807.三个非负数-奥数精讲与测试8年级
八上数能暑期班讲义三 非负数
八上数能暑期班讲义三非负数、平面直角坐标系检测A部分数能点：非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则a1＋a2＋…＋a n≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，B 部分平面直角坐标系检测一．选择题1、在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比是（ ）A 、向右平移了3个单位B 、向左平移了3个单位C 、向上平移了3个单位D 、向下平移了3个单位2、三角形A ’B ’C ’是由三角形ABC 平移得到的，点A （－1，－4）的对应点为A ’（1，－1），则点B （1，1）的对应点B ’、点C （－1，4）的对应点C ’的坐标分别为（ ）A 、（2，2）（3，4）B 、（3，4）（1，7）C 、（－2，2）（1，7）D 、（3，4）（2，－2）3、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（– 1，– 1）、（– 1，2）、（3，– 1），则第四个顶点的坐标为（ ）A 、（2，2）B 、（3，2）C 、（3，3）D 、（2，3）4、如图，下列说法正确的是（ ）A 、A 与D 的横坐标相同B 、C 与D 的横坐标相同C 、B 与C 的纵坐标相同D 、 B 与D 的纵坐标相同5. 点E （a,b ）到x 轴的距离是4，到y 轴距离是3，则有（ ）A ．a=3, b=4B ．a =±3,b=±4C ．a=4, b=3D ．a=±4,b=±36.已知点P （a,b ）,a b ＞0,a ＋b ＜0,则点P 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7、点P （m ＋3, m ＋1）在直角坐标系得x 轴上，则点P 坐标为 （ ）A ．（0，－2）B ．（ 2，0）C ．（ 4，0）D ．（0，－4）8. 已知点P （x , x ），则点P 一定（ ）A ．在第一象限B ．在第一或第四象限C ．在x 轴上方D ．不在x 轴下方9. 点A （0，－3），以A 为圆心，5为半径画圆交y 轴负半轴的坐标是 （ ）A ．（8，0）B ．（ 0，－8）C ．（0，8）D ．（－8，0）10. 若4,5==b a ，且点M （a ，b ）在第三象限，则点M 的坐标是（ ）A 、（5，4）B 、（－5，C 、（－5，－4）D 、（5，－4）11.在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ）A 、向右平移了3个单位B 、向左平移了3个单位C 、向上平移了3个单位D 、向下平移了3个单位12. 已知点A ()2,2-，如果点A 关于x 轴的对称点是B ，点B 关于原点的对称点是C ，那么C 点的坐标是（ ）A 、()2,2B 、()2,2-C 、()1,1--D 、()2,2--二、填空题1. 已知点A （a ，0）和点B （0，5）两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是________________2.如果用（7，8）表示七年级八班，那么八年级七班可表示成 .3.将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________.4. 如果p （a+b,ab ）在第二象限，那么点Q (a,-b) 在第 象限.5、已知线段 MN=4，MN ∥y 轴，若点M 坐标为(-1,2)，则N 点坐标为 .6. 点A （－3，5）在第_____象限，到x 轴的距离为______，到y 轴的距离为_______。
最新初中数学非负数
七年级数学中的非负数问题在实数范围内，“非负数”是一个非常重要的数学概念，也是一个使一部分学生头疼的难点之一。
如果能够灵活地运用非负数的有关性质进行变形，那就可以开拓思路，发现解题途径。
其实，非负数并没有想象中的那么可怕，可怕的是有些同学概念不清，也记不住非负数的性质，导致看到题的以后做的一塌糊涂。
一、非负数的概念：正数和零总称为非负数。
在这里我们要用的最多的也是学生们最容易忘的就是非负数中的“零”。
二、非负数定理：非负数大于等于0。
非负数的和为零，则每个非负数必等于零。
（有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零）非负数的积为零，则至少有一个非负数为零。
非负数的绝对值等于本身。
任何一个非负数乘于-1都会得到一个非正数。
非负数中有有理数也有无理数。
非负数的和或积仍是非负数。
在非负数的性质中我们用的最多的就是：如果有限个非负数的和等于零，则必有每个非负数都同时为零。
三、三种非负数：实数的绝对值、实数的偶次幂、算术根等都是常见的非负数。
四、表达形式：非负数的表达形式通常是│a│、a2n等。
那么在我们的初中学习中，所学的哪些数或式子是非负的呢？我们在解题中该注意哪些问b）。
题呢？在初一时，我们学过的非负数有两个，一个是绝对值，一个是数的偶次方（||a和2n出现的形式也是非常单一的，共有三种情况：222||||0||00a b a b a b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩。
在这三种情况中不管出现哪一种，则都会有00a b =⎧⎨=⎩，当然，我们这里的a 和b 往往不是一个单独的字母，而是一个代数式。
例如：2|3|(2)0a b -+-=，这时就有23a b =⎧⎨=⎩。
这就是我们初一学的非负数，只要牢记出现的形式，就不难得到答案。
例： (a-3)²+(b+2)²=0，求a 、b 的值？未完待八年级需增加平方根内容。
1、 题型：单选题 分值：1健全联系广泛、服务群众的群团工作体系，推动_____增强政治性、先进性、群众性，把各自联系的群众紧紧团结在党的周围。
初中数学竞赛：非负数
初中数学竞赛：非负数【内容提要】1. 非负数的意义：在实数集合里，正数和零称为非负数.a 是非负数，可记作a ≥0,读作a 大于或等于零，即a 不小于零.2. 初中学过的几种非负数：⑴实数的绝对值是非负数. 若a 是实数，则a ≥0.⑵实数的偶数次幂是非负数. 若a 是实数，则a 2n≥0（n 是正整数）. ⑶算术平方根是非负数，且被开方数也是非负数. 若a 是二次根式，则a ≥0， a ≥0.⑷一元二次方程有实数根时，根的判别式是非负数，反过来也成立.若二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 有两个实数根， 则b 2－4ac ≥0.若b 2－4ac ≥0 (a ≠0)， 则二次方程ax 2+bx+c=0有两个实数根.⑸数轴上，原点和它的右边所表示的数是非负数，几何中的距离，图形中的线段、面积、体积的量数也都是非负数.3. 非负数的性质：⑴非负数集合里，有一个最小值，它就是零.例如：a 2有最小值0（当a=0时）， 1+x 也有最小值0（当x=－1时）. ⑵如果一个数和它的相反数都是非负数，则这个数就是零.若a ≥0且－a ≥0， 则a=0；如果a －b ≥0且b －a ≥0，那么a －b=0.⑶有限个非负数的和或积仍是非负数.例如：若a ，b ，x 都是实数数，则a 2+b 2≥0, a ×b ≥0, a 2x ≥0. ⑷若几个非负数的和等于零，则每一个非负数也都只能是零.例如 若+-1a （b ＋3）2+12+c =0那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-0120)3(012c b a 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-0120301c b a ∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-==5.031c b a .【例题】例1. 求证：方程x 4+3x 2+2x+6=0没有实数根证明：把方程左边分组配方，得（x 4+2x 2+1）+(x 2+2x+1)+4=0即（x 2+1）2+(x+1)2=－4∵（x 2+1）2＞0，(x+1)2≥0，∴（x 2+1）2+(x+1)2≥0.但右边是－4.∴不论x 取什么实数值， 等式都不能成立.∴方程x 4+3x 2+2x+6=0没有实数根.例2. a 取什么值时，根式)1)(2()1)(2(a a a a --+--有意义？解：∵二次根式的被开方数（a －2）()1-a 与(a －2)(1－)a 都是非负数，且（a －2）()1-a 与(a －2)(1－)a 是互为相反数，∴（a －2）()1-a ＝0. （非负数性质2）∴a －2=0；或 1-a =0.∴a 1=2, a 2=1, a 3=－1.答：当 a=2或a=1或a=－1时，原二次根式有意义.例3. 要使等式（2－31x ）2+48162--+x x x ＝0成立，x 的值是＿＿＿＿. 解：要使原等式成立∵（2－31x ）2≥0， ∴48162--+x x x ≤0.∴48162--+x x x ＝44--x x ＝－1，(x －4≠0) ∴（2－31x ）2＝1，且x －4<0. 即⎪⎩⎪⎨⎧<-=041)3122x x －（ 解得⎩⎨⎧<=493x x x 或＝ ∴x=3 .答：x 的值是3.例4. 当a, b 取什么实数时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0有实数根？ 解：∵当△≥0时，方程有实数根.解如下不等式：［2（1＋a ）］2－4(3a 2+4ab+4b 2+2)≥0－8a 2－16ab －16b 2+8a －4≥0，2a 2+4ab+4b 2－2a+1≤0，（a+2b ）2+(a －1)2≤0 ①∵（a+2b ）2≥0且(a －1)2≥0，得（a+2b ）2+(a －1)2≥0 ②∴只有当（a+2b ）2＝0且(a －1)2＝0 不等式①和②才能同时成立.答：当a=1且b=－21时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0有实数根.【练习】1. 已知在实数集合里x x -+-33有意义，则 x=____.2. 要使不等式（a+1）2≤0成立，实数a=_____.3. 已知1212+++-b b a ＝0，则 a=＿＿, b=＿＿, a 100b 101=____. 4. 把根号外因式移到根号里：① －a a =＿＿＿， ② b b -=＿＿＿＿， ③－c c1-=＿＿＿＿.5.如果a<b,那么)()(3b x a x ++-等于（ ）（A ）（x+a ）))((b x a x ++-. (B) （x+a ）))((b x a x ++.(C) －（x+a ）))((b x a x ++-. (D) －（x+a ）))((b x a x ++.6. 已知a 是实数且使a a -=x , 则x=＿＿＿＿.7. 已知a, b 是实数且a 2111+-+-≤b b . 化简1214422+--+-ab b a ab a 后的值是＿＿＿＿.8. 当x=＿＿时，3－（x ＋2）有最大值＿＿＿.9. 已知： ,141=-+-c a 且a -1,4-c 都是整数.求a, c 的值.10. 求方程x 2+y 2+x 2y 2+6xy+4=0的实数解.11. 求适合不等式2x 2+4xy+4y 2－4x+4≤0的未知数x 的值.12. 求证：不论k 取什么实数值，方程x 2+(2k+1)x －k 2+k=0都有不相等的实数解.13. 比较a 2+b 2+c 2与ab+bc+ca 的大小. 14.已知方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++a z xy a xz yz xy z y x 112的解x,y,z 都是非负数. 求a 的值.【答案】1. 32. －13. 1，－1，－14. ①－3a ， ②－3b -， ③c -5. C6. 0。
中考数学非负数专题讲座
中考数学非负数专题讲座所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则a1＋a2＋…＋a n≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，x n的值．解显然，x1=x2=…=x n=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，x n中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=x n=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，x n≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为x i为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习：1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。
初二上竞赛辅导资料2(第二讲--非负数的应用)
初二上竞赛辅导资料2第二讲 非负数的应用知识要点：非负数通常是以绝对值、偶次乘方、偶次根式的形式出现的．非负数的用途很广，了解、掌握和熟悉非负数的实质对提高解题能力很有好处，它是一个常考不衰的热点问题之一．1．非负数的概念，在实数范围内，非负数指的是零和正数．(1)绝对值是非负数因为一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，所以绝对值是非负数．(2)算术根是非负数因为正数的正的方根叫做算术根，零的算术根是零，所以算术根是非负数．(3)一个实数的偶次幂是非负数．(4)在数轴上，原点和原点右边的点都表示非负数．2．非负数的性质和运算(1)有限个非负数的和仍然是非负数．(2)两个非负数的差不一定是非负数．如当被减数小于减数时，其差就是负数．(3)有限个非负数的积(包括乘方)仍然是非负数．(4)非负数的商仍然是非负数(除数不为零)．(5)如果有限个非负数的和等于零，那么每一个加数都必为零．(6)无最大的非负数而有最小的非负数，最小的非负数是零．(7)非负数大于一切负数．例1.已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+，求a b c -+的值.例2.整数,x y 满足不等式22122x y x y ++≤+，则x y +的值有（ ）. A .1个 B . 2个 C .3个 D . 4个练习，已知整数,,a b c 满足2224398a b c ab b c +++≤++，求,,a b c 的值.例3.已知2y =，求22x y +的值.例 4.若m 满足关系式.求m 的值.能力训练一、选择题1.若,x y 为实数，且20x +=，则2009()x y的值为（ ）. A .1 B .-1 C . 2 D . -22.若2(a 与1b -互为相反数，则1b a-的值为（ ）.A B 1 C .1 D .13.若112x -≤≤ ）. A .43x -+ B . 5 C .23x + D .43x +4.已知11a a -=，则1a a+的值为（ ）.A .B .C .15.2()x y =+，则x y -的值为（ ）.A .-1B . 1C . 2D .3二、填空题6.若实数,x y 满足0xy ≠，则y x m x y =+的最大值是_______.7.已知实数,,a b c 21()02c -=，则=()a b c +=___________.8.方程480x -+，当0y >时，m 的取值范围是_________.9.若22(4)0a c --=，则a b c -+=_____.10.设,a b 为实数，那么222a ab b a b ++--的最小值是___________.三、解答题11.2(2)0ab -=，求111(1)(1)(2010)(2010)ab a b a b ++⋅⋅⋅+++++的值。
初中数学重点梳理：非负数
非负数知识定位知道常见的几种非负数，偶次根式，绝对值，二次方程有根的判别系数，常见的题型主要是利用非负数的性质建立方程，不等式，从而求值或证明。
知识梳理非负数：正数和零统称为非负数1、几种常见的非负数（1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示设a为实数，则绝对值的性质：①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b③对任意实数a，则|a|≥a，|a|≥－a④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0)⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|（2）实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0（3）算术平方根是非负数，即≥0，其中a≥0.算术平方根的性质：（a≥0）＝2、非负数的性质（1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数（2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零（3）若非负数不大于零，则此非负数必为零3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数；例题精讲◆专题一：利用非负数的性质解题： 【试题来源】【题目】已知实数x 、y 、z 满足，求x ＋y ＋z 的平方根。
【答案】0 【解析】∵，∴.∵|x-y|>=0， ， ，∴解得x ＋y ＋z =0所以求x ＋y ＋z 的平方根为0 【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】已知()0446222=+-+++y xy x y x ，则的值为______________；【答案】2【解析】（x+y-6）²≥0, 2244y xy x +- ≥0,（x+y-6）²+ 2244y xy x +- =0,两个非负数的和为0,只能都是0.所以x+y-6 =0,x²-4xy+4y²=(x-2y)²=0, 即x+y-6 =0, x-2y =0, 解得x=4,y=2. ∴x-y=2,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】若，的值【答案】【解析】解：因为，所以，从而.所以【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】【题目】设a 、b 、c 是实数，若，求a 、b 、c 的值【答案】1130===c ,b ,a 【解析】,,,,,【知识点】非负数 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题二：对于 的应用【试题来源】【题目】已知x 、y 是实数，且 ；【答案】81 【解析】根据题意32112+-+-=x x y ，知012≥-x 且021≥-x ，所以21=x ，y=381=y x【知识点】非负数 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】已知、、适合关系式：y x y x z y x z y x --+-+=-++--+20152015223 ，求z y x -+3 的平方根。
初中阶段的三个非负性
初中阶段的三个非负性
非负性即大于等于0。
初中阶段，有三个具有非负性的代数式需要学生掌握。
在实数范围内，经常应用这一性质解题，总结如下，仅供参考。
▊ 1、绝对值的非负性
▊ 2、偶次方的非负性
▊ 3、算术平方根的双重非负性
轻松一刻：数学家的小趣事
数学家高斯 高斯是位小学二年级的学生，有一天他的数学老师因为事情已处
理了一大半，虽然上课了，仍希望将其完成，因此打算出一题数学题目给学生练习，他的题目是:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=？，因为加法刚教不久，所以老师觉得出了这题，学生肯定是要算蛮久的，才有可能算出来，也就可以藉此利用这段时间来处理未完的事情，但是才一转眼的时间，高斯已停下了笔，闲闲地坐在那里，老师看到了很生气的训斥高斯，但是高斯却说他已经将答案算出来了，就是55，老师听了下了一跳，就问高斯如何算出来的，高斯答道，我只是发现1和10的和是11、2和9的和也是11、3和8的和也是11、4和7的和也是11、5和6的和还是11，又11+11+11+11+11=55，我就是这么算的。
高斯长大后，成为一位很伟大的数学家。
高斯小的时候能将难题变成简易，当然资质是很大的因素，但是他懂得观察，寻求规则，化难为简，却是值得我们学习与效法的。
2024八年级数学上册第十四章实数练素养1.非负数应用的三种常见题型习题课件新版冀教版
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6. [2024·石家庄第Fra bibliotek十中学月考]已知 y ＝ − ＋
− ＋8，则 的平方根是 ± .
【点拨】
根据二次根式有意义的条件可得
，
∴
x
＝
，
≥
− ≥ ，
ቊ
解得൞
− ≥ ，
≤
.
将 x ＝ 代入 y ＝ − ＋ − ＋8，得 y ＝8，
冀教版 八年级上
第十四章
练素养
实数
集训课堂
1.非负数应用的三种常见题型
1. 常见的非负数有算术平方根、偶次方、绝对值等，且一个
数的算术平方根具有双重非负性.
2. 根据“几个非负数之和等于0，从而得每个非负数都等于
0”构建方程，可求字母或式子的值.
题型1 绝对值的非负性
1. 若｜ a －2｜＋ ＋ ＝0，则 ab ＝
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10. 已知 + ＋ − ＝0，求( x ＋ y )2 024的值.
【解】由题意得 x ＋3＝0，2 y －4＝0，
所以 x ＝－3， y ＝2.
所以( x ＋ y )2 024＝(－3＋2)2 024＝1.
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11. [新趋势·学科内综合]已知 − 与( y ＋1)2互为相反数，
所以 a －2≥0，2－ a ≥0.所以 a ＝2.
所以 + ＝ + ＝2.
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807.三个非负数-奥数精讲与测试8年级
例1．化简：2020±+。
例2．已知x、y为实数，且y=13+xy的值。
例3．四边形四条边长分别为a、b、c、d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断该四边形的形状。
例412(x+y+z)，求x、y、z的值。
例5．已知a、b、c为实数，设A=a2−2b+2π、B= a2−2b+2π、C= a2−2b+2π，证明：A、B、C中至少有一个值大于零。
例6．已知a、b是实数，求a2＋ab＋b2−a−2b的最小值。
A卷一、填空题01．实数a 、b 、c 在数轴上对应的点的位置如图1所示，则a b a c+--=________。
02．若2x y -＋(x −y −3)2=0，则x y=________。
03．若a 、b 1b +=0，则a −2＋b −1999=________。
04．若x ＋1，则x +。
05．方程(x 2＋x)2的解为________。
06．若ab ＜0，则a b ab a b ab+-=________。
07．已知x 、y 为实数，且y=12+3x ＋2y=________。
08．方程(a 2 +1)x 2−2ax ＋a 2＋4=0的实根的个数为________个。
09．若实数a 、b 满足关系a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝4ab ，则a ＋b=________。
10=________。
二、解答题 11．若1=x ，试确定实数x 的取值范围。
12．解方程23x x -+-= 1。
13．求满足a b -＋ab=1的非负整数对(a ，b)的个数。
B 卷一、填空题01．多项式2x 2−6x ＋10的最小值为________。
02．设a ＞0，b ＜0，c ＜0，a ＞b ，c ＞a ，则a c b c a b +-+-+=________。
03．若实数x 、y 、z满足211024x y z z -+-+=，则(y ＋z)x =________ 04．若12-＜x ＜1=________。
北师大版八年级上册数学 非负数应用的三种常见类型 重点习题练习复习课件
11．当 x 为何值时， 2x＋1＋6 有最小值？最小值为多少？
解：因为 2x＋1≥0，所以当 2x＋1＝0， 即 x＝－12时， 2x＋1＋6 有最小值，最小值为 6.
12．已知 a，b 为有理数，且 1＋a－(b－1) 1－b＝0， 求 a2 020－b2021 的值． 解：因为 1＋a－(b－1) 1－b＝0， 所以 1＋a＋(1－b) 1－b＝0. 所以 1＋a＝0，1－b＝0， 解得 a＝－1，b＝1. 所以 a2 020－b2 021＝(－1)2 020－12021＝1－1＝0.
9．(2018·资阳)已知 a，b 满足(a－1)2＋ b＋2＝0，则 a＋b＝ ___－__1___．
10．已知 a＋2＋ 2a－b＋1＝0，求(b－a)2 021 的值．
解：由题意得 a＋2＝0，2a－b＋1＝0，所以)2 021＝－1.
3．设 a，b 是一个等腰三角形的两条边长，且满足 a－5＋|3－b|＝0，则该三角形的周长是___1_1_或__1_3____．
【点拨】由题意得 a－5＝0，3－b＝0，解得 a＝5，b＝3. 当 a 为腰长时，周长＝2×5＋3＝13； 当 b 为腰长时，周长＝2×3＋5＝11. 所以该三角形的周长为 11 或 13.
解：由 a2－4≥0，4－a2≥0，得 a2＝4，所以 a＝±2，b＝2. 又因为 ab≥0，所以 a＝2. 当 a＝2，b＝2 时，|a－2b|＋ ab＝|2－2×2|＋ 2×2＝|－2|＋ 4＝ 2＋2＝4.
8．已知 a 为有理数，求式子 a＋2＋ －a2的值．
解：因为－a2≥0，a2≥0，所以 a＝0. 所以原式＝ 2＋ 0＝ 2.
第二章 实数
阶段归类专训 非负数应用的三种常见类型
1．如果一个数的绝对值为 a，那么数 a 在数轴上(如图)对应的点 不．可．能．是( A )
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分数的运算-1 姓名 分数
例2．已知x 、y 为实数，且y=13+x
y
的值。
例3．四边形四条边长分别为a 、b 、c 、d ，它们满足等式a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，试判断该四边形的形状。
例5．已知a 、b 、c 为实数，设A=a 2−2b +
2π、B= a 2−2b +2π、C= a 2−2b +2
π
，证明：A 、B 、C 中至少有一个值大于零。
例6．已知a 、b 是实数，求a 2＋ab ＋b 2−a −2b 的最小值。
A 卷
一、填空题
01．实数a 、b 、c 在数轴上对应的点的位置如图1所示，则
a b a c
+
--=________。
02．若2x y -＋(x −y −3)2
=0，则x y
=________。
03．若a
、b 1b +=0，则a −2＋b −1999=________。
04
．若x ＋1
，则x +。
05．方程(x 2＋x)
2的解为________。
06．若ab ＜0，则a b ab a b ab
+-=________。
07．已知x 、y 为实数，且
y=1
2
+3x ＋2y=________。
08．方程(a 2 +1)x 2−2ax ＋a 2＋4=0的实根的个数为________个。
09．若实数a 、b 满足关系a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝4ab ，则a ＋b=________。
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=________。
二、解答题 11．若
1=x ，试确定实数x 的取值范围。
12．解方程23x x -+-= 1。
13．求满足a b -＋ab=1的非负整数对(a ，b)的个数。
B 卷
一、填空题
01．多项式2x 2−6x ＋10的最小值为________。
02．设a ＞0，b ＜0，c ＜0，a ＞b ，c ＞a ，则a c b c a b +-+-+=________。
03．若实数x 、y 、z
满足211
024
x y z z -+-+=，则(y ＋z)x
=________ 04．若1
2
-＜x ＜1
=________。
05．52a +
＜9，且7
2
a -＞3，则a 的取值范围为________。
06．已知实数x 、y ，则代数式5x 2＋5y 2−8xy ＋2x −4y ＋4的最小值为=________。
07．
若
x 、y
为
实数，且
y ＜
1
2
，则121y
-+。
08(x ，y)的组数有________个。
09．已知a 2 +b
2−4a −2b+ 5=0
=________。
10．方程4x 2+ 2xy + y 2 −y + 4 =________个。
二解答题
11．已知实数a 、b 、c 满足a+b +c=0，且abc > 0,判断111
a b c
++的值是正数
还是负数？为什么？
1211
a
a b ab =+-+
13．已知
a 、
b 、c
是三个非负数，求证：
)a b c ++
C
卷
一、填空题
01．−2y+2xy −1−x 2−y 2，则3x −2y
=________。
02．a 、b 、c 是正整数，且满足不等式3＋a 2＋b 2＋c 2≤ab ＋3b ＋2c −1，则a=________、b=________、c=________。
03
．若2
22130x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭
，则2
2a -=________。
04．a 、b 、c 是△ABC 的三边，若ab ＋ac ＋bc −a 2−b 2−c 2≥0，则△ABC 为________三角形。
05．已知22x --=x ，则x 满足条件________。
06．不等式25x x +--＜a 对任何实数x 都成立，则a 的取值范围为________。
07．若关于x 的方程21x --=a 有三个整数解，则a=________。
08．已知方程x = ax+1有一负根且无正根，则a 的取值范围为________。
09．设a 、b 、c 、d 均为实数，且ad −bc=1，a 2+b 2+c 2−ab −cd ，则abcd ＝________。
10.[x]表示不超过
x 的最大整数，设[x]=m,则
y=11
2x x x ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦
=________。
二、解答题
11．设T=1515x p x x p -+-+--，其中0＜p ＜15，对于满足p ≤x ≤15的x 来说，T 的最小值是多少？
12．若a ＞b ＞c ＞0，p 1=
，p 2=
，
p 3
p 1p 2、p 1p 3、p 2 p 3、p 22、p 32中最大与最小各是
哪一个？
13．设
⑴求y 的最小值；
⑵求使6＜y ＜7的x 取值范围．
14．已知a ≥0，b ≥0，求证：()()2
1124
a b a b
+++
≥。