滑动平均法解说

1.1滑动平均法的基本原理
动态测试数据y(t) 由确定性成分f(t) 和随机性成分x(t) 组成, 且前者为所需的测量结果或有效信号, 后者即随机起伏的测试误差或噪声, 即x(t)=e(t)，经离散化采样后, 可相应地将动态测试数据写成
e f
y j j
j
+=
j=1,2,…,N (1)
为了更精确地表示测量结果, 抑制随机误差{e j }的影响, 常对动态测试数据{yj}作平滑和滤波处理。

具体地说, 就是对非平稳的数据{y j
},在适当的小区
间上视为接近平稳的, 而作某种局部平均, 以减小{e j }所造成的随机起伏。

这样沿全长N 个数据逐一小区间上进行不断的局部平均, 即可得出较平滑的测量结果{
f
j
},而滤掉频繁起伏的随机误差。

例如, 对于N 个非平稳数据{y j
} , 视之为每m 个相邻数据的小区间内是接近平稳的, 即其均值接近于常量。

于是可取每m 个相邻数据的平均值, 来表示该m 个数据中任一个的取值, 并视其为抑制了随机误差的测量结果或消除了噪声的信号。

通常多用该均值来表示其中点数据或端点数据的测量结果或信号。

例如取m 等于5,并用均值代替这5个点最中间的一个就有下式
y3=1/5(y1+y2+y3+y4+y5)
同理, y4=1/5(y2+y3+y4+y5+y6)即
y
f
4
4
=。

依此类推, 可得一般表达式为
y f
k k
==∑-=+n
n
k y n 121
k+1 k=n+1,n+2,…,N-n (2) 式中,
2n+1=m, 显然, 这样所得到的{
y
f
k
k
=
}, 其随机起伏因平均作用而比
原来数据{yk}减小了, 即更加平滑了, 故称之为平滑数据。

由此也可得出对随机
误差或噪声的估计, 即取其残差为
f
y
e k
k
k
=
= k=n+1,n+2,…,N-n (3)
上述动态测试数据的平滑与滤波方法就称为滑动平均。

通过滑动平均后,可滤掉数据中频繁随机起伏,显示出平滑的变化趋势,同时还可得出随机误差的变化过程,从而可以估计出其统计特征量。

需要指出的是, 式(2) 中只能得到大部分取值, 而缺少端部的取值, 即k < n + 1 和k > N 一n 的部分有m 一1个测量结果或信号无法直接得到, 通常称其为端部效应, 需设法补入。

1.2滑动平均的一般方法
按式(2) 进行滑动平均是沿全长N 个数据,不断逐个滑动地取m 个相邻数据作直接的算术平均。

也即该m 个相邻数据y
n
k -,y
n k 1
+-,…,y k
,…,y
n
k + 对其所
表示的平滑数据y
f
k
k
=
而言是等效的,按所谓等权平均处理。

实际上, 相距平
滑数据
y
f
k
k
=
较远的数据对平滑的作用可能要小于较近者, 即是不等权的,
因而对不同复杂变化的数据, 其滑动的几个相邻数据宜取不同的加权平均来表
示平滑数据。

因此, 更一般的滑动平均方法是沿全长的N 个数据, 不断逐个滑动地取m 个相邻数据作加权平均来表示平滑数据, 其一般算式为
y
w y f
k P
p
i i
k
k
1
+=∑==
k=q+1,q+2,…,N-P (4)
式中,w i 为权系数,且∑==p
q
i i w 1；p 、q 为小于m 的任一正整数, 且p+q+1=m 。

这些参数的不同取法就形成不同的滑动平均方法。

如p=q=2, 且w i =1/(2n+1),即为式(2) 的算法, 称为等权中心平滑法。

特别是取p=0或q=o 即为常用的端点平滑。

当w i =1/m(对所有的i) 时即为等权端点平滑, 其算式写成
∑+-+=
=
1
1
m i
k i k
k
y
m
y
f
k=1,2,…,q
∑+-+===
11m i
k k
k
y y
f
mi k=N-p+1,N-p+2,…,N (5) 其中, 前式为前端点平滑法, 后式为后端点平滑法。

应当指出, 滑动平均法的参数选取将直接影响对数据的平滑效果, 如式(4) 中m 取得较大, 则局部平均的相邻数据偏多, 尽管平滑作用较大, 有利于抑制频繁随机起伏的随机误差, 然而也可能将高频变化的确定性成分一起被平均而削弱; 反之, 若m 取得较小, 则可能对低频随机起伏未作平均而减小, 即不利于抑制随机误差, 因此应按平滑的目的及数据的实际变化情况, 来合理选取滑动平均的参数m(以及p 和q)与{w i } 。

在动态测试数据处理中应用较多的是最简单的5--11点等权中心平滑或2、3次加权中心平滑。

1.3滑动平均法的特点
滑动平均法的最主要特点在于简捷性。

它相对于其它动态测试数据处理方法
而言, 算法很简便, 计算量较小,尤其可采用递推形式来计算,可节省存贮单元, 快速且便于实时处理非平稳数据等, 这些是滑动平均法的优点,也是这种古老算法至今仍有实用价值的主要原因。

另一方面,滑动平均法又存在一定的主观性和任意性。

因为其应用效果很大程度上取决于各种算法参数的选定。

通常依据动态测试过程本身变化的机理,以及实际测试数据的具体变化状态,而靠经验来尽量合理地选定滑动平均算法的参数。

2.1方法概述
滑动平均是趋势拟合技术最基础的方法，它相当于低通滤波器。

用确定时间的平滑值来显示变化趋势。

对样本量为n 的序列x,其滑动平均序列表示为：
∑=-+=k
i j i j x x k 1
1
1ˆ (j=1,2,…,n-k+1)（1）
式中k 为滑动长度。

作为一种规则，k 最好取奇数，以使平均值可以加到时间序列中中项的时间坐标上。

若k 取偶数，可以对滑动平均后的新序列取每两项的平均值，以使滑动平均对准中间排列。

可以证明，经过滑动平均后，序列中短于滑动长度的周期大大削弱，显现出变化趋势。

2.2滑动平均法的计算步骤
根据具体问题的要求以及样本量大小确定滑动长度k ，用（1）式直接对观测数据进行滑动平均计算。

n 个数据可以得到n-k+1个平滑值。

编程计算时可采用这样的形式：首先将序列的前k 个数据求和得到一个值，然后依次用这个值减去平均时段的第一个数据，并加上第k+1个数据，再用求出的值除以k ，循环这样的过程计算出1,2,…，n-k+1个平滑值。

2.3滑动平均法的计算结果分析
分析时主要从滑动序列曲线图来诊断其变化趋势。

例如：看其演变趋势有几次明显的波动，是呈上升还是呈下降的趋势。