=a12;a22=sum(t1.^2); d1=sum(lnx1);d2=sum(lnx1.*t1); A=[a11,a12;a21,a22];D=[d1;d2]; ab=inv(A)*D; disp('a=');disp(ab(1)); disp('b=');disp(ab(2)); for i=1:10
多项式： y = a1 x m + " + am x + am+1
双曲线（一支):
y
=
a1 x
+
a2
指数曲线： y = a1ea2x
３ 拟合函数组中系数的确定
以f ( x) = a1 x + a2为例, 即确定a1，a2使得
n
n
∑ ∑ J (a1,a2 ) =
δ
2 i
=
[a1 xi + a2 ) − yi ]2达到最小。
format long
t1=[1790;1800;1810;1820;1830;1840;1850;1860;187 0;1880];
t2=[1890;1900;1910;1920;1930;1940;1950;1960;197 0;1980];
x1=[3.9;5.3;7.2;9.6;12.9;17.1;23.2;31.4;38.6;50 .2];
1949 541.67 1974 908.59
1954 1959 602.66 672.09
1979 1984 975.42 1034.75
1964 1969 704.99 806.71
1989 1994 1106.76 1176.74
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。
（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年 的人口数。
y = ax + b 线性模型
如何确定a,b?
一、曲线拟合
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点(xi , yi )， i =1,2, ",n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）y = f (x)，
使 f (x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合
得最好，如图:
i =1
i =1
为此，只需利用极值的必要条件 ∂J = 0(k = 1,2)得到关 ∂ak
于 a1 , a2 的线性方程组，
∑ ⎧ n
⎪⎪ ⎨
i
=1 n
2[a1 xi
+
a2 ) −
yi ]xi
=
0
∑ ⎪
⎪⎩
i =1
2[a1 xi
+
a2 ) −
yi ] =
0
⇒ a1 ,a2
二、人口预测线性模型
对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得 a1 = 15,a2 = −27754
年份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880
人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2
(百万)
年份 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980
y
确定f(x)使得
δ i + ( xi yi )
n
n
∑ ∑ δ
2 i
=
[ f ( xi ) − yi ]2
++
+ y = f (x)
i =1
i =1
达到最小
+
+
+
+
0
最小二乘准则
x
２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
１．画图观察； ２．理论分析
常用的曲线函数系类型：
直线： y = a1 x + a2
人口 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5
(百万)
1. 由前100年的数据求出美国的人口增长Malthus模型。 2. 预测后100年（每隔10年）的人口状况。 3. 根据预测的人口状况和实际的人口数量,讨论人 口模型的改进情况。
xx1(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t1(i)); end for i=1:10
xx2(i)=exp(ab(1)+ab(2)*t2(i)); end plot(t1,x1,'r*--',t1,xx1,'b+-', t2,x2,'g*--',t2,xx2,'m+-');
∂J ∂a ∂J ∂b
= =
10a ⎜⎛ 10 ⎝ i=1
+ ti
⎜⎛ ⎝
10 i =1
ti
⎟⎞a + ⎜⎛
⎠⎝
⎟⎞b ⎠
−
10 i =1
ln
xi
10 i =1
ti2
⎞⎟b ⎠
−
10 i =1
=0
(ln xi
)ti
=0
即得参数a,b 的值.
％ prog41.m %
% This program is to predict the number of population %
实验9 人口预测与数据拟合
1、学会用MATLAB软件
实验目的 进行数据拟合
2、掌握在最小二乘意 义下数据拟合的理论和 方法.
3、通过对实际问题的 分析和研究，初步掌 握建立数据拟合数学 模型的方法
实验问题
据人口统计年鉴，知我国从1949 年至1994年人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
年份 人口数 年份 人口数