物理中常用的数学特殊方法
数学物理方法第四章伽玛函数
数学物理方法第四章伽玛函数1.引言伽玛函数是数学分析中的一种特殊函数，由欧拉在18世纪提出。
它在数学物理、统计学和其他领域中具有重要的应用。
本章将介绍伽玛函数的定义、性质以及一些常见的应用。
2.伽玛函数的定义伽玛函数是一个无穷积分，定义如下：Γ(x) = ∫(0到∞) e^(-t) * t^(x-1) dt其中，x是一个实数。
3.伽玛函数的性质伽玛函数具有很多重要的性质，以下是其中一些重要性质：3.1对于正整数n，有Γ(n)=(n-1)!这一性质是伽玛函数与阶乘之间的关系。
当x为正整数时，伽玛函数可以表示阶乘。
3.2Γ(1/2)=√π这一性质表明伽玛函数在1/2处的值是根号π。
3.3Γ(x+1)=x*Γ(x)这一性质是伽玛函数的递推关系式，可以用来计算伽玛函数的值。
3.4 Γ(x) * Γ(1-x) = π / sin(πx)这一性质是伽玛函数的对称关系，可以用来计算伽玛函数的特殊值。
3.5对于任意正整数n，有Γ(x+n)/Γ(x)=x(x+1)...(x+n-1)这一性质是伽玛函数的倍增关系，可以用来计算伽玛函数的值。
4.伽玛函数的应用伽玛函数在各个领域中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用：4.1概率统计学伽玛函数在概率统计学中用于定义一些重要的概率分布，如伽玛分布和贝塔分布。
这些分布在描述随机事件的出现频率和概率密度函数等方面起着重要的作用。
4.2电磁场理论伽玛函数可以用来表示电磁场中的电势和磁势分布。
在电磁场理论中，伽玛函数是求解麦克斯韦方程组的一种常用方法。
4.3数论伽玛函数在数论中有一些重要的应用。
例如，伽玛函数与Riemann zeta函数之间存在着一种特殊的函数关系，称为伽玛函数和zeta函数的函数方程。
4.4统计学伽玛函数在统计学中有一些重要的应用，如用于插值和拟合数据、计算积分和求和等。
4.5物理学伽玛函数在物理学中有广泛的应用，如量子力学、统计物理学、流体力学、热力学等领域。
物理数学方法
数学方法在高中物理中的应用所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测．可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程．本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等差(比)数列求和法等．一、极值法数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．1．利用三角函数求极值y ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2cos θ＋ba 2＋b 2sin θ)令 sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝ba 2＋b 2则有： y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)所以当φ＋θ＝π2时，y 有最大值，且y max ＝a 2＋b 2．2．利用二次函数求极值二次函数：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b24a (其中a 、b 、c为实常数)，当x ＝－b2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a(若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)．3．均值不等式对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 24；对于三个大于零的变量a 、b 、c ，若其和a ＋b ＋c 为一定值q ，则当a ＝b ＝c 时，其积abc 取得极大值 q 327．4．导数1．函数的极值 (1)函数的极值的概念：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(2)求函数极值的步骤：①求导数f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取极大值，如果左负右正，那么f (x )在这个根处取极小值． 2．函数的最大值与最小值在闭区间[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，f (x )在[a ，b ]上求最大值与最小值的步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值．(2)将f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、几何法利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种．1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图1－1所示．图1－1由 EB 2＝CE ·ED ＝CE ·(2R －CE )得： R ＝EB 22CE ＋CE2也可由勾股定理得：R 2＝(R －CE )2＋EB 2解得： R ＝EB 22CE ＋CE2．以上两种求半径的方法常用于求解“带电粒子在匀强磁场中的运动”这类习题中．三、图象法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化．图象法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法．1．物理图象的分类整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类．(1)直线型：如匀速直线运动的s －t 图象、匀变速直线运动的v －t 图象、定值电阻的 U －I 图象等．(2)正弦曲线型：如简谐振动的x －t 图象、简谐波的y －x 图象、正弦式交变电流的 e －t 图象、正弦式振荡电流的i －t 图象及电荷量的q －t 图象等．(3)其他型：如共振曲线的A －f 图象、分子力与分子间距离的f －r 图象等． 下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为系统的认识和归纳．2．物理图象的应用(1)利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰． 利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果．甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是运用图象法则会使你豁然开朗，如求解变力分析中的极值类问题等．(2)利用图象描述物理过程更直观．从物理图象上可以比较直观地观察出物理过程的动态特征． (3)利用物理图象分析物理实验．运用图象处理实验数据是物理实验中常用的一种方法，这是因为它除了具有简明、直观、便于比较和减少偶然误差的特点外，还可以由图象求解第三个相关物理量，尤其是无法从实验中直接得到的结论．3．对图象意义的理解(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的 s －t 图象和v －t 图象、电磁振荡中的i －t 图象和q －t 图象等．(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义． ①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态．如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小)变为减小(增大)，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻．②线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系．③斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如 v －t 图象的斜率表示加速度．④截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小．由此往往可得到一个很有意义的物理量．如电源的U －I 图象反映了U ＝E －Ir 的函数关系，两截距点分别为(0，E )和,0E r ⎛⎫⎪⎝⎭⑤面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小．如v －t 图象中面积表示位移．4．运用图象解答物理问题的步骤(1)看清纵横坐标分别表示的物理量．(2)看图象本身，识别两物理量的变化趋势，从而分析具体的物理过程．(3)看两相关量的变化范围及给出的相关条件，明确图线与坐标轴的交点、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义．四、数学归纳法在解决某些物理过程中比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的．利用数学归纳法解题要注意书写上的规范，以便找出其中的规律．五、微元法利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．六、三角函数法三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物理解题中有较广泛的应用．例如：讨论三个共点的平衡力组成的力的三角形时，常用正弦定理求力的大小；用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式”将结论进行化简等．七、数列法凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：(1)逐个分析开始的几个物理过程；(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)； (3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．等差：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d (d 为公差)．等比：S n ＝a 1(1－q n )1－q(q 为公比)．八、比例法比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点．(1)比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．(2)比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义．(如不能根据R ＝UI认定电阻与电压成正比)(3)比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P ＝U 2R中P 与R成反比，因为R 变化的同时，U 也随之变化而并非常量)许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”．如密度ρ＝mV，导体的电阻R ＝U I ，电容器的电容 C ＝Q U ，接触面间的动摩擦因数μ＝f F N ，电场强度E ＝Fq等．它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．对此，学生很容易把它当做一个数学比例式来处理而忽略了其物理意义，也就是说教学中还要防止数学知识在物理应用中的负迁移．数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”并能想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学方法成为物理解题中一个不可或缺的工具．附录一三角函数计算公式大全。
高能物理中的特殊函数逼近
高能物理中的特殊函数逼近特殊函数是一类在数学和物理学中常见的具有特殊性质的函数，它们在高能物理研究中扮演着重要的角色。
然而，由于特殊函数的定义复杂且性质繁多，准确的计算和研究通常不太容易。
为了克服这一困难，物理学家和数学家们发展了一系列特殊函数逼近的方法，使得在实际应用中能够更方便地处理特殊函数相关问题。
一、泰勒级数逼近法泰勒级数逼近法是特殊函数逼近中最基本的方法之一。
在这种逼近方法中，我们将特殊函数在某个点附近进行泰勒级数展开，并通过截断级数来近似原函数。
泰勒级数逼近法的优点是简单易行，但其局限性在于仅在原函数光滑且不具有奇点的情况下适用。
以贝塞尔函数为例，贝塞尔函数是经典的特殊函数之一，它在物理学和工程学中经常出现。
我们可以通过将贝塞尔函数在某一点的附近进行泰勒级数展开，得到逼近函数，并在需要的范围内进行计算和分析。
二、近似公式逼近法近似公式逼近法是特殊函数逼近中常用的一种方法。
该方法通过找到特殊函数与其他已知函数之间的关系，并建立逼近公式来近似原函数。
近似公式逼近法的优点是能够在不同条件下使用，并在某些情况下可以取得较好的逼近效果。
以椭圆积分为例，椭圆积分是特殊函数中的一类重要函数，在物理学的研究中广泛应用。
我们可以通过使用数值方法和近似公式来计算椭圆积分的近似值，从而在实际问题中得到有效的数值结果。
三、数值逼近法数值逼近法是特殊函数逼近中常用的一种有效方法。
该方法通过将特殊函数转化为数值计算问题，并采用数值计算的方法进行逼近。
数值逼近法的优点是具有较高的计算精度和灵活性，可以适用于各种复杂的特殊函数。
以伽玛函数为例，伽玛函数是一种重要的特殊函数，广泛应用于统计学和概率论中。
由于伽玛函数的数学性质较为复杂，很难通过解析方法得到准确的结果。
因此，数值逼近法在计算伽玛函数的值时起到了重要的作用。
总结：高能物理中的特殊函数逼近是一项重要的研究内容，它在物理学和数学学科中都具有广泛的应用。
通过泰勒级数逼近法、近似公式逼近法和数值逼近法等方法，我们能够更方便地处理特殊函数相关问题，获得准确的计算结果。
反比例函数在数学、物理学科的应用
反比例函数在数学、物理学科的应用1. 反比例函数的概念和定义反比例函数是指函数y=k/x，其中k为非零常数，x≠0。
反比例函数在数学中是一种简单而重要的函数类型，具有许多特殊的性质和应用。
反比例函数在实际生活中也有广泛的应用，尤其在物理学中。
2. 物理学中的反比例函数应用在物理学中，许多反比例函数是基本的物理定律。
例如，牛顿第二定律F=ma，其中F为力，m为物体的质量，a为物体的加速度。
牛顿第二定律可以变形为a=F/m，即加速度和力成反比例关系。
当力增大时，加速度减小；当质量增大时，加速度减小；当质量减小时，加速度增大。
这种反比例关系在物理学中是非常常见的。
3. 实例：牛顿万有引力定律除了牛顿第二定律，牛顿万有引力定律也是一种经典的反比例关系。
牛顿万有引力定律是指任意两个物体之间的引力，与它们之间的距离的平方成反比例关系，即F=Gm1m2/d^2，其中G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，d为它们之间的距离。
这个定律告诉我们，当两个物体之间的距离变小时，引力会变大；当它们之间的距离变大时，引力会变小。
这种反比例关系在宇宙中的天体运动和星系的形成中起着非常重要的作用。
4. 电学中的反比例函数反比例函数在电学中也有广泛的应用。
例如，欧姆定律V=IR中，电阻R和电流I成反比例关系。
当电阻增大时，电流减小；当电阻减小时，电流增大。
这种关系在电路设计和电子工程中是非常重要的。
5. 小结反比例函数是一种在数学和实际应用中都非常常见的函数类型。
它具有许多重要的性质和应用，例如物理学中的牛顿第二定律和万有引力定律，电学中的欧姆定律等等。
在学习和应用反比例函数时，我们需要注意它们的特殊性质和应用场景，以便更好地理解和应用。
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用
切比雪夫多项式及其在物理学中的应用切比雪夫多项式是数学中的一种特殊类型的多项式，它以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名。
切比雪夫多项式在数学和物理学中都有广泛的应用，特别是在信号处理、逼近理论和波动现象的研究中。
切比雪夫多项式是通过切比雪夫方程定义的。
切比雪夫方程是一个二阶常微分方程，形式为(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0，其中n是一个实数。
它的解就是切比雪夫多项式，通常记作Tn(x)。
切比雪夫多项式具有许多独特的性质。
首先，切比雪夫多项式是正交的，即在区间[-1,1]上的任意两个不同的切比雪夫多项式的积分为0。
这个性质在信号处理和逼近理论中非常有用，可以用来表示信号和函数的展开系数，实现信号的压缩和重构。
其次，切比雪夫多项式是最佳逼近多项式。
这意味着在给定的函数空间中，切比雪夫多项式是与被逼近函数的误差最小的多项式。
这个性质在逼近理论中被广泛应用，例如在数据拟合、函数逼近和图像处理中。
切比雪夫多项式还有一些重要的性质。
例如，它们是对称的，即Tn(x)=Tn(-x)，这使得它们在对称性问题的研究中非常有用。
此外，切比雪夫多项式在微分方程的解和特殊函数的表示中也有应用。
在物理学中，切比雪夫多项式的应用非常广泛。
首先，切比雪夫多项式可以用来描述波动现象。
例如，在光学中，切比雪夫多项式可以用来描述光的干涉和衍射现象。
在声学中，切比雪夫多项式可以用来描述声波的传播和共振现象。
其次，切比雪夫多项式还可以用来解决物理学中的特殊问题。
例如，在量子力学中，切比雪夫多项式可以用来描述量子力学中的谐振子问题。
在统计物理学中，切比雪夫多项式可以用来描述理想气体的分布函数。
此外，切比雪夫多项式还与傅里叶级数有着密切的关系。
通过将切比雪夫多项式展开成傅里叶级数，可以得到切比雪夫多项式的频谱分布，从而更好地理解切比雪夫多项式在信号处理和逼近理论中的应用。
总之，切比雪夫多项式是一种重要的数学工具，在数学和物理学中都有广泛的应用。
幂函数的应用之一幂函数在物理学中的应用
幂函数的应用之一幂函数在物理学中的应用幂函数的应用之一：幂函数在物理学中的应用在自然界和物理学中，我们经常遇到各种变化的现象和规律。
而幂函数，作为数学中的一种特殊函数形式，在解释和描述这些现象时，发挥着重要的作用。
本文将介绍幂函数在物理学中的应用，并从中探索一些规律和定律。
1. 幂函数与运动学在物理学中，通过对物体的运动进行研究，如位置、速度、加速度与时间之间的关系，我们可以发现其中的规律往往可以用幂函数来描述。
（1）位移与时间的关系对于匀速运动，即速度保持不变的情况下，物体的位移与时间成正比，可以表示为：S = v * t其中，S表示位移，v表示速度，t表示时间。
这正是幂函数的一种特殊形式。
（2）速度与时间的关系对于匀加速运动，即加速度保持不变的情况下，物体的速度与时间成正比，可以表示为：v = a * t其中，v表示速度，a表示加速度，t表示时间。
这也是幂函数的形式之一。
（3）加速度与时间的关系对于匀变速运动，即加速度不断变化的情况下，物体的加速度与时间成正比，可以表示为：a =b * t其中，a表示加速度，b表示变化率，t表示时间。
同样，这也是幂函数的一种形式。
通过以上三个例子，我们可以看出，幂函数在运动学中具有很强的适用性，通过调整函数中的参数，我们能够准确地描述物体的运动规律。
2. 幂函数与物质的变化在物理学中，物质的状态变化和性质的转化也常常可以用幂函数进行描述，并帮助我们理解其中的规律。
（1）温度与物质性质的关系许多物质的性质（如电阻、弹性模量）与温度之间存在一定的关系，这个关系往往可以用幂函数表示。
例如，对于电阻与温度之间的关系，可以表示为：R = K * T^n其中，R表示电阻，K表示常数，T表示温度，n表示指数。
通过研究公式中的指数n，我们可以了解材料的性质如何随温度变化而变化。
（2）质量和体积的关系在固体、液体和气体等不同物质状态下，质量和体积之间也存在一定的关系，常常可以用幂函数进行描述。
《数学物理方法》第六章勒让德函数
《数学物理方法》第六章勒让德函数勒让德函数是数学物理方法中常用的一个函数类，在物理学中起到了非常重要的作用。
本文将主要介绍勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
一、勒让德函数的定义勒让德函数是由法国数学家勒让德在18世纪末引入的一类特殊函数。
它定义为下面的级数形式：P(x)=(1/2^1*1!)-(1*3/2^3*3!)x^2+(1*3*5/2^5*5!)x^4-...其中x是实数，级数是一个无穷级数，并且级数的每一项都是有序的一系列多项式函数。
勒让德函数也可以通过勒让德方程的解来定义。
二、勒让德函数的性质1. 正交性：勒让德函数是正交的，即对于不同的n和m，有积分∫(-1,1) Pn(x) Pm(x) dx = 02. 归一性：勒让德函数可以通过归一化得到，即对于每个n，有∫(-1,1) Pn(x) Pn(x) dx = 2 / ( 2n + 1)3.递推关系：勒让德函数之间存在递推关系，即(n+1)Pn+1(x)=(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)。
这个关系可以用于计算勒让德函数的高阶项。
三、勒让德函数在物理学中的应用勒让德函数在物理学中有广泛的应用，下面介绍其中的几个重要应用：1.量子力学中的角动量：在量子力学中，勒让德函数可以用来描述角动量的量子态。
勒让德函数的特殊性质使其成为表示角动量本征态的一组完备的基函数。
2.球谐函数的展开：勒让德函数可以用来展开球谐函数，球谐函数在物理学中具有广泛的应用。
通过勒让德函数，我们可以得到球面上各点的球谐系数，从而描述球面上的物理量分布。
3.圆形波导中的电磁场分布：勒让德函数可以用来描述圆形波导中的电磁场分布。
圆形波导是一种常见的波导结构，在无线通信、微波技术等领域有着重要的应用。
总结：本文主要介绍了勒让德函数的定义、性质及其在物理学中的应用。
勒让德函数作为一种特殊的函数类，具有正交性、归一性和递推关系等重要的性质，广泛应用于量子力学、电磁场分布等领域。
求电场强度的几种特殊思维方法
求电场强度的几种特殊思维方法电场强度是静电学中极其重要的概念。
也是高考中考点分布的重点区域之一，求电场强度的常用方法有：定义式法，点电荷场强公式法，匀强电场公式法，矢量叠加法等。
本文讨论特殊静电场中求某点电场强度的几种特殊方法，供大家参考。
一、补偿法求解电场强度，常用的方法是根据问题给出的条件建立起物理模型，如果这个模型是一个完整的标准模型，则容易解决。
但有时由题给条件建立的模型不是一个完整的标准模型，比如说是模型A 。
这时需要给原来的问题补充一些条件，由这些补充条件建立另一容易求解的模型B ，并且模型A 与模型B 恰好组成一个完整的标准模型。
这样，求解模型A 的问题就变为求解一个完整的标准模型与模型B 的差值问题。
例1 如图1所示，用长为l 的金属丝弯成半径为r 的圆弧，但在A 、B 之间留有宽度为d 的间隙。
且d r <<，将电量为Q 的正电荷均匀分布于金属丝上，求圆心处的电场强度。
解析 中学物理只讲到有关点电荷场强的计算公式和匀强电场场强的计算方法，本问题是求一个不规则带电体所产生的场强，没有现成公式直接可用，需变换思维角度。
假设将这个圆环缺口补上，并且己补缺部分的电荷密度与原有缺口的环体上的电荷密度一样，这样就形成一个电荷均匀分布的完整带电环，环上处于同一直径两端的微小部分所带电荷可视为两个相对应的点电荷，它们在圆心O 处产生的电场叠加后合场强为零。
根据对称性可知，带电圆环在圆心O 处的总场强0E =。
至于补上的带电小段，由题给条件可视做点电荷，它在圆心O 处的场强1E 是可求的。
若题中待求场强为2E ，则120E E +=。
设原缺口环所带电荷的线密度2Qr dδπ=-，则补上的那一小段金属线的带电量q d δ=。
q 在O 处的场强为12kqE r =，由120E E +=可得 12E E =-负号表示1E 与2E 反向，背向圆心向左。
评注 解决此题的方法，由于添补圆环缺口，将带电体“从局部合为整体”，整体时有办法解决．再“由整体分为局部”，求出缺口带电圆环在O 处的场强． 二、微元法微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一“微元”加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量为常量、容易确定的量。
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专题2 物理中常用的数学特殊方法考点1. 利用数学方法求极值1.利用三角函数求极值(1)二倍角公式法:如果所求物理量的表达式可以化成y=A sin θcos θ,则根据二倍角公式,有y=A 2sin 2θ,当θ=45°时,y 有最大值,y max =A 2。
(2)辅助角公式法:如果所求物理量的表达式为y=a sin θ+b cos θ,通过辅助角公式转化为y=√a 2+b 2sin (θ+φ),当θ+φ=90°时,y 有最大值y max =√a 2+b 2。
2.利用二次函数求极值二次函数y=ax 2+bx+c (a 、b 、c 为常数,且a ≠0),当x=-b2a 时,y有极值y m =4ac -b 24a(a>0时,y m 为极小值;a<0时,y m 为极大值)。
3.利用均值不等式求极值对于两个大于零的变量a 、b ,若其和a+b 为一定值,则当a=b 时,其积ab 有极大值;若其积ab 为一定值,则当a=b 时,其和a+b 有极小值。
1.(2019年衡水二调)(多选)如图甲所示,位于同一水平面上的两根平行导电导轨,放置在斜向左上方、与水平面成60°角足够大的匀强磁场中,现给出这一装置的侧视图,一根通有恒定电流的金属棒正在导轨上向右做匀速运动,在匀强磁场沿顺时针缓慢转过30°的过程中,金属棒始终保持匀速运动,则磁感应强度B 的大小变化可能是( )。
A .始终变大B .始终变小C .先变大后变小D .先变小后变大2.一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动,如图所示。
此双星系统中体积较小的成员能“吸食”另一颗体积较大的星体表面的物质,达到质量转移的目的,假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变,则在最初演变的过程中( )。
A .它们做圆周运动的万有引力保持不变B .它们做圆周运动的角速度不断变大C .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度也变大D .体积较大的星体做圆周运动的轨迹半径变大,线速度变小3.(2019年湖北省宜昌市高三模拟)(多选)如图所示,斜面底端上方高h 处有一小球以水平初速度v 0抛出,恰好垂直打在斜面上,斜面的倾角为30°,重力加速度为g ,下列说法正确的是( )。
A .小球打到斜面上的时间为√3v 0gB .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0成正比C .要让小球始终垂直打到斜面上,应满足h 和v 0的平方成正比D .若高度h 一定,现小球以不同的初速度v 0平抛,落到斜面上的速度最小值为√(√21-3)gh考点2.函数图象及应用图象问题是高考命题的高频考点,年年皆有。
不管怎么考,我们只要深刻理解图象中的基本要素便可应对,具体为图象中的“点”“线”“斜率”“截距”“面积”等。
图象函数形式特例及物理意义y=c匀速直线运动的v-t 图象。
“面积”表示位移y=kx①匀速直线运动的x-t 图象。
斜率表示速度②初速度v 0=0的匀加速直线运动的v-t 图象。
斜率表示加速度,“面积”表示位移4.(2019年河南郑州二模)蹦极是一项考验体力、智力和心理承受能力的空中极限运动。
跳跃者站在约50 m高的塔台上,把一根原长为L的弹性绳的一端绑在双腿的踝关节处,另一端固定在塔台上,跳跃者头朝下跳下去。
若弹性绳的弹力遵守胡克定律,不计空气阻力,则在跳跃者从起跳到第一次下落到最低点的过程中,跳跃者的动能E k(图线①)和弹性绳的弹性势能E p(图线②)随下落高度的变化图象中,可能正确的是()。
5.(2019年陕西二模)(多选)如图所示,xOy坐标系的第一象限内分布着垂直纸面向里的有界匀强磁场,磁感应强度B=0.5 T,磁场的右边界是满足y=12x2(单位:m)的抛物线的一部分。
现有一质量m=1×10-6 kg、电荷量q=2×10-4 C的带正电粒子(重力不计)从y轴上的A点(0,0.5 m)沿x轴正方向以速度v0射入,恰好不从磁场右边界射出,则()。
A.粒子在磁场中做逆时针圆周运动B.粒子到达磁场边界的位置坐标为(3 m,4.5 m)C.粒子在磁场中运动的速率为2×102 m/sD.粒子从A点到磁场右边界的运动时间为π3×10-2 s考点3.微积分初步及应用利用微分思想的分析方法称为微元法。
它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分,再从中抽取某一微小单元进行讨论,从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法。
微元法解题的思维过程如下。
(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象。
微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积,也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等,但必须具有整体对象的基本特征。
(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等),并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联。
(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元,并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等,对各微元的求解结果进行叠加,以求得整体量的合理解答。
③纯电阻电路的I-U图象。
斜率表示电阻的倒数y=a-kx①匀减速直线运动的v-t图象。
截距表示初速度和运动时间,斜率表示加速度,“面积”表示位移②闭合电路中的U-I图象(U=E-Ir)。
截距表示电动势和短路电流,斜率表示内阻大小y=ax+b·x(双曲线函数)①由纯电阻用电器组成的闭合电路的U-R图象(U=ER+rR)。
渐近线表示断路R=∞,U=E,U内=0②汽车以恒定功率启动。
渐近线表示:合力为0,速度最大,有v m=PF阻(类比电磁感应现象中导体杆在恒力作用下的运动)y=kx2(抛物线函数)①位移与时间的x-t图象(x=12at2)。
斜率表示速度②小灯泡消耗的实际功率与外加电压的P-U图象。
由P=U2R求解y=A sin ωt交流电的e-t图象(e=Em sinωt)。
可读出峰值和周期6.(2019年武汉二调)运动员在水上做飞行运动表演,他操控喷射式悬浮飞行器将水带竖直送上来的水反转180°后(速度大小不变)向下喷出,令自己悬停在空中,如图所示。
已知运动员与装备的总质量为90 kg,两个喷嘴的直径均为10 cm,已知重力加速度大小g=10 m/s2,水的密度ρ=1.0×103 kg/m3,则喷嘴处喷水的速度大约为()。
A.2.7 m/sB.5.4 m/sC.7.6 m/sD.10.8 m/s7.(2019年山西省晋城市高三下学期第三次模拟)太空中的尘埃对飞船的碰撞会阻碍飞船的飞行,质量为M的飞船飞入太空尘埃密集区域时,需要开动引擎提供大小为F的平均推力才能维持飞船以恒定速度v匀速飞行。
已知尘埃与飞船碰撞后将完全黏附在飞船上,则在太空尘埃密集区域单位时间内黏附在飞船上的尘埃的质量为()。
A.M+Fv B.Fv-M C.M-FvD.Fv8.如图甲所示,半径r=0.5 m的圆形匀强磁场区域与x轴相切于坐标系的原点O。
磁感应强度B=2×10-3 T,方向垂直于纸面向外。
在x=1 m和x=2 m 之间的区域内有方向沿y轴正方向的匀强电场,电场强度E=1.5×103 N/C。
在x=3 m处的x轴上方有一与y轴平行且足够长的荧光屏,在O点有一个粒子源,能沿纸面各个方向发射质量m=1.6×10-28 kg,带电荷量q=1.6×10-19 C且速率相同的粒子,其中沿y轴正方向射入的粒子恰能从磁场最右侧的A点离开磁场,不计粒子的重力、空气的阻力及粒子间的相互作用力。
(1)求这些粒子在磁场中运动的速度。
(2)求这些粒子打在荧光屏上的范围(位置坐标表示)。
(3)若没有荧光屏,粒子射出电场后立即进入某种不导电的介质中运动,其所受介质阻力与速率成正比,比例系数k=1.6×10-21 N·s/m。
求粒子在该介质中运动的轨迹长度(电荷量不变)。
考查角度1数学归纳法我们经常会遇到一些反复多次的物理过程,通常用“n”来表示,这类习题考查考生对物理规律的理解程度,对考生的思维能力有较高的要求,高考物理试题中也出现过。
这类题的解法通常如下。
方法1:从n=1开始,列出相应的方程,再分析出n=2,3,4,…时的规律,并列出方程,从而总结归纳出第n次的结论,我们称之为归纳法。
这种方法思维较容易,分析过程较简单,但解题过程较烦琐。
方法2:直接找出第n次所具有的状态特征,不考虑复杂的过程,利用物理规律列方程求解,我们称之为临界状态法。
这种方法思维较难,但解题过程较简捷。
这类物理问题都具有过程多、重复性强的特点,但每一个重复过程均不是原来的完全重复,而是一种变化了的重复。
随着物理过程的重复,某些物理量逐步发生着前后有联系的变化。
该类问题求解通常需要借助数列的相关知识。
基本思路为:(1)逐个分析开始的几个物理过程。
(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)。
(3)最后分析整个物理过程,应用数列特点和规律求解。
无穷数列的求和,一般是无穷递减数列,有相应的公式可用。
等差:S n=n(a1+a n)2=na1+n(n-1)2d(d为公差)。
等比:S n=a1(1-qn)1−q(q为公比)。
9.(2019年湖北省麻城一中高考冲刺模拟)(多选)水平长直轨道上紧靠放置n个质量为m可看作质点的相同物块,物块间用长为L的不可伸长的细线连接,开始时处于静止状态,物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
用水平恒力F拉动物块1开始运动,到连接第n个物块的线刚好拉直时整体速度正好为零,则()。
A.拉力F所做的功为nFLB.系统克服摩擦力做的功为n(n-1)μmgL2C.F>nμmg2D.(n-1)μmg<F<nμmg10.雨滴在穿过云层的过程中,不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体,其质量逐渐增大。
现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。
已知雨滴的初始质量为m0,初速度为v0,下降距离l后与静止的小水珠碰撞且合并,质量变为m1。
此后每经过同样的距离l后,雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并,质量依次变为m2、m3、…、m n(设各质量为已知量)。
不计空气阻力。
(1)若不计重力,求第n次碰撞后雨滴的速度v n'。
(2)若考虑重力的影响: a.求第1次碰撞前、后雨滴的速度v1和v1'。
b.求第n次碰撞后雨滴的动能12m n v n'2。
11.如图所示,一轻绳吊着一根粗细均匀的棒,棒下端离地面高为H,上端套着一个细环。
棒和环的质量均为m,它们相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k>1)。
断开轻绳,棒和环自由下落。
假设棒足够长,与地面发生碰撞时触地时间极短,且无动能损失。