三角形全等的判定条件
判定全等三角形的五种方法
判定全等三角形的五种方法全等三角形是指具有相同形状和相等边长的三角形。
判定两个三角形是否全等是数学中的一个重要问题。
下面将介绍判定全等三角形的五种方法。
方法一：SSS判定法（边边边）SSS判定法是指通过比较两个三角形的三条边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的三条边长度相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法二：SAS判定法（边角边）SAS判定法是指通过比较两个三角形的两条边和夹角是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的一边和夹角分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法三：ASA判定法（角边角）ASA判定法是指通过比较两个三角形的两个角和夹边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和夹边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法四：AAS判定法（角角边）AAS判定法是指通过比较两个三角形的两个角和非夹边的对应边是否相等来判定其是否全等。
如果两个三角形的两个角和非夹边的对应边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
方法五：HL判定法（斜边和直角边）HL判定法是指通过比较两个直角三角形的斜边和直角边是否相等来判定其是否全等。
如果两个直角三角形的斜边和直角边分别相等，则可以判断它们是全等三角形。
通过以上五种方法，我们可以准确地判定两个三角形是否全等。
这些方法都是基于几何学中的一些定理和公理推导而来，经过严谨的数学证明，可以确保判定结果的准确性。
需要注意的是，在判定全等三角形时，我们需要确保给定的条件足够，即要求已知的边长、角度等信息能够满足相应的判定条件。
如果给定的信息不足够，或者不满足判定条件，那么就无法准确地判定两个三角形是否全等。
判定全等三角形的方法还可以用于解决一些实际问题，例如在建筑设计、图形测量等领域。
通过判定三角形是否全等，可以确保设计和测量的准确性，提高工作效率。
总结起来，判定全等三角形的五种方法分别是SSS判定法、SAS判定法、ASA判定法、AAS判定法和HL判定法。
这些方法都是基于几何学中的定理和公理推导而来，通过比较边长、角度等信息，可以准确地判定两个三角形是否全等。
全等直角三角形的判定
全等直角三角形的判定要点一：判定直角三角形全等的一般方法；由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二：判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理。
在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”例1. 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【总结升华】直角三角形全等可用的判定方法有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF 是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，例2.如图AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求证：AF平分∠BAC．【思路点拨】若能证得AD＝AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证得Rt△ADF≌Rt△AEF，而要证AD＝AE，就应先考虑Rt△ABD与Rt△AEC，由题意已知AB＝AC，∠BAC是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．【答案与解析】证明：在Rt△ABD与Rt△ACE中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)∴AD＝AE(全等三角形对应边相等)在Rt△ADF与Rt△AEF中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形对应角相等)∴AF平分∠BAC(角平分线的定义)【总结升华】条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论.例3、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE 是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD ⊥BC交CF的延长线于D.（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12图片，求BD的长.【答案与解析】（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC ＝∠ECA ＝90°，且BC ＝CA ，∴△DBC ≌△ECA （AAS ）．∴AE ＝CD ．（2）解：由（1）得AE ＝CD ，AC ＝BC ，∴△CDB ≌△AEC （HL ）∴BD ＝EC ＝21BC ＝21AC ，且AC ＝12． ∴BD ＝6cm ．【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件。
(完整版)全等三角形证明方法(最新整理)
全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定：（1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ；（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ；（5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；（2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等；（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
①积极发现隐含条件：公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角:图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线:当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：（1）截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
全等三角形的判定方法五种证明
全等三角形的判定方法五种证明方法一：SSS判定法（边边边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即三角形的三边相等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，且已知AB=DE，BC=EF，AC=DF。
通过图形可以发现，若容器DAB将图形DEF旋转并平移后完全重合于ABC，则两个三角形全等。
因此，通过旋转和平移操作，将DEF旋转至直线AC上的点F与C匹配，同时将点F移动至点C。
由于线段DE和线段AC相等，而由已知条件可知线段DF与线段AC相等，所以线段DC也与线段AC相等。
因此，可以得出点C与点D重合，即三角形DEF重合于三角形ABC，证明了两个三角形全等。
方法二：SAS判定法（边角边判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两边和夹角分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若AB=DE，角A=角D，BC=EF，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，角A=角D，BC=EF。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，以及线段DE与线段AB相等。
通过这两个已知条件可以得出点D与点A重合，即三角形DEF与三角形ABC重合，证明了两个三角形全等。
方法三：ASA判定法（角边角判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的两角和一边分别相等时，它们全等。
假设有两个三角形ABC和DEF，若角A=角D，角B=角E，AB=DE，则可以得出两个三角形全等。
证明：假设有两个三角形ABC和DEF，已知角A=角D，角B=角E，AB=DE。
根据已知条件可以得出角D与角A相等，角E与角B相等，以及线段AB与线段DE相等。
通过这三个已知条件可以得出三角形DEF与三角形ABC完全重合，证明了两个三角形全等。
方法四：HL判定法（斜边和高判定法）该方法基于全等三角形的定义，即当两个三角形的斜边和高分别相等时，它们全等。
不能判定全等三角形的条件
不能判定全等三角形的条件要判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件：1.三边对应相等（边边边法则）：两个三角形的三条边分别对应相等，即边长相等。
若三边对应相等，则可以判断两个三角形全等。
2.两边对应相等且夹角相等（边角边法则）：如果两个三角形的两边对应相等且夹角相等，即两边长度和夹角大小相等，则可以判断两个三角形全等。
3.两角对应相等且边对应相等（角边角法则）：如果两个三角形的两角对应相等且边对应相等，即两角的大小和两边的长度相等，则可以判断两个三角形全等。
这些条件是判定两个三角形全等的基本条件，但同时需要注意一些特殊情况和限制条件：1. SAS（边角边）法则只适用于非直角三角形，对于直角三角形需要使用其他法则进行判断。
2. SSS（边边边）法则适用于任何三角形，但要注意两个三角形的边对应相等。
3. AAA（角角角）法则不能用于判定全等三角形，因为只知道三个角相等并不能确定三角形的形状和大小。
4.在判定全等三角形时，两个三角形的对应边和对应角要一一对应，并且对应相等。
5.在给定的信息条件下，可能存在不止一个解，需要根据具体题目情况进行判断。
除了以上基本条件外，还有一些特殊情况和实际应用需要注意：1.直角三角形：对于直角三角形，可以通过两边长度相等和一个角为90度来判断全等。
2.等腰三角形：对于等腰三角形，可以通过两边对应相等和一个角对应相等来判断全等。
3.三角形的旋转和镜像：两个三角形的形状可以相同但是位置不同，需要注意在进行判断时要考虑旋转和镜像的可能性。
4.实际应用：全等三角形的判断在建筑设计、地理测量、工程建设等领域中常常会用到，在计算和实际情况中需注意判断条件和实际应用的结合。
总之，判断两个三角形是否全等需要根据不同的条件和限制情况进行综合判断。
在实际问题中，可以根据已知条件和问题的要求来选择合适的法则进行判断，并注意特殊情况和实际应用的考虑。
5种判定三角形全等的方法
5种判定三角形全等的方法判定三角形全等的方法有很多种，下面我将介绍其中五种常见的方法。
方法一：SSS全等法SSS全等法是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。
例如，如果三角形ABC的三条边与三角形DEF的三条边分别相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。
方法二：SAS全等法SAS全等法是指当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，这两个三角形全等。
例如，如果三角形ABC的边AC和边BC分别与三角形DEF的边DF和边EF相等，且夹角∠ABC等于夹角∠DEF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。
方法三：ASA全等法ASA全等法是指当两个三角形的两个夹角和一条边分别相等时，这两个三角形全等。
例如，如果三角形ABC的两个夹角∠BAC和∠ABC分别等于三角形DEF的两个夹角∠EDF和∠DEF，且边AC等于边DF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。
方法四：AAS全等法AAS全等法是指当两个三角形的两个夹角和一条边的对边比例分别相等时，这两个三角形全等。
例如，如果三角形ABC的两个夹角∠BAC和∠ABC分别等于三角形DEF的两个夹角∠EDF和∠DEF，且边AC与边DF的对边比例相等，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。
方法五：HL全等法HL全等法是指当两个三角形的一条斜边和两个直角边分别相等时，这两个三角形全等。
例如，如果三角形ABC的斜边BC和直角边AB、AC分别等于三角形DEF的斜边EF和直角边DE、DF，则可以判定三角形ABC全等于三角形DEF。
这五种判定三角形全等的方法在实际应用中经常被使用。
通过观察和比较三角形的边长、夹角以及比例关系，可以准确判定两个三角形是否全等。
这在几何学中具有重要的意义，不仅可以用于解决实际问题，还可以推导出其他几何性质和定理。
需要注意的是，在判定三角形全等时，要保证所给的条件足够，不能漏掉关键信息。
三角形全等的判定(SAS)
D
例1
已知: 如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
证明: △ACB ≌ △ADB. 这两个条件够吗?
A
B
还要什么条件呢? 还要一条边
D
例1已知:
证明:
如图,AC=AD ,∠CAB=∠DAB. 求证: △ACB ≌ △ADB.
C
在△ACB 和 △ADB中 AC = A D (已知)
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件可
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S B AB=AB ∠CBA= ∠ DBA BC=BD D S A
作业：
1、一张试卷 2、笔记补充完整
谢 谢 ！
三角形全等的判定定理
SAS
我们学过哪几种判定三角形全等的方法？
1、全等三角形概念：三条边对应相 等，三个角对应相等。 2、全等三角形判定条件（一） 三边对应相等的两个三角形全等。 简称“边边边”或“SSS”
问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可 无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想 出办法来吗？
要证△BOD≌ △COE需添加什么条件?
A
△BOD≌ △COE
D E
O
S
A
S
B
C
OB=OC ∠BOD= ∠ COE OD=OE
3.如图，要证△ACB≌ △ADB ，至少选 用哪些条件才可以？
证得△ACB≌ △ADB △ACB≌ △ADB
C
A S A
S B AB=AB ∠CAB= ∠ DAB AC=AD D
△ABD≌ △ACD
D B S A S AB=AC C
13.2.4三角形全等的判定(角边角或角角边)
B E ∵BC EF C F
在△ABC和△DEF中，
A
D
B
\
C
E
\
F
练习
∴ △ABC≌△DEF (A.S.A.)
例1、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和 CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。 求证： △ABE≌△ACD
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） ∵ AB=AC（已知）
C
A
O
B
D
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边 角条件证明你的结论吗？
A D
C E B
F
探究反映的规律是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的 两个三角形全等(简写成“角角边”或 “A.A.S.”）
用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A` A
例2.如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：△ABD≌△ACE
证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B= ∠C（等边对等角） ∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
A
∴ △ABD≌△ACE（A.A.S.）
B
D
E
C
练习：
1.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
2：如图，已知∠ABC＝∠D， ∠ACB＝∠CBD判断图中的 两个三角形是否全等， 并说明理由．
不全等。因为虽然有两组内角相等， 且BC＝BC，但BC不都是两个三角形两 组内角的夹边，所以不全等。
作业：
1.如图已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC， 求证：△ABC≌△DCB， AB=DC
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求证：∠BAD=∠CAE
证明三角形全等书写步骤：
（1）准备条件：把证全等时要用的条件先证好； （2）三角形全等书写三步骤： ①写出在哪两个三角形中。 ②摆出三个条件用大括号括起来。
③写出全等结论。
找一找 如图，已知AB=AC, AD=AE, BD=CE, 则图 2 对，分别把它们表 中全等的三角形有_______ 示出来. A
不一定全等
30o 60o
60o
(3) 三角形的两条边分别为4cm，6cm.
不一定全等 只给出两个条件时,都不能保证所画出的 三角形全等.
小结
只给出一个条件或两个条件时，都不 能保证所画出的三角形一定全等。
给出三个条件画三角 形，你能列出几种情 况？
三、给出三个条件画三角形：
1. 都给角：给三个角
三角形全等书写三步骤： ①写出在哪两个三角形中。 ②摆出三个条件用大括号括起来。 ③写出全等结论。
我能行
例1 如图，当 AB=CD，BC=DA时，图中的△ABC与 △CDA是否全等？并说明理由。
解:△ABC与△CDA是全等三角形。其理由如下：
A
在△ABC与△CDA中 AB=CD
∵ (已知) (已知) (公共边) （SSS）
一：给出一个条件作三角形。 1. 给出一条边长 6cm
2.
给出一个角60
°
不 一 定 全 等
60 °
只给出一个条件时,都不能保证所画出的 三角形全等.
二 . 给出两个条件做三角形 (1) 三角形的一个内角为30°，一条边为3cm；
不一定全等
30o
3cm
(2) 三角形的两个内角分别为30°和 60°；
2. 都给边：给三条边
3.给一条边，两个角 4.给两条边，一个角
1.给出三个角 （1）两个锐角对应相等的两个直角三 角形全等吗?
答：不一定全等
结论：三个内角对应相等的两个三 角形不一定全等.
活动二：给出三条边
已知三角形三条边分别是 4cm，5cm，7cm， 同桌合作画出这个三角形，把所画的三角形 与同组比一比，发现什么？
△ABD≌△ACE △ABE≌△ACD
B D E C
实践出真知
老师用木条，做了一个三角形和四边形框架，请 两位同学上来分别拉动它们,它们的形状会发生变化 你能举出生活中 吗？ 的例子吗？ 说明:只要三角形三边的长度确定了，这个三形 的形状和大小就确定了，这个性质叫做 三角形的稳定性， 四边形不具有稳定性。
F
Байду номын сангаас
我能行
例3、如图，AB=AD,AC=AE,BC=DE, A 求证： ∠ BAF= ∠ CAE
证明：在△ABC与△ADE中， AB=AD E ∵ AC=AE BC=DE C F ∴ △ABC≌△ADE (SSS) B ∴ ∠ BAC= ∠ DAE（全等三角形对应角相等） D
又∵ ∠ FAC= ∠ FAC ∴ ∠ BAC- ∠ FAC= ∠ DAE- ∠ FAC ∴ ∠ BAF= ∠ CAE
D
AD=CB AC=CA
B
C
∴△ABC≌△CDA
我能行
例2 如图，点A 、E、C、F在同一直线上，已知 AB=ED,AE=CF,BC=DF,∠A与 ∠DEF相等 吗？AB 与ED有什么位置关系？并说明理由。
解：∠A= ∠DEF ，AB∥ED.其理由如下： B D ∵AE=FC (已知) ∴AE+EC=FC+EC（等式的性质） 即AC=EF E 在△ABC与△EDF中 A C AB=ED （已知） ∵ BC=DF （已知） AC=EF （已证） ∴△ABC≌△EDF (SSS) ∴∠A= ∠DEF （全等三角形对应角相等） ∴AB∥ED (同位角相等，两直线平行)
四边形不具稳定性的实际应用 三角形稳定性的实际应用
挑战自我
四边形不具有稳定性，你有办法让它们稳定吗？
请同学们谈谈本节课的收获与体会:
本节课你学到了什么？ 发现了什么？ 有什么收获？ 还存在什么没有解决的问题？
作业布置：
1、完善学案； 2、书本100页习题4.3第3题。
三角形全等的判定公理1：
三边对应相等的两个三角形全等， 简写为 边边边 或 SSS。
几何语言：
A A’
B
C
B’
C’
在△ABC和△A'B'C'中 在△ABC和△A'B'C'中
∵
AB=A'B' (已知) BC=B'C' (已知)
规范：对应 字母写在对 应的位置
AC=A'C' (已知) 所以 所以 ∴ ABC ≌ A'B ' C ' ABC ≌ A ' B 'C ''C 所以 △ ABC A 'B B C'' （((SSS)） ABC≌ ≌△ A
我家门上有两块 全等的三角形玻璃窗, 突然，其中一块被打 提示：我只有一把量角
碎了,我准备到玻璃店
配一块回来,聪明的同 学们,我能完成这个任
器和一把卷尺，该测量
哪些数据呢?能配出来 吗？
务吗？
探索三角形全等的条件（一）
大邑县安仁镇学校
李志香
活动一
一条边； 1、一个条件
一个角；
一个角，一条边； 2、两个条件 两个角； 两条边；