十年真题(2010-2019)高考数学(理)分类汇编专题13 计数原理(新课标Ⅰ卷)(解析版)

专题13计数原理历年考题细目表题型年份考点试题位置单选题2017 二项式定理2017年新课标1理科06单选题2015 二项式定理2015年新课标1理科10单选题2013 二项式定理2013年新课标1理科09单选题2012 排列与组合2012年新课标1理科02单选题2011 二项式定理2011年新课标1理科08填空题2018 排列与组合2018年新课标1理科15填空题2016 二项式定理2016年新课标1理科14填空题2014 二项式定理2014年新课标1理科13历年高考真题汇编1．【2017年新课标1理科06】（1）（1+）6展开式中2的系数为（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1）（1+）6展开式中：若（1）＝（1+﹣2）提供常数项1，则（1+）6提供含有2的项，可得展开式中2的系数：若（1）提供﹣2项，则（1+）6提供含有4的项，可得展开式中2的系数：由（1+）6通项公式可得．可知r＝2时，可得展开式中2的系数为．可知r＝4时，可得展开式中2的系数为．（1）（1+）6展开式中2的系数为：15+15＝30．故选：C．2．【2015年新课标1理科10】（2++y）5的展开式中，5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【解答】解：（2++y）5的展开式的通项为T r+1，令r＝2，则（2+）3的通项为，令6﹣＝5，则＝1，∴（2++y）5的展开式中，5y2的系数为30．故选：C．3．【2013年新课标1理科09】设m为正整数，（+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：∵m为正整数，由（+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a，同理，由（+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b．再由13a＝7b，可得137，即137，即13＝7，即13（m+1）＝7（2m+1），解得m＝6，故选：B．4．【2012年新课标1理科02】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1＝12种故选：A．5．【2011年新课标1理科08】的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40【解答】解：令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为1+a∴1+a＝2∴a＝1∴∴展开式中常数项为的的系数和∵展开式的通项为T r+1＝（﹣1）r25﹣r C5r5﹣2r令5﹣2r＝1得r＝2；令5﹣2r＝﹣1得r＝3展开式中常数项为8C52﹣4C53＝40故选：D．6．【2018年新课标1理科15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42＝12，2女1男，有C22C41＝4根据分类计数原理可得，共有12+4＝16种，方法二，间接法：C63﹣C43＝20﹣4＝16种，故答案为：167．【2016年新课标1理科14】（2）5的展开式中，3的系数是10．（用数字填写答案）【解答】解：（2）5的展开式中，通项公式为：T r+125﹣r，令53，解得r＝4∴3的系数210．故答案为：10．8．【2014年新课标1理科13】（﹣y ）（+y ）8的展开式中2y 7的系数为 ．（用数字填写答案） 【解答】解：（+y ）8的展开式中，含y 7的系数是：8． 含2y 6的系数是28，∴（﹣y ）（+y ）8的展开式中2y 7的系数为：8﹣28＝﹣20． 故答案为：﹣20 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：排列与组合，二项式定理等.以理解和应用两个基本原理为主，常以实际问题为载体，突出分类讨论思想，注重分析问题、解决问题能力的考查，常与排列、组合知识交汇；两个计数原理在高考中单独命题较少，一般是与排列组合结合进行考查，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：排列与组合，二项式定理，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点排列与组合，二项式定理为重点较佳.最新高考模拟试题1．用0，l ，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】B 【解析】解：若个位数是0，则有14C 4=种， 若个位数不是0，则有2412A =种，则共有41216+=种， 故选：B ．2．()5221x x --的展开式中2x 的系数为（ ） A ．400B ．120C ．80D ．0【答案】D 【解析】 ∵()525521(1)(21)x x x x --=-+，二项展开式5(1)x -的通项为55(1)r r r C x --，二项展开式5(21)x +的通项式为5555C (2)(1)(21)kkx x x --+，的通项为510()55(1)2r k r k k r C C x --+-，所以8k r +=，所以展开式中2x 的系数为5253444385555555(1)2(1)2(1)0C C C C C C -+-+-=.3．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，且01(1)n x a a x λ+=++22n n a x a x +⋯+,若12242n a a a ++⋯+=,则4()x xλ+展开式中常数项( )A ．32B ．24C ．4D ．8【答案】B 【解析】因为(1)nx λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，所以23n n C C =，因此5n =，又5205125(1)x a a x a x a x λ+=+++⋯+，所以01a =， 令1x =，则01525(1)a a a a λ+=+++⋯+，又125242a a a ++⋯+=，所以55(3)3124λ+==，因此2λ=， 所以42()x x +展开式的通项公式为44214422k k k k k k k k T C x x C x ---+==，由420k -=得2k =，因此42()x x+展开式中常数项为2234224T C ==.故选B4．设两直线1:220l x y --=与2:10l ax y ++=垂直，则41x a x ⎛+ ⎝的展开式中2x 的系数为（ ） A ．12 B ．3C ．52D ．72【答案】D 【解析】解：Q 两直线1:220l x y --=与2:10l ax y ++=垂直，1()12a ∴⋅-=-，求得2a =．则41x a x ⎛+= ⎝412x x ⎛+= ⎝， 要求其展开式中2x项，则是分子(8x 中展开式中的6x项故它的展开式中2x 的系数为28216C ⋅=72，故选：D ．5．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．64种【答案】C 【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①，将4人分成3组，有246C =种分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有222A =种情况， 此时有224⨯=种情况，则有6424⨯=种不同的安排方法； 故选：C ．6．2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为 ( ) A ．198 B ．268 C ．306 D ．378【答案】A 【解析】分两种情况，若选两个国内媒体一个国外媒体，有21263290C C A =种不同提问方式；若选两个外国媒体一个国内媒体，有123633108C C A 种不同提问方式，所以共有90+108=198种提问方式.故选A.7．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（）A．18种B．9种C．6种D．3种【答案】A【解析】由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2、3、4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2、3、4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有种。

故答案选A。

8．某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有（）A．24种B．36种C．48种D．72种【答案】B【解析】解：因为某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，所以有一个班级一定会安排两名教师，故第一步：先安排两名教师到一个班级实习，，第二步：将剩下的教师安排到相应的班级实习，，根据乘法原理得这个问题的分配方案共有种，故选B。

9．某大学党支部中有名女教师和名男教师，现从中任选名教师去参加精准扶贫工作，至少有名女教师要参加这项工作的选择方法种数为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】没有女教师参加这项工作的选法有：种至少名女教师参加这项工作的选法有：种本题正确选项： 10．已知展开式中的系数小于90，则的取值范围为（ ）． A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 解：因为展开式为要想得到展开式中的项，只能是当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为当时，二项式的展开通项要想得到项，只能，此时的系数为所以展开式中的系数为所以，解得故选：B.11．已知二项式2(*)nx n N x ⎛∈ ⎝的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ）A ．14B ．14-C ．240D ．240-【答案】C 【解析】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rr r nT C x x -+⎛=- ⎪⎝⎭由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =. 所以()()366216221rr n rr rr r r nT C x C xx ---+⎛=-=- ⎪⎝⎭ 令3632r -=，解得：2r =， 所以3x 的系数为()2262621240C --=故选：C12．汉中市2019年油菜花节在汉台区举办，组委会将甲、乙等6名工作人员分配到两个不同的接待处负责参与接待工作，每个接待处至少2人，则甲、乙两人不在同一接待处的分配方法共有（ ） A ．12种 B ．22种C ．28种D ．30种【答案】C 【解析】由题可分两种情况讨论：①甲可能在A 组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法； ②甲可能在B 组，组内分到其他四人中的1人,2人或3人，则有种分法；一共有种分法。