第十一章 现代时间序列分析

第十章 时间序列分析基础本章的思路：时间序列的非平稳性会对经典计量回归的可靠性构成威胁，如何检验时间序列数据是不是平稳的？如果不平稳该怎么办？第一节 时间序列及其平稳性1．时间序列数据是由不同随机变量生成的，是一个随机过程的实现。

计量经济回归分析的参数估计及相关的推断检验，都是建立在对随机变量总体均值、方差的推断基础上的。

何谓时间序列数据是平稳的。

包括严平稳性和弱平稳性。

我们一般研究的是弱平稳性。

若一个随机过程的均值和方差在时间过程上保持是常数，并且在任何两时间之间的协方差值仅仅依赖于该两时期间的距离，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，即被称为弱平稳过程。

用数学语言来表达就是：22(),()(),[()()]t t t k t t k E Y Var Y E Y u r E Y u Y u μσ+==-==-- 总结起来，一个非平稳时间序列，要么均值随时间而变化，要么方差随时间而变化，要么两者都变化。

为什么研究平稳的时间序列重要？因为若一个时间序列是非平稳的，则我们只能分析其在研究期间的行为，而无法推广到其他期间，就没有太大的价值了。

无法根据过去，推断未来。

练习：（1）一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：X t =μt ，μt ~N(0,σ2) 被称为白噪声过程。

（WHITE NOISE ）另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ），该序列由如下随机过程生成：X t =X t-1+μt 这里， μt 是一个白噪声。

2．把非平稳的时间序列当作平稳的时间序列来分析，会破坏古典线性回归模型的基本假定，得到的T 、F 、R-平方统计量都是无效的，对计量回归分析的有效性有很大的影响。

伪回归使错误的计量经济分析看起来很理想，有很大的欺骗性。

所以在处理时间序列数据时一定要注意。

何为伪回归：由于时间序列的不平稳，导致对这两个时间序列做回归，有可能得出R-平方显著地不为零的结论，即两个时间序列有依存关系，但实际上两者没有什么关系。

R-平方应该为零。

如中国劳动力时间序列和美国的GDP 时间序列。

第二节 时间序列平稳性检验一、图形判断是否围绕一个水平的中心趋势，并以相同的发散程度分布。

一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程。

而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）二、单位根检验1． 什么是单位根过程111t t tt t tt t tY Y Y Y Y t Y λεαλεαηλε---∆=+∆=++∆=+++其中，α代表常数项，t η是趋势项，1mi t ii Yα-=∑是M 个分布滞后项，t ε是白噪声序列。

如果检验得出1λ<，则前两式就是平稳过程，最后一式是一个趋势平稳过程。

反之，就不平稳。

以最简单的单位根过程，来证明只要存在单位根，就不是平稳的时间序列。

1t t t Y Y ε-=+ 2． 检验单位根DF 检验和ADF 检验。

DF 检验是检验时间序列是否属于基本的单位根过程。

即原假设：存在单位根，不平稳。

备择假设：不存在单位根，平稳。

αττ<，拒绝原假设，认为原时间序列平稳。

αττ>，接受原假设，认为原时间序列不平稳。

举例。

检验有没有下面所列的三种单位根（一般状况），用ADF 检验。

X t X (a) (b)图9.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图11mt t i t i t i Y Y Y ραε--=∆=++∑11mt t i t i t i Y Y Y αραε--=∆=+++∑11mt t i t i t i Y t Y Y αηραε--=∆=++++∑第三节 时间序列的单整与协整一、单整如果一个非平稳时间序列作差分变换后得到的差分序列是平稳序列，我们称他具有单整性。

进行差分变换的次数，被称为单整的阶数。

一个非平稳时间序列在进行了d 次差分后，才变为平稳序列。

这种经过d 次差分后才变成平稳的时间序列，称是d 阶单整的，记为I （d ）。

本身平稳的时间序列也被称为是0阶单整的，记为I （0）。

由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以相互转换，因此，利用差分数据进行计量分析也是有意义的。

二、协整如果一组时间序列X1,…XN 都是同阶单整的，I （d ），并且存在向量1(,...)n ββ，使加权和为平稳序列，称这组时间序列是协整的。

其中，1(,...,)n ββ称为“协整向量”。

具有协整关系的非平稳时间序列各自的非平稳性和波动有相互抵销的作用。

所以虽然非平稳本身有导致回归分析失效的影响，但如果模型中的几个非平稳时间序列具有协整性，回归分析仍然是有效的，不需要担心非平稳性会造成问题。

检验是不是协整，就是检验它们的残差序列的平稳性。

举例来说明。

两变量之间的协整关系，可以用EG 检验法。

例：检验中国居民人均消费水平与人均GDP 的协整关系。

中国居民人均消费支出与人均GDP二、误差修正模型（ECM ）简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，误差修正模型应运而生。

GANGER 表述定理：如果X 与Y 是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述。

建立误差修正模型，首先要对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。

然后建立短期模型，将误差修正项看做一个解释变量，连同其他反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型。

如果t y 和t x 是协整的，协整参数为β，我们就有了一个I （0）变量，令t t t s y x β=-。

最简单的情况下，我们只加进去这个I （0）变量的一个滞后。

01101111()t t t t t t t y y x x y x u ααγγδβ----∆=+∆+∆+∆+-+ 其中，11()t t y x δβ---这一项被称为误差纠正项，而这个式子就变成了误差纠正模型，即ECM 。

我们常用的误差纠正模型是。

0011()t t t t t y x y x u αγδβ--∆=+∆+-+一般地，0δ<。

如果11t t y x β-->，那么前一个时期的y 已经超过了均衡水平，误差纠正项会把y 往回拉，使它回到均衡水平。

反之。

例：建立中国居民人均消费的误差修正模型。

第四节 时间序列的AR ，MA 和ARIMA 建模如果一个时间序列是平稳的，我们有多种方法建立它的模型。

一、几种平稳时间序列的模型形式 1． 自回归过程令11()()t t t Y Y u δαδ--=-+。

其中，δ是t Y 的均值，而t u 是有零均值和恒定方差2σ的 不相关随机误差项，即是一个白噪音过程。

我们说t Y 遵循一个一阶自回归或AR （1）过程。

这里，t Y 在T 时期的值依赖于它在前一时期的值和一个随机项。

此模型表明，Y 在T 时期的预测值，不外是它的（T-1）期的值的一个比例部分加上在T 时期的一个随机冲击或干扰。

一般地，我们有：1122()()()...()t t t p t p t Y Y Y Y u δαδαδαδ----=-+-++-+ 这里，t Y 是一个P 阶自回归或AR （P ）过程。

P 阶自回归模型仅涉及现期和前期的Y 值，再没有其他的回归元。

在这个意义上，我们说“让数据自己说话”。

2． 移动平均过程假定我们把Y 的模型描述为：011t t t Y u u αββ-=++其中，α为常数，t u 是白噪音随机误差项。

T 时期的Y 值等于一个常数加上现在和过去的误差项的一个移动平均值。

像这样的情况，我们说Y 遵循一个一阶移动平均或MA （1）过程。

更一般地，01122...t t t t q t q Y u u u u αββββ---=++++是一个MA （q ）过程。

可见，移动平均过程不外是一些白噪音误差项的一个线性组合。

3． 自回归与移动平均过程如果Y 同时有AR 和MA 的特性，从而它是ARMA 。

比如说，t Y 可以写为：11011t t t t Y Y u u θαββ--=+++，其中就有一阶自回归项和一阶移动平均项。

那么就是一个ARMA(1,1)过程。

一般地，在一个ARMA(p,q)过程中,有p 个自回归和q 个移动平均项。

4． 自回归求积移动平均过程如果我们将一个时间序列差分d 次，把它变为平稳的，然后用ARMA(p,q)作为它的模型。

那么，我们就说那个原始的时间序列是ARIMA(p,d,q)，也即它是一个自回归求积移动平均时间序列。

二、选择模型形式的方法和步骤即BJ 方法论。

步骤有4步：1.识别。

就是找出适当的p 、d 和q 值。

可以用相关图和偏相关图来帮助解决此问题。

2.估计。

一旦辨识适当的p 、d 和q 值，就可以估计模型中所含自回归和移动平均项的参数。

大多数时候可以用最小二乘法来完成，有时会用非线性估计方法。

3.诊断。

看从该模型估算出来的残差是不是白噪音，如果是，就可以接受这个具体的拟合，如果不是，就重新再做。

4.预测。

ARIMA 建模方法在很多时候比传统的计量经济建模要可靠，特别是在短期预测方面。

识别的主要工具是自相关函数ACF 和偏相关函数PACF 以及由此得到的相关图。

偏相关度量着在控制对滞后小于K 的相关下，相隔K 个时期的观测值之间的相关。

换言之，偏相关就是t Y 和t k Y -之间的，除去居中的诸Y 的影响后的相关。

通过图，来考察哪一阶的偏相关系数在统计上显著地不为零。

例：试对中国支出法GDP 进行ARMA （P ，Q ）模型估计。

试对中国人均居民消费建立ARMA （P ，Q ）模型估计。

第五节 度量金融时间序列中的波动性：ARCH 和GARCH 模型一些时间序列特别是金融时间序列，常常会出现某一特征的值成群出现的情况。

如对股票收益率序列建模，其随机扰动项往往在较大幅度波动后而伴随着较大幅度的波动，在较小幅度的波动后面紧接着较小幅度的波动，这种性质被称为波动的集群性。

1．自回归条件异方差模型（1）对于通常的回归模型t t t y x βε'=+（1），如果随机干扰项的平方2t ε服从AR(q)过程，即（2）222011...t t q t q t εααεαεη--=++++，（2）。

其中，t η独立同分布，并满足2()0,()t t E D ηηλ==，则称模型是自回归条件异方差模型，简记为ARCH 模型。

称随机扰动项服从q 阶的ARCH 过程，记为~()t ARCH q ε。

（1）和（2）构成的模型称为回归——ARCH 模型。

（3） ARCH 模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行建模，以更充分地提取残差中的信息，使最终的模型残差项成为白噪声。